초자연수

수학에서, 때로는 일반화된 자연수 또는 슈타이니츠 수라고 불리는 초자연적인 수는 자연수의 일반화다. 그것들은 1910년 에른스트 슈타이니츠에^{[1]: 249–251} 의해 필드 이론에 대한 그의 연구의 일부로 사용되었다.

초자연적인 숫자 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$은(는) 공식 제품이다.

${\displaystyle \omega =\prod _{p^{n_{p},}$

여기서 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$은(는) 모든 프라임 숫자에 ${\displaystyle {걸쳐}_{}}$ 실행되며$$,$$각 n p {\$displaystyle$ n_${p}$은 0으로$$, 자연수 또는 무한수다. $때때로{\displaystyle {}_{}}$ n ${\displaystyle p_{}}$${\displaystyle \{\backslash \mathrm{displaystyle}}$ $n_{p}}$ 대신$$v ${\displaystyle p_{}}$ ( Ω ){\displaystyle $v_{p}(\omega )}$을(를) 사용하는$$ 경우가 있다$.$ ${\displaystyle n_{}}$ =${\displaystyle {}_{}\mathrm{\infty }}$ ${\$$displaystyle n_{p$$}=\fty$$}}$이(가)가 없고$$ $0$이 아닌$$ 한정되어 있으면$$ 양의 정수를 회복한다. 조금 덜 직관적으로, 모든 $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$이${\displaystyle \mathrm{}}$are$$ ${\displaystyle \infit }$이면 0을 얻는다$.$^{[citation needed]} 초자연적인 숫자는 무한히 많은 주요 요인의 가능성을 허용하고 주어진 프라임이${\displaystyle \mathrm{}}$$\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega$$}$을($$를$)$ "무한하게 자주" 분할할 수 있도록 허용함으로써 자연수 이상으로 확장된다$.$

There is no natural way to add supernatural numbers, but they can be multiplied, with ${\displaystyle \prod _{p}p^{n_{p}}\cdot \prod _{p}p^{m_{p}}=\prod _{p}p^{n_{p}+m_{p}}}$. Similarly, the notion of divisibility extends to the supernaturals with ${\displaystyle {\omega }_1\mid {\omega }_{}}$${\displaystyle 2_{}}$모든 $p$ ${\displaystyle$$\omega_{$1}\$mid \omega_{2}}:$ ${\displaystyle v_{}}$ $p{\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ )${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ (${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaysty v_{p}(\omega _{1})\leq v_{p}(\omega$ $_$${2$$\}).$ 최소 공통의 복수 및 최대 공통점수의 개념은 또한 초자연적인 숫자에 대해 일반화될 수 있다.

${\displaystyle \displaystyle \lcm}(\\\omega _{i}\}\displaystyle =\p^{p_{p})(\omega _{i})}}$

${\displaystyle \displaystyle \cdname {gcd}(\\\omega _{i}\displaystyle =\p^{p_{p})(\omega _{i})}}$

이러한 정의와 함께 무한히 많은 자연수(또는 초자연수)의 gcd나 lcm는 초자연적인 수이다. $또한{\displaystyle {}_{}}$ 각 $p$ ${\displaystyle p}$ -adic$$ 순서 함수를 v ${\displaystyle p_{}}$ (${\displaystyle {}_{}\Omega }$)${\displaystyle }$= n ${\displaystyle p_{}}$ ${\$를 정의하여 초자연적인 숫자로 확장할 $수$도 있다.

초자연적인 수는 무수한 그룹과 하위 그룹의 순서와 지수를 정의하는데 사용되는데, 이 경우 유한한 그룹 이론에서 나온 많은 이론들이 정확히 계승된다. 그것들은 유한장의 대수적 확장을 인코딩하는 데 사용된다.^[2]

초자연적인 숫자는 균일하게 고피니트 알헤브라의 분류에서도 발생한다.

참고 항목

• 무한정 정수

참조

• Brawley, Joel V.; Schnibben, George E. (1989). Infinite algebraic extensions of finite fields. Contemporary Mathematics. Vol. 95. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 23–26. ISBN 0-8218-5101-2. Zbl 0674.12009.
• Efrat, Ido (2006). Valuations, orderings, and Milnor K-theory. Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 124. Providence, RI: American Mathematical Society. p. 125. ISBN 0-8218-4041-X. Zbl 1103.12002.
• Fried, Michael D.; Jarden, Moshe (2008). Field arithmetic. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Vol. 11 (3rd ed.). Springer-Verlag. p. 520. ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001.

외부 링크

• 플래닛 수학: 초자연적인 숫자