로지스틱 함수

L

L=1,k=1,x_{0}=0

,

L=1,k=1,x_{0}=0

L=1,k=1,x_{0}=0

,

L=1,k=1,x_{0}=0

0

L=1,k=1,x_{0}=0

0 {\

displaystyle

L

=1,k=1,x_{0

}=

0}

인 표준 로지스틱 함수

로지스틱 함수 또는 로지스틱 곡선은 방정식이 있는 일반적인 S자 곡선(S자 곡선)입니다.

{\displaystyle f(x)=flac {L}{1+e^{-k(x-x_{0}}}}},

어디에

x_{0}

0

(\

Sigmoid 중간점의 x

(\displaystyle

x)

x

L

{\

displaystyle

L

L

곡선의 최대값

\displaystyle

k

k

^[1]곡선의 로지스틱 성장률 또는 가파른 정도.

- ${\$ { $displaystyle$ - \ $infty$ } $-\infty$ ~ $+\infty$ + $（$ \ $displaystyle$ + \ $infty$ 까지의 실수 영역의x { $displaystyle$ x} $x$ 에 $x$ 대해 오른쪽에 표시된 S 곡선을 구하며x{ $displaystyle$ x $}$ $x$ + $+\infty$ \ $displaystyle$ l） $+\infty$ 까지의 $L$ 를 $f$ $L$ $구합니다$ . $x$ $(\$ displaystyle $+\infty$ $-\infty$ $x$ $-\infty$ 가 $x$ $-\infty$ 접근함에 $따라$ e +\ $infty가$ 0에 가까워지고 있습니다 $.$

로지스틱 함수는 생물학(특히 생태학), 생체화학, 화학, 인구통계학, 경제학, 지구과학, 수리심리학, 확률, 사회학, 정치학, 언어학, 통계학 및 인공신경망을 포함한 다양한 분야에서 응용 프로그램을 찾습니다.로지스틱 함수의 일반화는 타입 I의 이중탄성 함수이다.

$L=1,k=1,x_{0}=0$ = 1, $L=1,k=1,x_{0}=0$ $L=1,k=1,x_{0}=0$ , $L=1,k=1,x_{0}=0$ 0 $L=1,k=1,x_{0}=0$ 0 {\ $displaystyle$ L $=1,k=1,x_{0$ }= $0$ 인 표준 로지스틱 ^[2]함수는 단순히 S그모이드라고 불리기도 합니다.로짓의 ^[3]^[4]역순으로 expit이라고도 합니다.

역사

로그 곡선과 대조되는 로지스틱 곡선의 원본 이미지

로지스틱 함수는 1838년부터 1847년 사이에 아돌프 케틀레의 ^[5]지도 하에 지수 성장 모델을 조정하여 인구 증가 모델로 고안한 피에르 프랑수아 베르헐스트에 의해 세 개의 연속적인 논문에서 소개되었다.버헐스트는 1830년대 중반에 이 함수를 고안하여 ^[1]1838년에 간략한 주석을 발행한 후, 확장된 분석을 제시하여 1844년에 ^[a]^[6]함수를 명명하였다. 세 번째 논문은 벨기에 인구 ^[7]증가 모델에서 보정 항을 조정하였다.

성장의 초기 단계는 대략 기하급수적(기하학적)이며, 포화 상태가 시작되면 성장이 선형(산술적)으로 느려지고 성숙하면 성장이 멈춥니다.Verhulst는 "로지스틱"(프랑스어: logistique)이라는 용어의 선택을 설명하지는 않았지만, 그것은 아마도 로그 ^[8]^[b]곡선과 대조적이며, 산수 및 기하학과의 유추에 의해서이다.그의 성장 모델은 산술적 성장과 기하학적 성장에 대한 논의(현대의 용어 지수 곡선 대신 로그 곡선이라고 함)가 선행되고 있다.따라서 "로지스틱 성장"은 아마도 고대 그리스어에서 유래한 로지스틱스, 로마자: 로지스틱스, 그리스 수학의 전통적인 구분에 의해 유추에 의해 명명되었다.로지스(logis "숙박")는 로지스(logis "lodging")에서 유래한 로지스(logis "lodging")라는 용어와 무관하지만 그리스어도 로지스(Logistics)에 영향을 미쳤다고 생각되는 용어도 있습니다.^[c]자세한 내용은 로지스틱스(Logistics)★원산지(Origin)

수학적 특성

표준 로지스틱 함수는 $k=1$ k $k=1$ ({ $displaystyle$ k $=$ }), $x_{0}=0$ $x_{0}=0$ $L=1$ 0({ $displaystyle x_{0$ $L=1$ }), $L=1$ = 1({ $displaystyle$ L=1 $L=1$ 의 로지스틱 함수입니다.

({displaystyle f(x)=flac {1}+e^{-x}}=flac {e^{x}+1}=flac {1}{2}+{\tanh \left\frac {x}{2}}\right).}

실제로 지수 $e^{-x}$ e - $e^{-x}$ x {\ $displaystyle$ e $^{-x$ 의 특성으로 인해x {\ $displaystyle$ x $}$ 는 $x$ 포화값 0과 1에 매우 근접하게 수렴되므로 [-6, +6]에 포함된 범위와 같은 소수의 실수에 걸쳐 표준 로지스틱 함수를 계산하는 것으로 충분한 경우가 많다.

로지스틱 함수는 다음과 같은 대칭 속성을 가집니다.

(\displaystyle 1-f(x)=f440x).}

$x\mapsto f(x)-1/2$ x $x\mapsto f(x)-1/2$ f ( $x\mapsto f(x)-1/2$ ) - $x\mapsto f(x)-1/2$ / $x\mapsto f(x)-1/2$ ( \ $displaystyle$ x \ $mapsto$ f ( $x$ )- $1/2 은$ 홀수 $x \mapsto f(x) - 1/2$ 함수입니다.

로지스틱 함수는 오프셋 및 스케일링된 쌍곡선 탄젠트 함수입니다.

({displaystyle f(x)=flac {1}{2}}+{\flac {1}{2}}\tanh \leftflac {x}{2}\right})}

또는

\displaystyle \tanh(x)=2f(2x)-1}

이것은 에서 이어집니다.

{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}=cdot \left(1-e^{-2x}\오른쪽)}{e^{x}\cdot \left(1+e^{-2x}\오른쪽)}}\&=f(2x)-{\frac {e^{-2x}}{1+e^{-2x}}=f(2x)-{\frac {e^{-2x}+1-1}{1+e^{-2x}}=2f(2x)-1}.\end { aligned}

파생상품

표준 로지스틱 함수에는 쉽게 계산된 도함수가 있습니다.도함수는 로지스틱 분포의 밀도로 알려져 있습니다.

f(x)=syslogfrac {1}{1+e^{-x}}=syslogfrac {e^{x}}{1+e^{x}}}

({displaystyle {\frac {d} {\mathrm {d} {\mathrm {d} x} f(x) = e^{x} \ cdot e^{x} {(1+e^{x}) } = e^{x} {x} = frac {e^{x} {x} {x} {x} } } } } ^2}

로지스틱 분포의 평균은₀ x이고 분산은 θ /3k입니다.

일체형

반대로 f $x$ $=$ $f(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}={\frac {u'}{u}}$ $f(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}={\frac {u'}{u}}$ 1 $u=1+e^{x}$ + $f(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}={\frac {u'}{u}}$ $x$ $f(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}={\frac {u'}{u}}$ $u=1+e^{x}$ $f(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}={\frac {u'}{u}}$ u $u=1+e^{x}$ $f(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}={\frac {u'}{u}}$ u $f(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}={\frac {u'}{u}}$ u u $f(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}={\frac {u'}{u}}$ u u u u u u u u u $f(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}={\frac {u'}{u}}$ u u u u u $f(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}={\frac {u'}{u}}$ u u u u u u u u $u$ u u u $f(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}={\frac {u'}{u}}$ u u u $u$ u u u u u u u u u u u u u u u u u u $f(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}={\frac {u'}{u}}$ u u u u u u u u {1 + e

{\displaystyle\int {e^{x}}, flac={1+e^{x}}, du=\ln u=\ln(1+e^{x})}

인공 뉴럴 네트워크에서는 이를 소프트플러스 함수라고 하며, 로지스틱 함수(스케일링 포함)가 헤비사이드 스텝 함수의 부드러운 근사인 것처럼 램프 함수의 부드러운 근사치입니다.

로지스틱 미분 방정식

표준 로지스틱 함수는 단순 1차 비선형 상미분 방정식의 해입니다.

(\displaystyle\frac{d}{f(x)=f(x){\big(}1-f(x){\big}})}

$f(0)=1/2$ $f(0)=1/2$ f ( $f(0)=1/2$ 0 ) $=$ / $({displaystyle f$ (0)= 1/ $2$ 이 방정식은 로지스틱 맵의 연속형 버전입니다.상호 로지스틱 함수는 단순한 1차 선형 상미분 ^[9]방정식에 대한 해입니다.

정성적 동작은 위상선의 관점에서 쉽게 이해할 수 있습니다. 즉, 함수가 1일 경우 도함수는 0이고, 도함수는 0과 1 사이의 f ${$ $style$ f}에 $f$ $대해$ 양의 값이고, 1보다 크거나 0보다 작은f ${style$ f}에 $f$ $f$ 는 음의 값입니다(단, 일반적으로 음의 모집단은 물리 모델에 부합하지 않습니다).이것은 0에서 불안정한 평형, 1에서 안정된 평형을 생성하며, 따라서 0보다 크고 1보다 작은 함수 값에 대해 1로 성장한다.

로지스틱 방정식은 베르누이 미분 방정식의 특수한 경우이며 다음과 같은 해를 가집니다.

f(x)=snap frac {e^{x}}{e^{x}+C}}.

$C=1$ C $C=1$ $(\displaystyle$ C $=1)$ 의 $C=1$ 상수를 선택하면 로지스틱 곡선의 다른 잘 알려진 정의가 제공됩니다.

{\displaystyle f(x)=subscfrac {e^{x}+1}=subscfrac {1}{1+e^{-x}}}.

보다 양적으로, 분석 솔루션에서 볼 수 있듯이, 로지스틱 곡선은 음수 인수에 대한 초기 지수 성장을 나타내며, 0에 가까운 인수에 대한 기울기 1/4의 선형 성장에 도달한 후 지수 감소 갭으로 1에 접근한다.

로지스틱 함수는 자연 로짓 함수의 역함수입니다.

\operatorname {logit} p=\log {frac {p}{1-p}}{\text{ for }}0<p<1

그래서 승산의 대수를 확률로 변환합니다.두 가지 대안의 로그 우도 비율 변환도 로지스틱 곡선의 형태를 취합니다.

위에서 도출된 미분방정식은 x $0$ 에 $x>0$ Sigmoid 함수만 모형화하는 일반 $미분방정식$ 의 특수한 경우입니다 $.$ 많은 모델링 애플리케이션에서 보다 일반적인^[10] 형태는

{df(x)}{df}=param frac {k}{a}}f(x){\big},\param f(0)=param frac {a}{1+e^{kr}}}}

바람직할 수 있습니다.이 솔루션은 S

aS{\big (}k(x-r){\big )}

(

aS{\big (}k(x-r){\big )}

-

aS{\big (}k(x-r){\big )}

)

aS{\big (}k(x-r){\big )}

{

aS{\big (}k(x-r){\big )}

{ \

big

( }

k

(

x

- r ) { \

big

입니다.

쌍곡선-접선 관계는 로지스틱 함수의 도함수에 대한 다른 형태로 이어집니다.

({displaystyle\frac{d}{f(x)=operatorname{sech}^{2}\leftfrac{x}{2}\right)})

로지스틱 함수를 로지스틱 분포와 연결합니다.

(0, 1/2)에 대한 회전 대칭

로지스틱 함수와 수직 축에 대한 반사 $f(-x)$ - $f(-x)$ ) { $displaystyle$ f $(-x$ 의 합계는 다음과 같습니다.

{1+e^{-x}}+{\frac {1}{1+e^{-(x)}}=black {e^{x}+1}+{\frac {1}{e^{x}+1}=1}.

따라서 로지스틱 함수는 점(0, 1/2)^[11]을 중심으로 회전 대칭입니다.

적용들

링크^[12](Link)는 양수 또는 음수 경계가 처음 같거나 초과될 때까지 랜덤 변수의 무분포 축적으로 Wald의 순차 분석 이론을 확장했다.링크는 로지스틱 함수인 ( $(1+e^{-\theta A})$ + $(1+e^{-\theta A})$ - $(1+e^{-\theta A})$ A $)({displaystyle (1+$ e^{-\ $theta$ A $(1+e^{-\theta A})$ 와 같은 양의 경계를 최초로 넘거나 초과할 확률을 도출합니다^[13].이것은 로지스틱 함수가 확률적 과정을 기초로 할 수 있다는 첫 번째 증거입니다.링크는^[14] "논리적인" 실험 결과의 한 세기와 이 확률과 경계에서의 흡수 시간 사이의 새롭게 도출된 관계를 제공한다.

생태학: 개체수 증가 모델링

피에르 프랑수아 베르헐스트 (1804년 ~ 1849년)

로지스틱 방정식의 전형적인 적용은 인구 증가의 일반적인 모델(인구 역학 참조)이다. 원래 1838년 피에르 프랑수아 베르헐스트에 의한 것으로, 재생산 속도는 기존 모집단과 사용 가능한 자원의 양에 비례하며, 다른 모든 것은 동일하다.버헐스트 방정식은 버헐스트가 토마스 맬서스의 인구원리에 관한 에세이를 읽은 후에 발표되었는데, 이 에세이는 단순한 (제한 없는) 지수성장의 맬서스식 성장 모델을 묘사한다.Verhulst는 생물 개체군의 자기 제한적 성장을 설명하기 위해 그의 로지스틱 방정식을 도출했습니다.이 방정식은 1911년 A. G. McKendrick에 의해 육수 속 박테리아 증식에 대해 재발견되었고 비선형 매개변수 ^[15]추정을 위한 기술을 사용하여 실험적으로 테스트되었다.이 방정식은 1920년 존스 홉킨스 ^[16]대학의 레이먼드 펄과 로웰 리드(1888-1966)에 의해 재발견된 후 때때로 버헐스트-펄 방정식이라고도 불린다.또 다른 과학자 알프레드 로트카는 1925년에 이 방정식을 인구증가의 법칙이라고 부르며 다시 이 방정식을 도출했다.

P $(\displaystyle$ P $)$ 가 $P$ 모집단 크기를 나타내고 $($ $N$ (\ $displaystyle$ N $)$ 이 대신 $N$ 생태학에서 자주 사용됨 $)$ t(\ $displaystyle$ t $)$ 가 $t$ 시간을 나타내므로 이 모델은 미분 방정식으로 공식화됩니다.

(\displaystyle {dP}{dt}}=rP\left(1-{\frac {P}{K}}\오른쪽),}

$r$ 서 상수 r $\displaystyle$ r은 $r$ 성장률을 $나타내고$ K $\displaystyle$ K는 반송 용량을 나타냅니다 $K$ .

이 공식에서 초기, 방해받지 않는 성장률은 첫 번째 $+rP$ 항 + $+rP$ $(\displaystyle$ + $rP$ 로 모델링됩니다. $r$ 의 r $\displaystyle$ r의 값은 $모집단$ P $\displaystyle$ P의 $P$ 비례적인 증가를 나타냅니다 $r$ .나중에 인구가 증가함에 따라 두 번째 항의 계수( $-rP^{2}/K$ 은 $-rP^{2}/K$ - r $-rP^{2}/K$ 2 / $-rP^{2}/K$ (\ $displaystyle$ - $rP^{2}/K$ 는 첫 번째 항과 거의 같은 크기가 된다. $P의$ 일부 구성원은 식품이나 거주 공간 등의 중요한 자원을 놓고 서로 간섭하기 때문이다.이러한 길항효과를 병목현상이라고 하며 $파라미터$ K({ $displaystyle$ K $K$ 의 값으로 모델링하여 P $({displaystyle$ P})의 $P$ 가치가 더 이상 증가하지 않을 때까지(이것을 모집단의 성숙도라고 부릅니다). $($ 0({ $displaystyle P_{0})$ 을 $P_{0}$ 초기 모집단으로 $P_{0}$ ) 방정식의 해답은 다음과 같습니다.

P(t)=black {KP_{0}e^{rt}}{K+P_{0}\left(e^{rt}-1\오른쪽)}}=flac {K}{1+\left({\frac {K-P_{0}}}{P_{0}}\right})e^{-rt}}}}}

어디에

\displaystyle \lim _{t\to\infty}P(t)=K.}

즉, K $\displaystyle$ K는 $K$ P $displaystyle$ 의 $K$ 이며, 이는 모집단이 무한한 시간에 도달할 수 있는(또는 유한한 시간에 도달할 수 있는) 가장 높은 값이다.반송용량은 $P(0)>0$ P( $P(0)>0$ {\ $displaystyle P(0$ )> $0$ 에 관계없이 점근적으로 도달하고 P $P(0)>K$ 0 $P(0)>K$ $(\displaystyle$ P(0 $)>$ K $(K$ 인 $P(0)>K$ 에도 점근적으로 도달하는 것이 중요합니다.

생태학에서 종들은 그들의 삶의 역사 전략을 형성한 선별적인 과정에 따라 때로는r\ $displaystyle$ r - strategist $r$ $또는$ K\ $displaystyle$ K - strategist로 $K$ $불린다$ .변수 치수를 선택하여 n{\ $style$ n $}$ 은 $n$ 반송용량 단위로 모집단을 측정하고 ${\$ ${\display\tau}$ 는 $\tau$ $1/r$ 1/ $1/r$ {\ $displaystyle$ 1/ $r$ $1/r$ 로 시간을 $n$ 하면 무차원 미분 방정식을 얻을 수 있습니다.

(\displaystyle\frac {dn}{d\flac}}=n(1-n).}

시간 가변 운반 용량

환경조건은 운반용량에 영향을 미치기 때문에 $K(t)>0$ 으로 K $K(t)>0$ ( $K(t)>0$ t ) $>$ $K(t)>0$ ( \ $displaystyle K ($ t $)>$ 0 $K(t)>0$ 으로 인해 다음과 같은 수학적 모델로 이어질 수 있습니다.

({displaystyle {dP}{dt}}=rP\cdot \left(1-{\frac {P}{K(t)}}}\오른쪽).}

특히 중요한 경우는 T $(\displaystyle$ T $T$ $T$ 에 따라 주기적으로 변화하는 반송 용량입니다.

\ displaystyle K(t+T)=K(t)}

It can be shown^[17] that in such a case, independently from the initial value $P(0)>0$ , $P(t)$ will tend to a unique periodic solution $P_{*}(t)$ , whose period is $T$ .

T $(\displaystyle$ T $)$ 의 $T$ $T$ 인 값은 1년입니다.이 $K(t)$ K ( $K(t)$ ) { $style$ K $(t)}$ 는 $K(t)$ 기상 조건의 주기적인 변화를 반영할 수 있다.

또 하나의 흥미로운 일반화는 $K(t)$ K $)({displaystyle$ K $(t)})$ 가 $K(t)$ 초기 개체군의 함수라는 점을 고려하여 개체군이 환경을 변경하는 방식의 지연을 포착하는 것이다.이 일부 매개 변수 범위에서 쌍안정과 매우 부유한 행동을 가진 군수 지연 equation,[18]뿐만 아니라, 0에 단조가 썩고, 부드러운 지수 성장을 강조하였다 무한한 성장(즉, 다중 S-shapes), 일정 성장이나 고정된 수준으로 교대를 고정된 수준으로 진동하는 접근, 지속 가능한으로 이어진다.운영 체계유한시간 사망뿐만 아니라 유한시간 특이점들.

통계학 및 기계학습에서

로지스틱 함수는 통계에서 여러 역할에 사용됩니다.예를 들어, 이는 로지스틱 분포군의 누적 분포 함수이며, 체스 선수가 Elo 등급 시스템에서 상대방을 이길 수 있는 가능성을 모형화하는 데 사용됩니다.다음은 좀 더 구체적인 예입니다.

로지스틱 회귀 분석

로지스틱 함수는 로지스틱 회귀에서 사건의 확률 $\displaystyle$ p가 $p$ 하나 이상의 설명 변수에 의해 어떻게 영향을 받을 수 있는지를 모델링하기 위해 사용됩니다. 예를 들어, 다음과 같은 모델이 있습니다.

p=f(a+bx),

$x$ 서x(\ $displaystyle$ x $)$ 는 $x$ 설명 변수, $(\displaystyle$ a $)$ $및$ b $(\displaystyle$ b $)$ 는 $b$ 적합 모델 파라미터, $(\displaystyle$ f $)$ 는 $f$ 표준 로지스틱 함수입니다.

로지스틱 회귀 분석 및 기타 로그-선형 모형도 기계 학습에 일반적으로 사용됩니다.로지스틱 함수의 다중 입력에 대한 일반화는 다항 로지스틱 회귀 분석에서 사용되는 소프트맥스 활성화 함수입니다.

로지스틱 함수의 또 다른 응용 프로그램은 항목 반응 이론에 사용되는 래쉬 모형입니다.특히 Rasch 모델은 범주형 데이터 수집에 기초한 연속체상의 물체 또는 사람의 위치, 예를 들어 정확하고 부정확하다고 분류된 응답에 기초한 연속체상의 사람의 능력에 대한 최대우도 추정의 기초를 형성한다.

뉴럴 네트워크

로지스틱 함수는 모델에 비선형성을 도입하거나 지정된 간격 내에 신호를 클램프하기 위해 신경 네트워크에서 자주 사용됩니다.인기 있는 뉴럴 넷 요소는 입력 신호의 선형 조합을 계산하고, 그 결과에 활성화 함수로서 유계 로지스틱 함수를 적용한다.이 모델은 고전적인 역치 뉴런의 "스무드" 변종으로 볼 수 있다.

뉴럴 네트워크의 응답을 제한적으로 유지하기 위해 대규모로 클립하는 데 사용되는^[19] 활성화 또는 "스퀴싱" 기능에 대한 일반적인 선택은 다음과 같습니다.

g(h)=syslogfrac {1}{1+e^{-2\syslog h}}}

로지스틱 함수입니다.

이러한 관계는 인공 뉴런을 사용한 인공 신경망의 구현을 단순화하는 결과를 초래한다.실무자들은 원점에 대해 반대칭인 S자형 함수(예: 쌍곡선 접선)가 ^[20]역전파로 네트워크를 훈련시킬 때 더 빠른 수렴으로 이어진다고 경고한다.

로지스틱 함수 자체는 또 다른 제안된 활성화 함수인 softplus의 파생물입니다.

의학: 종양 증식 모델링

로지스틱 곡선의 또 다른 용도는 의학에서 로지스틱 미분 방정식을 사용하여 종양의 성장을 모형화합니다.이 응용은 생태학 프레임워크에서 위에서 언급한 용도의 확장으로 간주할 수 있다(더 많은 매개변수를 허용하는 일반 로지스틱 곡선 참조). $X$ ( $X(t)$ ) { $style$ X $t$ ) $X(t)$ } $시간$ t {\ $displaystyle$ t $t$ 의 $X(t)$ 종양의 크기를 나타내며, 그 역동성은 다음과 같이 제어됩니다.

X'=r\left(1-{\frac {X}{K}}\right)X,

그런 타입의

\displaystyle X'=F(X)X,\quad F'(X)\leq 0,}

$F(X)$ 서 F $)$ {displaystyle F( $Displaystyle$ F $(X$

로그킬 효과와 함께 화학요법을 시작할 경우, 공식은 다음과 같이 수정될 수 있다.

X'=r\left(1-{\frac {X}{K}}\오른쪽)X-c(t)X,

$c(t)$ 서 c $c(t)$ $)$ { $displaystyle$ c $(t)}$ 는 $c(t)$ 치료로 인한 사망률입니다.매우 긴 치료의 이상적인 경우 $c(t)$ $c(t)$ ( $c(t)$ t ) { $displaystyle$ c $(t$ $T$ 는 $c(t)$ 주기적인 기능( $T의$ 경우) 또는 (연속 주입 요법의 경우)으로 모델링할 수 있으며, 다음과 같은 특징이 있다.

{\displaystyle\frac{1}{T}}\int _{0}^{T}c(t),dt>r\to\lim _{to +\infty }x(t)=0,}

즉, 평균 치료로 인한 사망률이 기준 증식률보다 높으면 질병의 근절이 있다.물론, 이것은 성장과 치료 모두의 지나치게 단순화된 모델이다(예: 복제 저항의 현상은 고려하지 않는다).

의학 분야: 대유행 모델링

면역력이 없는 새로운 감염성 병원체는 일반적으로 초기에 기하급수적으로 확산될 것이며, 민감한 개인의 공급은 풍부하다.COVID-19를 일으키는 SARS-CoV-2 바이러스는 2020년 ^[21]초 몇몇 국가에서 감염 초기에 기하급수적으로 증가했다.(집단 면역의 문턱값을 넘을 때까지 감염의 계속적인 확산을 통해) 또는 물리적 거리 측정으로 잠재적 호스트의 접근성 감소를 포함한 요인들은 먼저 선형화("산술"에서 "논리"로 반복)되는 기하급수적으로 보이는 전염병 곡선을 초래할 수 있다.위에서 언급한 바와 같이 피에르 프랑수아 베르헐스트에 의해 처음 언급된 이온과 최대 ^[22]한계에 도달한 이온.

로지스틱 함수 또는 관련 함수(예: 곰퍼츠 함수)는 초기 지수 상승뿐만 아니라 모집단이 집단 면역력을 개발함에 따라 궁극적으로 유행병의 평준화에 잘 맞기 때문에 일반적으로 기술적 또는 현상학적 방식으로 사용된다.이는 대유행의 역학(예: 접촉률, 잠복 시간, 사회적 거리 두기 등)을 기반으로 기술을 작성하려는 실제 유행병 모델과 대조된다.그러나 로지스틱 ^[23]^[24]^[25]솔루션을 생성하는 몇 가지 단순한 모델이 개발되었습니다.

초기 COVID-19 사례 모델링

역학 모델링에서 일반화 로지스틱 함수(리차드 성장 곡선)

리처드 성장 곡선이라고도 불리는 일반화된 로지스틱 함수는 COVID-19 ^[26]발병의 초기 단계 모델화에 적용되었다.저자는 일반화된 로지스틱 함수를 감염 사례의 누적 수(여기서 감염 궤적이라고 함)에 적합시킨다.문헌에는 일반화된 로지스틱 함수에 대한 다양한 매개 변수화가 있습니다.자주 사용되는 폼은 다음과 같습니다.

{{displaystyle f(t;\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},\xi)=cdotfrac {{1}{1+\xi \exp\theta _{2}\cdot (t-\theta _{3})}}}}}}}} ={1/\xi}

여기서 $\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}$ , $\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}$ $(\$ _ ${1},\theta$ _{ $2},\theta$ _ ${3})$ 은 $\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}$ 실수, ${\$ \ $displaystyle \xi }$ 는 $\xi$ 양의 실수입니다. $f$ 의 유연성은 매개변수 ${\$ {\ $displaystyle$ $\xi$ : (i) $\xi =1$ $\xi =1$ 1 {\displaystyle $\xi = 1$ )이면 $\xi =1$ 곡선이 로지스틱 함수로 감소하고 (ii) ${\$ {\ $displaystyle \xi }$ 이 $f$ $\xi$ 0으로 수렴되면 곡선이 곰퍼츠 함수로 수렴되기 때문입니다.역학모델링에서는 § $($ _ ${1$ § $($ _{ $2$ § $($ _ ${3})$ 은 $\theta _{3}$ 각각 최종 유행 크기, 감염률, 지연 단계를 나타낸다.( $(\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})$ 1, $(\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})$ 2, $(\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})$ 3) $(\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})$ (\ $style (\theta$ _ { $1},\theta$ _ { $2},\theta$ _ { $3})$ 이 $(\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})$ $(10,000,0.2,40)$ ( $10$ 000 $,$ .2 $(10,000,0.2,40)$ $)$ (\style ( $10,000,0.2,40$ 로 설정되어 있는 경우 $(\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})$ 샘플 감염 궤적은 오른쪽 패널을 참조하십시오.

5월 14일까지 COVID-19의 심각한 영향을 받는 40개국의 감염 궤적과 전체(인구) 평균

역학 모델링에서 일반화된 로지스틱 함수와 같은 성장 함수를 사용하는 이점 중 하나는 다른 지리적 지역의 정보를 하나로 묶을 수 있는 다단계 모델 프레임워크에 비교적 쉽게 적용할 수 있다는 것이다.

화학: 반응 모델

자기 촉매 반응에서 반응물과 생성물의 농도는 로지스틱 함수를 따릅니다.연료 전지 음극에서 무금속(PGM-free) 무금속 산소 환원 반응(ORR) 촉매의 분해는 로지스틱 붕괴 기능을 ^[27]따르며, 이는 자기 촉매 분해 메커니즘을 시사합니다.

물리:페르미-디락 분포

로지스틱 함수는 열평형 상태에 있는 시스템의 에너지 상태에 대한 페르미온의 통계적 분포를 결정합니다.특히 페르미-디락 통계에 따르면 각 가능한 에너지 수준이 페르미온에 의해 점유될 확률의 분포이다.

재료 과학:위상도

확산 접합을 참조하십시오.

언어학: 언어 변화

언어학에서 로지스틱 함수는 언어 ^[28]변화를 모델링하는 데 사용될 수 있습니다.처음에는 한계였던 혁신이 시간이 지남에 따라 더 빠르게 확산되기 시작하다가 더 보편적으로 채택될수록 더 느리게 확산되기 시작합니다.

농업: 작물 반응 모델링

로지스틱 S-곡선은 성장 요인의 변화에 대한 작물 반응을 모형화하는 데 사용할 수 있습니다.반응 함수에는 양수 및 음수 성장 곡선의 두 가지 유형이 있습니다.예를 들어 성장인자 값이 일정 수준까지 증가하면 수확량이 증가하거나(양함수), 성장인자 값이 증가하면 감소하므로(부성장인자에 의한 음함수), 역S곡선이 필요할 수 있다.

농작물 수확량 대 수심 ^[29]S-곡선 모형.

농작물 수확량 대 토양 ^[30]염도에 대한 역 S-곡선 모형입니다.

경제학 및 사회학: 혁신의 확산

로지스틱 함수는 혁신의 라이프 사이클을 통한 확산의 진행 상황을 설명하기 위해 사용될 수 있다.

모방의 법칙 (1890)에서 가브리엘 타드는 모방 사슬을 통해 새로운 생각의 부상과 확산을 묘사한다.특히, Tarde는 혁신이 확산되는 세 가지 주요 단계를 식별합니다. 첫 번째 단계는 아이디어가 상반되는 습관과 신념으로 가득 찬 적대적인 환경에서 고전해야 하는 어려운 시작에 해당하며, 두 번째 단계는 f $f(x)=2^{x}$ $f(x)=2^{x}$ $f(x)=2^{x}$ 인 아이디어의 적절한 지수적 도약에 해당합니다.{\ $displaystyle f(x$ ) $=$ $2^{$ x $f(x)=2^{x}$ 마지막으로, 3단계는 로그이며 $f(x)=\log(x)$ x)=log $f(x)=\log(x)$ ( $)\displaystyle$ f $(x$ )=\ $log(x$ 로, 아이디어의 자극이 점차 느려지는 동시에 새로운 상대방의 아이디어가 나타나는 시간에 해당합니다 $.$ 이어지는 상황은 혁신의 진행을 중단시키거나 안정화시키며, 이는 점근선에 접근한다.

주권 국가에서는 하위 국가 단위(구성 주 또는 도시)가 프로젝트에 자금을 조달하기 위해 대출을 사용할 수 있습니다.그러나, 이 자금원은, 통상, 엄격한 법률 규칙과 경제 부족의 제약, 특히 은행이 빌려줄 수 있는 자원(자본이나 바젤의 제한에 의해서)의 대상이 됩니다.이러한 포화도를 나타내는 이러한 제약은, 금전 경쟁의 기하급수적인 급상승과 함께, 신용 청구의 공공 재정 확산을 초래하고, 종합적인 국가적 대응은 S자 ^[31]곡선을 이룬다.

경제사상 신상품이 등장하면 연구개발이 치열해져 품질이 극적으로 향상되고 비용이 절감된다.이것은 산업의 급속한 성장기로 이어집니다.가장 유명한 예로는 철도, 백열전구, 전기, 자동차, 항공여행 등이 있다.결국 극적인 개선과 비용 절감 기회가 고갈되고, 제품 또는 프로세스가 널리 사용되면서 잠재적인 신규 고객이 거의 남지 않게 되며, 시장은 포화 상태가 됩니다.

로지스틱 분석은 국제 응용 시스템 분석 연구소(IIASA)의 여러 연구자들에 의해 논문에서 사용되었다.이 논문들은 다양한 혁신, 인프라 및 에너지원 대체의 확산과 경제에서의 노동의 역할 및 장기 경제 사이클에 대해 다루고 있다.긴 경제 순환은 로버트 ^[32]에어스에 의해 조사되었다.Cesare Marchetti는 긴 경제 사이클과 ^[33]^[34]혁신의 확산에 대해 발표했다.Arnulf Grübler의 책(1990)은 운하, 철도, 고속도로 및 항공사를 포함한 인프라의 확산에 대한 자세한 설명을 제공하며, 이러한 확산이 로지스틱 형태의 ^[35]곡선을 따른 것임을 보여준다.

Carlota Perez는 로지스틱 곡선을 사용하여 장기간의 (Kondratiev) 비즈니스 사이클을 다음과 같은 라벨로 나타냈습니다.테크놀로지 시대의 시작은 부정부패, 상승은 광란, 고속 구축은 시너지로, 완성은 ^[36]성숙이라고 하는 라벨이 붙어 있습니다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ 이 논문은 1844년에 발표되었고 1845년에 출판되었다. (1844년 11월 30일 세션에서 읽음). 페이지 1
^ Verhulst는 먼저 산술 급수와 기하 급수를 가리키며 기하학적 성장 곡선을 로그 곡선이라고 한다(혼합적으로, 현대 용어는 대신 지수 곡선, 즉 역수 곡선이다).그런 다음 그는 로그와 대조적으로 자신의 곡선을 로지스틱이라고 부르며 논문 그림에서 로그 곡선과 로지스틱 곡선을 비교합니다.
^ In Ancient Greece, λογῐστῐκός referred to practical computation and accounting, in contrast to ἀριθμητική (arithmētikḗ), the theoretical or philosophical study of numbers.영어에서 산술은 μμ μ μ μ μ μ μ μ μ μ η η η η η η η from from from from from from from from from from from from from from η from from from from from from from from예를 들어 Louis Charles Karpinski, Nicomachus of Gerasa를 참조하십시오. 산술개론(1926년) 페이지 3: "산술은 근본적으로 현대 독자들, 특히 과학자와 수학자들에 의해 계산술과 연관되어 있다.하지만, 피타고라스 이후의 고대 그리스인들에게 산수는 주로 철학적 연구였고, 실제 문제와는 아무런 관련이 없었다.실제로 그리스인은 사업상의 산술에 별도의 이름을 붙였다.일반적으로 그리스의 철학자와 수학자들은 의심할 여지 없이 이 분야를 다루는 것이 그들의 존엄성을 낮춘다고 여겼다. 그것은 아마도 어린이들의 초등교육의 일부를 형성했을 것이다."

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I concluded that Verhulst's intention in naming the curve was indeed to suggest this comparison, and that "logistic" was meant to convey the curve's "log-like" quality.
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외부 링크

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Weisstein, Eric W. "Sigmoid Function". MathWorld.
JSXGraph를 사용한 온라인 실험
에세이는 사방에 있어요
곡선을 보는 게 전부야
주입을 통한 로그 증가 제한

[6] 이 논문은 1844년에 발표되었고 1845년에 출판되었다. (1844년 11월 30일 세션에서 읽음). 페이지 1

[10] Verhulst는 먼저 산술 급수와 기하 급수를 가리키며 기하학적 성장 곡선을 로그 곡선이라고 한다(혼합적으로, 현대 용어는 대신 지수 곡선, 즉 역수 곡선이다).그런 다음 그는 로그와 대조적으로 자신의 곡선을 로지스틱이라고 부르며 논문 그림에서 로그 곡선과 로지스틱 곡선을 비교합니다.

[11] In Ancient Greece, λογῐστῐκός referred to practical computation and accounting, in contrast to ἀριθμητική (arithmētikḗ), the theoretical or philosophical study of numbers.영어에서 산술은 μμ μ μ μ μ μ μ μ μ μ η η η η η η η from from from from from from from from from from from from from from η from from from from from from from from예를 들어 Louis Charles Karpinski, Nicomachus of Gerasa를 참조하십시오. 산술개론(1926년) 페이지 3: "산술은 근본적으로 현대 독자들, 특히 과학자와 수학자들에 의해 계산술과 연관되어 있다.하지만, 피타고라스 이후의 고대 그리스인들에게 산수는 주로 철학적 연구였고, 실제 문제와는 아무런 관련이 없었다.실제로 그리스인은 사업상의 산술에 별도의 이름을 붙였다.일반적으로 그리스의 철학자와 수학자들은 의심할 여지 없이 이 분야를 다루는 것이 그들의 존엄성을 낮춘다고 여겼다. 그것은 아마도 어린이들의 초등교육의 일부를 형성했을 것이다."

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