리 대수 표현

거짓말 그룹
클래식 그룹 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n)
단순 리 그룹 고전적인 A을n Bn Cn Dn 예외적인 G2 F4 E6 E7 E8
기타 Lie 그룹 원 로렌츠 푸앵카레 등각군 차이점형성 루프 유클리드 주
리알헤브라스 리 그룹-리 대수 통신 지수지도 부선 표현 킬링폼 색인 누점대칭 심플리 리 대수
Semisimple Lie 대수 딘킨 도표 카르탄 아발지브라 루트 시스템 웨일 그룹 실물형태 복합화 스플릿 리 대수 콤팩트 리 대수
표현 이론 리 그룹 표현 리 대수 표현 반실현 리알헤브라의 표현 이론 고전적 거짓말 집단 표현 최고중량의 정리 보렐-윌-보트 정리
물리학에서 거짓말 집단 입자물리학 및 표현이론 로렌츠 그룹 표현 푸앵카레 집단 표현 갈릴레이 집단 표현
과학자들 소푸스 리 앙리 푸앵카레 빌헬름 킬링 엘리 카탄 헤르만 바일 클로드 슈발리 하리시찬드라 아르망 보렐
용어집 거짓말 그룹 표
v t

표현 이론의 수학적 분야에서 Lie 대수표현이나 Lie 대수표현이란 Lie 대수를 행렬(또는 벡터 공간의 내형성)의 집합으로서 Lie 대수를 쓰는 방법으로, 정류자에 의해 Lie 괄호가 주어지는 방식이다. 물리학의 언어에서는 각운동량 연산자가 만족하는 관계와 같이 일정한 정류 관계를 만족하는$$ $연산자{\displaystyle }$ 집합과 함께 벡터 공간 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $V$$}$을 찾는다.

그 개념은 거짓말 그룹의 표현과 밀접한 관련이 있다. 대략적으로 말하면, 리 알헤브라의 표현은 리 그룹 표현의 차별화된 형태인 반면, 리 그룹의 보편적 표지의 표현은 리 대수학의 표현에 통합된 형태인 것이다.

리 대수표현에 관한 연구에서는, 리 대수학과 관련된 만능포장 대수라고 불리는 특정한 링이 중요한 역할을 한다. 이 반지의 보편성은 Lie 대수학의 표현 범주가 그것의 포함 대수보다 모듈들의 범주와 동일하다고 말한다.

형식 정의

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$을(를) Lie 대수학으로 하고$$ $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$을(를) 벡터 공간이 되게 한다. $우리$는 g ${\displaystyle \mathfrak{l}}$(${\displaystyle V}$) ${\displaystyle {\mathfrac}{gl}(V)}$이(가) $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V$의 내형성 공간$,$ 즉 V {\$displaystyle V}$의 모든 선형 지도의 공간을 그 자체로$$ 나타내도록$$ 했다. We make ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$ into a Lie algebra with bracket given by the commutator: ${\displaystyle [\rho ,\sigma ]=\rho \circ \sigma -\sigma \circ \rho }$ for all ρ,σ in ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$. Then a representation of ${\displayst$$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$의 $yle {\mathfak{g}}$은(는) Lie 대수 동형상이다.

${\displaystyle \rho }$: ${\displaystyle g}$→ g ${\displaystyle \mathfrak{l}}$ ${\displaystyle (V}$) ${\displaystyle \rho \colon {\mathfrak{g}\to {\mathfrak{g}(V)}$.

명시적으로, $이것$은 {$${\$displaystyle \rho }$이(가) 선형 지도가 되어야$$ 하며 이 지도가 충족되어야 함을 의미한다.

$\displaystyle \rho ([X,Y])=\rho (X)\rho (Y)-\rho (X)}$

모든 X, Y의 $경우{\displaystyle \mathfrak{}}$ g ${\$ 벡터 공간 V는 표현 the과 $함께{\displaystyle \mathfrak{}}$ g ${\${\$mathfrak {g}$ -module이라고 한다.(많은 저자가 용어를 남용하여 V 자체를 표현이라고 한다.)

표현 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$은 주입식이라면 충실하다고 한다.

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ {\${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ ${\mathfak {g}$ -module을$$ 벡터 공간 V로 균등하게 정의할 수 있으며$$, 이선형 지도 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \times }$ V${\displaystyle }$→ V ${\displaystyle {\mathfrak {g}\time V\$to V}과(와)를 함께 정의하면 된다.

${\displaystyle [X,Y]\cdot v=X\cdot (Y\cdot v)-Y\cdot (X\cdot v)}$

모든 X,Y($g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ 및$$ V(v)의 경우. 이는 X ⋅ v = ρ(X)(v)를 설정함으로써 이전의 정의와 관련이 있다.

예

부선 표현

Lie 대수표현의 가장 기본적인 예는 Lie 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 부선표현이다.

${\displaystyle {\textrm {ad}:{\mathfrak{g}\to {\mathfrak{g})({\mathfrak {g}),\quad X\mapsto \operatorname {ad} _{X}\quad \operatorname {ad} _{X}(Y)=[X,Y].}$

실제로 자코비 정체성의 덕택에$$ad {\$displaystyle \operatorname$ {ad$}}$은(는$$) 리 대수동형이다.

최소 Lie 그룹 표현

거짓말 대수표현도 자연에서 일어난다. If ${\displaystyle \phi }$: G → H is a homomorphism of (real or complex) Lie groups, and ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ and ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ are the Lie algebras of G and H respectively, then the differential ${\displaystyle d_{e}\phi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak$정체성의 접선 공간에$$대한$$ {$h}}$은(는) 리 대수 동형성이다. 특히 유한차원 벡터 공간 V의 경우 Lie 그룹의 표현

${\displaystyle \phi :G\to \operatorname {GL}(V)\,}$

리 대수 동형성을 결정하다.

${\displaystyle d\phi :{\mathfrak {g}\to {\mathfrak {g}(V)}$

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$부터 일반 선형 그룹 GL(V)의 Lie 대수, 즉 V의 내형성 대수까지.

예를 들어, c ${\displaystyle g_{}}$ (${\displaystyle {}_{}x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle g}$ x ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$. ${\displaystyle 그}$ 다음 c${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle G}$→ G ${\displaystyle c_{g}$의 차등분.$G\to G}$ at the identity is an element of ${\displaystyle \operatorname {GL} ({\mathfrak {g}})}$. Denoting it by ${\displaystyle \operatorname {Ad} (g)}$ one obtains a representation ${\displaystyle \operatorname {Ad} }$ of G on the vector space ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. This is the adjoint representation of G. Applying the preceding, one gets the Lie algebra representation ${\displaystyle d\operatorname {Ad} }$. It can be shown that ${\displaystyle d_{e}\operatorname {Ad} =\operatorname {ad} }$, the adjoint representation of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

이 진술에 대한 부분적인 반론은 모든 유한차원(실제 또는 복합) Lie 대수적 표현은 관련 단순하게 연결된 Lie 집단의 독특한 표현으로 상승하여 단순하게 연결된 Lie 집단의 표현은 그들의 Lie Algebra의 표현과 일대일 일치한다고 말한다.^[1]

양자물리학에서

양자 이론에서, 사람들은 힐버트 공간의 자기 적응 연산자인 "관찰자"를 고려한다. 이러한 운영자들 사이의 통신 관계는 그 때 중요한 도구가 된다. 예를 들어, 각운동량 연산자는 정류 관계를 만족한다.

${\displaystyle [L_{x},$$L_{y}]=i\hbar L_{z}\;\;;$$[L_{y},L_{z}]=i\hbar L_{x},\;\;[L_{z},L_{x}]=i\hbar$L_${y$

따라서 이 세 연산자의 스팬은 리 대수학(Lie 대수학)을 형성하며, 이는 리 대수학(Lie 대수학)에 이형성이므로 회전 그룹 SO(3)의 리 대수학(Lie 대수학)에 해당된다.^[2] $그런{\displaystyle }$ 다음 V ${\displaystyle V}$이(가) 각운동량 연산자 아래에서 불변하는 양자 힐버트 공간의 하위 공간이라면 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$이(가) Lie 대수 so(3)의 표현을 구성하게 된다$$. so(3)의 표현 이론에 대한 이해는 예를 들어 수소 원자처럼 회전 대칭으로 해밀턴인을 분석하는 데 큰 도움이 된다. 많은 다른 흥미로운 리알헤브라는 양자 물리학의 다른 부분에서 발생한다. 실제로 표현 이론의 역사는 수학과 물리학의 풍부한 상호작용이 특징이다.

기본개념

불변 서브 스페이스 및 무효화

Given a representation ${\displaystyle \rho :{\mathfrak {g}}\rightarrow \operatorname {End} (V)}$ of a Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, we say that a subspace ${\displaystyle W}$ of ${\displaystyle V}$ is invariant if ${\displaystyle \rho (X)w\in W}$ for all ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle w\in W}$ $및{\displaystyle }$ X$$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ ${\$ X$\in {\mathfrak {g$ 불변 $서브스페이스$가 V ${\displaystyle V}$ 그 자체이고$$ 0 공간 $\{{\displaystyle }$ ${\displaystyle 0\}}${\$displaystystyle \{0\}$일 경우 0}일 경우 0}이면 영점이라고 한다$.$ 단순 모듈이라는 용어는 또한 되돌릴 수 없는 표현을 위해 사용된다.

동형성

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$을(를) Lie 대수학으로 삼는다. V, W를 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ {$g}$ - modules로$$ 한다. 그런 다음 선형 지도 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle V}$→ W ${\displaystyle f:$$V\to W}$ is a homomorphism of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-modules if it is ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-equivariant; i.e., ${\displaystyle f(X\cdot v)=X\cdot f(v)}$ for any ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}},\,v\in V}$. If f is bijective, ${\di$$splaystyle V,W}$은(는) 동등하다고 한다. 이러한 지도는 뒤얽힌 지도나 형태론이라고도 한다.

마찬가지로 추상 대수학에서 모듈 이론의 다른 많은 구성들은 하위 모듈, 지수, 하위 수량, 직접 합계, 요르단-홀더 시리즈 등 이 설정으로 이어진다.

슈르의 보조정리

해석할 수 없는 표현을 연구하는 데 간단하지만 유용한 도구는 슈르의 보조정리법이다. 두 부분으로 나뉜다.^[3]

• V, W가 수정할 수 $없는{\displaystyle \mathfrak{}}$ g ${\$ -modules$$ 및 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle V}$→ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f:$$V\to W}$은(는) 동형식이고, 그 다음 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(는) 0이거나 이형식이다.
• V가 대수적으로 닫힌 필드 위에 $있는{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{수정}}$ $불가능$한 g$${\$displaystyle${\$mathfak$ {g} -모듈이고$$f$$ : V${\displaystyle }$→ V ${\displaystyle f:$$V\to V}$은(는) 동형상이고, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(는) 정체성의 스칼라 배수다.

완전 환원성

V는 Lie $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$ g$${\$displaystyle${\$mathfrak{g}}}$의 표현으로 하자$.$ 그러면 V는 이형화되지 않은 표현(cf. semisimply module)의 직접적인 합에 이형화되면 완전히 축소(또는 반실행) 가능하다고 한다. V가 유한한 차원일 경우 V의 모든 불변 하위공간이 불변보충을 가질 경우에만 V는 완전히 환원될 수 있다.(즉, W가 불변 하위공간이라면 V가 W와 P의 직접합인 또 다른 불변 하위공간 P가 있다.)

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$이$$ 특성 0의 영역에 대한 유한 차원 반 구현 Lie 대수이고 V가 유한 차원이라면 V는 반 구현, 이것이 Weyl의 완전 환원성 정리다.^[4] 따라서 반실행형 리알헤브라의 경우, 불가해한(즉, 간단한) 표현의 분류는 즉시 모든 표현의 분류로 이어진다. 이 특별한 속성을 가지고 있지 않은 다른 Lie 대수학의 경우, 되돌릴 수 없는 표현을 분류하는 것은 일반적인 표현을 분류하는 데 큰 도움이 되지 않을 수 있다.

Lie 대수학은 부선표현이 반이행되면 축소된다고 한다. 확실히 모든 (마지막 차원) 반시 구현 Lie 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$${g$$}$은(는) 우리가 방금 언급한 바와$$ 같이 $모든{\displaystyle \mathfrak{}}$ g ${\$mathfrak {$g}$은(는) 완전히 축소 가능하기$$ 때문에 축소된다. 다른 방향에서 환원성 Lie 대수학의 정의는 비종교적 하위이상이 없는 이상(즉, 부선표현의 불변성 하위공간)의 직접적인 합으로 분해되는 것을 의미한다. 이러한 이상들 중 일부는 일차원적일 것이고 나머지는 단순한 리 알헤브라스일 것이다. 따라서 환원형 Lie 대수학은 정류형 대수학과 반실행형 대수학의 직접적인 합이다.

불변제

V의 요소 V는 모든 $x{\displaystyle }$∈ ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ ${\$$displaystyle {\mathfak {g}$에 $대해{\displaystyle \mathfrak{}}$$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$ v${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x\cdot v=0}$이면 g {\$displaysty x\in {\mathfak$ {$g}}$이라고 한다$.$ 모든 불변 요소 집합은 $V{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {g\mathfrak{}}^{}}$ ${\$로 표시된다$.$

기본 구성

표현 텐서 제품

만일₁ 우리가 V와₂ V를 기본 벡터 공간으로 하여 Lie $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$ g$${\$displaystyle${\$mathfak{g$의 두 가지 표현을 가지고 있다면, 그 표현들의 텐서 제품은 V ⊗ V를₂ 기본₁ 벡터 공간으로 가지고, $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ {$g}$의 작용은 다음과 같은 가정에 의해 고유하게$$ 결정된다.

${\displaystyle X\cdot(v_{1}\otimes v_{2}=(X\cdot v_{1})\otimes v_{2}+v_{1}}\time (X\cdot v_{2}).}$

모든 v ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ V ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$및$$ $v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 2 ${\$$2$}}.

동형체 언어에서 이것은 공식으로$by$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \rho \mathfrak{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$: g${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathfrak{g}}$ l (${\displaystyle {V\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$ V ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho_{2}}}}}\mathfrak$ {$g}\mathfrac$ {$g}}}(V_{1$}\$otimes V_$}){2$}){2$}}}}}}}

${\displaystyle (\rho _{1}\otimes \rho _{2})(X)=\rho _{1}(X)\otimes \mathrm {I} +\mathrm {I} \otimes \rho _{2}(X)}$.^[5]

물리학 문헌에서 신분 연산자를 가진 텐서 제품은 표기법에서 억제되는 경우가 많은데, 그 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle }$(${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\rho \mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$2 )${\displaystyle }$( X )${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1{}_{}}$1${\displaystyle }$(${\displaystyle }$X ) + ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$2 ( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle (\rho _{1}\otimes \rho \{2})(X)=\rho _{1}(X)+\rho _{2}(X)}$,

여기서 $\rho {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \rho _{1}(x)}$이(가) 텐서 제품의 첫 번째 요인에 작용하고$$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle \rho _{2}(x)}$이(가) 텐서 제품의 두 번째 요인에 작용한다고$$ 이해된다. 리 대수 su(2)의 표현 맥락에서 표현상의 텐서 산출물은 "각운동량의 추가"라는 이름으로 진행된다. 이 맥락에서 $\rho {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle \rho _{1}(X)}$이(${\displaystyle 가}$) 궤도 각도 모멘텀이 될 수 있고$$, ${\displaystyle {\rho \mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle \rho _{2}(X)}$이(가) 회전 각도 모멘텀이 될 수 있다.

이중표현황

Let ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ be a Lie algebra and ${\displaystyle \rho :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V)}$ be a representation of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Let ${\displaystyle V^{*}}$ be the dual space, that is, the space of linear functionals on $$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$그러면 공식으로$$ 표현 representation${\displaystyle {}^{}\rho \mathfrak{}}$ : g${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathfrak{g}}$ l ${\displaystyle ({}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$) ${\displaystyle \rho^{*}}}\mathfrak {g}\$오른쪽 $화살표 {\mathfrak {gl}(V^{*})}$을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \rho ^}{*(X)=-(\rho(X)^{\operatorname {tr}}},}$

여기서 연산자 $A{\displaystyle :}$ ${\displaystyle V}$→ V ${\displaystyle A:$$V\오른쪽$ 화살표 V$},$ 전치 $연산자$ $A{\displaystyle {}^{}}$ tr${\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle {}^{}{\mathrm{tr}}^{}}$ → V $∗${\$displaystyle$ A$^{\operatorname {tr}:$$V^{*}\오른쪽$ 화살표 $V^{*}}$는 "$A{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ A$\}"$ $연산자$로 정의된다.

${\displaystyle(A^{\operatorname {tr}}}\phi )(v)=\phi(Av)}$

The minus sign in the definition of ${\displaystyle \rho ^{*}}$ is needed to ensure that ${\displaystyle \rho ^{*}}$ is actually a representation of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, in light of the identity ${\displaystyle (AB)^{\operatorname {tr} }=B^{\operatorname$${tr} }A^{\operatorname {tr} }}$

만약 우리가 어떤 기준으로 작업한다면, 위의 정의에서 전치하는 것은 일반적인 전치행렬로 해석될 수 있다.

선형 지도에 표현

$V{\displaystyle }$, ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V,W}$을(를) $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ -modules$$, $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$을(를) Lie 대수학으로 한다$$. Then ${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)}$ becomes a ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-module by setting ${\displaystyle (X\cdot f)(v)=Xf(v)-f(Xv)}$. In particular, ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\math$$frak {g}}(V,W)=\operatorname {Hom} (V,W)^{\mathfrak {g}}}$; that is to say, the ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-module homomorphisms from ${\displaystyle V}$ to ${\displaystyle W}$ are simply the elements of ${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)}$ that are invariant under the just-defined action of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ on ${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)}$. If we take ${\displaystyle W}$ to be the base field, we recover the action of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ on ${\displaystyle V^{*}}$ given in the previous subsection.

반실현 리알헤브라의 표현 이론

Semisimply Li Algebras의 표현 이론을 참조하십시오.

알헤브라를 감싸는 것

필드 k의 각 $Lie{\displaystyle \mathfrak{}}$ 대수 g ${\$에 $대해{\displaystyle \mathfrak{}}$ g ${\$의 범용 봉합 대수라고 $하는{\displaystyle }$ 특정 링과 U(g${\displaystyle }$) ${\displaystyfrak${g}을$({\$mathfak {$g})$를 연결할 수 있다$.$ 범용포함대수의 보편적 특성은 g ${\$의 모든 표현은 U$$ $){\displaystyle$ U $({\mathfrak$ {$g}}}}$을(를) 표현하도록 보장한다$.$ $반대$로 PBW 정리하면 g ${\$이${\displaystyle }$$U$ (${\displaystyle g\mathfrak{}}$}}}}}}}}}에 위치한다는 것을 알 수 있다.${\displaystyle )}$ ${\displaystyle U({\mathfrak{g$의 모든 표현을 ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ ${\$$U({\$$mathfrak {g$로 제한할 수 있도록$$. $따라서{\displaystyle \mathfrak{}}$ g ${\${$g$$}$의 표현과$$ $U{\displaystyle (g}$) ${\displaystyle$ U$({\$mathfak {$g})$의 표현 사이에는 일대일 일치성이 있다$.$

보편적 포락 대수학은 위에서 설명한 반실행 리 알헤브라의 대표이론에 중요한 역할을 한다. 구체적으로는, 유한차원 불가해한 표현은 베르마 모듈의 인수로, 베르마 모듈은 만능포함대수의 인수로 구성된다.^[6]

$U{\displaystyle }$( ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle$ U$({\mathfak{g}})}$의 시공은 다음과$$ 같다.^[7] T를 벡터 공간 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 텐서 대수로 한다. Thus, by definition, ${\displaystyle T=\oplus _{n=0}^{\infty }\otimes _{1}^{n}{\mathfrak {g}}}$ and the multiplication on it is given by ${\displaystyle \otimes }$. Let ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ be the quotient ring of T by the ideal generated by elements of the form

${\displaystyle [}$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle ]}$-${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle Y}$- Y ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle [X,Y]-(X\otimes Y-Y\otimes X$

$T$→ ${\displaystyle U}$( $){\displaystyle$${g}$의 지수 지도를 1도로$$ 제한하여 얻은$$ $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$$displaystyle U ({\mathfak$ {g}}에서$$ $U{\displaystyle }$$({\mathfrak$ {$g})$까지 ${\displaystyle 자연\mathfrak{}}$ 선형 지도가 있다. PBW 정리는 표준지도가 실제로 주입형이라는 것을 암시한다. Thus, every Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ can be embedded into an associative algebra ${\displaystyle A=U({\mathfrak {g}})}$in such a way that the bracket on ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ is given by ${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$ in ${\displaystyle$$A}$.

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$이(가) 아벨리안이라면 $U{\displaystyle }$(${\displaystyle g}$) ${\displaystyle U({\mathfak$ {$g})$는 벡터 공간 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 대칭 대수인 것이다$.$

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$은(는) 부선표현을 통해 자체 모듈이기 때문에, 부선표현을 확장하여 봉합 대수 $U{\displaystyle }$$($$){\$$displaystyle$ $U$$({\mathfak{g})$ $-module$이 된다. But one can also use the left and right regular representation to make the enveloping algebra a ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-module; namely, with the notation ${\displaystyle l_{X}(Y)=XY,X\in {\mathfrak {g}},$$Y\in U({\mathfrak {g$ 매핑 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle l_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ X$\mapsto l_{X}})$는 $U{\displaystyle }$(${\displaystyle g}$) ${\displaystyle U({\mathfrak {g})}$에 g ${\displaystystystyle$ {$g}$의 표현을 정의한다$.$ 올바른 정규 표현은 유사하게 정의된다.

유도표현

특성 0과 $h{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ ${\$$mathfrak{g}$의 분야에 $걸쳐서{\displaystyle \mathfrak{}}$ g ${\$$displaystyle {\mathfrak {h}\subset {\mathfrak {g}}$을(를) 유한 차원 Lie 대수로 한다$$. ${\displaystyle U({\mathfrak {h}})}$ acts on ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ from the right and thus, for any ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$-module W, one can form the left ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$-module ${\displaystyle U({\m$$atsfrak {g})\otimes _{U({\mathfrak {h})}$$W{\displaystyle \mathfrak{}}$$\}.$ ${\displaystyle {\mathrm{Ind}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {h\mathfrak{}}_{}^{}g}$ W ${\displaystyle \operatorname$ {$Ind} _{\mathfrak{h}^{\mathfrak{g}W}$가 가리키는$$ $g$ ${\$ {$g}$ -module$$}이다. 모든 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ -module$$ E에 대해 범용 속성을 충족(실제 특성)

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathfrak {g}}(\operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}W,E)\simeq \operatorname {Hom} _{\mathfrak {h}}(W,\operatorname {Res} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}E)}$.

또한 ${\displaystyle {\mathrm{Ind}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {h\mathfrak{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle g_{\mathfrak{}}^{}}$ ${\$$}^{\mathfrak {h}$ -mathfrak$$ {$g}$ -module의 $범주$에서 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\${\$mathfak {$g$$} -modules의 범주로 정확한 functor이다$$. These uses the fact that ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ is a free right module over ${\displaystyle U({\mathfrak {h}})}$. In particular, if ${\displaystyle \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}W}$ is simple (resp. absolutely simple), then W is simple (resp. absolu아주 간단하다 여기에서 $모든{\displaystyle \mathfrak{}}$ 필드 확장자 F/${\$$displaystyle$ {$g$$}$에 대해 V${\displaystyle {}_{}}vk{\displaystyle }$ k ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ V$\otimes _{k}F}$가 단순하다면$$ g ${\$$displaystyle F/k$ -module$$ V는 절대적으로 단순하다.

유도는 타동적이다: ${\displaystyle \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}\simeq \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h'}}^{\mathfrak {g}}\circ \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {h'}}}$ for any Lie subalgebra ${\displaystyle {\mathfrak {h'}}\subset {$$\mathfrak{g}}$ 및$$ 모든 Lie subalgebra $h{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {\mathfrak{}}^{}}$ ′ h ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ {$h}\subset {\mathfrak$ {$h$ The induction commutes with restriction: let ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$ be subalgebra and ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ an ideal of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ that is contained in ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$. Set ${\displaystyle {\mathfrak{g}}_1=\mathfrak{g}/\mathfrak{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}={\mathfrak {g}}/{\mathfrak {n}}}$ and ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{1}={\mathfrak {h}}/{\mathfrak {n}}}$. Then ${\displaystyle \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}\circ \ope$$ratorname {Res} _{\mathfrak {h}\simeq \operatorname {Res} _{\mathfrak {g}\circule \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h_}^{\mathfrak {g_{1$}:{1}:{1}:{1}:{1$\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}.$

무한 차원 표현 및 "범주 O"

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$특성 0의 영역에 걸쳐 유한차원 반실행 Lie 대수학으로$$ 하자. (해결가능하거나 영약적인 경우, 포락 대수학의 원시적 이상을 연구한다; cf. Dixmier의 최종 계정)

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$에 대한 (잠재적으로 무한 차원) 모듈의 범주는 특히 호몰로지 대수법이 유용하기엔 너무 큰 것으로 판명되었다$$. 즉, 0특성의 반실행 사례에서 더 작은 하위 범주 O가 표현 이론에 더 적합한 장소라는 것을 깨달았다. 예를 들어, 범주 O는 유명한 BGG 상호주의를 공식화하기에 적절한 크기인 것으로 밝혀졌다.^[8]

(g,K)-모듈

Lie 대수표현의 가장 중요한 적용 중 하나는 실제 환원형 Lie 그룹의 표현 이론에 대한 것이다. 이 애플리케이션은 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi}$이(가) 연결된 실제 semism linear Lie 그룹 G의 Hilbert-space 표현일$$ 경우 $복합화{\displaystyle \mathfrak{}}$ g ${\$과(와) 연결된 최대 콤팩트 하위 그룹 K의 두 가지 자연 동작을 갖는다는 생각에 기초한다. ${\displaystyle \pi }$의 g ${\mathfrak {g}$ -module$$ 구조는 대수학적으로 특히 호몰로지 방법을 적용할 수 있고$$, $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$ -module$$ 구조는 연결된 콤팩트한 반이 구현 Lie 그룹에서와 유사한 방식으로 조화분석을 수행할 수 있다.

대수적 표현

만약 우리가 Lie superalgebra L을 가지고 있다면, 대수에서 L의 표현은 Z₂ 등급 벡터 공간으로서의 L을 나타내는 (상호 연관성이 없는) Z₂ 등급 대수 A이고, 게다가 L의 요소들은 A에서 파생/항지화 역할을 한다.

구체적으로는 H가 L의 순수한 원소이고 x와 y가 A의 순수한 원소라면

H[xy] = (H[x]y + (-1)^xHx(H[y])

또한 A가 단비라면

H[1] = 0

이제, Lie 대수표현의 경우, 우리는 모든 등급과 (-1)을 일부 전력 요인에 떨어뜨린다.

거짓말(super)알지브라는 대수학이며, 자기자신을 잘 표현하고 있다. 이것은 대수학에 대한 표현이다: (안티)탈분화 특성은 초자코비 정체성이다.

만약 벡터 공간이 연관 대수학이고 리 대수학 둘 다이며, 리 대수학의 조정표현 자체가 대수학상의 표현이라면(즉, 연관 대수 구조에 대한 파생에 의한 작용) 포아송 대수학이다. Lie superalgebras에 대한 유사한 관찰은 Poisson superalgebra의 개념을 제공한다.

참고 항목

• 거짓말 그룹의 표현
• 무게(표현 이론)
• 완전 환원성에 대한 바일의 정리
• 루트 시스템
• 웨일 문자식
• 연결된 컴팩트 리 그룹의 표현 이론
• 화이트헤드의 보조정리(리알헤브라스)
• 카즈단-루지그 추측
• Quillen의 보조정리 - Schur의 보조정리 아날로그

메모들

참조

• 번스타인 I.N, Gelfand I.M, Gelfand S.I, "최고 무게의 벡터에 의해 생성되는 표현 구조," 기능적. 항문. 응용. 5 (1971)
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• Knapp, Anthony W. (2002), Lie Groups Beyond and Introduction (second ed.), Birkhauser

추가 읽기

• Ben-Zvi, David; Nadler, David (2012). "Beilinson-Bernstein localization over the Harish-Chandra center". arXiv:1209.0188v1 [math.RT].