헤세 구성

Hesse configuration
4개의 선(점 3×3 배열의 4개의 깨진 대각선)이 곡선으로 그려진 헤세 구성

기하학에서 콜린 마클라우린이 도입하고 헤세(1844년)가 연구한 헤세 구성은 9점 12선이며,[1] 선당 3점, 각 점을 통과하는 4개의 선이 있다.타원곡선의 변곡점 집합으로서 복잡한 투영면에서 실현될 수 있지만, 유클리드 평면에서는 실현이 없다.

설명

헤세 구성은 3개 원소의 영역에 걸쳐 부속 평면의 선과 점과 동일한 발생 관계를 가진다.즉, 헤세 구성의 지점은 순서형 수문 쌍으로 식별할 수 있으며, 구성의 선은 선형 방정식 도끼 + by = c(모드 3)를 만족하는 점의 3배(x, y)로 식별할 수 있다.또는 구성의 지점은 틱택토 보드의 정사각형으로 식별할 수 있으며 선은 보드의 선과 파손된 대각선으로 식별할 수 있다.

각 점은 4개의 선에 속한다: 구성의 틱 타크 발가락 해석에서, 한 선은 수평이고, 한 선은 수직이며, 두 선은 대각선 또는 깨진 대각선이다.각 선에는 세 개의 점이 포함되어 있으므로, 구성 언어에서 헤세 구성은 912라는43 표기법을 가지고 있다.

헤세 구성의 자동형 집단은 순서 216을 가지며 헤시안 집단으로 알려져 있다.

관련 구성

헤세 구성에서 어떤 한 지점과 그 네 개의 사건 라인을 제거하면 88형식의33 또 다른 구성인 뫼비우스-칸토르 구성이 생성된다.[2][3][4]

헤세 구성에서 12개 선은 평행(비교차) 선의 4개 세 쌍으로 분류할 수 있다.헤세 구성에서 단일 삼중고에 속하는 세 개의 선을 제거하면 유형 99인33 파푸스 구성이 생성된다.[3][4]

헤세 구성은 차례로 3개 요소 영역에 걸쳐 투영 평면의 점 세트와 선 세트인 타입 1313의44 구성을 형성하기 위해 비간격 선의 각 삼중마다 1개씩 4개 점, 그리고 4개의 새로운 점을 포함하는 선 하나를 추가하여 증강될 수 있다.

실현 가능성

헤세 구성은 복잡한 투영면에서 타원곡선의 9개 변곡점과 변곡점의 3배를 통해 12개의 선으로 실현될 수 있다.복합 평면에서 주어진 9개의 점이 타원곡선 C의 변곡선 집합이라면, C와 Hese 연필인 C의 Hesian 곡선 C에 의해 생성된 곡선의 연필에 있는 모든 곡선의 변곡선 집합이기도 하다.[5]

헤시안 다면체는 복잡한 평면에서 헤세 구성을 나타낸 것이다.

헤세 구성은 뫼비우스-칸토르 구성과 복잡하게 실현되지만 유클리드 평면에서 점 및 직선으로 실현되지 않는 특성을 공유한다.헤세 구성에서, 모든 두 지점은 구성의 선(실베스터-갈라이 구성의 정의 속성)에 의해 연결되며, 따라서 두 지점의 두 지점을 통과하는 모든 선은 세 번째 점을 포함한다.그러나 유클리드 평면에서 모든 유한한 점 집합은 공선이거나 선에 세트의 다른 점이 포함되지 않은 점 쌍을 포함한다. 이것이 실베스터-갈라이 정리다.헤세 구성은 실베스터-갈라이의 정리에 불복하기 때문에 유클리드식의 실현이 없다.이 예는 또한 실베스터-갈라이 정리가 복잡한 투영 평면에 일반화될 수 없음을 보여준다.그러나 복잡한 공간에서는 헤세 구성과 모든 실베스터-갈라이 구성이 2차원 평면 하위 공간 내에 있어야 한다.[6]

참조

  1. ^ Hesse, O. (1844), "Über die Elimination der Variabeln aus drei algebraischen Gleichungen vom zweiten Grade mit zwei Variabeln" (PDF), Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (in German), 28: 68–96, doi:10.1515/crll.1844.28.68, ISSN 0075-4102.
  2. ^ Dolgachev, Igor V. (2004), "Abstract configurations in algebraic geometry", The Fano Conference, Univ. Torino, Turin, pp. 423–462, arXiv:math.AG/0304258, MR 2112585.
  3. ^ a b Coxeter, H. S. M. (1950), "Self-dual configurations and regular graphs", Bulletin of the American Mathematical Society, 56 (5): 413–455, doi:10.1090/S0002-9904-1950-09407-5.
  4. ^ a b Cullinane, Steven H. (2011), Configurations and squares.
  5. ^ Artebani, Michela; Dolgachev, Igor (2009), "The Hesse pencil of plane cubic curves", L'Enseignement Mathématique, 2e Série, 55 (3): 235–273, arXiv:math/0611590, doi:10.4171/lem/55-3-3, MR 2583779.
  6. ^ Elkies, Noam; Pretorius, Lou M.; Swanepoel, Konrad J. (2006), "Sylvester–Gallai theorems for complex numbers and quaternions", Discrete and Computational Geometry, 35 (3): 361–373, arXiv:math/0403023, doi:10.1007/s00454-005-1226-7, MR 2202107.