관련 없는 대안의 독립성

이항 독립^[1] 또는 독립 공리라고도 알려진 관련 없는 대안(IIA)의 독립은 의사결정 이론과 다양한 사회과학의 공리이다. 그 용어는 여러 맥락에서 다른 의미로 사용된다. 항상 합리적인 개별 행동이나 개인 선호의 집계에 대한 설명을 제공하려고 하지만, 정확한 공식은 언어와 정확한 내용 모두에서 크게 다르다.

아마도 그 공리를 이해하는 가장 쉬운 방법은 그것이 투표에 어떻게 관련되는지일 것이다. 거기서 공리는 찰리(관련없는 대안)가 밥(런너업)보다 앨리스(리더)가 더 좋아한 앨리스(리더)와 함께 앨리스(런너업)의 경주에 들어가면 앨리스보다 찰리를 덜 좋아하는 개인 유권자가 앨리스에서 밥으로 표를 바꾸지 않을 것이라는 것이다. 이 때문에 IIA의 위반은 흔히 "스포일러 효과"라고 일컬어지는데, 찰리에 대한 지원은 앨리스 선거를 "거품"하는 반면, 그것이 "논리적으로" 가져서는 안 된다. 결국 앨리스는 밥보다 더 좋아졌고, 찰리는 앨리스보다 덜 좋아졌다.

집단적 의사결정 맥락에서 공리는 보다 정제된 형태를 취하며, 콘도르셋 방법, 기브바드-사터스와이트 정리, 화살 불가능성 정리 등과 수학적으로 밀접하게 결부되어 있다. 그들은 모두 순위 세트들 사이의 순환 전공과 관련이 있고, 관련된 증명들은 같은 기본 형태를 취한다. 행동경제학은 인간에 의해 일반적으로 위반되는 공리를 보여주었다.

IIA의 많은 형태들

개별 선택 이론에서 IIA는 때때로 체르노프의 상태나 센의 α(알파)를 가리킨다: 만일 대안 x가 세트 T에서 선택되고, x도 T의 부분 집합 S의 요소라면, 그 다음 x는 S에서 선택해야 한다.^[2] 즉, 일부 비협조적인 대안들을 없애는 것이 최선의 선택으로 x를 선택하는 데 영향을 미치지 않아야 한다.

사회적 선택 이론에서 Arrow의 IIA는 Arrow의 불가능성 정리의 조건 중 하나로, 특정 다른 합리적인 조건 외에 IIA를 만족시키는 개별 순위 선호("보테")를 종합하는 것은 불가능하다고 명시하고 있다. 화살표는 다음과 같이 IIA를 정의한다.

대안 x와 y 사이의 사회적 선호도는 x와 y 사이의 개별 선호에만 의존한다.^[3]

사회적 선택 이론에서 IIA는 다음과 같이 정의된다.

주어진 유권자 선호인 A, B 및 사용할 수 없는 제3의 대안 X에 대한 투표 규칙에 의해 선택 세트 {A,B} 중 B보다 A를 선택한 경우, X에 대한 선호만 변경된다면, 투표 규칙이 B를 A보다 선택하도록 유도해서는 안 된다.

투표 이론에서 이것은 종종 투표 방법에 의해 야기되는 비뚤어진 인센티브 때문에 발생한다. 그러나 사실 사람들은 심리적인 이유로도 그 공리를 위반한다.

예를 들어, 미시경제학에서 공리는 드러난 선호와 정형화된 기악적 합리성의 이론과 더욱 연결되어 있다. 신고전주의 경제학에서는 일반적으로 틀의 기본적이고 예측 가능한 부분으로서, 그리고 이론적으로 네덜란드 서적들이 일어나는 것을 막는 것으로 간주된다. 그러나 경험적으로 불건전하거나 기껏해야 살아 있는 인간의 행동에 대한 조잡한 근사치 중 하나이기 때문에, 그 공리는 계속해서 활발한 논쟁을 불러일으키고 있다. 한 사람이 이성적이 되기 위해서는 공리를 준수해야 한다는 것이 더 이상 주장될 수 있기 때문에, 즉 공리를 도덕 철학과 공리의 문제라고도 할 수 있다.

투표이론

투표 시스템에서 무관한 대안으로부터의 독립성은 흔히 한 명의 후보(X)가 선거에서 승리하고, 새로운 후보(Y)가 투표에 추가되면 X나 Y가 승리하는 것으로 해석된다.

유권자가 선거에서 이용할 수 있는 대안을 알고 있는 것과 별개로 후보를 개별적으로 그리고 독립적으로 평가한다고 가정할 경우, 찬성 투표, 범위 투표, 다수결 심판은 IIA 기준을 만족시킨다. 이 가정은 오직 두 가지 대안만을 가진 선거에서 의미 있는 선호를 가진 일부 유권자들이 투표권이 거의 없거나 아예 없는 표를 던지거나 혹은 기권해야 한다는 것을 암시한다. 선호도를 가진 유권자가 적어도 기권하지 않거나, 자신이 가장 좋아하는 후보와 가장 싫어하는 후보를 각각 상위와 하위 등급으로 투표하지 않을 가능성이 있다고 가정할 경우, 이 제도는 IIA에 불합격한다. 이러한 조건 중 하나를 허용하는 것만으로 실패가 발생한다. 또 다른 기본 시스템인 누적 투표는 어느 하나의 가정과 관계없이 기준을 충족시키지 못한다.

기독 사례에 대한 대안적 해석은 투표용지 자체가 IIA(즉, 투표 후 투표용지 변경)를 통과하지만 내부 유권자 선호(즉, 투표용지가 만들어진 맥락 변경)는 통과하지 못한다는 것이다. 성실성을 전제로 순위표에서의 순위 정보와 유권자의 선호 순서가 같기 때문에 이러한 구분이 이루어지지 않고 순위표 두 집합 모두 1과 동일하다고 가정한다. 추기경 투표 시나리오에서 선거의 맥락과 선호의 상대적 강도는 (절대 척도가 아닌) 특정 추기경 투표로 이어지는 것이기 때문에, 그 맥락을 바꾸면 투표용지가 바뀔 것이다. 이 해석에 따르면, 기표지의 정보는 상대적 비교 척도를 나타내기 때문에 유권자들이 절대적 규모로 각 후보를 독립적으로 평가하는 투표를 한다고 가정할 필요가 없다. 이러한 해석은 개인이 추기경 비교 평가에 어떻게 반응하는가에 의해 실증적으로 뒷받침된다.^[4][5]

IIA의 위반을 예시하는 일화는 시드니 모겐베서(Sidney Morgenbesser)의 소행으로 전해진다.

저녁 식사를 마친 후, 시드니 모겐베서는 디저트를 주문하기로 결심한다. 웨이트리스는 그에게 애플파이와 블루베리파이의 두 가지 선택이 있다고 말한다. 시드니는 애플파이를 주문한다. 몇 분 후에 웨이트리스가 돌아와서 그들은 체리파이를 먹었다고 말하는데, 그 때 Morgenbesser는 "그럴 경우 나는 블루베리 파이를 먹겠다"고 말한다.

모든 투표 시스템은 전략적인 공천 고려사항에 어느 정도 내재된 민감성을 가지고 있다. 어떤 사람들은 투표 시스템이 복제 기준의 만족하기 쉬운 독립성에 실패하지 않는 한 이러한 고려사항들은 덜 심각하다고 생각한다.

지역독립

H가 제안한 IIA보다 약한 기준. 페이튼 영과 A. Levenglick은 관련 없는 대안으로부터의 지역적 독립이라고 불린다.^[6] LIIA는 다음 두 가지 조건이 모두 항상 유지되도록 요구한다.

• 만약 꼴찌에서 끝난 옵션이 모든 투표에서 삭제된다면, 나머지 옵션의 종료 순서는 변경되지 않아야 한다. (승자는 바뀌면 안 된다.)
• 모든 투표에서 승리 옵션이 삭제될 경우 나머지 옵션의 종료 순서는 변경되지 않아야 한다. (2위로 마친 옵션이 승자가 되어야 한다.)

LIIA를 표현하는 동등한 방법은 옵션의 하위 집합이 결승 순서에 따라 연속적인 위치에 있는 경우, 다른 모든 옵션이 투표에서 삭제될 경우 상대적인 결승 순서는 변경되지 않아야 한다는 것이다. 예를 들어 3위, 4위, 5위를 제외한 모든 옵션을 삭제하면 3위를 마친 옵션이 반드시 이기고, 4위가 2위, 5위가 3위를 해야 한다.

LIIA를 표현하는 또 다른 동등한 방법은 두 가지 옵션이 연속적으로 결승 순서에 따라 결정되는 경우, 그 두 가지 옵션을 제외한 모든 옵션이 투표에서 삭제되면 더 높은 점수를 받은 쪽이 승리해야 한다는 것이다.

LIIA는 IIA의 만족도가 LIIA의 만족을 의미하기 때문에 IIA보다 약하지만, 그 반대의 경우도 아니다.

LIIA는 IIA보다 약한 기준(즉, 만족하기 더 쉽다)임에도 불구하고 극히 소수의 투표 방법으로 만족하고 있다. 여기에는 케메니 영과 랭킹 페어가 포함되지만 슐제는 포함되지 않는다. IIA와 마찬가지로, 찬성 투표, 범위 투표, 다수결 등의 등급 평가 방법에 대한 LIIA 준수는 유권자가 다른 대안을 아는 것과 무관하게 각 대안을 개별적이고 독립적으로 평가한다는 가정을 절대적 규모로(선거 전에 보정됨) 요구한다.두 명의 후보자 선거에서 유리한 선호는 반드시 기권할 것이다.

IIA 비판

IIA는 대안이 두 가지밖에 없는 한 대부분 기준과 양립할 수 없다.

후보자 A, B, C가 3명이고, 유권자의 선호도는 다음과 같은 시나리오를 생각해 보자.

유권자의 25%가 B보다 A를 선호하고, B가 C보다 선호한다(A>B>C)

유권자의 40%는 C보다 B를, C는 A보다 선호한다(B>C>A)

유권자의 35%가 A보다 C를 선호하고, A가 B보다 (C>A>B)

(이러한 것들은 투표가 아닌 선호도들이기 때문에 투표방법과 무관하다.)

A보다 75%가 C를, 65%가 C보다 B를, 60%가 B보다 A를 선호한다. 이러한 사회적 비타협성의 존재는 투표의 역설이다. 투표 방식과 실제 투표와 관계없이 고려해야 할 경우는 다음 세 가지에 불과하다.

• 사례 1: A가 선출되었다. IIA는 B가 후보가 아닌 경우 A보다 C를 선호하는 75%가 C를 선출하기 때문에 위반된다.
• 사례 2: B가 선출되었다. IIA는 C가 후보가 아닌 경우 B보다 A를 선호하는 60%가 A를 선출하기 때문에 위반된다.
• 사례 3: C가 선출되었다. IIA는 A가 후보가 아닌 경우 C보다 B를 선호하는 65%가 B를 선출하기 때문에 위반된다.

실패를 보여주기 위해, 기권보다는 두 명의 후보자만 있을 때, 다수의 유권자들이 선호되는 후보에게 최소한 긍정적인 표를 던질 수 있다고 가정할 뿐이다. 대부분의 순위 투표 방법과 다원성 투표는 다수결 기준을 만족하므로 위의 예에 의해 자동으로 IIA에 불합격된다. 한편, 찬성 및 범위 투표에 의한 IIA의 통과는 특정한 경우에 다수 유권자는 투표에서 반드시 제외되어야 한다(대안들 사이에 의미 있는 선호도를 가지고 있음에도 불구하고, 그들은 두 후보 경선에서 반드시 기권해야 하는 것으로 가정된다).

그래서 IIA가 바람직하다고 하더라도 그 만족을 요구하는 것은 유권자들 중 한 사람을 독재자로 취급하는 것과 같은 어떤 다른 방법으로도 바람직하지 않은 투표 방법만을 허용하는 것으로 보인다. 따라서 어떤 투표 방법이 완벽한 것이 아니라 어떤 투표 방법이 가장 좋은지를 찾는 것이 목표여야 한다.

IIA 자체가 바람직하지 않다는 주장이 나올 수 있다. IIA는 A가 B보다 나은지 여부를 결정할 때 C에 대한 유권자의 선호도에 대한 정보는 무관하며 차이를 만들어서는 안 된다고 가정한다. 그러나 선택지가 두 개뿐일 때 다수결로 이어지는 휴리스틱은 한 선택지가 다른 선택지보다 낫다고 생각하는 사람의 수가 많을수록 다른 모든 선택지가 평등할 가능성이 크다는 것이다(콘도르케트의 쥬리 정리 참조). 두 후보 중 어느 후보가 더 나은지, 다른 모든 후보가 평등한지, 따라서 다수결 원칙을 사용하는지에 대해서는 다수결이 반대 소수보다 옳을 가능성이 더 높다.

같은 휴리스틱은 다수가 클수록 자기들이 옳을 가능성이 높다는 것을 암시한다. 그것은 또한 둘 이상의 다수가 있을 때, 더 큰 중요성이 작은 중요성보다 더 옳을 가능성이 더 높다는 것을 암시하는 것 같다. 그렇다고 가정하면 A보다 C를 선호하는 75%와 B를 선호하는 65%가 B보다 A를 선호하는 60%보다 옳을 가능성이 높으며, 3대 주체가 모두 옳을 수 없기 때문에 (B보다 A를 선호하는) 소수가 틀릴 가능성이 높고, 반대 소수보다 옳을 가능성이 적다. A가 B보다 나은지 아닌 C에 대한 유권자들의 선호도에 대한 추가 정보는 이것이 다른 모든 것이 같지 않은 상황이라는 강한 암시를 준다.

사회적 선택으로

Kenneth Arrow로부터,^[7] 사회의 각각의 "포터" i는 사회적 선택 대상인 x, y, z를 가장 단순한 경우에서 높은 경우에서 낮은 순서로 순위를 매기는 명령 R을_i 가지고 있다. 집계 규칙(투표 규칙)은 유권자 선호(순서)의 각 프로파일이나 튜플(R₁, ...,R_n)을 x, y, z의 사회적 선호(순위)를 결정하는 사회 순서 R에 차례로 매핑한다.

Arrow의 IIA는 한 쌍의 대안이 (동일한 선택 세트에 걸쳐) 두 개의 선호 프로파일에서 동일한 방식으로 순위가 매겨질 때마다 집계 규칙이 두 프로파일에 걸쳐 이러한 대안의 순서를 정해야 한다고 요구한다.^[8] 예를 들어 집계 규칙이 다음에 의해 제공된 프로파일에서 위의 b 순위를 매긴다고 가정해 보십시오.

• (acbd, dbac)

(즉, 첫 번째 개인은 첫 번째, c 두 번째, b 세 번째, d 마지막을 선호하고, 두 번째 개인은 d 첫 번째, ... 및 c 마지막을 선호한다.) 그런 다음 IIA를 만족하는 경우 다음 세 가지 프로파일에서 b 이상의 순위를 매겨야 한다.

• (abcd, bdca)
• (abcd, bacd)
• (acdb, bcda).

마지막 두 가지 형태의 프로파일(두 가지를 맨 위에 배치하고, 두 개를 맨 위와 맨 아래에 배치)은 IIA와 관련된 이론의 입증에 특히 유용하다.

Arrow의 IIA는 이 글의 상단에 있는 이것과 다른 것과 유사한 IIA를 의미하거나 반대로 의미하지 않는다.^[9]

그의 책 첫 판에서 애로우스는 배려 세트에서 선택을 없애는 것을 고려함으로써 IIA를 잘못 해석했다. 그는 선택 대상 중에서 가설에 의해 실현 가능하고 실현 불가능한 것으로 명시되는 대상을 구분했다. Consider two possible sets of voter orderings (${\displaystyle R_{1}}$, ...,${\displaystyle R_{n}}$ ) and (${\displaystyle R_{1}'}$, ...,${\displaystyle R_{n}'}$) such that the ranking of X and Y for each voter i is the same for ${\displaystyle R_{i}}$ and ${\$$디스플레이$ 스타일 $R_{i}'}$. 투표 규칙은 그에 상응하는 사회질서를 생성한다. 이제 X와 Y는 실현 가능하지만 Z는 실현 불가능하다고 가정하자(예: 후보가 투표용지에 없거나 사회 상태가 생산가능성 곡선을 벗어남). 화살표는 'R과 R'이 실현 가능한 집합(X, Y)에서 같은 (상위) 사회적 선택을 선택하는 투표 규칙을 요구했고, 이 요건은 두 순서에서 X와 Y에 비해 실현 불가능한 Z의 순위가 무엇이든 유지하도록 했다. IIA는 이용 가능한 세트(투표에서 후보)에서 대안(removing)을 허용하지 않으며, 그러한 경우 어떤 일이 일어날지에 대해서는 아무 말도 하지 않는다. 즉, 모든 옵션은 "실효성이 있는" 것으로 가정한다.

예

보르다 카운트

보르다 카운트 선거에서는 5명의 유권자가 5개의 대안[A, B, C, D, E]을 차지한다.

3명의 유권자가 [A>B>C>D>E]의 순위를 차지하고 있다. 1명의 유권자가 [C>D>E>B>A]의 순위를 매긴다. 1명의 유권자가 [E>C>D>B>A]의 순위를 매긴다.

보르다 카운트(a=0, b=1): C=13, A=12, B=11, D=8, E=6. C가 이긴다.

이제 [C]D>E>B>A]의 순위를 매기는 유권자는 대신 [C>B>A]의 순위를 매기고, [E>C>D>B>A의 순위를 매기는 유권자는 대신 [E>C>B>A]의 순위를 매긴다. 그들은 [B, D], [B, E], [D, E] 쌍에 대해서만 선호도를 변경한다.

새로운 보르다 카운트: B=14, C=13, A=12, E=6, D=5. B가 이긴다.

사회적 선택으로 [B, A]와 [B, C]의 순위가 바뀌었다. 사회적 선택 순위의 변화는 선호 프로파일의 관련 없는 변화에 따라 달라진다. 특히, 지금은 유권자 어느 누구도 [B, C]보다 선호도를 바꾸지 않았음에도 불구하고, B가 C 대신에 승리한다.

보르다 카운트 및 전략 투표

A, B, C 세 명의 후보가 있고, 유권자가 두 명밖에 없는 선거를 생각해 보라. 각 투표자들은 선호도 순으로 후보자들의 순위를 매긴다. 유권자 선호도에서 가장 높은 순위의 후보에게는 2점, 두 번째로 높은 1, 가장 낮은 순위의 후보가 주어지며, 후보자의 전체 순위는 총점에 따라 결정되며, 가장 높은 순위의 후보가 승리한다.

두 가지 프로파일 고려:

• 프로파일 1과 2에서 첫 번째 투표자는 BAC 순서로 자신의 표를 던지기 때문에 B는 2점, A는 1점, C는 이 유권자로부터 0점을 받는다.
• 프로파일 1에서 두 번째 유권자는 ACB를 투표하므로 A는 완전히 승리한다(총 점수: A 3, B 2, C 1)
• 프로파일 2에서 두 번째 유권자는 ABC를 투표하므로 A와 B가 동점이 된다(총 점수: A 3, B 3, C 0).

따라서 두 번째 유권자가 A가 당선되기를 바란다면 C와 B에 대한 실제 의견과 상관없이 ACB에 투표하는 것이 좋다. 이는 C와 B에 대한 유권자의 비교의견이 A의 당선 여부에 영향을 미치기 때문에 '관련없는 대안으로부터의 독립'이라는 생각을 위반하는 것이다. 두 프로파일에서 모두 B에 대한 A의 순위는 유권자별로 동일하지만 B에 대한 A의 사회적 순위는 다르다.

코프랜드

이 예는 코프랜드의 방법이 IIA를 위반한다는 것을 보여준다. 다음과 같은 선호도를 가진 유권자 6명과 함께 4명의 후보 A, B, C, D를 가정해 보십시오.

결과는 다음과 같이 표로 표시된다.

• [X]는 열 캡션에서 해당 후보를 열 캡션에서 선호한 유권자를 가리킨다.
• [Y]는 열 캡션의 후보자보다 행 캡션의 후보자를 선호한 유권자를 나타낸다.

결과: A는 2승 1패를 기록하고 있는 반면, 패배 이상의 승리는 다른 후보가 없다. 따라서 A는 Copeland 우승자로 선출된다.

관련 없는 기본 설정 변경

이제 모든 유권자들이 A와 D의 순서를 바꾸지 않고 B와 C보다 D를 높일 것이라고 가정해보자. 유권자의 선호도는 다음과 같다.

결과는 다음과 같이 표로 표시된다.

결과: D는 세 상대 모두를 상대로 승리한다. 따라서 D는 코프랜드 우승자로 선출된다.

결론

유권자들은 B, C, D보다 선호 순서만 바꿨다. 이에 따라 D와 A의 결과 순서가 달라졌다. A에 대한 유권자들의 선호도에 변화가 없이 A는 승자에서 패자로 바뀌었다. 따라서 코프랜드의 방법은 IIA 기준에 어긋난다.

즉석 결선투표

즉석 결선 투표에서 5명의 유권자가 3가지 대안[A, B, C]을 차지한다.

2명의 유권자가 [A]B>C의 순위를 차지한다. 2명의 유권자가 [C>B>A]의 순위를 차지하고 있다. 1명의 유권자는 [B]A]C의 순위를 매긴다.

1라운드: A=2, B=1, C=2; B가 탈락했다. 2라운드: A=3, C=2; A가 이긴다.

이제, [C]B>A의 순위를 매기는 두 명의 유권자는 대신 [B]C>A의 순위를 매긴다. 그들은 B와 C보다 선호만 바꾼다.

1라운드: A=2, B=3, C=0; B가 과반수 득표로 승리한다.

[A, B]의 사회적 선택 순위는 관련 없는 대안보다 선호도에 따라 결정된다.

케메니영법

이 예는 케메니-이것을 보여준다.젊은 방법은 IIA 기준을 위반한다. 유권자 7명의 후보 A, B, C 3명과 다음과 같은 선호도를 가정해 보자.

더 케메니-젊은 방법은 다음 집계표에 쌍 비교 카운트를 정렬한다.

가능한 모든 랭킹의 랭킹 점수는 다음과 같다.

결과: 랭킹 A > B > C가 랭킹 점수가 가장 높다. 따라서 A는 B와 C에 앞서 승리한다.

관련 없는 기본 설정 변경

자, 선호도가 B > C > A인 두 유권자(대담한 것으로 표시됨)가 B와 C 쌍에 대한 선호도를 바꿀 것이라고 가정해보자. 그러면 유권자의 선호도는 총 다음과 같을 것이다.

더 케메니-젊은 방법은 다음 집계표에 쌍 비교 카운트를 정렬한다.

가능한 모든 랭킹의 랭킹 점수는 다음과 같다.

결과: 랭킹 C > A > B가 랭킹 점수가 가장 높다. 따라서 A와 B보다 C가 먼저 이긴다.

결론

두 유권자는 B와 C에 대한 선호만 바꾸었으나, 이로 인해 A와 C의 순서가 달라져 A에 대한 유권자의 선호도 변화 없이 승자에서 패자로 바뀌는 결과를 낳았다. 따라서 케메니 영 방법은 IIA 기준에 어긋난다.

미니맥스

이 예는 미니맥스 방법이 IIA 기준을 위반한다는 것을 보여준다. 다음과 같은 선호를 가진 4명의 후보 A, B, C와 13명의 유권자를 가정해 보자.

모든 선호도가 엄격한 순위(동등한 순위는 없음)이기 때문에, 세 가지 미니맥스 방법(승점표, 득표율, 득표율, 반대 쌍방향) 모두 동일한 당첨자를 선출한다.

결과는 다음과 같이 표로 표시된다.

• [X]는 열 캡션에서 해당 후보를 열 캡션에서 선호한 유권자를 가리킨다.
• [Y]는 열 캡션의 후보자보다 행 캡션의 후보자를 선호한 유권자를 나타낸다.

결과: A가 가장 큰 패배를 했다. 따라서 A는 미니맥스 우승자로 선출된다.

관련 없는 기본 설정 변경

이제 선호도가 B > A > C인 두 유권자(대담한 것으로 표시됨)가 A와 C 쌍에 대한 선호도를 바꾼다고 가정해 보자. 그러면 유권자의 선호도는 총 다음과 같을 것이다.

결과는 다음과 같이 표로 표시된다.

결과: 이제 B는 가장 큰 패배를 맛봤다. 따라서 B는 미니맥스 우승자로 선출된다.

결론

그래서 일부 유권자의 선호도에 따라 A와 C의 순서를 바꾸면서 결과에서 A와 B의 순서가 달라졌다. B에 대한 유권자들의 선호도에 변화가 없이 B는 패배자에서 승자로 바뀐다. 따라서 Minimax 방법은 IIA 기준을 충족하지 못한다.

다원투표제

복수 투표 시스템에서 7명의 유권자가 3개의 대안(A, B, C)을 차지한다.

• 유권자 3명(A>B>C)
• 유권자 2명(B>A>C)
• 유권자 2명(C>B>A)

선거에서는 처음에는 A와 B만 출마하는데, B는 A의 3에 4표를 얻어 승리하지만, C가 경주에 참여하면 A가 새로운 승자가 된다.

A와 B의 상대적 위치는 "관련되지 않은" 대안인 C의 도입으로 역전된다.

순위 쌍

이 예는 순위 쌍 방법이 IIA 기준을 위반한다는 것을 보여준다. 다음과 같은 선호를 가진 후보 A, B, C와 7명의 유권자를 가정해 보자.

결과는 다음과 같이 표로 표시된다.

승부의 분류된 목록은 다음과 같다.

결과: A > B > B > C는 (그리고 C > A는 그 후에 잠글 수 없음)으로 되어 있으므로, 전체 순위는 A > B > C이다. 따라서, A는 순위 쌍의 승자로 선출된다.

관련 없는 기본 설정 변경

자, 선호 B > C > A를 가진 두 유권자(대담한 것으로 표시됨)가 B와 C 쌍에 대한 선호도를 바꾼다고 가정해 보자. 그러면 유권자의 선호도는 총 다음과 같을 것이다.

결과는 다음과 같이 표로 표시된다.

승부의 분류된 목록은 다음과 같다.

결과: 세 결투가 모두 잠겨 있으므로 전체 순위는 C > A > B이다. 따라서, 콘도르셋 우승자 C는 랭킹 페어 우승자로 선출된다.

결론

그래서 두 유권자는 B와 C에 대한 선호를 바꿈으로써 A와 C의 순서를 바꾸어 A에 대한 유권자의 선호를 조금도 바꾸지 않고 승자에서 패자로 A를 돌리게 되었다. 따라서 순위 쌍 방법은 IIA 기준을 충족하지 못한다.

슐체법

이 예는 슐체 방법이 IIA 기준을 위반한다는 것을 보여준다. 다음과 같은 선호도를 가진 4명의 후보 A, B, C, D와 12명의 유권자를 가정해 보자.

쌍방향 환경설정은 다음과 같이 표로 작성된다.

이제 가장 강한 경로를 파악해야 하는데, 예를 들어 D > A > B는 직접 경로 D > B(무결점이기 때문에 무효가 된다)보다 강하다.

결과: 전체 순위는 C > D > A > B이다. 따라서 C는 슐체 수상자로 선출되고 D는 A보다 선호된다.

관련 없는 기본 설정 변경

자, 선호 C > B > D > A를 가진 두 유권자(대담한 것으로 표시)가 B와 C 쌍에 대한 선호도를 바꾼다고 가정해 보자. 그러면 유권자의 선호도는 총 다음과 같을 것이다.

따라서 쌍방향 환경설정은 다음과 같이 표로 작성될 것이다.

이제 가장 강력한 경로를 파악해야 한다.

결과 : 이제 전체 순위는 A > B > C > D 입니다. 따라서 A는 슐체 수상자로 선출되어 D보다 선호된다.

결론

그래서 두 유권자는 B와 C에 대한 선호를 바꿈으로써 A와 D의 순서를 바꿔 A에 대한 유권자의 선호를 조금도 바꾸지 않고 패배자에서 승자로 A를 돌리게 되었다. 따라서 슐제 방법은 IIA 기준에 부합하지 않는다.

2원형 시스템

이 기준을 충족하지 못한 2라운드 체제가 될 가능성이 있는 예는 2002년 프랑스 대통령 선거였다. 이번 선거를 앞두고 실시된 여론조사에서 중도 우파인 자크 시라크 후보와 중도 좌파인 리오넬 조스팽 후보가 결선투표에 나설 것으로 예상돼 왔다. 그러나 1차 투표에서는 결선투표에서 조스팽을 지지하려던 좌파 후보 등 유례없는 16명의 후보가 경쟁해 결국 시라크가 큰 표차로 이긴 조스팽 대신 극우 후보인 장마리 르펜이 2위로 결승에 진출하고 결선투표에 진출했다. 따라서 선거에서 승리할 의사가 없었던 많은 후보들의 존재는 어느 후보가 승리할 것인가를 변화시켰다.

IIA 가정에 대한 비판

IIA는 다른 옵션을 추가하거나 세 번째 옵션의 특성을 변경하는 것은 고려된 두 옵션 사이의 상대적 승산에 영향을 주지 않는다는 것을 암시한다. 이러한 함축적 의미는 유사한 옵션을 가진 애플리케이션에는 현실적이지 않다.

Daniel McFadden으로 인한 빨간색 버스/블루 버스 예를 생각해 보십시오.^[10] 통근자 John Doe는 차와 빨간 버스를 타는 것 사이에서 결정을 앞두고 있다. 그가 (날씨나 변덕 때문에) 주어진 날짜에 동일한 확률로 이 두 가지 옵션 중에서 선택한다고 가정하자. 그러면 승용차와 빨간색 버스 사이의 오즈비는 1:1이다. 이제 세 번째 대안을 추가하라: 파란색 버스. 도씨가 버스 색상을 신경 쓰지 않는다면, 우리는 자동차의 확률은 0.5인 반면, 두 버스 타입의 확률은 0.25가 될 것으로 예상할 수 있다. 하지만 IIA는 그것을 배제한다. 그것은 새로운 선택이 자동차와 빨간색 버스 사이의 1:1의 승산비를 변화시켜서는 안 된다고 말한다. 도의 색깔에 대한 무관심은 빨간색과 파란색의 버스 확률이 같아야 하기 때문에, 새로운 확률은 자동차 0.33, 빨간 버스 0.33, 파란 버스 0.33이어야 한다.^[11] 자동차 여행의 전체적인 확률은 0.5에서 33으로 떨어졌는데 이는 터무니없는 것이다. IIA 공리의 문제는 빨간색 버스와 파란색 버스가 완벽한 대체품이라는 사실을 전혀 고려하지 않는다는 것이다.^[12]

이러한 가정이 실패한 것은 실무에서도 관찰된 바 있는데, 예를 들어 영국에서 열린 2019년 유럽 선거 여론 조사에서도 그러하다. 한 조사에서 잠재적 유권자의 21%가 선택할 수 있는 소규모 반브렉시트 정당이 3개 있는 시나리오에서는 노동당에 대한 지지를 표명했지만, 이들 3개 정당 중 2개 정당이 후보를 지지하지 않는 시나리오에서는 노동당에 대한 지지가 18%^[13]로 떨어졌다. 이는 최소 3%의 잠재적 유권자가 선호도가 낮은 정당이 중도 하차했을 때 선호하는 정당에 대한 지지를 중단했다는 것을 의미한다.

계량학에서

IIA는 다항 로짓과 계량학에서 조건부 로짓 모델의 기초가 되는 가정들의 직접적인 결과물이다. 만약 이러한 모델이 실제로 독립성을 침해하는 상황(예: 선호도가 사이클링을 나타내는 다중andidate 선거 또는 위에 제시된 레드 버스/블루 버스 예를 모방하는 상황)에 사용된다면, 이러한 추정기들은 무효가 된다.

많은 모델 발전은 IIA에 의해 제기된 우려를 완화하려는 욕구에 의해 동기 부여되었다. 일반화된 극단값,^[14] 다항 프로빗(조건부 프로빗이라고도 함) 및 혼합 로짓은 IIA를 완화하는 명목상의 결과에 대한 모델이지만, 그들은 종종 충족하기 어렵거나 계산적으로 실현 불가능한 자신의 가정을 가지고 있다. IIA는 계층적 모델을 지정하여 선택 대안의 순위를 매김으로써 완화될 수 있다. 이 중 가장 인기 있는 것은 내포 로짓 모델이다.^[15]

일반화된 극단값과 다항 프로빗 모델은 다른 속성인 Invariant Probit of Substitution을 가지고 있는데,^[16] 이는 유사한 반직관적 개별 선택 행동을 시사한다.

불확실한 상태의 선택

폰 노이만과 모겐스터른의 기대 효용 이론에서, 네 개의 공리는 함께 개인이 효용 함수의 기대 가치를 최대화하는 것처럼 위험 상황에서 행동한다는 것을 암시한다. 공리 중 하나는 IIA 공리와 유사한 독립 공리다.

${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \prec }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \,L\prec M$인 경우 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \,N}$ 및$$ ${\displaystyle p\in (}$0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \,p\in (0,1])$의 경우$,$

${\displaystyle \,pL+(1-p)N\prec pM+(1-p)N,}$

여기서 p는 확률로, pL+(1-p)N은 L을 양보할 확률 p와 N을 양보할 확률(1-p)을 가진 도박을 의미하며, ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \prec }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \,L\prec M}$은 L보다 M을 선호한다는 것을 의미한다. 이 공리는 한 결과(또는 복권) L이 다른 결과(M)보다 좋지 않은 것으로 간주될 경우, N이 아닌 L을 받을 확률 p를 갖는 것은 N이 아닌 M을 받을 확률 p를 갖는 것만큼 좋지 않은 것으로 간주된다는 것이다.

자연에서

2014년 1월에 발표된 한 연구에 따르면 자연 선택은 가끔씩 식량의 이용가능성에 기인한다고 생각되는, 동물들의 비 IIA형 선택을 선호할 수 있다.^[17]

참고 항목

• 스미스가 지배하는 대안의 독립
• 루스의 선택 공리
• 확실성 원칙
• 메뉴 의존성
  • 데코이 효과
  • 예측 가능한 비이성적#상대성 이론의 진실

각주

참조

• Arrow, Kenneth Joseph (1951). Social Choice and Individual Values (1st ed.). Wiley.
• Arrow, Kenneth Joseph (1963). Social Choice and Individual Values (2nd ed.). Wiley.
• Kennedy, Peter (2003). A Guide to Econometrics (5th ed.). MIT Press. ISBN 978-0-262-61183-1.
• Maddala, G. S. (1983). Limited-Dependent and Qualitative Variables in Econometrics. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-78241-9.
• Ray, Paramesh (1973). "Independence from Irrelevant Alternatives". Econometrica. 41 (5): 987–991. doi:10.2307/1913820. JSTOR 1913820. IIA의 다양한 공식화 간에 항상 인식되지 않는 차이를 논의하고 추론한다.

추가 읽기

• Callander, Steven; Wilson, Catherine H. (July 2006). "Context-dependent voting". Quarterly Journal of Political Science. Now Publishing Inc. 1 (3): 227–254. doi:10.1561/100.00000007.
• Steenburgh, Thomas J. (2008). "The Invariant Proportion of Substitution Property (IPS) of Discrete-Choice Models" (PDF). Marketing Science. 27 (2): 300–307. doi:10.1287/mksc.1070.0301. Archived from the original (PDF) on 2010-06-15.