통합형 시스템

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수학에서 적분성은 특정 동적 시스템의 특성입니다.비공식적으로 말하면, 몇 가지 명확한 공식 정의가 있는 반면, 적분 가능 시스템은 충분히 많은 양의 보존된 동적 시스템 또는 첫 번째 적분이다. 따라서 그것의 행동은 그것의 위상 공간의 차원보다 훨씬 적은 자유도를 가진다; 즉, 그것의 진화는 그것의 p 내의 하위 매니저폴드로 제한된다.해시 공간

통합 가능한 시스템의 ^[1]특성화에는 다음 세 가지 기능이 있습니다.

• 보존량의 최대 집합의 존재(완전한 적분성의 통상적인 정의 속성)
• 대수기하학의 기초를 가진 대수불변의 존재(때로는 대수적분성으로 알려진 특성)
• 명시적 기능적 형태(본질적인 속성이 아니라 종종 용해성이라고 불리는 것)의 해법 명시적 결정

통합형 시스템은 보다 일반적인 혼돈 시스템인 보다 일반적인 동적 시스템과 질적 특성이 매우 다른 것으로 볼 수 있다.후자는 일반적으로 보존된 양이 없으며, 초기 조건에서 임의로 작은 섭동이 충분히 큰 시간에 걸쳐 궤적에 임의로 큰 편차를 초래할 수 있기 때문에 점근적으로 다루기 어렵다.

따라서 완전한 통합성은 동적 시스템의 비장기적 특성입니다.그럼에도 불구하고, 물리학에서 연구된 많은 시스템들은 완전히 통합 가능하며, 특히 해밀턴의 의미에서는 다차원 고조파 발진기가 주요 예입니다.또 다른 표준 예는 하나의 고정된 중심(예: 태양) 또는 두 개의 행성 운동이다.다른 기본적인 예로는 질량의 중심을 중심으로 하는 강체의 움직임(오일러 꼭대기)과 대칭 축의 한 점을 중심으로 한 축 대칭 강체의 움직임(라그랑주 꼭대기)이 있다.

1965년 마틴 크루스칼과 노먼 자부스키가 솔리톤을 수치적으로 발견하면서 현대 적분계 이론이 부활했고, 1967년 역산란 변환법이 탄생했다.얕은 물파의 일부 모델(Korteweg-de Vries 방정식), 비선형 슈뢰딩거 방정식으로 설명되는 광섬유의 커 효과 및 토다 격자와 같은 특정 통합 가능한 다체 시스템과 같은 무한한 자유도를 가진 물리학에 완전히 통합 가능한 시스템이 있다는 것이 실현되었다.

해밀턴 시스템의 특별한 경우, 흐름 매개변수가 불변 수준 집합(라그랑지안 편차의 잎)에서 좌표계 역할을 할 수 있을 만큼 충분한 독립적 포아송 통근 첫 적분이 있고, 흐름이 완전하고 에너지 수준 집합이 콤팩트하다면, 이는 Liouville-Arnold th를 의미한다.즉, 작용 각도 변수의 존재.일반적인 동적 시스템에는 이러한 보존량이 없습니다. 자율 해밀턴 시스템의 경우 일반적으로 에너지가 유일하며 에너지 수준 집합에서는 흐름이 일반적으로 혼돈합니다.

적분 가능한 시스템을 특징짓는 핵심 요소는 국소적으로 최대 적분 다지관에 의한 편차를 갖는 경우, 시스템이 적분할 수 있다는(즉, 적분할 수 있는 분포에 의해 생성됨) 것을 나타내는 프로베니우스 정리이다.그러나 동적 시스템이라는 의미에서 통합성은 로컬이 아닌 글로벌 속성입니다.왜냐하면 잎의 서브매니폴드가 내장된 규칙적인 것이 필요하기 때문입니다.

통합형 시스템은 반드시 폐쇄형식 또는 특수함수로 표현할 수 있는 솔루션을 가지고 있는 것은 아닙니다.현재의 의미에서 통합성은 위상공간에 있는 시스템 솔루션의 기하학적 특성 또는 토폴로지의 특성입니다.

일반적인 동적 시스템

미분 가능한 동적 시스템의 맥락에서, 적분성의 개념은 불변의 규칙적 종속성의 존재를 의미한다. 즉, 흐름 하에서 불변하는 가능한 가장 작은 차원의 하위 몰드가 포함된 잎이다.따라서 불변편차원의 차원에 따라 적분성의 정도에 대한 가변적 개념이 존재한다.이 개념은 Liouville(아래 참조)의 의미에서 완전한 적분성으로 알려진 해밀턴 시스템의 경우 개선되었으며, 이는 이 맥락에서 가장 자주 언급된다.

통합성 개념의 확장은 격자와 같은 이산 시스템에도 적용할 수 있다.이 정의는 미분 방정식 또는 유한 차분 방정식의 시스템인 진화 방정식을 설명하기 위해 적용될 수 있습니다.

통합 가능한 동적 시스템과 비통합 동적 시스템의 구별은 규칙적인 움직임 대 혼란스러운 움직임의 질적 의미를 가지며, 따라서 시스템이 정확한 형태로 명시적으로 통합될 수 있는지의 문제가 아니라 본질적인 특성이다.

Hamiltonian 시스템과 Liouville

Hamiltonian systems의 특별한 설정에서는 Liouville의 의미에서 적분성의 개념을 가지고 있습니다.(리우빌-아놀드 정리 참조).Liouville 적분성은 이탈의 불변과 관련된 해밀턴 벡터장이 접선 분포를 가로지르도록 불변 다지관에 의한 위상 공간의 규칙적인 이탈이 존재한다는 것을 의미한다.이를 설명하는 또 다른 방법은 포아송 통근 불변량의 최대 집합이 존재한다는 것이다(즉, 시스템의 해밀턴 대괄호가 있는 위상 공간의 함수, 그리고 서로 함께 사라짐).

유한 차원에서는 위상 공간이 심플렉틱한 경우(즉, 포아송 대수의 중심이 상수로만 구성되어 있음), 짝수 차원 $(\displaystyle 2n$이어야 하며 독립 포아송 통근 불변량(해밀턴 자체를 포함)의 최대 수는 n$(\displaystyle$ n$)$입니다.잎의 잎은 심플렉틱 형태에 대해 완전히 등방성이며 이러한 최대 등방성 잎을 라그랑지안이라고 한다.모든 자율 해밀턴 시스템(즉, 해밀턴과 포아송 괄호가 명시적으로 시간에 의존하지 않는 시스템)은 적어도 하나의 불변성을 가진다. 즉, 흐름을 따라 값이 에너지인 해밀턴 자체이다.에너지 수준 집합이 작을 경우, 라그랑지안 편차의 잎은 토리이며, 이들 위의 자연 선형 좌표는 "각도" 변수라고 불립니다.$표준{\displaystyle \mathrm{}}$ 1$(\displaystyle$1) - 양식의$$ 주기를 작용 변수라고 하며, 결과적으로 표준 좌표를 작용 각도 변수라고 합니다(아래 참조).

또한 Liouville의 의미에서 완전한 통합성과 부분적 통합성 사이에는 초통합성과 최대 초통합성의 개념이 있습니다.기본적으로, 이러한 구별은 잎의 치수와 일치한다.독립적인 포아송 통근 불변의 수가 최대값(단, 자율 시스템의 경우 하나 이상)보다 작을 때, 우리는 시스템이 부분적으로 통합될 수 있다고 말한다.포아송 통근할 수 있는 최대 수를 넘어 기능적으로 독립적인 불변량이 존재하며, 따라서 불변 편차의 차원이 n보다 작을 때, 우리는 시스템이 초적분이라고 말한다.만약 1차원적인 잎(곡선)을 가진 규칙적인 잎이 있다면, 이것은 최대 초적분성이라고 불립니다.

작용각 변수

유한 차원 해밀턴 시스템이 Liouville 의미에서 완전히 통합 가능하고 에너지 수준 집합이 콤팩트할 때 흐름은 완전하며 불변 편차의 잎은 토리이다.그리고 위에서 언급한 바와 같이, 작용 각도 변수라고 알려진 위상 공간에는 특별한 표준 좌표 집합이 존재하며, 따라서 불변 토리가 작용 변수의 결합 수준 집합이다.따라서 이들은 해밀턴 흐름(운동 상수)의 완전한 불변량을 제공하며 각도 변수는 토러스 상의 자연 주기 좌표이다.이러한 표준 좌표로 표현되는 불변 토리의 움직임은 각도 변수에서 선형이다.

해밀턴-야코비 접근법

정준 변환 이론에는 해밀턴-제이코비 방법이 있는데, 해밀턴 방정식에 대한 해밀턴-제이코비 방정식의 완전한 해답을 먼저 찾음으로써 해밀턴 방정식에 대한 해밀턴-제이코비 방법을 찾을 수 있다.고전 용어에서, 이것은 완전히 무시할 수 있는 변수로 구성된 표준 좌표 집합으로의 변환을 결정하는 것으로 설명된다. 즉, 완전한 표준 "위치" 좌표 집합에 대한 해밀턴의 의존성이 없는 것, 그리고 그에 상응하는 표준 공역 모멘타가 모두 보존된다.수량.콤팩트 에너지 레벨 세트의 경우, 이것은 작용 각도 변수를 결정하기 위한 첫 번째 단계이다.해밀턴-야코비 유형의 편미분 방정식의 일반 이론에서, 완전한 해(즉, n은 구성 공간의 차원인 n개의 독립적 적분 상수에 의존하는 해)는 매우 일반적인 경우에 존재하지만, 국소적인 의미에서만 존재한다.따라서, 해밀턴-야코비 방정식의 완전한 해답의 존재는 결코 리우빌의 의미에서 완전한 적분성의 특성이 아니다."명시적으로 통합"될 수 있는 대부분의 경우 변수의 완전한 분리가 수반되며, 여기서 분리 상수는 필요한 완전한 적분 상수 집합을 제공합니다.이러한 상수가 풀 위상 공간 설정 내에서 라그랑지안 잎으로 제한된 완전한 포아송 통근 함수 집합의 값으로 재해석될 수 있는 경우에만 시스템이 Liouville 의미에서 완전히 통합 가능한 것으로 간주될 수 있습니다.

솔리톤 및 역스펙트럼법

1960년대 후반 고전적 적분 시스템에 대한 관심이 되살아난 것은 Korteweg-de Vries 방정식 같은 편미분 방정식의 국소적이고 강력한 해법인 솔리톤이 얕은 분지의 1차원 비분산 유체 역학을 통해 이해될 수 있다는 발견과 함께였다.ese 방정식을 무한 차원 적분 가능한 해밀턴 시스템으로 사용합니다.그들의 연구는 관련된 적분 방정식의 해법을 통해 푸리에 분석과 같은 국소 선형 방법을 일반화하는 그러한 시스템, 역산란 변환 및 보다 일반적인 역스펙트럼 방법(종종 리만-힐베르트 문제로 환원 가능)을 "통합"하기 위한 매우 생산적인 접근으로 이어진다.

이 방법의 기본 개념은 위상 공간에서의 위치에 의해 결정되고 (적절하게 일반화되는 의미에서) "스펙트럼"이 진화 하에서 불변하도록 해당 시스템의 역학 하에서 진화하는 선형 연산자를 도입하는 것이다, cf느슨한 짝이를 통해 시스템을 완전히 통합할 수 있는 충분한 불변량 또는 "운동의 통합"을 제공할 수 있습니다.KdV 방정식과 같이 무한한 자유도를 가진 시스템의 경우, 이것은 Liouville 적분성의 정확한 속성을 만들기에는 충분하지 않습니다.그러나 적절하게 정의된 경계조건에 대해 스펙트럼 변환은 사실상 완전히 무시할 수 없는 좌표로의 변환으로 해석될 수 있으며, 여기서 보존된 양은 이중 무한 좌표 세트의 절반을 형성하고 흐름은 이들에서 선형화된다.어떤 경우, 이것은 작용 각도 변수로의 변환으로 보일 수 있지만, 일반적으로 제한된 수의 "위치" 변수만 실제로 각도 좌표이고 나머지는 비콤팩트이다.

히로타 쌍선형 방정식 및 $【{displaystyle\tau}$ - 함수$$】

는 적분 가능한 시스템은 상수 계수 방정식의 후에 τ{\displaystyle으로 알려져 왔다 보조 수량에 대한 두줄의 선의 시스템으로 최초의 비선형 동적 시스템을 교체해가 연루된 타산적인 접근 Ryogo Hirota,[2]에 의해 개척된에서 유래된의 근대 이론에 솟아올랐단다. 또 다른 관점이다. \tau $}$ - 기능$$.이것들은 현재 히로타 방정식이라고 불립니다.원래 계산 장치로만 나타났지만, 역산란 접근법이나 해밀턴 구조와는 명확한 관계가 없이, 이것은 솔리톤과 같은 중요한 종류의 해법을 도출할 수 있는 매우 직접적인 방법을 제공했습니다.

이어서, 이 아름답게, 미키오 Sato[3]었고 처음에 결심 및 실행의 Kadomtsev-Petviashvili 계층 같은 적분 가능한 계층의 경우이지만, 그럼 적분 가능한 계층의 훨씬 더 일반적 등급에 대한 students,[4][5]에 의해, 보편적인 위상 공간 접근법의 일반적으로, 통근 역학 같은 존재로 해석되었다. 있viewed는 단순히 (유한 또는 무한) 그래스만 다양체에서 고정된 (유한 또는 무한) 아벨 군 작용에 의해 결정된다.$§$ \$displaystyle \tau }$ - 함수는 그룹 궤도 요소에서 Grassmannian 내의 어떤 원점까지의 투영 연산자의 결정 인자로 간주되었으며 히로타 방정식은 적절히 정의된 투영 피사체(init)에서 Grassmannian의 플뤼커 매립을 특징짓는 플루커 관계를 나타내는 것으로 간주되었다.e) 페르미온 Fock 공간으로 보이는 외부 공간.

양자 적분 시스템

양자 통합 시스템의 개념도 있다.

양자 설정에서 위상 공간의 함수는 힐버트 공간의 자기접점 연산자로 대체되어야 하며, 포아송 통근 함수의 개념은 통근 연산자로 대체되어야 합니다.보존법의 개념은 지역 보존법에 ^[6]특화되어야 한다.모든 해밀턴 인은 에너지 고유 상태에 프로젝터에 의해 주어진 무한히 보존된 양의 집합을 가지고 있습니다.단, 이것은 특별한 동적 구조를 의미하는 것은 아닙니다.

양자 통합성을 설명하기 위해서는 자유 입자 설정을 고려하는 것이 도움이 됩니다.여기서는 모든 역학이 한 몸으로 환원됩니다.양자계는 동역학이 2체 환원 가능한 경우 적분할 수 있다고 한다.Yang-Baxter 방정식은 이러한 환원성의 결과이며 무한히 보존된 양의 집합을 제공하는 추적 동일성으로 이어집니다.이러한 모든 아이디어는 양자 역산란법에 통합되며, 여기서 대수적 베테 앤사츠는 명시적 해법을 얻기 위해 사용될 수 있다.양자 적분 모델의 예로는 Lieb-Liniger 모델, Hubbard 모델 및 하이젠베르크 ^[7]모델의 여러 변형이 있습니다.구동식 Tavis-Cummings ^[8]모델과 같이 명시적으로 시간에 의존하는 양자 문제에서 일부 다른 유형의 양자 통합성이 알려져 있다.

정확하게 해결 가능한 모델

물리학에서, 특히 무한 차원 환경에서는, 완전히 통합 가능한 시스템을 종종 정확히 해결 가능한 모델이라고 합니다.이것은 해밀턴적 의미의 통합성과 보다 일반적인 동적 시스템 감각의 차이를 모호하게 한다.

통계역학에는 고전적인 것보다 양자 적분 가능 시스템과 더 밀접한 관련이 있는 정확히 해결 가능한 모델도 있습니다.밀접하게 관련된 두 가지 방법: 현대적 의미에서 양-박스터 방정식에 기초한 베테 앤사츠 접근법과 양자 역산란법은 역스펙트럼 방법의 양자 유사점을 제공한다.이것들은 통계역학에서 해결 가능한 모델을 연구하는데 있어서도 마찬가지로 중요하다.

「정확한 해결 가능성」의 의미로서 「정확한 해결 가능성」의 부정확한 개념도, 「이전에 알려진 함수에 관해서 명시적으로 표현할 수 있다」라고 하는 의미로서, 우리가 우연히 이용할 수 있는 「알려진」함수를 가지는 순수 계산적 특징보다, 시스템 자체의 본질적인 속성인 것처럼, 때때로 사용됩니다.솔루션이 표현될 수 있습니다."알려진" 함수에 의해 의미되는 것은 종종 그것들이 주어진 방정식을 충족한다는 사실에 의해 정확하게 정의되기 때문에, 이러한 "알려진 함수"의 목록은 지속적으로 증가하고 있기 때문에, 이 개념은 본질적인 의미를 가지지 않습니다.이러한 "통합성"의 특성은 본질적인 타당성은 없지만, 종종 통합 가능한 시스템에서 ^{[citation needed]}예상되는 규칙성을 암시한다.

잘 알려진 일부 고전적 통합 시스템 목록

고전적 기계 시스템(유한 차원 위상 공간)

• n차원 고조파 발진기
• 중심력 운동(기존 중심력 문제의 정확한 해결책)
• 이심 뉴턴 중력 운동
• 타원체 측지 운동
• 노이만 발진기
• 라그랑주, 오일러, 코발렙스카야 탑
• 유체 내 통합형 Clebsch 및 Steklov 시스템
• 칼로제로-모저-서덜랜드 모형^[9]

적분 격자 모형

• 토다 격자
• 아블로위츠라딕 격자
• 볼테라 격자
• 코르테베그-드 브리스 방정식
• 사인-고든 방정식
• 비선형 슈뢰딩거 방정식
• AKNS 시스템
• Bousinesq 방정식(수파)
• 카마사-홀름 방정식
• 비선형 시그마 모형
• 고전 하이젠베르크 강자석 모델(스핀 체인)
• 고전적인 가우딘 스핀 시스템(가르니에 시스템)
• 카우프-쿠퍼슈미트 방정식
• 크리체버-노비코프 방정식
• 란다우-리프시츠 방정식(연속 스핀장)
• 벤자민-오노 방정식
• 데가스피리스-프로세시 방정식
• 다임 방정식
• 매시브 서링 모델
• 삼파 방정식

2차원 + 1차원 통합형 PDE

• 카돔체프-페트비아슈빌리 방정식
• 데이비-스튜어트슨 방정식
• 이시모리 방정식
• 노비코프-베셀로프 방정식
• 벨린스키-자하로프 변환은 아인슈타인 장 방정식에 대해 Lax 쌍을 생성한다; 일반적인 해는 중력 솔리톤이라고 불리며, 슈바르츠실트 측정법, 커 측정법 및 일부 중력파 해법이 그 예이다.

「 」를 참조해 주세요.

• 히친 방식

관련 영역

• 수리 물리학
• 솔리톤
• Painleve 초월자
• 통계역학
• 적분 알고리즘

주요 기여자(1965년 이후)

레퍼런스

• Arnold, V.I. (1997). Mathematical Methods of Classical Mechanics (2nd ed.). Springer. ISBN 978-0-387-96890-2.
• Audin, M. (1996). Spinning Tops: A Course on Integrable Systems. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 51. Cambridge University Press. ISBN 978-0521779197.
• Babelon, O.; Bernard, D.; Talon, M. (2003). Introduction to classical integrable systems. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511535024. ISBN 0-521-82267-X.
• Baxter, R.J. (1982). Exactly solved models in statistical mechanics. Academic Press. ISBN 978-0-12-083180-7.
• Dunajski, M. (2009). Solitons, Instantons and Twistors. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-857063-9.
• Faddeev, L.D.; Takhtajan, L.A. (1987). Hamiltonian Methods in the Theory of Solitons. Addison-Wesley. ISBN 978-0-387-15579-1.
• Fomenko, A.T. (1995). Symplectic Geometry. Methods and Applications (2nd ed.). Gordon and Breach. ISBN 978-2-88124-901-3.
• Fomenko, A.T.; Bolsinov, A.V. (2003). Integrable Hamiltonian Systems: Geometry, Topology, Classification. Taylor and Francis. ISBN 978-0-415-29805-6.
• Goldstein, H. (1980). Classical Mechanics (2nd ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9.
• Harnad, J.; Winternitz, P.; Sabidussi, G., eds. (2000). Integrable Systems: From Classical to Quantum. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2093-1.
• Harnad, J.; Balogh, F. (2021). Tau functions and Their Applications. Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press. doi:10.1017/9781108610902. ISBN 9781108492683. S2CID 222379146.
• Hietarinta, J.; Joshi, N.; Nijhoff, F. (2016). Discrete systems and integrability. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781107337411. ISBN 978-1-107-04272-8.
• Korepin, V. E.; Bogoliubov, N.M.; Izergin, A.G. (1997). Quantum Inverse Scattering Method and Correlation Functions. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-58646-7.
• Afrajmovich, V.S.; Arnold, V.I.; Il'yashenko, Yu. S.; Shil'nikov, L.P. Dynamical Systems V. Springer. ISBN 3-540-18173-3.
• Mussardo, Giuseppe (2010). Statistical Field Theory. An Introduction to Exactly Solved Models of Statistical Physics. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-954758-6.
• Sardanashvily, G. (2015). Handbook of Integrable Hamiltonian Systems. URSS. ISBN 978-5-396-00687-4.

추가 정보

• Beilinson, A.; Drinfeld, V. "Quantization of Hitchin's integrable system and Hecke eigensheaves" (PDF).
• Donagi, R.; Markman, E. (1996). "Spectral covers, algebraically completely integrable, Hamiltonian systems, and moduli of bundles". Integrable systems and quantum groups. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1620. Springer. pp. 1–119. doi:10.1007/BFb0094792. ISBN 978-3-540-60542-3.
• Sonnad, Kiran G.; Cary, John R. (2004). "Finding a nonlinear lattice with improved integrability using Lie transform perturbation theory". Physical Review E. 69 (5): 056501. Bibcode:2004PhRvE..69e6501S. doi:10.1103/PhysRevE.69.056501. PMID 15244955.

외부 링크

• "Integrable system", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "SIDE - 차분 방정식의 대칭성과 적분 가능성"은 적분 가능한 차분 방정식 및 관련 주제에 대한 ^[10]연구에 전념하는 컨퍼런스입니다.

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