세타 함수

수학에서 세타 함수는 여러 개의 복잡한 변수의 특수 함수입니다.그들은 아벨어의 다양성, 모듈리 공간, 2차 형태, 솔리톤을 포함한 많은 주제에서 나타납니다.그들은 그라스만 대수학으로 양자장 ^[1]이론에 등장합니다.

세타 함수의 가장 일반적인 형태는 타원 함수 이론에서 발생하는 것입니다.복소 변수 중 하나(통칭 z)와 관련하여, 세타 함수는 관련 타원 함수의 기간 추가와 관련하여 동작을 표현하는 특성을 가지고 있어 준주기 함수가 됩니다.추상 이론에서 이 준주기성은 하강 조건인 복소 토러스의 선다발의 코호몰로지 클래스에서 비롯됩니다.

열 방정식을 다룰 때 세타 함수에 대한 한 가지 해석은 "세타 함수는 특정 경계 ^[2]조건에 따라 세그먼트 도메인의 온도 진화를 설명하는 특수 함수"입니다.

${\displaystyle {이}^{}}$ 기사 전체에서${\displaystyle }$(${\displaystyle {\mathrm{e\pi i\tau }}^{}}$)$α{\$는 ^{[note 1]}($지점$ 선택 문제를 해결하기 위해) $▁{\{\alpha \piii\tau$}$$로 해석되어야 합니다.

야코비 세타 함수

Jacobi theta 함수라고 불리는 밀접하게 관련된 함수들이 몇 개 있고, 그것들을 위한 많은 상이하고 양립할 수 없는 표기 체계가 있습니다.하나의 야코비 세타 함수(칼 구스타프 야코비의 이름을 따서 명명됨)는 두 개의 복소수 z와 π에 대해 정의된 함수입니다. 여기서 z는 임의의 복소수이고 π는 반주기 비율이며, 이는 양의 가상 부분을 가지고 있다는 것을 의미합니다.그것은 공식에 의해 주어집니다.

$표시(\style{aligned}\vartheta(z;\filename)&=\sum _{n=-\infty}^{\infty}\exp \left(\piin^{2}\sum +2\piinz\right)\"q{n=1}^{\infty}\cos(2\piinfty)\cos(2)\cos(2\cos)\cos(2\"\&=\sum _{n=-\infty}^{\infty}q^{n^{2}}\eta^{n}\end{aligned}}}$

여기서 q = exp(πiτ)는 nom이고 η = exp(2µiz)입니다.그것은 자코비 형태입니다.이 제한은 절대 수렴 열임을 보장합니다.고정 π에서, 이것은 z의 1주기 전체 함수에 대한 푸리에 급수입니다.따라서 세타 함수는 z: 1주기 함수입니다.

$displaystyle \vartheta (z+1;\vartheta )=\vartheta (z;\vartheta)}$

제곱을 완성함으로써, z 단위로 π-준주기적이며, 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle \vartheta (z+\timeout;\timeout)=\exp \bigl (}-\pii(\timeout +2z){\bigr )}\vartheta (z;\timeout)}$

그러므로, 일반적으로,

${\displaystyle \vartheta (z+a+b\delays;\delays)=\exp \lefts\piib^{2}\delay -2\piibz\right)\vartheta (z;\delays)}$

임의의 정수 a와 b에 대하여.

임의의 고정된 π\displaystyle \tau에 대하여, 함수는 복소평면의 전체 함수이므로, 리우빌의 정리에 따르면, 상수가 아니면 1, π\displaystyle 1,\tau에서 이중 주기를 가질 수 없으며, 따라서 우리가 할 수 있는 최선은 1에서 주기를, π\displaystyle \tau에서 준주기를 만드는 것이다

그리고 () > {\$displaystyle \Im (\tau)$ > $0$ 함수${\displaystyle }\Delta {\displaystyle }$ ($z$ \$vartheta (z,\tau)$는 리우빌의 정리에서 요구하는 대로 무한합니다.

이 함수는 다음과 같은 ^[3]의미에서 2개의 준주기를 갖는 가장 일반적인 전체 함수입니다.

보조 기능

위에서 정의한 야코비 세타 함수는 때때로 세 가지 보조 세타 함수와 함께 고려되며, 이 경우 이중 0 첨자로 작성됩니다.

${\displaystyle \vartheta _{00}(z;\deta)=\vartheta(z;\deta)} 표시$

보조(또는 반주기) 함수는 다음과 같이 정의됩니다.

$표시(\style{aligned}\vartheta_{01}(z;\tfrac{1}{2}};\tfrac \right)\[3pt]\vartheta_{10}(z;\tfrac)&=\exp \tp \tfrac{1}\pi\pi\piziz\right)\vart{ta\ta\ta\ta}\right}\ta\ta\ta\ta\ta\right}\right}\ta\ta {1}{2}}\right)\right)\바르테타 \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tfrac +{\tfrac {1}{2}};\tfrac \right).\end{aligned}}}$

이 표기법은 리만과 뭄포드를 따르며, 야코비의 원래 공식은 γ가 아닌 nom q^iπτ = e의 관점에서 만들어졌습니다.야코비의 표기법에서 γ-함수는 다음과 같습니다.

$표시(\style{aligned}\theta _{1}(z;q)&=\theta _{11}(z;\ta)=-\vartheta _{2}(z;q)&=\theta _{2}(\piz,q)=\ta _{3}(z;q)\ta _{ta}(\ta)\ta_{ta(\ta}\ta(\ta_ta_{ta)\ta(\ta_ta_ta_ta_ta$

위의 자코비 세타 함수의 정의는 결코 고유하지 않습니다.자세한 내용은 Jacobi theta 함수(표기형 변동)를 참조하십시오.

위의 세타 함수에서 z = 0을 설정하면 상부 반평면에 정의된 π만의 네 가지 함수를 얻습니다.세타 함수 식에서 왼쪽 항목이 무효화되기 때문에 이러한 함수를 제로 값에 대한 독일어 용어에 기초하여 세타 Nullwert 함수라고 합니다.또는 단위 q < {\ $displaystyle q$ <1에 정의된 q만의 네 가지 함수를 얻습니다.이들을 ^{[note 2]}세타 상수라고 부르기도 합니다.

$표시({style{aligned})\vartheta _{11}(0;\time)&=-\theta _{1}(q)=-\sum _{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{n-1/2}q{(n+1/2)^{2}}\\\\vartheta _{10}(0;\deta)&=\theta _{2}(q)=\sum _{n=-\infty}^{\infty}q^{(n+1/2)^{2}}\\\vartheta _{00}(0;\deta)&\theta _{3}(q)=\sum _{n=-\infty}^{n^{2}}^{\infty}^{{01}(0;\deta)&=\theta _{4}{n=\infty}(q){n}{n^{n^{n^{n}}}}{n^{n^{n^{n^{}}}}}}}}}}}}}{{{$

q =${\displaystyle }$e^iπτ. ${\displaystyle {\theta \mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle \mathrm{q}}$ )${\displaystyle }$= 0 ${{displaystyle \theta$ _${1}(q$)=$0}$을$$관찰합니다. 이들은 다양한 모듈러 형태를 정의하고 특정 곡선을 매개변수화하는 데 사용될 수 있습니다. 특히, 자코비 항등식은

$표시 스타일 \theta _{2}(q)^{4}+\theta _{4}(q)^{4}=\theta _{3}(q)^{4}}$

또는 그와 동등하게,

$표시 스타일 \vartheta _{01}(0;\vartheta)^{4}+\vartheta _{10}(0;\vartheta)^{4}=\vartheta _{00}(0;\vartheta)^{4}}}$

4도의 페르마 곡선입니다.

타원형 명사

세타 함수의 정의 및 동일성

자코비 함수는 타원 계수${\displaystyle (}$$\tau {\displaystyle }$$)$ \"$displaystyle$ k$(\$tau$)\}$의 관점에서 정의되므로 이를 반전시키고 k$\backslash "$$displaystyle$ k$}$의 $관점$에서$τ$ \"$displaystyle$ \"를 찾아야$$ 합니다. 우리는 k${\displaystyle {\text{'}}^{}}$ $=$ - ${\displaystyle \sqrt{{k2\mathrm{}}^{}}}$\"$displaystyle$ k'=$displaysqrt {1-k^{2$부터 $시작$합니다.${\displaystyle \tau}$의 함수로서, 다음과 같습니다.

${\displaystyle k'(\displaystyle k')=slotsqrt {1-k^{2}}=slotsbiggl \{\theta_{4}[q(k)] \over \theta_{3}[q(k)}{\biggr \}^{2}}}}}$

첫 번째 종류의 타원형 이름과 완전한 타원 적분을 정의합니다.

${\displaystyle q(k)=\exp {\biggl [}-\pi \,{\frac {K({\sqrt {1-k^{2}}}}{K(k)}}}{K(k)}}}=\exp {\frac {K(k)}}}}$

타원 적분 K, 계수, nomq 함수 및 세타 함수 사이에는 다음과 같은 항등식이 존재합니다.

${\displaystyle \theta _{3}[q(k)]=sksqrt {2\pi ^{-1}K(k)}}}$

${\displaystyle \theta _{4}[q(k)]=nbsqrt[{4}]{1-k^{2}}}\,{\sqrt {2\pi^{-1}K(k))}}$

${\displaystyle \theta _{2}[q(k)]= k^{1/2}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(k)}}}$

첫 번째 종류의 완전한 타원 적분에 대한 두 가지 동일한 정의는 다음과 같습니다.

${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin(\varphi)^{2}}}\displaystyle \varphi}$

${\displaystyle K(k)=displayfrac{pi}{2}}\sum _{a=0}^{\infty}{\frac{(2a)!]^{2}}{16^{a}(a!)^{4}}k^{2a}}$

열을 사용하여 동일한 이름 함수 정의를 생성할 수 있습니다.다음 함수는 다음과 같습니다.

$표시({style\frac {1-{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{1+{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}={theta_{3}[q(k)]-\theta_{4}[q(k)]}{\theta_{4}}{{4}}}}{\ta_{{{n^{n}}{n^2}{n^{n}}}}}}}}}}}{{{{n^$

q 다음에 이 함수를 풀면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다^[4][5][6].

$\displaystyle q(k)=\sum _{n=1}^{\infty}{\frac{\text{Sc}(n)}{2^{4n-3}}{\biggl(}){\frac{1-{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}{1+{\biggrtext}{{{n}{{n}}{n}{\text}{{{{{{n}}}}}}{{\text}}}}}{{{{{1}^{\infty}{\frac{\text{Sc}}(n+1)}{2^{4n+1}}k^{2n}{\biggr}}{\biggr \}}^{4}}$

$표시 스타일 q(k)=k^2}{\bigl(}{\color {limegreen}{\frac {color {limegreen}{\frac {color {limegreen}{\frac}{\frac {color {limegreen}{\frac}{\frac {color {limegreen}}{{32}}k^2}+{\frac{\frac{2}k^{\frac{\frac{\frac{\color {{\color {\color$

카를 하인리히 셸바흐는 그의 작품 Die Lehre von denelliptischen Integralen und den Thetafunktionen에서 이 수열의 파생을 60페이지 아래에 썼습니다.그는 치환 계산을 통해 타원형의 네 번째 근의 계수를 알아냈습니다.

셸바흐 슈바르츠 수는 분자에 있고 16의 거듭제곱은 분모에 있습니다.

이와 관련하여 다음 제한이 유효합니다.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty}{\sqrt[{n}]{\text{Sc(n)}}}=16}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty}{\frac {text{Sc(n + 1)}}{\text{Sc(n)}}=16}$

다음^[7][8] 표는 셸바흐 슈바르츠 정수 시퀀스 A002103의 수를 정확하게 보여줍니다.

Sc(1)	Sc(2)	Sc(3)	Sc(4)	Sc(5)	Sc(6)	Sc(7)	Sc(8)
1	2	15	150	1707	20910	268616	3567400

타원 정수열

실레시아 독일 수학자 헤르만 아만두스 슈바르츠는 그뢰섹 장에서 카를 하인리히 셸바흐에 의해 연구된 정수 수열을 묘사한 정수 수열에 대한 포멜른드 레르샤체줌 게브라우체 데엘립티셴 펑크티넨을 그뢰섹 장에 썼습니다.게다가 그의 셸바흐 슈바르츠 수열 Sc(n)는 20세기 수학자 카를 테오도르 빌헬름 바이어슈트라스와 루이 멜빌 밀른-톰슨에 의해 분석되었습니다.수학자 아돌프 크네서는 다음과 같은 패턴에 기초하여 이 수열에 대한 합성 방법을 결정했습니다.

${\style{text{Sc}(n+1)=sumfrac{2}{n}\sum_{m=1}^{n}{\text{Sc}}(m){\text{Kn}(n+1-m)}을(를) 표시합니다.$

수학자 카를 하인리히 셸바흐도 이 정수열 관계를 연구했고 그의 작품에서 그는^[9] 그것을 자세히 다루었습니다.Schellbach Schwarz 시퀀스 Sc(n)는 숫자 A002103 아래에 있는 숫자 시퀀스의 온라인 백과사전에 입력되고 Kn(n)은 숫자 A227503 아래에 입력됩니다.Kneser 정수 시퀀스 Kn(n)은 다음과 같은 방법으로 구성될 수 있습니다.

${\style{text{Kn}}(2n)=2^{4n-3}{\binom {4n}{2n}}{\sum _{m=1}^{2n-2m}{\binom {4n}{2n-2m}{\text{Kn}}(m)}을(를 표시합니다.$

$표시({style{text{Kn}}(2n+1)=2^{4n-1}{\binom {4n+2n+1}}+\sum _{m=1}^{n}4^{2n-2m+1}{\binom {4n+2m+1}}{\text{Kn}(m)}(m)}$

실행된 예:

$표시{style{text{Kn}}(2)=2\times 6+1\times {color{cornflowerblue}1}=오렌지색 {cornflowerblue}13}$

$디스플레이 {style{text{Kn}(3)=8\times 20+24\times {color{cornflowerblue}1}=오렌지색 {cornflowerblue}}$

$디스플레이 {style {text {Kn}(4)=32\times 70+448\times {color {cornflowerblue}1}+1\times {color {cornflowerblue}13}=color color {cornflowerblue}2701}$

$디스플레이 {style{text{Kn}}(5)=128\times252+7680\times{color{cornflowerblue}1}+40\times{color{cornflowerblue}13}=color{cornflowerblue}40456}$

$표시{style{text{Kn}}(6)=color\times924+126720\times{color{cornflowerblue}1+1056\times{color{color{cornflowerblue}13}+1\times{color{color{colorflowerblue}13}+1\times}=color{color{color{color{color{color{$

$디스플레이 {style{text{Kn}}(7)=2048\times 3432+2050048\times {color {cornflowerblue}1}+23296\times {color {color {cornflowerblue}13}+56\times {color {colorflowerblue}=color {color}9391936}$

Kneser 시퀀스는 주기 비율(반주기 비율)의 Taylor 시리즈에 나타납니다.

$표시({style\frac{1}{4}}\frac{\frac{16}{x^{2}}}{\bigr}}-{\frac{pi \,K'(x)}{4\,K(x)}=\sum_{n=1}^{\infty}}{\frac{{n-1}}}}{2},\x^{n}}{n^2}}}{n^2}}}{n^2}}}.$

$표시({style{limegreen}{\frac{1}{4}}\ln{bigl(}{\frac{16}{x^{2}}}{\bigr)}-{\frac{pi \,K'(x)}{4\,K(x)}={frac{color{cornflowerblue}1}{8}}x^{2}+{\frac{color{cornflowerblue}13}{256}}x^{4}+{\frac{color{cornflowerblue}2701}{1372}}x{8}+{\frac{color{color{color{color{color{color{color{color{color{color{color{col$

x${displaystyle$ x$}$ $뒤$의 이 방정식의 도함수는 Kneser 수열의 생성 함수를 보여주는 다음 방정식으로 이어집니다.

$표시({style\frac{pi^{2}}{8x(1-x^{2})K(x)^{2}}-{\frac{1}{2x}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\text{Kn}}}(n)}{2^{2n-1}}}x^{2n-1}}}}}.$

$표시({style {color {\color {\pi ^{2}}{8x(1-x^{2})K(x)^{2}}-{\frac {{color {cornflower blue}{4}}x+{\frac {color {color {color {colorflower blue})x^{3}+{\frac {{x}{frac {{flower}{frac{flamor}{flamer}{fla}{frac{f$

이 결과는 분자에서 Legendre의 $관계{\displaystyle }$ ${\displaystyle KE\text{'}}$ + ${\displaystyle \mathrm{EK}\text{'}}$ - ${\displaystyle K{}^{}}$ K$=$ ${\displaystyle \frac{12}{}}$({$displaystyle$ K$\,E'+E\,K'-K\,K$'=$tftfrac{1}{2}}\pi}$ 때문에$$ 나타납니다.

다음 표에는 셸바흐 슈바르츠 수, 무릎 수, 아페리 수가 포함되어 있습니다.

구성된 시퀀스 Kneser 및 Schellbach Schwarz

색인 n	Kn(n) (A227503)	Sc(n) (A002103)
1	1	1
2	13	2
3	184	15
4	2701	150
5	40456	1707
6	613720	20910
7	9391936	268616
8	144644749	3567400

셸바흐 슈바르츠 수열에 대해 언급된 패턴 공식은 다음과 같습니다.

${\style{text{Sc}(n+1)=sumfrac{2}{n}\sum_{m=1}^{n}{\text{Sc}}(m){\text{Kn}(n+1-m)}을(를) 표시합니다.$

다음에서는 셸바흐 슈바르츠 수가 연속적으로 구축되는 방법을 예로 들어 설명합니다.이를 위해 숫자 Sc(4) = 150, Sc(5) = 1707 및 Sc(6) = 20910이 사용됩니다.

$\displaystyle \mathrm {Sc}(4)={2}{3}}\sum _{m=1}^{3}\mathrm {Sc}(m)\mathrm {Kn}(4-m)={2}{\bigl}{\color {\color}\color {\color}\color{color}\color{color}{color}{color}{color}{color}{{{color}{color}{col{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn}(1)}{\bigr}}}$

$표시({style{color{color{color{color}\mathrm{Sc}(4)}=colorfrac{2}{3}}{\bigl({color{color{cornflowerblue}{color}{color}{color{color}{color}{color}{color}{color{color}{color}{color}{color}{color}{color}{color}{col$

$\displaystyle \mathrm {Sc}(5)={2}{4}}\sum _{m=1}^{4}\mathrm {Sc}(m)\mathrm {Kn}(5-m)={2}{\bigl}{\color {\color}\color {color}\color{color}\kn}{{color}{\color}{\color}{\color}{\color}{{{\color}{\clor {navy}\mathrm {Sc}(4)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn}(1)}{\bigr}}}}$

$표시({style{color{color{color}\mathrm{Sc}(5)}=colorfrac{2}{4}}{\bigl(}{color{color{color{cornflowerbluor})1}{\color{color{colorflowerbluor}2}\times{{{color{color}{color{color{color{color{color{color}}}\color{color$

$\displaystyle \mathrm {Sc}(6)={2}{5}}\sum _{m=1}^{5}\mathrm {Sc}(m)\mathrm {Kn}(6-m)={2}{\bigl}{\color {\color}\color{color}\color{color}\color{color{color}{color}{color}{color}{color}{{color}{color}{lor {navy}\mathrm {Sc}(4)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn}(2)}+{\color {navy}\mathrm {Sc}(5)},{\color {cornflowerblue}\mathr}}}$

$표시({style {color {color}\mathrm {Sc}(6)}=colorfrac {2}{5}}{\bigl({color{colorflowerblue}{color}{color{color}{colorflowerblue}{color}{color}{color}{color{color{color}{color}{color}{color}{color}{\color{color}{color또는 {{delay}(으)로 10}}.$

자코비 항등식

Jacobi의 ID는 τ↦ + 1 및 τ↦ -.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}mw-parser-output .sfrac.tision {display:inline-block; 수직-align:0.5em; font-size:85%; text-center:align-nummwa-out.parac-outparac-outparac-out.mw.mwmwmwmwmw.mw.mw.mw.mwut.sfrac.den{display:block; line-height:1em; line-height:1em; mw-parser-output.sr-only{border-top:1den{border-top:1den}{border:0,0,0,0); 높이:1parser-output.sr-only{border:0;border:1}{border:0;mworder:0}.sr-only{border:0;mworder:0.지수에서 1을 τ에 추가하면 1/2을 z에 추가하는 것과 동일한 효과가 있으므로 첫 번째 변환에 대한 방정식을 쉽게 찾을 수 있습니다(n² ≡ n mod 2).두 번째로,

${\displaystyle \alpha = alpha\lambda )^{\frac {1}{2}}\exp \leftpi\frac {pi}}iz^{2}\right}{2}\right}$

그리고나서

$display {style {aligned}\vartetha _{00}\!\leftpx\frac {z}{\frac {\frac {-1}{\frac }};\right)&=\alpha \,\vartheta _{00}(z;\bartheta)\bartheta &\vartheta _{01}\!\leftpx\frac {z}{\frac {\frac {-1}{\frac }\right)&=\alpha \,\vartheta _{10}(z;\deta)\[3pt]\vartheta _{10}\!\leftpx\frac{z}{\frac{\frac}};{\frac{-1}{\frac}}\right)&=\alpha \,\vartheta_{01}(z;\fartheta)\bartheta &\vartheta_{11}\!\leftpx\frac {z}{\frac {\frac}};{\frac {-1}{\frac }\right)&=-i\alpha \,\vartheta_{11}(z;\fartheta).\end{aligned}}}$

세타는 이름 측면에서 기능합니다.

세타 함수를 z와 π로 표현하는 대신 인수 w와 nomeq로 표현할 수 있습니다. 여기서 w = e^πiz 및 q^πiτ = e.이 형태에서, 함수들은 다음과 같습니다.

$표시(\style{aligned}\vartheta _{00}(w,q)&=\sum _{n=-\infty}^{\left(w^{2}\right)^{n}q^{n^{2}}\deta &\vartheta _{{n=-\infty}(w,q)&\sum _{n}\ta^{n}{n}{ta}{ta^{n^{ta}{n^{ta}{n^{n^{n^{n}^{n+{\frac{1}{2}}}q^{\left(n+{\frac{1}{2}}\right)^{2}}\colon &\vartheta_{11}(w,q)&=i\sum_{n=-\infty}^{n}(w^{2}\right)^{n+{\frac {1}{2}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}.\end{aligned}}}$

우리는 세타 함수가 지수 함수에 대한 직접적인 참조 없이 w와 q 측면에서도 정의될 수 있다는 것을 알 수 있습니다.따라서 이러한 공식은 p-adic 숫자 필드와 같이 지수 함수가 모든 곳에서 정의되지 않을 수 있는 다른 필드에 대해 Theta 함수를 정의하는 데 사용될 수 있습니다.

제품 표현

자코비 삼중곱(Macdonald 동일성의 특별한 경우)은 q < 1과 w ≠ 0을 갖는 복소수 w와 q에 대해 다음과 같이 말합니다.

$\displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle _{m=1}^{\infty}\left(1+w^{2}q^{2m-1}\right)\left(1+w^{-2}q^{2m-1}\right)=\sum_{n=\infty}w^{n}^{n}^{n}^{n^{n^{2}}}}.$

예를 들어, 그것은 하디와 라이트의 숫자 이론 입문과 같은 기본적인 방법으로 증명될 수 있습니다.

세타 함수를 name q^πiτ = e로 표현하면(일부 저자는 q^2πiτ = e로 대신 설정), w^πiz = e를 취합니다.

${\displaystyle \vartheta (z;\infty)=\sum _{n=-\infty}^{\infty}\exp(\pii\infty)=\sum _{n=-\infty}^{\infty}w^{2n}^{n^{2}}}.$

따라서 우리는 형태의 세타 함수에 대한 곱 공식을 얻습니다.

$디스플레이 스타일 \vartheta (z;\displaystyle)=\big _{m=1}^{\infty}{\big(}1-\exp(2m\pii\big)}{\big(}1+\exp{\big(2m-1)\pi\big()}{\big(1+\bigi\bigi\big)}}{\big(1}{\big(1}\big(1}\big)}\big(1}.$

w 및 q 측면에서:

$표시({style{aligned}\vartheta(z;\baseta)&=\baseta_{m=1}^{\infty}\left(1+q^{2m-1}w^{2}\right)\left(1+{\frac{q^{2m-1}}{w^{2}}}\right)\\&=\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty}\,\left(\)w^{2}\right}_{\infty}\,\left(\frac{q}{w^{2}}}};q^{2}\infty}\left(q^{2}){\ta}\lefty}\left(\left)\left(\right)\right^{\ta){\ta}\ta}\left)\lefty$

여기서 ( _∞; )는 q-Pochhammer 기호이고 γ( ; )는 q-theta 함수입니다.용어를 확장하면 자코비 트리플 제품도 작성할 수 있습니다.

$\"표시 스타일 \displaystyle \displaystyle _{m=1}^{\infty}\left(1-q^{2m}\right){\Big(}1+\left(w^{2}+w^{-2}\right)q^{2m-1}+q^{4m-2}{\Big)}},$

우리가 또한 쓸 수 있는 것은.

${\displaystyle \vartheta (z\mid q)=\display_{m=1}^{\infty}\left(1+2\cos(2\piz)^{2m-1}+q^{4m-2}\right)}$

이 형식은 일반적으로 유효하지만 z가 실제일 때는 특히 중요합니다.보조 세타 함수에 대한 유사한 제품 공식은 다음과 같습니다.

$표시(\style{aligned}\vartheta _{01}(z\mid q)&=\cisco _{m=1}^{\infty}\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\piz) q^{2m-1}+q^{3pt}\vartheta _{10(z\mid q)={cos}{\cos}{\cos}{\cos}{\ft}{\cos}{\cos}\\[3pt]\vartheta _{11}(z\mid q)&=-2q^{\frac{1}{4}}\sin(\piz)\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\piz)q}+q^{4m}\right).\end{aligned}}}$

특히,

그래서 우리는 그것들을 주기 ${\displaystyle \mathrm{함수}}$ sin${\displaystyle ,}$ \$displaystyle \sin,\cos$의 한 매개 변수 변형으로 해석할 수 있으며, 세타 함수의 해석을 가장 일반적인 2 준주기 함수로 다시 검증합니다.

적분 표현

자코비 세타 함수는 다음과 같은 적분 표현을 갖습니다.

$표시(\style{aligned}\vartheta _{00}(z;\filename)&=-i\int_{i-\infty}^{i\pi \pi \pi u^{2}}{\frac{cos(2\piu)}{\pi(\piu)}{\pta{\varta{z};\in}\infty}\in^{i}\in^i}\infty}\in^i}\in^{i}\fty.}{\sin(\piu)}\mathrm {d}u;\[6pt]\vartheta _{10}(z;\pi)&=-ie^{i\piz+{\frac{1}}i\pi \infty}^{i+\infty}^{i-\pi\pi\pi\fracu^2}{\mathpi\pi}\pi\pi\pi\pi\pi\pi\pi\pi\pi\pi\pi(2\piu)z+\pi \pi u)}{\sin(\pi u)}\mathrm {d} u.\end{aligned}}}$

세타 Nullwert 함수 ${\displaystyle {\theta \mathrm{}}_{}}$3 (${\displaystyle q}$ {\$displaystyle \theta_{3}(q)}$을(를) 적분 항등식으로 사용합니다.

$표시 스타일 \theta _{3}(q)=1+{\frac {4q{sq}{{pi}}}{\int_{0}^{\infty}{\frac \exp[-\fac(1/q)\,x^{2}\cos[2-q^(1/q),x]}{1-2q{q}{2}{\math^{\cos}}{\cos}{2}{\x}{\x}\cos}{\x}\x}\x}\x}\cos}$

이 공식은 애틀랜타의 조지아 출신 수학자 맥시 슈미트에 의해 함수 변환을 생성하는 에세이 스퀘어 시리즈에서 논의되었습니다.

이 공식을 기반으로 다음과 같은 세 가지 저명한 예가 제공됩니다.

$표시(\style\bigl [}{\frac {2}{\pi })K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\bigr}}{\bigr}}^{1/2}=\theta_{3}{\bigl[}\expigr}{\bigr}}{\inftypi}{\cos}x2}{{\cos}{\cos}{\cos}{\cos}{\cos}{\cos}{\pi^{\$

$표시(\style{\frac{2}{\pi })K({\sqrt{2}}-1){\bigr}}^{1/2}=\theta_{3}{\bigl[}\exp{\sqrt{2}}\bigr}=1+4,{\sqrt{\sqrt{2}}{\pi}{\pi}{\pi}{\pi}{\pi}{\pi}{\pi}{\pi}{\pi}rt {2}}\,\pi)}\,\mathrm {d} x}$

$표시(\style\bigl \{}{\frac {2}{\pi }K{\bigl [}\bigl (}{\frac \pi }{12}}{\bigr}}{\bigr}{\bigr}}{\bigr}{\bigr}}{\bigl [}\exp{\sqrta{\sqrtrt}}{\pi}}{\bigl}{\bigl}{\bigl}{\bigl}{\bigl}}\,\pi)\cos(2"sqrt {3}}\,\pi)+\exp(-4"sqrt {3}}}\,\mathrm {d} x}$

또한 세타 예제 $\theta {\displaystyle {}_{}}$ 3${\displaystyle {}_{}}$($)$ \$displaystyle \theta$ _${3}({\tfrac {1}{2}})$ 및 ${\displaystyle {\theta \mathrm{}}_{}}$ 3${\displaystyle {}_{}}$($)$ \$displaystyle \theta$ _${3}({\tfrac {1}{3}})}$이 표시되어야 합니다.

$표시 스타일 \theta _{3}{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\bigr )}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2}}=1+2\pi ^{1/2}{\infty}{\infty}{\frac{{{\expi}{{{{\x}}{\x}{\x}{\cos}{\x}{\cos}{\cos}{\$

${\displaystyle \theta _{3}{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\bigr )}=2.128936827211877158669\ldots}$

$표시 스타일 \theta _{3}{\frac {1}{3}}{\bigr}=1+2\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{3^{n^{2}}=1+{\frac {4}{3}\pi ^{-1/2}{\int{{{}\infty}{{{\cos}\cos}\cos}{{{\x}\cos}{{{{\bigrt}\cos}{\cos}{\cos$

${\displaystyle \theta _{3}{\bigl (}{\frac {1}{3}}{\bigr )}=1.691459681681715341348\ldots}$

명시적 값

렘니스케이트 값

이러한 결과의 대부분에 대한 적절한 신용은 라마누잔에게 돌아옵니다.라마누잔의 잃어버린 노트와 오일러 함수의 관련 참조를 참조하십시오.오일러 함수에 인용된 라마누잔 결과와 몇 가지 기본 연산을 통해 아래의 결과를 얻을 수 있으므로 라마누잔의 잃어버린 노트에 있거나 바로 그 결과를 따릅니다.Yi(2004)^[10]도 참조.정의,

$\displaystyle \varphi (q)=\vartheta _{00}(0;\vartheta)=\theta _{3}(0;q)=\sum _{n=-\infty}^{\infty}q^{n^{2}}}}}$

$q{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$${\displaystyle }$${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\pi }^{}}$ $i$ τ${\displaystyle {}^{}}$\$displaystyle$$q$ =$e^{\piii\$lambda$},$ τ$$ - 1${\displaystyle ,}$\$displaystyle \n$${\$$sqrt${-$1},$ 및$$ Dedekinde eta 함수$τ$(${\displaystyle }$η ).${\displaystyle \mathrm{그런<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash eta\; (\backslash tau\; ).\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/86b4ed7cce3997dc4b79384ba8566de909fcf920"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:4.828ex;\; height:2.843ex;">}}$ 다음 n$=$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2,}$ 3$,$ …({$displaystyle$ n=$1, 2, 3,$ \$displaystyle })$에 $대해{\displaystyle }$

$표시({style{aligned}\varphi \left(e^{-\pi}\right)&=displayfrac{sqrt[{4}}{\pi}}{\Gamma \leftfrac{3}{4}}\right)}}=nbsqrt {2}}\,\eta \left\sqrt {-1}\right)\\\varphi \left(e^{-2\pi}\right)&=sqfrac {\pi}{\Gamma \left\frac {3}{4}}}{\varphi \left(e^-3\pi}}{\frac}}{\frac{\frac\frac\frac\frac\frac\gamma}{\right}\frac\frac\frac\frac\frac\fracp;=nbfrac{sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left\frac {3}{4}}}{\right)}{\frac {2+{\sqrt[{4}}}{4}}\\\varphi \left(e^{-5\pi}\right)&=frac {\gamma \left\frac{3}}{4}\right)}}{\sqrt{\frac{2+{\sqrt{5}}}{5}}\\\varphi \left(e^{-6\pi}\right)&={\pi}{\Gamma \left\frac{3}{4}}}}}{{\frac{\sqrt{4}}{\sqrt}{4}{\rt}{\rt}{\rt}{\rt}{\rt}}}{\varpi}{\rtrt {{\s}qrt {13+{\sqrt {7}}}+{\sqrt {7}}}{\sqrt[{8}]{14^{3}}}\cdot {{sqrt[{16}}}}\\\varphi \left(e^{-8\pi})&=frac{\gamma\rt\frt\frac{2}{\rt}{\rt}{\rt{\rt}{\rt}{\rt}{\rt}{\r\frac {1}+{\sqrt[{3}}}{2+2\sqrt{3}}}{3}}\\\varphi \left(e^{-10\pi}\right)&={\frac{sqrt}{\Gamma \left\frac{3}{4}}}{\frac{\sqrt}}{{\sqrt}{{{\sqrt}{{{{{{\sqrt}}}}}}{{\rt}{{\rt}{\ {4+{\sqrt{11}}-3"tfrac{3}}\tanh \left\tfrac{1}{4}}\operatorname{arcosh}\left\tfrac{7}{4}}\right)+{\tfrac{1}{6}\operatorname{artanh}\tfrac{27}{47}{\sqrtfrac{3}\right)\right)\right)}}{{\sqrt[{8}]{44}}\cdot{\sqrt{-66+22\sqrt{11}}}}\\\varphi \left(e^{-12\pi}\right)&={\Gamma \left\frac{3}}}{\frac{\sqrt}{\sqrt}{4}{{\rt}{\rt}{4}{{\rt}{\rt}{\rt}{\rt}{\rt경주하다qrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt {-{\tfrac {1}{13}}+{\tfrac {2}{13}}{\sqrt {3}}{\cot \left\tfrac {1}{6}}\operator 이름 {artanh} \tfrac {6}{11}{\sqrtfrac {3}}\right)\right)}}\\\varphi \left(e^{-14\pi}\right)&=sqfrac{sqrt}{\pi}}{\Gamma \left\frac{3}{4}}}}{\fracsqrt {13+{\sqrt{7}}}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt}}}{{\sqrt{\sqrt}} {3}{4}}\right)}{\frac{\sqrt{7+3\sqrt{3}}+{\sqrt{5}}+{\sqrt[{4}}}{{\sqrt[{4}}}}{{\sqrt[{8}}}}{{\cdot{{{5}}}}{\varphi}{\cdot{(e^{16\pi}\pi}\varphi})}\rt{\varphi}{\pi}{\frac{\pi }\right)&=sqrt{\pi}{\Gamma \left\frac{3}{4}}}{\right}}{\frac{\sqrt{2}}(1+{\sqrt[{4}}{17}}}}{\sqrt{5+{\sqrt{17}}}}}{\sqrt{\sqrt{\pi}{\varrt{\va}{\var}\var}{\va}\var}\va}\var}}{\sqrt{\frac{3+2\sqrt[{4}}{5}}}}{5\varpi \left(e^{-36\pi}\right)&=3\varpi \left(e^{-9\pi}\right)+2\varpi \left(e^{-4\gamma}\right){\frac{\frac}}\frac{\frac{\rta}\rta}\rta}\frac{\rta}}{\sqrt[{3}]{{\sqrt[{4}}{2}}}+{\sqrt[{4}}}}+{\sqrt[{4}}}}{\end{aligned}}}}}}$

겔폰드 상수의 역수가 홀수의 역수의 거듭제곱으로 증가하면 해당하는 $\vartheta {\displaystyle }$ $({{{\$ 값$$ 또는 ϕ$({{displaystyle \phi})$ 값을$$ 쌍곡선 렘니스카틱 사인을 사용하여 단순화된 방법으로 나타낼 수 있습니다.

$표시 스타일 \varphi \varphi \tfrac {1}{5}\pi ){\bigr ]}=slsqrt[{4}]{\pi }\,{\Gamma \left\tfrac {3}{4}}}^{-1}\operatorname {sqrt}{\rt}{\varfrac}{\bigrt}{\bigrt}{\va}{\bigrt}{\va}{\bi}{\b}{\bi}{\$

$표시 스타일 \varphi \varphi \tfrac {1}{7}\pi ){\bigr ]}=slsqrt[{4}]{\pi }\,{\Gamma \left\tfrac {3}{4}}^{-1}\operatorname {sqrt}{\rt}{\bigrt}{\varc}{\bigrt}{\bigrt}{\va}{\bi}{\va}{\va}{\bi}{rt$

$표시 스타일 \varphi \varphi \tfrac {1}{9}\pi ){\bigr ]}=slsqrt[{4}]{\pi }\,{\Gamma \left\tfrac {3}{4}}}^{-1}\operatorname {sqrt}{\rtfrac}{2}{\bigrt}{\bigrt}{\bigrt}{\va}{\bi}{\bi}{rt}{\bi}{rt}연산자 이름 {slh}{\tfrac {4}{9}{\sqrt {2}},\varpi{bigr}}$

$표시 스타일 \varphi \varphi \tfrac {1}{11}\pi ){\bigr ]}=slsqrt[{4}]{\pi }\,{\Gamma \left\tfrac {3}{4}}^{-1}\operatorname {sqrt}{{\rtfrac}}{\bigrt}{\bigrt}{\va}{\varc}{\bigrt}{\va}{\va}{\bi}{rt})}\operatorname{slh}{bigl(}{\tfrac{4}{11}}{\sqrt{2}}{\varpi{bigr}}\operatorname{slh}{{\tfrac{5}}{\sqrt{2}}},\varpi{bigr}}}}$

문자$\varpi {\displaystyle }$({$displaystyle \varpi})$로 렘니스케이트 상수를 나타냅니다.

다음과 같은 모듈식 ID가 유지됩니다.

$표시({style{aligned}2\varphi \left(q^{4}\right)&=\varphi(q)+{\sqrt{2}\left(q^{2}\right)-\varphi \left(q^{9}\right)&=\varphi(q)+\varphi(right)\fright(\fright)\varphi(\varphi)\varphi(\varphi)\varphi)\frac {1}{2}}\Arctan \left\frac {2}{\sqrt {5}}{\frac \varphi \left(q^{5}\right)}{\varphi ^{2}(q)-\varphi ^{2}\left(q^{5}\right)}}{\frac {1+s(q)-s^{2}(q)}}\right)\right}{right}}}}}{end.$

$여기$서${\displaystyle }$s (${\displaystyle q}$ )${\displaystyle =s}$ ( ${\displaystyle {}^{}}$ $π$ i${\displaystyle {}^{}}$τ )$=$- R${\displaystyle }$( -${\displaystyle {}^{}}$ - ${\displaystyle {\pi }^{}}$ i${\displaystyle {}^{}}$/ ( $τ$)$$\ $displaystyle$ s$(q$)=$s\$left$(e^{\pii\$light $}\right$)=-$R\left(-e^{-\pii/(5\$light$))$는 로저스-라마누잔 연속 분수입니다.

$표시({style{aligned}s(q)&=skrt[{5}]{\tan \leftsqrt}{\frac{2}}\arctan \left\frac{2}}{\varphi ^{2}\right)}{\varphi ^{2}}-{\varphi ^{1}{\right}\cota}{\frac}{frac}{\frac}{frac}{frac}{frac}{\operat}{\frac}{}}\\&=dddots {e^{-\pi i/(25\dots)}}{1-{\dots}{1+{\dots}}{1+{\dots {e^{-2\pi i/(5\dots)}}}}{\end{}}}}}}}{{{{\dots}}}}}}}}}}}{{{{{\end{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

등조파 값

수학자 브루스 베른트는 세타 함수의 추가^[11] 값을 발견했습니다.

$표시(\style{array}{lll}\varphi \left(\expx{\sqrt {3}},\pi)\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left\tfrac {4}{3}\right)}^{3/2}\varphi \left(\expx2sqright){\gamma\pi}{\pi}{\fradi}{\pi}\pi}{\pi}\pi,\pi)\right)&=&\pi^{-1}{\Gamma \left\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{7/8}({\sqrt[{3}]{2}})\\\\varphi \left(\exp(-4\pi)\right)\gamma \left\tfrac {\frac}{3}{3}{3}{3}{3}{3}{3}{3}\right}^{3}{3}{3}{\pi)\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \leftfrac\tfrac{4}{3}}\right)}^{3/2}^{-2/3}}^{5/8}\sin\tfrac{2}{5}}}({\sqrtfrac{3}{2}}}{\tfrac{5}{\rtfrac}{3}{\rt}{3}{\rtfrac{\rt}}}{\rt}}{{{{{$

추가 값

세타^[12] 함수, 특히 표시된 파이 함수의 많은 값은 감마 함수로 나타낼 수 있습니다.

$표시({style{array}{lll}\varphi \left(\expx{\sqrt {2}},\pi)\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left\tfrac {9}{8}\right){\Gamma \left\tfrac {5}}^{8}\varfraft}}^{1/2}\varfright}{\varfraft(\right}{\right}}{\fr,\pi)\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left\tfrac {9}{8}\right){\Gamma \leftfrac {5}{4}}}^{-1/2}^{1/8}{\Bigl(}+{\sqrtfrt{\sq)}rt {2}-1}{\Bigr)}\\\varphi \left(\exp(-3{\sqrt {2}\,\pi)\right;=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left\tfrac {9}{8}\right){\Gamma \left\tfrac{5}}\tfrac{2}{3}{ta \ta\rta\rta\rta\rta\rta\rta\rta\rt,\pi)\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \leftpa\tfrac {9}{8}\right){\Gamma \leftpa\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{-1/8}{\Bigl(}1+{\sqrt[{4}]{2}}{\Bigr)}}{\varphi \left(-5{\sqrt {2}})\,\pi)\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \leftpa\tfrac{9}{8}}\right){\Gamma \leftpa\tfrac{5}}}^{-1/2}\&&\cdot{biggl(}{\tfrac{5}}{sqrtpa}{\rtpa}{\rtpa}{\rtpa}{\rtpa}{\rtpa}{\r{2}}~3^{1/6}5^{1/3}}{({9+{\sqrt{6}}}}}{1/3}}-{3^{1/6}}-{1}}}-{\tfrac{5}}}({\sqrt{5}+{\sqrtrt{2}}}){{{\var}}\tfrac{\var}{{\var}\tfrac{{\vrtfrac{{\vrtfrac{{{{{{{{\,\pi)\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \lefts\tfrac {5}{24}\right){\Gamma \lefts\tfrac {5}}^{-1/2}\right}^{-13/24}3^{\sqrtfrac {5}{12}}}\\varphi \left(\exp({{\tfrac {1}{2}}}{\sqrt {6}}\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left\tfrac {5}{12}\right)}{\Gamma \tfrac \tfrac {5}{12}}}{\tfrac}{\gamma \tfrac}{1/2}{\tfrac}{\fraft}{\frac}}{\frac}{$

힘 정리 없음

직접 전력 정리

세타 함수의 이름^[13] 변환에는 다음 공식을 사용할 수 있습니다.

${\displaystyle \theta _{2}(q^{2})=tftfrac {1}{2}}{\sqrt {2}[\theta _{3}(q)^{2}-\theta _{4}(q)^{2}}}}}}}$

${\displaystyle \theta _{3}(q^{2})=tftfrac {1}{2}}{\sqrt {2}[\theta _{3}(q)^{2}+\theta _{4}(q)^{2}}}}}}}}$

${\displaystyle \theta _{4}(q^{2})=svsqrt {{4}(q)\theta _{3}(q)}}} 표시$

제곱함수를 내부함수로 하는 세 개의 세타 제로값 함수의 제곱도 야코비 항등식에 따라 피타고라스 3중의 패턴으로 형성됩니다.또한 이러한 변환은 유효합니다.

${\displaystyle \theta _{3}(q^{4})=tftfrac {1}{2}}\theta _{3}(q)+{\tfrac {1}{2}}\theta _{4}(q)}$

다음 공식을 사용하여 이름의 입방체의 세타 값을 계산할 수 있습니다.

$\"표시 스타일 27\,\theta _{3}(q^{3)^{8}-18\,\theta _{3}(q^{3})^{4}-\,\theta _{3}(q)^{8}=8,\theta _{3}(q^{3)^{2}\ta_{4}(q)^{4}\ta(ta){4}(ta_4)^(ta_4)^(ta){ta}(ta_ta_ta_ta_4)$

$\"표시 스타일 27\,\theta _{4}(q^{3)^{8}-18\,\theta _{4}(q^{3})^{4}-\,\theta _{4}(q)^{8}=8,\theta _{4}(q^{3)^{2}\ta_{4}(q){ta}{4}{ta^{ta}(ta){4}(ta^{4){ta}{ta}(ta}(ta)^{4}(t$

그리고 다음 공식을 사용하여 nom의 5제곱 세타 값을 계산할 수 있습니다.

$\"표시 스타일 [\theta _{3}(q^{5)^{2}-\theta _{3}(q^{5)^{2}][5\,\theta _{3}(q)^{2}]^{2}-\theta _{3}(q^{5)^{2}^{2},\theta _{3}(q^{ta){4}\ta^{4}\ta}$

$\"표시 스타일 [\theta _{4}(q^{5)^{2}-\theta _{4}(q^{5)^{2}][5\,\theta _{4}(q)^{2}]^{2}-\theta _{4}(q^{5})^{2}^{2},\theta _{4}(q^{ta})_4}{ta_4}{ta^{ta^{3}\ta}\ta}\ta(ta_ta_4}$

이름의 입방근에서의 변환

타원형 명사의 입방근에서 세타 Nullwert 함수 값에 대한 공식은 해당 4차 방정식의 두 실제 해를 대조하여 얻습니다.

$표시({style\biggl [}{\frac{3}(q^{1/3})^{2}}{\theta_{3}(q^{3})^{2}}-{\theta_{3}(q^{3})^{2}}}{\theta_{3}}{\biggr}}}^{2}=4-{ta}{ta}{ta}{ta}{ta}{ta}{ta}{ta}{ta_{ta}{ta}}$

$표시({style\biggl [}{\frac {3\},\theta _{4}(q^{3})^{2}}-{\frac {{4}(q^{1/3})^{2}}-{\frac {4}(q)^{2}}}{\biggr}}^{2}=4+{ta}{ta}{ta^{ta}{ta}{ta}{ta}{ta}{ta}{ta}{ta}{ta}{ta}$

이름의 다섯 번째 어근에서의 변환

로저스-라마누잔 연속 분수는 야코비 세타 함수의 관점에서 다음과 같은 방법으로 정의할 수 있습니다.

$표시 스타일 R(q)=\tan{\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan{\frac {1}}-{\frac {{4}(q)^{2}}{2}},\theta _{4}(q^5)^{2}}{\biggr}{\biggr \^1/5}{\tan{frac{frac}{frac}{1}{\frac{\frac}{\frac}{\frac}{\frac}{\frac}{$

$표시 스타일 R(q^{2})=\tan{{\frac{1}{2}}\arctanbiggl[}{\frac{1}}-{\frac{{\frac{4}(q^5)^{2}}{2}},\theta_{4}(q^5)^{2}{\biggr}{\gr\cota}{{{\frac{\frac{1}{\frac}{\frac}{\frac}{\frac}{\frac}{\frac}{$

$표시 스타일 R(q^{2})=\tan{\biggl \{\frac {1}{2}}\arctanbiggl [}{\frac {3}(q^{5)^{2}}{2}}-{\frac {1}{\biggr}{\gr \biggr}{{{\gr}}{{\frac}{{\frac}{{\gla}{ta}{\frac}{{\frac}{{\frac}}{\grac}{\frac}{$

교대 로저스-라마누잔 연속 분수 함수 S(q)는 다음과 같은 두 가지 동일성을 갖습니다.

${\displaystyle S(x)=displayfrac {R(q^{4)}{R(q^{2)}}=\tan{\biggl \{\frac{1}}\arctan{biggl [}{\frac{3}(q)^{2}}}{2}}{\frac{1}{{\grac{1}}\gr}\cota{{\gr}\gr}\cota{{{{{\gr}}}}}}\ta}{{{{{{\theta _{3}(q^{5})^{2}}-{\frac{1}{2}}{\biggr}}{\biggr \}}^{2/5}}$

명사의 다섯 번째 근에서 세타 함수 값은 연속 분수 R 및 S와 명사의 다섯 번째 거듭제곱에서 세타 함수 값의 합리적 조합으로 나타낼 수 있습니다.다음 네 가지 방정식은 0과 1 사이의 모든 값 q에 대해 유효합니다.

$표시({style\frac{3}(q^{1/5})}{\theta_{3}(q^{5})}}-1=nbfrac{1}{S(q)}{\bigl[}S(q)^{2}+R(q^{2})}{\bigl[}}{\bigl[1+R(q^{2})}S(q)}{\bigr}}}}$

$표시 스타일 1-{\frac_{4}(q^{1/5})}{\theta_{4}(q^{5}})}{\bigl [}R(q^{2})+R(q)^{2}{\bigr}}{\bigl [}-R(q^{2})}{\bigl [1-R(q^{2})}}(q\bigr}}}$

$\displaystyle \theta _{3}(q^{1/5})^{2}-\theta _{3}(q)^{2}-\theta _{3}(q^{5})^{2}-\theta _{3}(q^{5})^{2}}{\bigl[1}+{\frac{R(q^2})}}{R^{2}}{R^{2}{2}{R^{R^{R}}}}}{R^(Q}{2}{R$

$\displaystyle \theta _{4}(q)^{2}-\theta _{4}(q^{1/5})^{2}=\theta _{4}(q^{5})^{2}-\theta _{4}^{\bigr}}{\bigl[1]-{{\frac{1}}{R(q^2})}{R^{2}{2}{R^{R}{R}{R^{R^(Q)}}}{R^{2}{R^{$

계수 의존 정리

타원 계수와 조합하여 다음 공식을 표시할 수 있습니다.

타원형 명사의 제곱 공식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \theta _{4}[q(k)]=\theta _{4}[q(k)^{2}]{\sqrt[{8}]{1-k^{2}}}}$

${\displaystyle \theta _{4}[q(k)^{2}]=\theta _{3}[q(k)]{\sqrt[{8}]{1-k^{2}}}}}$

$\"표시 스타일 \theta _{3}[q(k)^{2}]=\theta _{3}[q(k)]\cos[{\tfrac {1}{2}}\arcsin(k)]}}$

그리고 이것은 이름의 입방체에 대한 효율적인 공식입니다.

$표시 스타일 \theta _{4}{\biggl \bigle }q{\bigl \{}\tfrac {1}{2}}\arctan(t^{3}){\bigr}}{\bigr \}^{3}{\bigr \gr \rangle }=\theta_{4}{\bigl{\fr}\bigl{\fr}\bigl{\bigr}\bigl{\bigr}\bigr}\bigr}\bigr}\b{\bigr}^{1/2}}$

모든 실수 값 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}${\$displaystyle t\in$ \$mathbb$ {R$$$}$에 대해 지금 언급된 공식은 유효합니다.

그리고 이 공식에 대해 두 가지 예를 제시해야 합니다.

$값{\displaystyle }$ t$=$ ${\displaystyle 1}$ {{$displaystyle$ t =$1$}이$$(가) 삽입된 첫 번째 계산 예제:

$표시 스타일 \theta _{4}{\biggl \bigle}q{bigl \{}\tfrac{1}}\arctan(1){\bigr}}{\bigr \}^{3}{\biggr \rangle }=\theta_{4}{\bigl[{\frac{1}\bigr}\gr}\bigr{r}\bigr}\bigr{1}\bigr(\bigr}\bigr}\bigr}\bigr}$

$표시 스타일 \theta _{4}{\bigl [}\exp(-3"sqrt {2}}\,\pi){\bigr}}=\theta_{4}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi){\bigr}}\,3^{-1/2}{\bigl(}}\bigl({\bigrt}}}\bigl({1})^2}^2}}^2}}}^2}{{\big$

$=$ - $({$ t=\$Phi$^{-$2}}$ 값이$$ 삽입된 두 번째 계산 예제:

$표시 스타일 \theta _{4}{\biggl \taule}q{bigl \{}\tanbigl [}{\tfrac{1}{2}}\arctan(\Phi ^{-6}){\bigr \}^{3}{\biggr \rangle}=\thata_{\bigl{\bigl}\bigl{\bigl{\fr}{\bigl{\frac{\fr}{\bigl}{\fr}{\bigl}{\{{-4}+1}},{\bigr}^{1/2}}$

$표시 스타일 \theta _{4}{\bigl [}\exp(-3{\sqrt {10}}\,\pi){\bigr}}=\theta _{4}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {10}},\pi}{\bigl (}\sqrt {\pi ^2}{8}\i^{4}{i+1}{i}{i}}{i}{i}{i}{i}}{i}}}}{i}{i+1}{$

상수$\Delta {\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystyle \Phi}$는 골든 비 수 $=$ ${\displaystyle \frac{12}{}}$(${\displaystyle 5\sqrt{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle +}$ $)$ $디스플레이$스타일 \$Phi$ = $ltftfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)$을 정확하게 나타냅니다$$.

일부 영상 시리즈 ID

결과에서 세타 함수와 합합니다.

홀수 지수를 갖는 피보나치 수들의 무한^[14][15] 합은 다음과 같은 동일성을 갖습니다.

$표시 스타일 \sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{F_{2n-1}}=skfrac {{sqrt {5}}{2}},\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {2(\Phi ^{-2})^{1}{1}{1}{1}{{(\Phi ^{n-2}}}{\sqfrac}}{\infty}}}}{frac}{\infty}{\frac}{$

${\displaystyle = ({sqrt {5}}}{4}},\theta _{2}(\Phi ^{2})^{2}}= (\bigl [})\theta _{3}(\Phi ^{-1})^{2}-\theta _{4}(\Phi ^{-1})^{2}\bigl}}}}$

세타 함수 표현식을 사용하지 않음으로써 두 합 사이의 다음 항등식을 공식화할 수 있습니다.

$표시 스타일 \sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{F_{2n-1}}=sqfrac {{sqrt {5}}{4}},{\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty}2\,\Phi ^{-(2n-1)^{2}{\biggr}}^{2}}^{2}}}}^{2}}}{2}}}}}}.$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{F_{2n-1}}=1.82451574069245681421584062673217332\ldots}$

또한 이 경우 $=$ ${\displaystyle \frac{12}{}}$(${\displaystyle 5}$+ $)$ {\$displaystyle$ \$Phi$= $tftfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)}$은(는) 다시 골든 비율 숫자입니다.

피보나치 수 제곱의 무한 합:

$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{F_{n}^{2}}=nbigl {5}{24}}{\bigl [}2},\theta _{2}(\Phi ^{-2})^{4}-\tha _{3}^{4}^{4}^{2}{\frac{\ta}{2}{\ta}{\ta}{\ta}\ta}\ta.$

홀수 지수를 갖는 Pell 숫자의 역수 무한 합:

$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{P_{2n-1}}={\sqrt {2}}\,\theta_{2}{\bigl [}({\sqrt {2}-1})^{2}}^{2}={\bigrta}{\sqrta}{2}{ta}{\sqrta}{3}{ta}{ta}{\rta}{\rta}{ta$

summand의 theta 함수와 합

다음 두 개의 시리즈 동일성은 이스반 ^[16]메조에 의해 증명되었습니다.

$표시(\style{aligned}\theta_{4}^{2}(q)&=iq^{\frac{1}}\sum_{k=-\infty}^{2k^{2}-k}\theta_{1}\ta\ta\ta\ta\frac{4}{q,\right},\[6]\ta_{4}{k^{k^{k-}\infty}{k^{k^{k^{k-}\infty}\fty}\ta\end{aligned}}}$

이러한 관계는 모든 0 < q < 1. q의 값을 특수화하면, 다음 매개 변수 자유 합이 있습니다.

$표시({\frac {\frac {\pi}}{2}}\cdot {frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=i\sum _{k=-\infty}^{\infty }e^{\pi \left(k-2k^{2}\right)}\theta _{1}\left\frac{i\pi}{2}}(2k-1), e^{-\pi}\right)}$

$표시({\frac {3}{4}}\right)}}=\sum _{k=-\infty}^{\infty}{\frac{theta_{4}\left(ik\pi,e^{-\pi}\right)}{e^{2\pi k^{2}}}}}$

야코비테타 함수의 0

Jacobi theta 함수의 모든 0은 단순 0이며 다음과 같이 제공됩니다.

$표시({style{aligned}\vartheta(z;\vartheta)=\vartheta_{00}(z;\vartheta)&=0\vartheta&\LongLeft오른쪽 화살표 &&\lambda z&=m+n\lambda +{\frac {1}{2}}+{\frac {{2}}\[3pt]\vartheta _{11}(z;\lambda)&=0\lambda&\Long left 오른쪽 화살표 &&\lambda z&=m+n\lambda \\[3pt]\vartheta _{10}(z;\lambda)&=0\lambda &\Longleft 오른쪽 화살표 &&\beta z&=m+n\beta +{\frac {1}{2}}\[3pt]\vartetha_{01}(z;\filename)&=0\filename &\Longleft 오른쪽 화살표 &&\filename z&=m+n\frac +{\frac {{2}}\end{aligned}}}$

여기서 m, n은 임의의 정수입니다.

리만 제타 함수와의 관계

관계

${\displaystyle \vartheta \left(0;-{\frac {1}{\frac }}\right)=\leftpxi\frac \light)^{\frac {1}{2}}\vartheta(0;\displaystyle)}$

리만은 멜린 변환을 통해 리만 제타 함수에 대한 함수 방정식을 증명하기 위해 사용되었습니다.

${\displaystyle \Gamma \left\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}\zeta(s)={1}{2}}\int_{0}^{\infty}{\vartheta(0;it)-1}}{\frac{{math}}t}}t$

s를 1 - s로 대체하면 불변함을 나타낼 수 있습니다.z ≠ 0에 해당하는 적분은 후르비츠 제타 함수에 대한 기사에 나와 있습니다.

바이어슈트라스 타원함수와의 관계

세타 함수는 위의 네 개의 세타 함수의 계수로서 그의 타원 함수를 구성하기 위해 (쉽게 계산할 수 있는 형태로) 야코비에 의해 사용되었고, 그는 또한 바이어슈트라스의 타원 함수를 구성하기 위해 사용될 수 있었습니다.

${\displaystyle \wp (z;\big)=-{\big (}\log \vartetha _{11}(z;\big)}'+c}$

여기서 두 번째 도함수는 z에 대한 것이고 상수 c는 z = 0에서 π(z)의 로랑 확장이 0 상수 항을 갖도록 정의됩니다.

q-감마 함수와의 관계

네 번째 세타 함수(다른 함수도 마찬가지)는 관계를 통해^[17] 잭슨 q-감마 함수와 밀접하게 연결됩니다.

$\displaystyle \left(\Gamma _{q^{2}}(x)\Gamma _{q^{2}}(1-x)\right)^{-1}=sysfrac {q^{2x(1-x)}}{\left(q^{-2};q^{-2}\right)_{\inft(q^{2}-1}\right)}\right)}}\theta _{4}\left\frac{1}{2i}}(1-2x)\log q,{\frac{1}{q}}\right)}.$

데데킨데타 함수와의 관계

η(τ)를 데데킨데타 함수로 하고, 세타의 인수를 nom q = e로^πiτ 함수화합니다.그리고나서,

$표시({style{aligned})\theta_{2}(q)=\vartheta_{10}(0;\deta)&=deta{2\ta^{2}(2\deta)},\[3pt]\ta_{3}(q)=\vartheta_{00}(0;\deta)&amp;\ta{ta}{ta}{ta}{ta}{\ta}\deta}{\ta}{\ta}{\ta}{\}{\eta(\ta +1)},\\[3pt]\theta_{4}(q)=\vartheta_{01}(0;\tau)&=taufrac{{eta^{2}\tau\frac{2}}\tau \right)}{\eta (\deta)},\end{aligned}}}$

그리고.

$\displaystyle \theta _{2}(q)\,\theta _{3}(q)\,\theta _{4}(q)=2\eta ^{3}(\deta)}을(를) 표시합니다.$

Weber 모듈식 함수도 참조하십시오.

타원 계수

타원 계수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle k(\displaystyle)=displayfrac{vartheta_{10}(0;\displaystyle)^{2}}{\vartheta_{00}(0;\displaystyle)^{2}}}}$

그리고 상보적인 타원 계수는

${\displaystyle k'(\displaystyle k')=displayfrac{vartheta_{01}(0;\displaystyle)^{2}}{\vartheta_{00}(0;\displaystyle)^{2}}}}$

세타 함수의 도함수

두 번째 종류의 완전한 타원 적분에 대한 두 가지 동일한 정의는 다음과 같습니다.

${\displaystyle E(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin(\varphi)^{2}}\displaystyle \varphi}$

${\displaystyle E(k)=displayfrac{pi}{2}}\sum _{a=0}^{\infty}{\frac{(2a)!]^{2}}{{(1-2a)16^{a}(a!)^{4}}k^{2a}}$

Theta Nullwert 함수의 파생 모델에는 다음과 같은 MacLaurin 시리즈가 있습니다.

$\"표시 스타일 \theta _{2}'(x)={\mathrm {d}{\mathrm {d}x}\,\theta _{2}(x)={n1}{2}x^{2}\sum _{n=1}^{\infty}{\frac{1}{2}(2n+1)^{2}x(2+3)}/4}}}{\}}}}}$

${\displaystyle \theta _{3}'(x)=displayfrac{mathrm {d}{\mathrm {d} x}}\,\theta _{3}(x)=2+\sum _{n=1}^{\infty}2(n+1)^{2}}x^{n(n+2)}}}$

${\displaystyle \theta _{4}'(x)=displayfrac{\mathrm {d}{\mathrm {d} x}}\,\theta _{4}(x)=-2+\sum _{n=1}^{\infty}2(n+1)^{n+1}x(n+2)}}}}}}}$

제로 값 함수의^[18] 도함수는 다음과 같습니다.

$\"표시 스타일 \theta _{2}'(x)={\mathrm {d}{\mathrm {d}x}}\,\theta _{2}(x)={2\pix}\theta _{3}(x)^{2}E{\frac{\ta}{\ta}{\ta}{\gr}}}{ta}{ta}}{gr}}{ta}}}{gr}}{gr.$

$\"표시 스타일 \theta _{3}'(x)={\mathrm {d}{\mathrm {d}x}}\,\theta _{3}(x){\bigl [}\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}{\bigr}{\frac{ta}{ta}{\bigl}{ta}{ta}{ta\bigl}{ta}{ta}{ta}{ta}{ta$

$\"표시 스타일 \theta _{4}'(x)={\mathrm {d}{\mathrm {d}x}}\,\theta _{4}(x){\bigl [}\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}^{\bigr}{\gl \frac{1}{ta\bigl}{ta}{ta}{ta\bigl}{ta}{ta}{ta}{ta}{ta}{ta\big$

마지막으로 언급된 두 공식은 정의 구간의 모든 실수에 대해 유효합니다 -1< < x $∈$ { \ $displaystyle$ - 1 <$x$ < $1$\ $cap$\,$x$ \ $in$\$mathbb {R }$

그리고 마지막으로 명명된 두 개의 세타 미분 함수는 다음과 같은 방식으로 서로 관련이 있습니다.

$표시 스타일 \vartheta _{4}(x){\biggl [}{\frac{mathrm{d}x}}\,\vartheta_{3}(x){\biggr}}-\vartheta_{3}(x){\biggl [}{\frac{\mathrm{d}}}}{\ta{x},\ta},\ta{4(\gr},\ta},\ta},\ta}{ta{\ta}{ta}{$

여기서 언급된 세타 함수 중 두 개의 계수의 도함수는 항상 이 세 함수와 합리적인 관계를 갖습니다.

$style {\frac {\mathrm {d}{\mathrm {d}x}\,{\frac {{2}(x)}{\theta _{3}(x)}={frac {{2}(x)},\theta _{4}^{4}}{4,x\theta {3}}표시$

$style {\frac {\mathrm {d}{\mathrm {d}x}\,{\frac {{2}(x)}{\theta _{4}(x)}={frac {{2}(x)},\theta _{3}^{4}}{4,x\theta {4}}표시$

$표시(\style\frac{\mathrm{d}{\mathrm{d}x})\,{\frac{theta_{3}(x)}={frac{3}^{5}-\theta_{3}(x)\theta_{4}^{4}}}{4,x,\theta_{4}}{4},\theta_ta{4}(x}}}}를 표시합니다.$

이러한 파생 공식의 파생은 Nome(수학) 및 Modular 람다 함수를 참조하십시오!

세타 함수의 적분

세타 함수의 경우 다음 적분이^[19] 유효합니다.

${\displaystyle \int _{0}^{1}\theta _{2}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=-\infty}^{\infty}{\frac {4}{(2k+1)^{2}+4}=\pi \tanh(\pi)\ta 3.129881}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}\theta _{3}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=-\infty}^{\infty}{\frac {1}{k^{2}+1}}=\pi \coth(\pi)\discont 3.153348}$

$\"표시 스타일 \int _{0}^{1}\theta _{4}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=-\infty}^{\infty}{\frac {(-1)^{k}}{k^{2}+1}}}=\pi \,\operatorname {csch}(\pi)\deta0.272029}$

이제 표시된 최종 결과는 일반적인 코시 합계 공식을 기반으로 합니다.

열방정식의 해

야코비 세타 함수는 공간적으로 주기적인 경계 ^[20]조건을 가진 1차원 열 방정식의 기본 솔루션입니다.z = x를 현실로, τ = 그것을 현실과 긍정으로 가정하면, 우리는 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle \vartheta (x;it)=1+2\sum _{n=1}^{\infty}\exp \lefts\pin^{2}t\right)\cos(2\pinx)}$

열 방정식을 푸는 것은

$표시({style\frac \\fartheta (x;it)=vardfrac {1}{4\pi }{\frac {\frac \fartheta ^{2}}{\frac x^{2}}\vartheta (x;it)}$

이 세타 함수 솔루션은 x에서 1차원 함수이며, t → 0으로서 분포의 의미에서 주기적 델타 함수 또는 Diraccomb에 접근합니다.

${\displaystyle \underset{}{한계}}$ $→$ $ϑ$ (${\displaystyle x}$ ;${\displaystyle \mathrm{it}}$ ) ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ - ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{n}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ - ∞${\displaystyle \delta }$( ${\displaystyle x}$-${\displaystyle }$n ) \{$displaystyle \lim$ _${t\to$ 0$}\vartheta (x;it$)=\$sum$ _${n$=-\$infty}^{\infty}\$infty$(x-n$

열 방정식에 대한 공간 주기적 초기값 문제의 일반적인 해결책은 t = 0에서 초기 데이터를 세타 함수로 분해하여 얻을 수 있습니다.

하이젠베르크 군과의 관계

자코비 세타 함수는 하이젠베르크 그룹의 이산 부분군의 작용 하에서 불변합니다.이 불변성은 하이젠베르크 그룹의 세타 표현에 관한 기사에 제시되어 있습니다.

일반화

만약 F가 n개 변수의 2차 형태라면, F와 연관된 세타 함수는

${\displaystyle \theta _{F}(z)=\sum _{m\in \mathbb {Z}^{n}}e^{2\piizF(m)}}}$

$정수{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ $({$의 격자 위로 확장된 합.이 세타 함수는 모듈식 그룹의 (적절하게 정의된 부분군에 대한) 가중치 n/2의 모듈식 형식입니다.푸리에 확장에서,

$표시({style\hat\theta}_{F}(z)=\sum_{k=0}^{\infty}R_{F}(k)e^{2\piikz}}$

숫자_F R(k)은 형태의 표현 번호라고 불립니다.

디리클레 캐릭터의 세타 시리즈

χ 원시 디리클레 문자 모듈로 q 및 ν = 1 - χ 1 )/2의 경우, 다음과 같습니다.

$\displaystyle \theta _{\chi }(z)=displayfrac {1}{2}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\chi(n)n^{\nu }e^{2i\pin^{2}z}}}$

가중치 1/2 + ν 모듈식 레벨 4q² 및 문자 형식입니다.

${\displaystyle \chi (d)\left\frac {-1}{d}\right)^{\nu }}$

즉^[21], 즉

${\displaystyle \theta _{\chi }\left\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\chi (d)\lefts\frac{-1}{d}\right)^{\nu}\lefts\frac{{1}\lefts\frac{az+b}{cz+d}\right)}{\theta _{1}(z)}}\right)^{1+2\nu }\theta _{\chi }(z)}$

언제든지

$displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z}^{4},ad-bc=1,c\equiv 0"bmod {4}}q^{2}}.$

라마누잔세타 함수

리만 세타 함수

허락하다

${\displaystyle \mathbb {H} _{n}=\left\{F\in M(n,\mathbb {C})\,{\big}\,F=F^{\mathsf{T}}\,,\,\operator 이름 {Im} F>0\right\}$

가상 부분이 양의 확실한 대칭 제곱 행렬의 집합입니다.${$은(는) 시겔 상부 반공간이라고 하며 상부 반평면의 다차원 아날로그입니다.모듈러 군의 n차원 유사체는 심플렉틱 군 Sp(2n, ${$이며, n = 1에 대해 Sp(2,$${$displaystyle \mathbb {Z$ = SL(2, ${$입니다.합동 부분군의 n차원 아날로그는 다음과 같이 재생됩니다.

$\displaystyle \ker \big \{}\operatorname {Sp}(2n,\mathbb {Z})\to \operatorname {Sp}(2n,\mathbb {Z} /k\mathbb {Z}({\big \}){\big \}}.$

그리고, τ ${{$가 주어지면, 리만 세타 함수는 다음과 같이 정의됩니다.

$\"displaystyle \theta (z,\mathbb)=\sum _{m\in \mathbb {Z}^{n}}\exp \left(2\pii\left\tfrac {1}{2}}m^{\mathsf{T}}\taum+m^{\mathsf{T}z\right)\right}.$

여기서 z∈ ${$은 n차원 복소 벡터이며, 초첨자 T는 전치를 나타냅니다.자코비 세타 함수는 n = 1 및$\tau {\displaystyle \mathbb{}}$ H {\$displaystyle \mathbb {H}$의 특수한 경우입니다. $여기$서$$H {\$displaystyle \mathbb {H}$는 상위 반평면입니다.리만 세타 함수의 주요 응용 중 하나는 첫 번째 호몰로지 그룹에 대한 표준 기저에 대한 주기 행렬로 γ를 취함으로써 콤팩트 리만 표면과 함수 이론에서 두드러지게 나타나는 다른 보조 물체에 대한 명시적인 공식을 제공할 수 있다는 것입니다.

리만 세타는 ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$\$displaystyle \mathbb {C}^{n}\times$ \$mathbb {H}_{n$의 콤팩트 하위 집합에 절대적이고 균일하게 수렴합니다.

함수 방정식은 다음과 같습니다.

$\"표시 스타일 \theta(z+a+\tau b,\tau)=\exp \left(2\pii\left\mathsf b^{\mathsf {T}}z-{\tfrac {1}{2}}b^{\mathsf {T}\tau\right)\right)\tha(z,\theta)}$

이 값은 모든 벡터 a, b ${\displaystyle {}^{}}$ ${$^{$n$ 및 모든 z ∈ $Cn$ {\$mathbb {C}$^{$n}$ 및$$$\tau {\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ {{$displaystyle \mathbb {H} _{n$에 대해 고정됩니다.

푸앵카레 계열

Poincaré 시리즈는 임의의 Fuchsian 그룹에 대해 세타 시리즈를 오토모픽 형태로 일반화합니다.

세타 함수 계수

만약 a와 b가 양의 정수라면, π(n) 임의의 산술 함수와 q < 1,

$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\chi (n)q^{an^{2}+bn}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sum _{\stackrel {d n}{ad^{2}+bd=n}\chi (d)$

f(n)와 π(n)가 임의의 산술 함수이고, f(n) :$N{\displaystyle \mathbb{}}$ {{$displaystyle \mathbb {N}$ $$→$$N {{$displaystyle \mathbb {N$$}$}가 f(0) = 0과 함께 엄밀하게 증가하는 일반적인 경우는 다음과 같습니다.

$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\chi (n)q^{f(n)}=\sum _{n}^{\infty }q^{n}\sum _{f(\infty)d}\chi (\chem)\mu \left\frac {d}{f(\infty)}\right}.$

세타 값 도출

오일러 베타 함수의 항등식

다음에서 세 가지 중요한 세타 함수 값을 예로 들 수 있습니다.

오일러 베타 함수는 다음과 같이 축소된 형태로 정의됩니다.

${\displaystyle \displaystyle (x)=displayfrac{Gamma (x)^{2}}{\Gamma (2x)}}}$

일반적으로 모든 $자연수{\displaystyle }$ n ${\displaystyle \in }$ {$displaystyle$n\$in \mathbb${N$}$에 대해$$ 오일러 베타 함수의 공식은 유효합니다.

$표시({style\frac{4^{-1/(n+2)}{n+2}}\csc{bigl(}{\fracpi}{n+2}}}{\bigr}}{\biggr}}=\int_{0}^{\infty}{\sqrt{x^{n+2}}}{\math}}{d}$

예시적인 타원 적분

다음에서 일부 타원 적분 특이치가^[22] 도출됩니다.

다음 함수에는 다음과 같은 타원 반파생 함수가 있습니다. $표시({style{\frac {1}{\sqrt {x^{4}+1}}=svfrac{mathrm {d}{\mathrm {d}x}},{\frac{1}{2}F{\biggl [}2\arctan(x);{\frac{1}{\sqrt {2}}}{\biggrt}}}}}}$ $n{\displaystyle }$ $=$ {$displaystyle$ n=$2$$}$ 값에 대해 다음과 같은 ID가 나타납니다. $표시({style\frac {1}{4\fracsqrt {2}}}\cscbigl(}{\frac {pi}{4}}{\bigr}}}{\bigr}}=\int_{0}^{\infty}{\mathrm{d}{\bigr}{{\gl}{\frac}{\frac}{\gla}{\color}{\bigr}{\bigr}{{\color}}\bigr}{\bigr}$ ${\displaystyle = displayfrac {1}{2}}F{\bigl (}\pi;{\frac {1}{2}}{\bigr}}=K{\bigl (}{\frac {1}{2}}}{\sqrt {2}}}}}{\bigr}}}}}$ 이 결과는 방정식 체인으로부터 나옵니다. ${\style{ForestGreen}K{\bigl(}{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}}={\bigr}}fr{\frac{1}{4}}\bigl(}{\frac{1}{\bigr)}} 표시$

다음 함수에는 다음과 같은 등조파 타원 반파생 함수가 있습니다. $표시({style\frac{1}{\sqrt{x^{6}+1}}=sqfrac{mathrm{d}{\mathrm{d}x}}\,{\frac{1}{\frac{4}}{27}F{\biggl[}}{2\arctan{{\frac{\sqrt{4}}}{\sqrt{{2}{\grt}{{\grt}{\grt}{{\grt}}{{{{\gr$ $n{\displaystyle }$ $=$ {$displaystyle$ n=$4$$}$ 값에 대해 다음과 같은 ID가 나타납니다. $표시({style\frac{1}{6fracsqrt[{3}}{2}}})\csc{{\fracpi}{6}}{\bigr}}\bigl(}{\frac{1}}{\bigr}}=\int_{0}^{\infty}{\math{x6}{\gl}{\color}{\bigr}{\math}{\bigr}{\bigr}{\bigr}{{{{\color}{\bx}{\sqrt {x^{2}+1}}{\biggr}};{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}}{\biggr \}}_{x=0}^{x=\infty}=}}$ ${\displaystyle = displayfrac {1}{6}}{\sqrt[{4}]{27}}F{\bigl [}2\arctan({\sqrt[{4}]{3}}}{\frac {1}}({\sqrt{6}}+{\sqrtrt}}}){\bigrt}}={27K{\rt}{\rt}{\rt}{\rt}{\rt}{\rt}{{\rt}{{$ 이 결과는 방정식 체인으로부터 나옵니다. $표시({style{{forestGreen}K{\bigl}{\frac{1}{4}}({\sqrt{6}}-{\sqrt{2}}){\bigr}}={2}}{\sqrt[{4}}}}{\bigl}}\bigl({\frac{3}}})}}}{{{\bigr}}}}}}}}}}{{{{{{{{\bigl}}}}}}}}}}}}}}$

그리고 다음 함수는 다음과 같은 타원 반파생을 갖습니다. $디스플레이 {\style {frac {1}{\sqrt {x^{8}+1}}=}$ ${\displaystyle = sec{\mathrm {d}{\mathrm {d}x}\,{\frac {1}{4}}\sec {\bigl(}\bigl \{\frac \pi}{8}}}F{\biggl \{\cos(\pi/8)\x{\sqr}}{{\sqrta}{{x}{{\rt}{{{2}}{\grt}}{{{{{{\rt}}}{{{\ggl \{}\arcsin{\frac{2\cos(\pi/8)\,x}{x^{2}+1}{\bigr}};\tan{{\bigl(}{\frac{pi}{8}}}{\bigr}}}}}$ $n{\displaystyle }$ $=$ {$displaystyle$ n=$6$$}$ 값에 대해 다음과 같은 ID가 나타납니다. $표시({style\frac {1}{8}{4}}{2}}}\csc{bigl(}{\fracpi}{8}}}{\bigr)}=\int_{0}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{x^{8}+1}},\math{d}=}$ ${\displaystyle = seclorbigl \color{blue}{\frac{1}{4}}\sec{\bigl(}\frac \pi}{8}}{\arctanbigl [}}{\frac {2\cos(\cos(\pi/8)},x}{\sqrt {\x{2}}{\x2}}{{\x{{\grt}}{{{2}}{\grtbigl}}{{{{1}}{아크신(arcsin){\biggl [}{\frac{2\cos(\pi/8)\,x}{x^{2}+1}}{\biggr}}{\biggr \}}{\biggr \rangle}}{{x=\infty}=}}$ ${\displaystyle = displayfrac {1}{4}}\sec {\frac {pi}{8}}{\bigr}}F{\bigl [}\bigl [\pi;2\bigr]{2}}\sin {\bigl (}{\frac {1}{\bigr}}}={\bigl}{\rt}{2}{rt}{rt}}{rt}{rt}{rt}{rt}}}{\bigl{rt}{$ 이 결과는 방정식 체인으로부터 나옵니다. $표시{style{{forestGreen}K({\sqrt{2}}-1)={{8}}{\sqrt[{4}]{2}}},({\sqrt{2}}+1)\,\bigl({\frac{3}{8}}}}},\bigr}}}}}$

통합 ID와 이름의 조합

타원 함수에는 다음과 같은 중요한 값이 있습니다.

${\displaystyle q({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}=\exp(-\pi )}$

${\displaystyle q[{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})]=\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )}$

${\displaystyle q({\sqrt {2}}-1)=\exp(-{\sqrt {2}},\pi )}$

이러한 명명 값의 정확성에 대한 증거는 명명(수학) 문서를 참조하십시오!

위에서 언급한 정의 및 본 문서의 동일한 섹션에 있는 세타 함수에 대한 이러한 적분 동일성에 기초하여 모범적인 세타 제로 값이 지금 결정되어야 합니다.

${\displaystyle \theta _{3}[q(k)]=sksqrt {2\pi ^{-1}K(k)}}}$

$\displaystyle \theta _{3}[\exp(-\pi )]=\theta _{3}[q({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}]={sqrt {2}}K({\tfrac {1}}}{\sqrt{2}}}}=2^{1-1}{\frac{4}{4}}{\sqrtpi}}}{1}}{\rtpi}}}}}}}}{\tfrac{\$

$\displaystyle \theta _{3}[\exp(-{\sqrt {3}\,\pi )]=\theta _{3}{\bigl \{{}qrt {4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr}}{\bigr}}}=sqrtrtrtrtrt{2\pi^{\bigrt{\bigrt{{\big}{\rt}{2}{\rt$

$\displaystyle \theta _{3}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]=\theta _{3}[q({\sqrt {2}-1}]={2\pi ^{-1}K({\sqrt{2}}-1})=2^{-1/8}\cospi}\tfrac{1}\pi^{1}{1/2}{1/2}{\frac}{\t}{\t}}}}{t}{$

${\displaystyle \theta _{4}[q(k)]=nbsqrt[{4}]{1-k^{2}}}\,{\sqrt {2\pi^{-1}K(k))}}$

$\displaystyle \theta _{4}[\exp(-{\sqrt {2}\,\pi )]=\theta _{4}[q({\sqrt {2}-1}]={2}\sqrt {2}-2},{\sqrt {2}\pi^{\sqrt}K({\sqrt}-1})}=2^{1}\cos{1}{1}\t}\t}\ta{\t}\t}\t}\t}\$

파티션 시퀀스 및 Pochhammer 제품

정규 파티션 번호 순서

정규 파티션 $시퀀스{\displaystyle }$ P${\displaystyle (n}$ {\$displaystyle$P$(n)}$ 자체는$$$$ 양의 정수$n$이 양의 정수 합계로 분할될 수 있는 방법의 수를 나타냅니다.n ${\displaystyle =}$$$ {$displaystyle$ n$$ = $1$= ${\displaystyle 5}$ {$displaystyle$ n = $5$}의 $경우{\displaystyle }$ 모든 관련 번호 파티션과 관련된 파티션 $번호{\displaystyle }$P {$displaystyle$ P$}$가 다음 표에 나열됩니다.

P(n) 및 관련 숫자 파티션의 예제 값

n	P(n)	지불 칸막이
0	1	() 빈 파티션/빈 합계
1	1	(1)
2	2	(1+1), (2)
3	3	(1+1+1), (1+2), (3)
4	5	(1+1+1+1), (1+1+2), (2+2), (1+3), (4)
5	7	(1+1+1+1+1), (1+1+1+2), (1+2+2), (1+1+3), (2+3), (1+4) , (5)

일반 파티션 번호 시퀀스의 생성 함수는 다음과 같은 방법으로 Pochhammer 제품을 통해 나타낼 수 있습니다.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty}P(k)x^{k}=\theta_{3}(x)^{-1/6}}=\theta_{3}^{-2/3}{\big[x]}{\fractheta{3}^{4(x)\ta}{4}{x}{gr}{x}{x}{gr}{x}{x}{gr}}}{4}{4}}}}}}}{gr}}}{$

이제 언급된 포치해머 곱의 요약은 오각수 정리에 의해 다음과 같이 설명됩니다.

$\"displaystyle (x;x)_{\infty}=1+\sum _{n=1}^{\infty}{\bigl [}-x^{\text{Fn}(2n-1)}}-x^{\text{Fn}}(2n)}+x^{\text{\text{Kr}}}\bigl}$

다음의 기본 정의는 오각형 번호와 카드 하우스 번호에 적용됩니다.

$표시{style{text{Fn}}(z)=tftfrac {1}{2}}z(3z-1)}$

$표시{style{text{Kr}(z)=tftfrac{1}{2}}z(3z+1)}$

추가적으로^[23] 오일러 곱의 세 번째 거듭제곱에 대한 공식을 얻습니다.

${\displaystyle (x;x)^{3}=\displaystyle _{n=1}^{\infty}(1-x^{n})^{3}=\sum _{m=0}^{\infty}(-1)^{m}(2m+1)x^{m(m+1)/2}}}}$

엄격한 파티션 번호 순서

그리고 엄밀한 분할 $순서{\displaystyle }$Q ($$ ) {\$displaystyle$Q$(n$)}는$$$$ 이러한 양의 정수$n$을 양의 정수 summ으로 분할하여 각 summand가 최대^[24] 한 번 나타나고 summand 값이 반복적으로 발생하지 않도록 할 수 있는 방법의 수를 나타냅니다.파티션에 홀수 합계만 포함된 경우에도 정확히^[25] 동일한 시퀀스가 생성되지만 이러한 홀수 합계는 두 번 이상 발생할 수 있습니다.다음 표에서는 엄격한 파티션 번호 시퀀스에 대한 두 가지 표현을 비교합니다.

Q(n) 및 관련 숫자 파티션의 예제 값

n	Q(n)	반복 합계가 없는 파티션 수	홀수 추가만 있는 파티션 수
0	1	() 빈 파티션/빈 합계	() 빈 파티션/빈 합계
1	1	(1)	(1)
2	1	(2)	(1+1)
3	2	(1+2), (3)	(1+1+1), (3)
4	2	(1+3), (4)	(1+1+1+1), (1+3)
5	3	(2+3), (1+4), (5)	(1+1+1+1+1), (1+1+3), (5)
6	4	(1+2+3), (2+4), (1+5), (6)	(1+1+1+1+1+1), (1+1+1+3), (3+3), (1+5)
7	5	(1+2+4), (3+4), (2+5), (1+6), (7)	(1+1+1+1+1+1+1), (1+1+1+1+3), (1+3+3), (1+1+5), (7)
8	6	(1+3+4), (1+2+5), (3+5), (2+6), (1+7), (8)	(1+1+1+1+1+1+1+1), (1+1+1+1+1+3), (1+1+3+3), (1+1+1+ 5), (3+5), (1+7)

엄격한 파티션 번호 시퀀스의 생성 함수는 Pochhammer의 제품을 사용하여 나타낼 수 있습니다.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty}Q(k)x^{k}=codiffrac{1}{(x;x^{2})_{\infty }}=\theta_{3}(x)^{1/6}\biggl[}{\frac{{\3(x)}{4}{ta}{gr}{4}{ta}{gr}{4}{4}{gr}{x}}}}{x}}{gr}}}{ta$

오버파티션 번호 시퀀스

함수₀₁ ϑ의 역수에 대한 매클로린^[26] 급수는 과분수열의 수를 양수 부호를 갖는 계수로 합니다.

$표시({style {\frac {1}{\theta _{4}(x)}=\frac _{n=1}^{\infty}{\frac {1+x^{n}}{1-x^{n}}=\sum _{k=0}^{\infty}{\overline{P}(k)^{k}}}{k^{k}}}}}}를 표시합니다.$

$표시({style\frac {1}{\theta _{4}(x)}=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+14x^{4}+24x^{5}+40x^{6}+64x^{7}+100x^{8}+154x^{9}+232x^{10}+\deta}$

만약, 주어진 숫자 k에 대해, 모든 파티션이 합치 크기가 결코 증가하지 않는 방식으로 설정되어 있고, 자신의 왼쪽에 같은 크기의 합치가 없는 모든 합치는 이 유형의 각 파티션에 대해 표시될 수 있다,그러면 k{display}에 따라 표시된 파티션의 결과 수[27]가 됩니다$오버파티션{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 함수 P$$ ${\displaystyle ¯}$ (${\displaystyle k}$ {$displaystyle {\overline {P}(k)}$에 의한 $스타일$k}.

첫 번째 예:

${\style {P}(4)=14} 표시$

다음 14가지 파티션 표시 가능성은 합계 4에 대해 존재합니다.

(4), (4), (3+1), (3+1), (3+1), (3+1), (2+2), (2+2), (2+1+1), (2+1+1), (2+1+1), (2+1+1), (1+1+1+1), (1+1+1+1)

두 번째 예:

${\style {P}(5)=24} 표시$

다음과 같은 24가지 파티션 표시 가능성이 합계 5에 대해 존재합니다.

(5), (5), (4+1), (4+1), (4+1), (4+1), (3+2), (3+2), (3+2), (3+2), (3+1+1), (3+1+1), (3+1+1), (3+1+1), (2+2+1), (2+2+1), (2+2+1), (2+2+1), (2+1+1+1), (2+1+1+1), (2+1+1+1), (2+1+1+1), (1+1+1+1+1), (1+1+1+1+1)

파티션 번호 시퀀스 간의 관계

정수열 온라인 백과사전(OEIS)에서 정규 파티션 번호 P(n) {\displaystyle P(n)}의 순서는 코드 A000041 아래에 있고, 엄격한 파티션의 순서는 코드 A000009 아래에 Q(n) {\displaystyle Q(n)}이고, 코드 A015128 아래에 있는 슈퍼 파티션 P(n)의 순서는 라인 {P}(n) 위에 있다.$인덱스{\displaystyle }$ n $=$ {{$displaystyle$ n=$1}$의 모든 상위 파티션은 짝수입니다.

슈퍼 $파티션{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 시퀀스 P ${\displaystyle ¯}$ (${\displaystyle n}$) {$displaystyle {overline {P}(n)}$은 정규 파티션 시퀀스^[28] P로 작성할 수 있으며 완전 파티션 시퀀스^[29] Q는 다음과 같이 생성할 수 있습니다.

${\style {\overline {P}(n)=\sum _{k=0}^{n}P(n-k)Q(k)} 표시$

다음 숫자 순서 표에서 이 공식을 예로 사용해야 합니다.

n	P(n)	Q(n)	${\style {P}(n)} 표시$
0	1	1	1 = 1*1
1	1	1	2 = 1 * 1 + 1 * 1
2	2	1	4 = 2 * 1 + 1 * 1 + 1 * 1
3	3	2	8 = 3 * 1 + 2 * 1 + 1 * 1 + 1 * 2
4	5	2	14 = 5 * 1 + 3 * 1 + 2 * 1 + 1 * 2 + 1 * 2
5	7	3	24 = 7 * 1 + 5 * 1 + 3 * 1 + 2 * 2 + 1 * 2 + 1 * 3

이 속성과 관련하여 함수₀₁ ϑ를 통해 다음과 같은 두 계열의 합계 조합을 설정할 수도 있습니다.

${\displaystyle \theta _{4}(x)=displaybiggl [}\sum _{k=0}^{\infty}P(k)x^{k}{\biggr}}{\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty}Q(k)x^{\biggr}}^{-1}}}$

메모들

레퍼런스

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1964). Handbook of Mathematical Functions. New York: Dover Publications. sec. 16.27ff. ISBN 978-0-486-61272-0.
• Akhiezer, Naum Illyich (1990) [1970]. Elements of the Theory of Elliptic Functions. AMS Translations of Mathematical Monographs. Vol. 79. Providence, RI: AMS. ISBN 978-0-8218-4532-5.
• Farkas, Hershel M.; Kra, Irwin (1980). Riemann Surfaces. New York: Springer-Verlag. ch. 6. ISBN 978-0-387-90465-8.(리만 세타 치료용)
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1959). An Introduction to the Theory of Numbers (4th ed.). Oxford: Clarendon Press.
• Mumford, David (1983). Tata Lectures on Theta I. Boston: Birkhauser. ISBN 978-3-7643-3109-2.
• Pierpont, James (1959). Functions of a Complex Variable. New York: Dover Publications.
• Rauch, Harry E.; Farkas, Hershel M. (1974). Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces. Baltimore: Williams & Wilkins. ISBN 978-0-683-07196-2.
• Reinhardt, William P.; Walker, Peter L. (2010), "Theta Functions", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.
• Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1927). A Course in Modern Analysis (4th ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ch. 21. (Jacobi의 θ 함수의 역사)

진일보한 내용

• Farkas, Hershel M. (2008). "Theta functions in complex analysis and number theory". In Alladi, Krishnaswami (ed.). Surveys in Number Theory. Developments in Mathematics. Vol. 17. Springer-Verlag. pp. 57–87. ISBN 978-0-387-78509-7. Zbl 1206.11055.
• Schoeneberg, Bruno (1974). "IX. Theta series". Elliptic modular functions. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 203. Springer-Verlag. pp. 203–226. ISBN 978-3-540-06382-7.
• Ackerman, Michael (1 February 1979). "On the generating functions of certain Eisenstein series". Mathematische Annalen. 244 (1): 75–81. doi:10.1007/BF01420339. S2CID 120045753.

해리 라우치와 허셜 M.파르카스:세타는 리만 서피스, 윌리엄스 및 윌킨스, 볼티모어 MD 1974, ISBN 0-683-07196-3에 대한 응용 프로그램으로 작동합니다.

• 찰스 에르미트:Surarésolution de l'Equation ducinquiéme degré Competesrendus, C. R. Acad.1858년 3월 11일, 과학자 파리.

외부 링크

• Moiseev Igor. "Elliptic functions for Matlab and Octave".

이 기사는 크리에이티브 커먼즈 어트리뷰션/쉐어라이크 라이선스로 라이센스가 부여된 PlanetMath의 Jacobi theta 함수의 적분 표현에서 얻은 자료를 통합합니다.