베른하르트 리만

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베른하르트 리만
리만 1863
태어난	게오르크 프리드리히 베른하르트 리만 1826년 9월 17일 (1826-09-17) 브레셀렌츠, 하노버 왕국 (오늘날의 독일)
죽은	1866년 7월 20일 (1866-07-20) (39세) 셀라스카
모교	괴팅겐 대학교 베를린 대학교
유명함	목록참조
과학경력
필드	수학 물리학
인스티튜트스	괴팅겐 대학교
논문	Grundlagen fürine Allgemeine 이론 Funktioneneyer veränderlichen complexen Grö ß네 (1851)
박사 지도교수	카를 프리드리히 가우스
기타학술자문사	고트홀드 아이젠슈타인 모리츠 A.스턴 칼 골드슈미트
주목할 만한 학생들	구스타프 로흐 에두아르트 셀링
서명

게오르크 프리드리히 베른하르트 리만( 독일어:ˈɡ레 ˈ크 ʁ프 ː디 ʁɪ츠 ˈ브 ɛʁ나 ʁ트 ˈʁ만(, 1826년 9월 17일 ~ 1866년 7월 20일)은 독일의 수학자로, 해석학, 수론, 미분기하학에 지대한 공헌을 했습니다.실제 분석 분야에서, 그는 주로 적분의 첫 번째 엄격한 공식, 리만 적분, 그리고 푸리에 급수에 대한 그의 연구로 유명합니다.복잡한 분석에 대한 그의 공헌은 복잡한 분석의 자연스럽고 기하학적인 처리에서 새로운 영역을 개척한 리만 표면의 도입을 가장 잘 포함합니다.리만 가설의 원래 진술을 포함하는 그의 1859년 소수 계산 함수에 대한 논문은 분석적 수론의 기초 논문으로 여겨집니다.미분기하학에 대한 그의 선구적인 공헌을 통해, 리만은 일반 상대성 이론의 수학의 기초를 놓았습니다.^[3]그는 많은 사람들에 의해 역대 가장 위대한 수학자 중 한 명으로 여겨집니다.^[4][5]

전기

초창기

리만은 1826년 9월 17일 하노버 왕국의 다넨베르크 근처 마을인 브레셀렌츠에서 태어났습니다.그의 아버지인 프리드리히 베른하르트 리만은 나폴레옹 전쟁에 참전했던 브레셀렌츠의 가난한 루터교 목사였습니다.그의 어머니 Charlotte Ebell은 그녀의 아이들이 성인이 되기 전에 죽었습니다.리만은 수줍음을 많이 타며 수많은 신경쇠약을 겪고 있는 여섯 아이들 중 둘째였습니다.리만은 어렸을 때부터 계산 능력과 같은 뛰어난 수학적 재능을 보였으나 소심함과 대중 앞에서 말하는 것에 대한 두려움에 시달렸습니다.

교육

1840년 동안, 리만은 그의 할머니와 살고 리세움 (중학교)에 다니기 위해 하노버로 갔습니다.1842년 그의 할머니가 사망한 후, 그는 요한넘 뤼네부르크에 있는 고등학교에 다녔습니다.고등학교에서, 리만은 성경을 집중적으로 공부했지만, 그는 종종 수학에 정신이 팔려 있었습니다.그의 선생님들은 그가 종종 그의 선생님들의 지식을 능가했던 복잡한 수학 연산을 수행하는 그의 능력에 놀랐습니다.1846년, 19살의 나이에, 그는 목사가 되고 그의 가족의 재정을 돕기 위해 문헌학과 기독교 신학을 공부하기 시작했습니다.

1846년 봄, 그의 아버지는 충분한 돈을 모은 후, 리만을 괴팅겐 대학교에 보냈고, 그곳에서 그는 신학 학위를 위해 공부하기로 계획했습니다.하지만, 일단 그곳에 도착한 후, 그는 칼 프리드리히 가우스 (특히 최소제곱법에 대한 그의 강의) 아래에서 수학을 공부하기 시작했습니다.가우스는 리만에게 신학 공부를 포기하고 수학 분야로 들어갈 것을 권했고, 아버지의 허락을 받은 후, 리만은 1847년 베를린 대학교로 편입했습니다.^[6]칼 구스타프 야코비, 피터 구스타프 르준 디리클레, 야콥 슈타이너, 고트홀드 아이젠슈타인이 그의 공부 기간 동안 가르쳤습니다.그는 베를린에 2년간 머물다가 1849년 괴팅겐으로 돌아왔습니다.

아카데미아

리만은 1854년에 그의 첫 강의를 열었는데, 이것은 리만 기하학의 분야를 설립했고 따라서 알베르트 아인슈타인의 일반 상대성 이론의 발판을 마련했습니다.^[7]1857년, 리만을 괴팅겐 대학교의 특출한 교수로 승진시키려는 시도가 있었습니다.비록 이 시도는 실패했지만, 그것은 결국 리만이 정규 월급을 받는 결과를 낳았습니다.1859년 괴팅겐 대학교에서 가우스의 석좌였던 디리클레가 사망하자 괴팅겐 대학교의 수학과 학과장으로 승진했습니다.그는 또한 물리적 현실을 묘사하기 위해 단지 서너 개보다 더 높은 차원을 사용할 것을 처음으로 제안했습니다.^[8][7]

1862년 12월 22일에 태어난 딸 이다 실링과 결혼했습니다.^[9]

이탈리아의 개신교 가족과 죽음

1866년 하노버와 프로이센의 군대가 충돌했을 때, 리만은 괴팅겐에서 도망쳤습니다.^[10]그는 이탈리아 셀라스카(현재의 마조레 호수에 있는 베르바니아의 작은 마을)로 향하는 세 번째 여행 중 결핵으로 사망했고, 그곳에서 그는 비간졸로(베르바니아)의 묘지에 묻혔습니다.

리만은 개신교 목사의 아들로 헌신적인 기독교인이었고 수학자로서의 삶을 하나님을 섬기는 또 다른 방법으로 여겼습니다.그의 삶 동안, 그는 그의 기독교 신앙을 굳게 지켰고 그것을 그의 삶에서 가장 중요한 측면이라고 여겼습니다.그는 사망 당시 아내와 함께 주기도문을 암송하던 중 그들이 기도문을 다 말하기도 전에 숨졌습니다.^[11]한편 괴팅겐에서 그의 가정부는 출판되지 않은 작품을 포함하여 그의 사무실에 있던 논문들 중 일부를 폐기했습니다.리만은 불완전한 작품을 출판하는 것을 거부했고, 몇몇 깊은 통찰력을 잃었을지도 모릅니다.^[10]

리만의 비간솔로(이탈리아) 묘비는 로마서 8장 28절을 언급합니다.^[12]

리만 기하학

기하학.
구를 평면에 투영하기
개요 히스토리(타임라인)
나뭇가지 유클리드적 비유클리드 타원형 구면 쌍곡선 비-아키메데스 기하학 프로젝티브 아핀 합성한 분석적 대수학 산술학 디오판토스 미분 리만어 심플렉틱 이산 미분 복잡한 유한 이산형/조합 디지털. 볼록한 계산 프랙탈 인크루시브 비상호기하학 비상호 대수기하학
컨셉트 특징들 치수 직선형 및 나침반 구조 각 곡선 대각선 직교성(수직) 평행선 꼭짓점 일치 유사성 대칭성
영차원 포인트
일차원 선 부분 광선 길이
이차원 비행기 지역 다각형 삼각형 고도 빗변 피타고라스 정리 평행사변형 광장 직사각형 마름모과 롬비드속 사변형 사다리꼴 연 원형 지름 둘레 지역
삼차원 용량 큐브 직육면체의 실린더 십이면체 정이십면체 팔면체 피라미드 플라토닉 솔리드 구 사면체
4차원/기타차원 테서랙트 초구
기하학자
이름으로 아이다 아리아바타 아메스 알하젠 아폴로니우스 아르키메데스 아티야 보드하야나 볼라이 브라마굽타 카르탕 콕서터 데카르트 유클리드 오일러 가우스 그로모프 힐베르트 호이겐스 예 ṣṭ하데바 카티야나 카얌 클라인 로바체프스키 마나바 민코프스키 밍가투 파스칼 피타고라스 파라메쉬바라 푸앵카레 리만 사카베 시즈지 알투시 베블렌 비라세나 양희 알야사민 장 기하학자 목록
시기별로 BCE 아메스 보드하야나 마나바 피타고라스 유클리드 아르키메데스 아폴로니우스 1–1400 장 카티야나 아리아바타 브라마굽타 비라세나 알하젠 시즈지 카얌 알야사민 알투시 양희 파라메쉬바라 1400년대 – 1700 예 ṣṭ하데바 데카르트 파스칼 호이겐스 밍가투 오일러 사카베 아이다 1700년대 – 1900 가우스 로바체프스키 볼라이 리만 클라인 푸앵카레 힐베르트 민코프스키 카르탕 베블렌 콕서터 현재 아티야 그로모프
v t

리만의 출판된 작품들은 분석과 기하학을 결합한 연구 영역을 열었습니다.이것들은 나중에 리만 기하학, 대수기하학, 복소다양체 이론의 주요 부분이 될 것입니다.리만 표면의 이론은 펠릭스 클라인과 특히 아돌프 후르비츠에 의해 정교화되었습니다.수학의 이 영역은 위상수학의 기초의 일부이며 수학 물리학에 여전히 새로운 방식으로 적용되고 있습니다.

1853년, 가우스는 그의 제자인 리만에게 기하학의 기초에 관한 하빌리테스 서간을 준비해달라고 부탁했습니다.수개월에 걸쳐, 리만은 그의 고차원 이론을 발전시켰고 1854년 괴팅겐에서 "우베르 다이 가설, 기하학자"라는 제목의 강연을 했습니다.^[13][14]그것은 그가 죽은 지 2년 후인 1868년에 데데킨트에 의해 12년이 지나서야 출판되었습니다.초기의 반응은 느렸던 것으로 보이지만, 현재는 기하학에서 가장 중요한 작품 중 하나로 인식되고 있습니다.

이 작품이 정립한 주제는 리만 기하학입니다.리만은 표면의 미분 기하학을 n차원으로 확장하는 정확한 방법을 찾았고, 이는 가우스 자신의 이론에서 증명되었습니다.기본적인 물체는 리만 미터법과 리만 곡률 텐서라고 불립니다.표면(2차원)의 경우 각 점의 곡률을 숫자(스칼라)로 줄일 수 있으며, 일정한 양 또는 음의 곡률의 표면은 비유클리드 기하학의 모델입니다.

리만 메트릭은 공간의 모든 점(즉, 텐서)에 있는 숫자의 집합으로, 모든 궤적에서 속도를 측정할 수 있으며, 적분은 궤적의 끝점 사이의 거리를 제공합니다.예를 들어, 리만은 4개의 공간 차원에서 다양체의 거리와 곡률을 묘사하기 위해 각 점에서 10개의 숫자가 필요하다는 것을 발견했습니다.

복합분석

그의 논문에서 그는 리만 표면을 통한 복잡한 분석을 위한 기하학적 기초를 세웠고, 이를 통해 로그(한없이 많은 시트가 있는) 또는 제곱근(두 시트가 있는)과 같은 다중값 함수가 일대일 함수가 될 수 있었습니다.복소 함수는 이러한 표면에서 조화 함수^{[citation needed]}(즉, 라플라스 방정식과 코시-리만 방정식을 만족하며 특이점의 위치와 표면의 위상에 의해 설명됩니다.리만 표면의 위상 "genus"은 g = w /${\displaystyle 2}$ -$$n + 1 {\$displaystyle$ g=w / 2 - n+1}로 $주어지는데$, 여기서 표면은 w개의 {\displaystyle w}개의 분기점에서 함께 오는 n개의 {\displaystyle n}개의 잎을 갖습니다.> ${\displaystyle g>1}$의 경우 리만 표면에 $({\displaystyle \mathrm{3g}}$- ${\displaystyle 3)}$ ${\displaystyle (3g-3)}$개의$$ 매개 변수("moduli")가 있습니다.

이 분야에 대한 그의 공헌은 매우 많습니다.유명한 리만 매핑 정리는 복소 평면에서 단순히 연결된 도메인이 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 또는 단위$$ 원의 내부에 "동형 동치인"(즉, 그들 사이에 동형 역과 동형인 비투영이 있음)이라고 말합니다.리만 표면에 대한 정리의 일반화는 앙리 푸앵카레와 펠릭스 클라인에 의해 19세기에 증명된 유명한 균일화 정리입니다.여기서도 엄격한 증명은 더 풍부한 수학적 도구(이 경우 토폴로지)가 개발된 후에 처음으로 제공되었습니다.리만 표면에 함수가 존재한다는 것을 증명하기 위해, 그는 디리클레 원리라고 부르는 최소 조건을 사용했습니다.칼 바이어슈트라스는 이 증거에 빈틈이 있음을 발견했습니다.리만은 (최소성이 존재한다는) 그의 작업 가정이 작동하지 않을 수 있다는 것을 알아차리지 못했습니다. 함수 공간이 완전하지 않을 수 있으므로 최소성의 존재가 보장되지 않았습니다.변화의 미적분학에서 데이비드 힐버트의 연구를 통해 디리클레 원리가 마침내 확립되었습니다.그렇지 않으면, 바이어스트라스는 리만, 특히 아벨 함수에 대한 이론에 깊은 인상을 받았습니다.리만의 작품이 등장하자 바이어스트라스는 크렐레 저널에서 논문을 철회하고 출판하지 않았습니다.1859년 리만이 베를린에서 그를 방문했을 때 그들은 좋은 이해를 가지고 있었습니다.바이어스트라스는 그의 제자 헤르만 아만두스 슈바르츠가 복잡한 분석에서 디리클레 원리의 대안을 찾도록 격려했고, 그는 성공적이었습니다.아놀드 조머펠트의^[15] 일화는 현대 수학자들이 리만의 새로운 아이디어에 대해 겪었던 어려움을 보여줍니다.1870년 바이어스트라스는 리만의 논문을 리기로 휴가를 보내면서 이해하기 어렵다고 불평했습니다.물리학자 헤르만 폰 헬름홀츠는 하룻밤 사이에 그의 연구를 도왔고, 그것은 "자연스럽고" "매우 이해할 수 있다"는 논평을 가지고 돌아왔습니다.

다른 하이라이트에는 아벨 함수에 대한 그의 연구와 리만 표면에 대한 세타 함수가 포함됩니다.리만은 1857년부터 바이어슈트라스와 경쟁하여 타원 적분의 일반화인 아벨 적분에 대한 야코비안 역문제를 풀었습니다.리만은 여러 변수에서 세타 함수를 사용하여 문제를 이 세타 함수의 0을 결정하는 것으로 줄였습니다.리만은 또한 주기 행렬을 조사하고 "리만 주기 관계"(대칭, 실제 부분 음)를 통해 특징지었습니다.페르디난트 게오르크 프로베니우스와 솔로몬 렙셰츠에 의해 이 관계의 유효성은 세타 함수를 통해 투영 공간에 $C$ n /$$ω ${\displaystyle${C}^{n$}/\$Omega }($여기$서$$ω${\displaystyle$ \Omega }는 주기 행렬의 격자)를 포함하는 것과 같습니다.$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 특정 값에 대하여$,$ 이것은 아벨 다양체의 한 예인 리만 표면의 야코비안 다양체입니다.

알프레드 클렙슈와 같은 많은 수학자들은 대수 곡선에 대한 리만의 연구를 발전시켰습니다.이 이론들은 리만 표면에 정의된 함수의 특성에 의존했습니다.예를 들어, 리만-로흐 정리(로흐는 리만의 제자였다)는 리만 표면의 (0과 극에 알려진 조건을 가진) 선형 독립 미분의 수에 대해 무엇인가를 말합니다.

Detlef Laugwitz에 따르면,^[16] 오토모픽 함수는 전기로 충전된 실린더의 라플라스 방정식에 대한 에세이에서 처음으로 등장했습니다.그러나 리만은 1859년 초기하학 함수에 대한 강의나 최소 표면에 대한 논문에서 등각 지도(위상 삼각형을 원에 매핑하는 것과 같은)에 이러한 함수를 사용했습니다.

실분석

실제 분석 분야에서, 그는 그의 재활에서 리만 적분을 발견했습니다.무엇보다도, 그는 모든 연속적인 함수가 통합될 수 있다는 것을 보여주었습니다.마찬가지로, 슈틸트제스 적분은 괴팅거 수학자로 거슬러 올라가기 때문에 리만-슈틸트제스 적분으로 명명됩니다.

그가 그의 스승 디리클레의 연구를 따랐던 푸리에 급수에 대한 그의 재활 연구에서, 그는 리만 적분 가능한 함수가 푸리에 급수에 의해 "표현 가능"하다는 것을 보여주었습니다.디리클레는 연속적이고 부분적으로 미분 가능한 함수에 대해 이를 보여주었습니다(따라서 수 많은 미분 불가능한 점이 있음).리만은 디리클레에서 다루지 않은 경우인 연속적이고 거의 어디에서도 미분할 수 없는 함수를 나타내는 푸리에 급수의 예를 제시했습니다.그는 또한 리만-르베그 보조정리를 증명했습니다: 함수가 푸리에 급수로 표현될 수 있다면, 큰 n에 대해 푸리에 계수는 0으로 갑니다.

리만의 에세이는 집합론의 추동력이 된 게오르크 칸토어의 푸리에 급수 연구의 출발점이 되기도 했습니다.

그는 또한 복잡한 분석 방법을 사용하여 1857년에 초기하학 미분 방정식을 연구했으며 특이점에 대한 닫힌 경로의 행동을 통해 해결책을 제시했습니다(단색 행렬에 의해 설명됨).이전에 알려진 단색 행렬에 의한 그러한 미분 방정식의 존재에 대한 증명은 힐베르트 문제 중 하나입니다.

수론

리만은 현대 해석 정수론에 몇 가지 유명한 공헌을 했습니다.그가 수론을 주제로 발표한 유일한 논문인 한 편의 짧은 논문에서, 그는 현재 자신의 이름을 담고 있는 제타 함수를 조사하여 소수의 분포를 이해하는 것의 중요성을 확립했습니다.리만 가설은 그가 함수의 성질에 대해 한 일련의 추측들 중 하나였습니다.

리만의 작품에는 더 많은 흥미로운 전개가 있습니다.그는 (레온하르트 오일러에게 이미 알려진) 제타 함수에 대한 함수 방정식을 증명했고, 그 뒤에는 세타 함수가 있습니다.실제 부분이 1/2인 선의 자명하지 않은 0에 대한 이 근사 함수의 합을 통해, 그는$$π (x) ${\displaystyle$\pi$($x)}에 대한 정확하고 "명시적인 공식"을 제공했습니다.

리만은 소수 정리에 관한 파프누티 체비셰프의 연구를 알고 있었습니다.그는 1852년에 디리클레를 방문했습니다.

글

리만의 업적은 다음과 같습니다.

• 1851년 – 1851년 괴팅겐(Göttingen) 창간 논문, 그룬들라겐 퓨라인 함수론자 함수론자 veränderlichen complexen Grose.
• 1857년 – 이론가 아벨센 펑션, Journal fur die reine und angwandte Mathematik, Bd. 54. S. 101–155
• 1859년 - 위베르디 안잘 데어 프림잘렌과 아이너 게베넨 그뢰 ß네(Monatsberichte der Pru Mademie der Wissenschaften).베를린, 1859년 11월, S. 671ff.리만의 추측으로.위베르디 안잘 데어 프림잘렌과 아이너 게베넨 그뢰세.(위키소스), 원고 팩시밀리 클레이 수학으로 웨이백 머신 2016-03-03에서 보관.
• 1861년 – 해설서 수학, qua response tutur questioniab Illma Academy Parisi propositae, 파리 아카데미에 상금 대회 제출
• 1867년 - 뷔르디 다르스텔바르케이티너 함수 뒤르친 삼각형 트리고노메트리셰 레이헤, 오스트리아 드 드레이젠텐 반데르 아반들룽겐 데어 쾨니히헨 게셀샤프트 데어 비센샤프트텐주 괴팅겐.
• 1868년 - 위베르디 가설, 웰더 지오메트리 즈그룬데리겐.아, 크글, 게스.Wiss., 1868 괴팅겐.번역 EMIS, pdf 기하학의 기초에 있는 가설에 대해 W.K.가 번역했습니다.Clifford, Nature 8 1873 183 – Clifford's Collected Mathematical Papers, London 1882 (MacMillan)에서 재인쇄;뉴욕 1968 (첼시) http://www.emis.de/classics/Riemann/또한 Ewald, William B., ed., 1996 "칸트에서 힐베르트까지: 수학의 기초에 관한 원천 책", 2권.옥스퍼드 대학교프레스: 652–61.
• 1876년 - 베르하르트 리만의 게삼멜테 수학자 베르켄드 비센샤프틀러 나클라스. 헤라우스게벤 폰 하인리히 베버 언터 미트위르컹 폰 리하르트 데데킨트, 라이프치히, B.G. 튜브너 1876, 2.오플라주 1892, 나흐드루크 베이 도버 1953 (막스 노이더와 빌헬름 위팅거의 공헌, 튜브너 1902).이후 판 베른하르트 리만의 수집품: 독일어 원문 전체.Eds. Heinrich Weber; Richard Dedekind; M Noether; Wilhelm Wirtinger; Hans Lewy.미네올라, 뉴욕: 도버 퍼블리케이션스, Inc., 1953, 1981, 2017
• 1876년 – 슈웨레, 일렉트리지테트와 마그네티무스, 하노버: 칼 하텐도르프.
• 1882년 - Volesungen über Partielle Differentialle Gleichungen 3.오플라주.브라운슈바이크 1882년
• 1901년 – 수학자 물리학자 리만의 볼레성겐(Diepartiellen Differential-Gleichungen under mathematischen Physiknach Riemann's Vorlesungen).위키미디어 커먼즈에 관한 PDF.archive.org 에서:Riemann, Bernhard (1901). Weber, Heinrich Martin (ed.). "Die partiellen differential-gleichungen der mathematischen physik nach Riemann's Vorlesungen". archive.org. Friedrich Vieweg und Sohn. Retrieved 1 June 2022.
• 2004 – Riemann, Bernhard (2004), Collected papers, Kendrick Press, Heber City, UT, ISBN 978-0-9740427-2-5, MR 2121437

참고 항목

• 베른하르트 리만의 이름을 딴 사물 목록
• 비유클리드 기하학
• 주어진 크기보다 작은 소수의 수에 관하여, 복소 제타함수를 소개한 리만의 1859년 논문

참고문헌

추가열람

• Derbyshire, John (2003), Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, Washington, DC: John Henry Press, ISBN 0-309-08549-7.
• Monastyrsky, Michael (1999), Riemann, Topology and Physics, Boston, MA: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3789-3.
• Ji, Lizhen; Papadopoulos, Athanese; Yamada, Sumio, eds. (2017). From Riemann to Differential Geometry and Relativity. Springer. ISBN 9783319600390.

외부 링크

• 수학 계보 프로젝트의 베른하르트 리만
• 게오르크 프리드리히 베른하르트 리만의 수학 논문
• 리만의 출판물 emis.de
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Bernhard Riemann", MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews
• 베른하르트 리만 – 가장 중요한 수학자 중 한 명
• 베른하르트 리만의 첫 강연
• Weisstein, Eric Wolfgang (ed.). "Riemann, Bernhard (1826–1866)". ScienceWorld.
• 리처드 디데킨드(1892), D. R. 윌킨스에 의해 필사됨, 리먼 전기.