양-밀스 방정식

R의⁴ (x¹,x²)-슬라이스에서 BPST 인스턴트온의 dxxσ¹ 계수₃ 여기서 σ은₃ 세 번째 Pauli 행렬(왼쪽 위)이다.dx²⊗σ₃ 계수(오른쪽 위).이러한 계수는 이 슬라이스에 대한 g=2,190=1,z=0으로 BPST 인스턴트온 A의 제한을 결정한다.해당 필드 강도는 z=0(왼쪽 아래)을 중심으로 했다.R⁴(오른쪽 아래⁴)의 압축 S에 중심 z가 있는 BPST 인스턴트온의 자기장 강도를 시각적으로 나타낸다.BPST 인스턴트 온은 R에⁴ 있는 항 자기 이중성 방정식, 즉 양-밀스 방정식에 대한 해결책이다.이 해결책은 Uhlenbeck의 탈착식 특이점 정리에 의해 S의⁴ 비경쟁적 ASD 연결로 확장할 수 있다.

물리학과 수학, 특히 미분 기하학 및 게이지 이론에서 양-밀 방정식은 벡터 다발 또는 주다발 연결에 대한 부분 미분 방정식의 체계다.그것들은 물리학에서 Yang-Mills 작용 기능의 오일러-라그랑주 방정식으로 발생한다.그들은 또한 수학에서도 상당한 쓰임새를 발견했다.

방정식의 해법은 양-밀스 연결부 또는 인스턴트온이라고 불린다.인스턴트온의 모듈리 공간은 시몬 도날드슨이 도날드슨의 정리를 증명하기 위해 사용하였다.

동기

물리학

게이지 이론의 주제에 관한 그들의 기초 논문에서 로버트 밀스와 첸닝 양은 물리 이론에 적용되는 게이지 대칭과 게이지 불변성의 개념을 설명하기 위해 (수학적 문헌과는 본질적으로 독립적으로) 주체다발과 연결 이론을 개발했다.^[1]현재 양-밀스 이론으로 불리는 양과 밀스가 발견한 게이지 이론은 볼프강 파울리 등이 $\operatorname {U} (1)$ $\operatorname {U} (1)$ ( $\operatorname {U} (1)$ ) ${\displaystyle \operatorname {U}(1$ ) 게이지 $\operatorname {U} (1)$ 이론으로 표현했던 맥스웰 방정식에 대한 제임스 맥스웰의 고전 작품을 일반화했다.^[2]양과 밀스의 작업의 참신함은 구조 그룹이라고 불리는 Lie 그룹 G $G$ 의 임의적 선택을 위한 게이지 이론을 정의하는 것이었다(또는 물리학에서는 게이지 그룹(수학)을 참조한다 $G$ 이 그룹은 $G=\operatorname {U} (1)$ 에 해당하는 $G=\operatorname {U} (1)$ $G=\operatorname {U} (1)$ = $G=\operatorname {U} (1)$ U $G=\operatorname {U} (1)$ ( 1 ) ${\displaystyle$ G=\ $operatorname$ {U $}(1)$ 과 반대로 비아벨리안일 수 있으며, 그러한 대상을 논하는 올바른 틀은 주성분 이론이다.

양씨와 밀스의 작품의 본질적인 요점은 다음과 같다.하나는 물리적 모델에 대한 기본적인 설명은 필드의 사용을 통해 이루어지며, 로컬 게이지 변환(주체 번들의 국소적 사소한 부분화 변경)에서 이러한 물리적 필드는 주체 b의 연결 $A$ ${\displaystyle A$ }( $A$ 물리학에서, 게이지 필드)와 같은 방식으로 정밀하게 변환해야 한다고 가정한다.변형을 풀다게이지장 강도는 연결부의 $F_{A}$ 곡률 $F_{A}$ $F_{A}$ ${\$ 스타일 $F_{A}$ 이며, 게이지장의 에너지는 양-밀 작용 기능에 의해 (상수까지) 주어진다.

\operatorname {YM}=\int _{X}\F_{A}\ ^{2}\,d\mathrmatrix {vol} _{g}.

최소 작용의 원리는 이 물리적 이론에 대한 올바른 운동 방정식이 이 기능의 오일러-라그랑주 방정식에 의해 제공되어야 한다는 것을 지시한다. 이 방정식은 아래에서 도출된 양-밀스 방정식이다.

d_{A}\star F_{A}=0.

수학

이론의 물리적 기원에 더해 양-밀스 방정식은 중요한 기하학적 관심사다.일반적으로 벡터 번들 또는 주 번들에는 자연스러운 연결 선택이 없다.이 묶음이 리만 다지관에 접선된 묶음인 특별한 경우, 그러한 자연적인 선택인 레비-시비타 연결이 있지만, 일반적으로는 가능한 선택의 무한한 공간이 있다.양-밀스 연결은 우리가 지금 설명한 것처럼 일반적인 섬유 묶음 연결에 대한 일종의 자연적인 선택을 제공한다.

A connection is defined by its local forms $A_{\alpha }\in \Omega ^{1}(U_{\alpha },\operatorname {ad} (P))$ for a trivialising open cover $\{U_{\alpha }\}$ for the bundle $P\to X$ .표준적인 연결을 선택하려는 첫 번째 시도는 이러한 형식의 소멸을 요구하는 것일 수 있다.단, 전이 $g_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to G$ g $g_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to G$ $g_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to G$ : $g_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to G$ α U $g_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to G$ → $g_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to G$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta$ \beta $}:$ $U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to G}$ 는 $g_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to G$ 상수 함수다.모든 보따리가 평평한 것은 아니므로 일반적으로는 이것이 가능하지 않다.대신 로컬 연결 형식 $A_{\alpha }$ $A_{\alpha }$ ${\$ 은(는) 그 자체가 일정하다고 $A_{\alpha }$ 물어볼 수 있다.기본 번들에서 이 조건을 올바르게 표현하는 방법은 곡률 $F_{A}=dA+{\frac {1}{2}}[A,A]$ $F_{A}=dA+{\frac {1}{2}}[A,A]$ = $F_{A}=dA+{\frac {1}{2}}[A,A]$ A $F_{A}=dA+{\frac {1}{2}}[A,A]$ + $F_{A}=dA+{\frac {1}{2}}[A,A]$ $F_{A}=dA+{\frac {1}{2}}[A,A]$ [ $F_{A}=dA+{\frac {1}{2}}[A,A]$ ${\displaystyle F_{A}=dA+{\frac{1}{$ 1}{1}:{1}2 $}}[A,A]}}}}$ 이 $F_{A}=dA+{\frac {1}{2}}[A,A]$ (가) 사라지는 것이다.그러나 체르-와일 이론에 따르면, $F_{A}$ F $F_{A}$ ${\$ 가 사라지면 $F_{A}$ (즉, $A$ $A$ 은 $A$ 평면 연결의 존재에 대한 위상학적 장애물인 사소한 체르노급이 있어야 하는데, 이는 모든 주계약이 평평한 c를 가질 수 있는 것은 아니다.근친상간

가장 좋은 것은 곡면성이 사라지는 대신, 묶음이 가능한 한 작은 곡면성을 가지고 있는지 물어보는 것이다.위에서 설명한 양-밀의 작용 기능은 $L^{2}$ 의 $L^{2}$ 2 $L^{2}$ {\ $displaystyle$ L^{ $2}}-$ 정규의 $L^{2}$ 정사각형이며, 그 오일러-라그랑주 방정식은 절대 미니마 또는 국소 미니마 중 하나로 이 기능의 임계점을 설명한다.즉, 양-밀스 연결은 곡면성을 최소화하는 연결이다.이러한 의미에서 그것들은 수학적 관점에서 다지관 위에 있는 주체나 벡터 묶음에서의 연결을 자연스럽게 선택하는 것이다.

정의

$X$ $X$ 을(를) 콤팩트하고 지향적인 리만 다지관이 되도록 $X$ 하라.양-밀스 방정식은 콤팩트한 Lie 그룹 $G$ $G$ 에 대해 벡터 번들 또는 주 $G$ ${\$ $displaystyle$ $G}$ $X$ 을 $G$ 사용하여 표현할 수 있다 $G$ 여기서 후자 규약이 제시된다. $P$ $P$ 은(는) $주$ G $G$ -bundle을 $G$ $X$ $X$ 위에 표시한다 $X$ $그러면$ P $P$ 의 연결은 기본 번들의 전체 공간에 있는 $A$ Lie 대수 값 차등 폼 $A$ $A$ 로 지정할 수 있다 $P$ .This connection has a curvature form $F_{A}$ , which is a two-form on $X$ with values in the adjoint bundle $\operatorname {ad} (P)$ of $P$ . Associated to the connection $A$ is an exterior covariant derivative $d_{A}$ ${\$ $A$ 조정 번들에 정의되어 있다.또한 $G$ $G$ 은(는) 소형이기 $G$ 때문에 연관된 콤팩트한 Lie 대수학에서는 부선 표현으로 불변성 내부 제품을 허용한다.

Since $X$ is Riemannian, there is an inner product on the cotangent bundle, and combined with the invariant inner product on $\operatorname {ad} (P)$ there is an inner product on the bundle $\operatorname {ad} (P)\otimes \Lambda ^{2$ $광고$ $\operatorname {ad} (P)$ ( $\operatorname {ad} (P)$ $\operatorname {ad} (P)$ $\operatorname {ad} (P)$ 의 $\operatorname {ad} (P)\otimes \Lambda ^{2}T^{*}X$ T $^{*}X}$ - X $X$ 에 2-forms $\operatorname {ad} (P)$ 값이 매겨져 있음 $X$ $X$ $X$ 의 $X$ 방향이 정해져 있기 때문에 이 번들 섹션에는 $L^{2}$ $L^{2}$ ${\$ -inner $L^{2}$ 제품이 있다.즉,

{\dplaystyle \langle s,t\langle _{L^{2}}=\int_{X}\langle s,t\langle \,dvol_{g}}}}

여기서 번들 와이즈 내장 제품이 사용되고 $dvol_{g}$ , d $dvol_{g}$ $dvol_{g}$ $dvol_{g}$ $dvol_{g}$ ${\$ 는 $X$ $X$ 의 리만 볼륨 형식이며 $dvol_{g}$ $X$ 이 $L^{2}$ $L^{2}$ ${\$ L $^{2$ }} $L^{2}$ -inner $L^{2}$ 제품을 사용하여 $d_{A}$ ${\$ d_ ${{{{}$ 의 공식 대리점 연산자를 사용한다. $A}$ 은 $d_{A}$ (는) 다음에 의해 정의된다.

{\

A}^{*}t\rangele _{L^{2

명시적으로 d $d_{A}^{*}=\pm \star d_{A}\star$ ∗ $d_{A}^{*}=\pm \star d_{A}\star$ = $d_{A}^{*}=\pm \star d_{A}\star$ ± $d_{A}^{*}=\pm \star d_{A}\star$ ± $d_{A}^{*}=\pm \star d_{A}\star$ d $d_{A}^{*}=\pm \star d_{A}\star$ $d_{A}^{*}=\pm \star d_{A}\star$ ${\displaystyle d_{$ $A}^{*}=\pm \star d_{$ $A}\star }$ 여기서 $d_{A}^{*}=\pm \star d_{A}\star$ $\star$ $\star$ 은 $\star$ (는) 두 가지 형태로 작용하는 호지 스타 연산자다.

위의 설정을 가정하면, 양-밀 방정식은 (일반적으로 비선형) 부분 미분 방정식의 시스템이다.

d_{A}^{*}F_{A}=0.

^[3]

(1)

호지별은 이형성이기 때문에 d $d_{A}^{*}$ $∗$ {\ $displaystyle d_{$ 의 명시적 공식에 의하여 $A}^{*}}$ 양-밀스 방정식은 $d_{A}^{*}$ 동등하게 작성할 수 있다.

d_{A}\star F_{A}=0.

(2)

(1) 또는 (2)를 만족하는 연결을 양-밀 연결이라고 한다.

모든 연결은 자동으로 Bianchi ID $d_{A}F_{A}=0$ $d_{A}F_{A}=0$ = $d_{A}F_{A}=0$ $d_{A$ 을(를) 충족 $F_{A}=0$ 을(를) 따라서 양-밀 연결은 만족하는 고조파 미분 형태의 비선형 아날로그로 볼 수 있다.

d\omega =d^{*}\omega =0

d\omega =d^{*}\omega =0

=

d\omega =d^{*}\omega =0

=

d\omega =d^{*}\omega =0

d\omega =d^{*}\omega =0

.

이런 의미에서 양-밀스 연결에 대한 탐색은 차등 형태의 데 람 코호몰로지 클래스에서 조화적인 대표성을 추구하는 호지 이론과 비교할 수 있다.Yang-Mills 연결은 주요 묶음에서 가능한 모든 연결 집합의 조화로운 대표자와 유사하다.

파생

양-밀스 방정식은 양-밀스 함수의 오일러-라그랑주 방정식으로 정의되며,

\operatorname {YM}=\int _{X}\F_{A}\ ^{2}\,d\mathrmatrix {vol} _{g}.

(3)

To derive the equations from the functional, recall that the space ${\mathcal {A}}$ of all connections on $P$ is an affine space modelled on the vector space $\Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})$ . Given a small deformation $A+ta$ 이 부속 $A$ 에 연결 $A$ A $A$ 의 곡선은 다음과 같다.

F_{A+ta}=F_{A}+td_{A}a+t^{2}a\웨지 a.

(3)의 임계점을 결정하려면 다음과 같이 계산하십시오.

{\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{d}{dt}}\left(\operatorname{을 의미하나요?}(A+ta)\right)_{t=0}&, ={\frac{d}{dt}}\left(\int_{X}\langle F_{A}+t\,d_{A}a+t^{2}a\wedge a,F_{A}+t\,d_{A}a+t^{2}a\wedgea\rangle \,d\mathrm{권}_{g}\right)_{t=0}\\&, ={\frac{d}{dt}}\left(\int _{X}\ F_{A}\ ^{2}+2t\langle F_{A},d_{A}a\rangle +2t^{2}\langle F_{A},a\wedge a\.rangle+t^{4}\ a\wedge a\ ^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}\\&=2\int _{X}\langle d_{}A}^{*}F_{A},a\rangele \,d\mathrm {vol} _{g}.\end{정렬}}}

연결 $A$ $A$ 은(는) $모든$ ${\displaystyle a$ 에 대해 연결이 소멸되는 경우에만 Yang-Mills 기능의 중요한 지점이며 $A$ , 이는 (1)이 충족될 때 정확하게 발생한다.

양-밀스 연결부의 모둘리 공간

양-밀스 방정식은 게이지 불변형이다.수학적으로 게이지 변환은 주요 $번들$ P $P$ 의 $g$ $자동형$ g ${\displaystyle$ $g}$ 이며 $P$ $\operatorname {ad} (P)$ $⁡$ ( $P)$ 의 내부 제품이 불변성이므로 $\operatorname {ad} (P)$ 양-밀스 $기능$ 이 만족한다.

\operatorname {YM}(g\cdot A)=\int _{X}\gF_{A}g^{-1}\ ^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}=\int_{X}\F_{A}\ ^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}=\operatorname {YM}(A)

$따라서$ A $A$ 이(가) (1)을 충족하면 $A$ $g\cdot A$ $g\cdot A$ $g\cdot A$ ${\displaystyle g\cdot$ A $}$ 도 충족된다 $g\cdot A$

양-밀스 연결 모듈로 게이지 변환 모듈리 공간이 있다. $G$ ${\$ 을(를) 통해 P $P$ 의 ${\mathcal {G}}$ 자동화된 게이지 그룹을 표시하십시오 $P$ 세트 ${\mathcal {B}}={\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}$ = ${\mathcal {B}}={\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}$ / ${\mathcal {B}}={\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}$ ${\$ 은(는) 모든 연결 모듈로 게이지 변환을 분류하며 ${\mathcal {B}}={\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}$ , Moduli 공간 ${\mathcal {M}}$ ${\$ 은 ${\mathcal {M}}$ 양-M}이 부분 집합이다.일반적으로 ${\mathcal {B}}$ ${\$ 또는 ${\mathcal {B}}$ ${\mathcal {M}}$ ${\$ 은(는) 하우스도르프 또는 ${\mathcal {M}}$ 부드러운 다지관이다.단, $G$ {\ $displaystyle G}$ 이 $A$ (가) 모든 G {\displaystyle G}에 의해 홀노노미 그룹이 $연결부$ A {\displaystyle $A}$ 로 제한함으로써 Hausdorff 공백을 얻는다 $G$ 수정할 수 없는 연결의 공간은 $∗{\$ $mathcal$ ${\mathcal {A}}^{*}$ A}^{*}}로 ${\mathcal {B}}^{*}$ 표시되므로 모듈리 공간은 ${\mathcal {B}}^{*}$ ${\mathcal {B}}^{*}$ ${\$ ${\mathcal {M}}^{*}$ ${\mathcal {M}}^{*}$ ${\$ }{M ${\mathcal {M}}^{*}$

양-밀스 연결부의 모둘리 공간은 구체적인 상황에서 집중적으로 연구되어 왔다.Michael Atiyah와 Raoul Bott는 콤팩트한 Rieman 표면 위에 묶음의 양-밀스 방정식을 연구했다.^[4]거기서 모듈리 공간은 홀로모르픽 벡터 번들의 모듈리 공간으로서 대체적인 설명을 얻는다.이것은 나라심한-세샤드리 정리인데, 이 형식에서 도날드슨에 의한 홀로모르프 벡터 번들에 대한 양-밀스 연결과 관련하여 증명되었다.^[5]이 설정에서 모듈리 공간은 소형 Kahler 다지관의 구조를 가지고 있다.양-밀스 연결부의 모둘리는 기저 다지관 $X$ 의 치수 $([\displaystyle X})$ 가 4일 $X$ 때 가장 많이 연구되었다.^[3]^[6]여기서 양-밀스 방정식은 2차 순서 PDE에서 1차 순서 PDE, 즉 반자율 이중성 방정식으로 간소화를 인정한다.

반자기이중 방정식

베이스 매니폴드 $X$ $X$ 의 치수가 4일 $X$ 때 우연이 발생한다.Hodge star 연산자는 $차동$ p {\ $displaystyle p}$ -forms를 $p$ 차동 $(n-p)$ - $(n-p)$ p ) $(n-p)$ {\ $displaystyle(n-p)$ -forms로 $(n-p)$ 가져간다. $\dim X=n$ 서 $\dim X=n$ X = $\dim X=n$ {\ $displaystyle \dim$ X= $n$ 따라서 차원 4에서 호지 항성 운영자는 2-폼을 2-폼에 매핑한다.

\star :\Omega ^{2}(X)\to \Omega ^{2}(X)

:

\star :\Omega ^{2}(X)\to \Omega ^{2}(X)

2

\star :\Omega ^{2}(X)\to \Omega ^{2}(X)

( X

\star :\Omega ^{2}(X)\to \Omega ^{2}(X)

)

\star :\Omega ^{2}(X)\to \Omega ^{2}(X)

→

\star :\Omega ^{2}(X)\to \Omega ^{2}(X)

2

\star :\Omega ^{2}(X)\to \Omega ^{2}(X)

(

\star :\Omega ^{2}(X)\to \Omega ^{2}(X)

)

\star :\Oomega ^{2}(X)\to \Oomega ^{2}(X)

.

호지 항성 연산자는 이 경우 정사각형을 이루며 $고유값$ 1 $1$ 및 $1$ $-1$ - $-1$ $-1$ 도 있다. 특히 분해가 있다 $-1$

\Oomega ^{2}(X)=\Oomega _{+}(X)\oplus \Oomega _{-}(X)

$\star$ $\star$ 의 양과 음의 에겐스페이스로 $\star$ 자기반자반자반자반자반자반자반자반자반자반자반자반자반자반자반자반자반자반자반.기본 $G$ ${\displaystyle$ $G$ $}$ -분할된 $G$ 4개의 매니폴드 $X$ ${\displaystyle$ X $}$ 의 $A$ 연결 $A$ {\ $F_{A}={\star F_{A}}$ $A}$ 이(가) F $F_{A}={\star F_{A}}$ = $F_{A}={\star F_{A}}$ F ${\$ 를 만족하는 $X$ 경우 $A}={\star F_{A}}$ 또는 $F_{A}={\star F_{A}}$ $F_{A}=-{\star F_{A}}$ $F_{A}=-{\star F_{A}}$ = $F_{A}=-{\star F_{A}}$ - $F_{A}=-{\star F_{A}}$ $F_{A}=-{\star F_{A}}$ A ${\$ 그 다음 (2)까지 연결은 Yang-Mills 연결이다.이러한 연결은 자기이중 연결 또는 자기이중 연결이라고 하며 방정식은 자기이중성(SD) 방정식과 자기이중성(ASD) 방정식이다.^[3]The spaces of self-dual and anti-self-dual connections are denoted by ${\mathcal {A}}^{+}$ and ${\mathcal {A}}^{-}$ , and similarly for ${\mathcal {B}}^{\pm }$ and ${\mathcal {M}}^{\pm }$ .

$G=\operatorname {SU} (2)$ = $G=\operatorname {SU} (2)$ $G=\operatorname {SU} (2)$ ( 2 $G=\operatorname {SU} (2)$ ) $G=\operatorname {SU}(2)$ 과 $G=\operatorname {SU} (2)$ $X$ ${\displaystyle$ X $}$ 이 $X$ (가 $G=\operatorname {SU} (2)$ 단순하게 연결된 경우, ASD 연결, 즉 인스턴트온의 모듈리 공간을 도날드슨이 가장 집중적으로 연구했다.^[7]^[8]^[9]이 설정에서, 주요한 SU⁡(2){\displaystyle \operatorname{SU}(2)}-bundle는 두번째 Chern 수업, c2(P)∈ H4(X, Z)≅ Z{\displaystyle c_{2}(P)\in H^ᆰ(X,\mathbb{Z})\cong({Z}}에 의해 분류된다.주요 다발의 다양한 선택을 위해[주 1], 하나의 흥미로운 제1과moduli 공간을 득한다.s. 이러한 공간은 환원 가능한 연결을 허용할 때에도 하우스도르프이며, 일반적으로 매끄럽다.부드러운 부분이 방향성이 있다는 것을 도날드슨에 의해 보여주었다.아티야-싱어 지수 정리에서는 c $c_{2}(P)=k$ ( $c_{2}(P)=k$ ) $c_{2}(P)=k$ = $c_{2}(P)=k$ ${\$ $displaystyle {\mathcal {\m}_{k}^-}}$ 의 ${\mathcal {M}}_{k}^{-}$ 인 M ${\mathcal {M}}_{k}^{-}$ k - ${\$ $displaystyle c_{2}(P)=k$ 를 계산할 수 있다.

{\dim 스타일 \\mathcal {M}_{k}^{-}=8k-3(1-b_{1}(X)+b_{+}(X)}

where $b_{1}(X)$ is the first Betti number of $X$ , and $b_{+}(X)$ is the dimension of the positive-definite subspace of $H_{2}(X,\mathbb {R} )$ with respect to the intersection form on $X$ .^[3] For example, when $X=S^{4}$ and $k=1$ , the intersection form is trivial and the moduli space has dimension $\dim {\mathcal {M}}_{1}^{-}(S^{4})=8-3=5$ .이는 BPST 인스턴트온의 존재와 일치하는데, $S^{4}$ 은 R 4 ${\$ 에 $S^4$ $\mathbb {R} ^{4}$ 중심을 정의하는 최대 5개의 매개변수 계열의 고유한 ASD 인스턴트온이며, 그 크기는 R $\mathbb {R} ^{4}$ ${\$ $\mathbb {R} ^{4}$ $\mathbb {R} ^{4}$ ${\$ 에 있는 이러한 인스턴스(inston)는 Uhlenbeck의 탈착 가능한 특이점 정리를 사용하여 무한대의 점 전체에 걸쳐 확장할 수 있다 $\mathbb {R} ^{4}$ .

적용들

도날드슨의 정리

양-밀스 방정식의 모듈리 공간은 도날드슨이 단순 연결형 4마니폴드의 교차로 형태에 대한 도날드슨의 정리를 증명하기 위해 사용했다.클리포드 타우베와 카렌 울렌벡의 분석 결과를 이용하여, 도날드슨은 (교차로 형태가 확실한 경우) 매끄럽고, 콤팩트하고, 지향적이며, 단순하게 연결된 4마니폴드 $X$ $X$ 에 있는 ASD 인스턴트온의 모듈리 공간이 다지관 자체의 사본, 즉 코보디즘을 제공한다는 $X$ 것을 보여줄 수 있었다.d 복합 투사 평면 $\mathbb {CP} ^{2}$ $\mathbb {CP} ^{2}$ $\mathbb {CP} ^{2}$ ${\$ ^[7]^[10]^[11]^[12]교차로 형태는 이형성까지 불변하는 거미줄 형태로서, 그러한 매끄러운 다지관은 대각선성 교차로 형태를 가지고 있음을 보여준다.

ASD 인스턴스(instance)의 모듈리 공간은 4-매니폴드의 추가 불변성을 정의하기 위해 사용될 수 있다.Donaldson은 모듈리 공간의 코호몰로지 클래스 쌍에서 발생하는 4-매니폴드와 관련된 합리적인 숫자를 정의했다.^[9]이 작품은 이후 세이베르크-위튼 불변가들에 의해 추월되었다.

치수 감소 및 기타 모듈리 공간

치수 감소 과정을 통해 양-밀스 방정식을 사용하여 미분 기하학 및 게이지 이론에서 다른 중요한 방정식을 도출할 수 있다.치수 감소는 일반적으로 $\mathbb {R} ^{4}$ $\mathbb {R} ^{4}$ ${\$ 에 대해 양-밀 방정식을 취하고 대칭군 아래 용액이 불변하도록 부과하는 과정이다.예를 들면 다음과 같다.

자기 이중성 방지 방정식을 $\mathbb {R} ^{4}$ $\mathbb {R} ^{4}$ ${\$ 의 단일 방향으로 번역하면 불변성을 요구함으로써 $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ ${\$ {R $} ^{3}}$ 에 자기 단면을 설명하는 보고몰니 방정식을 얻는다 $\mathbb {R} ^{3}$
자기이중 방정식을 두 방향으로 번역하여 불변하도록 요구함으로써 히친이 먼저 조사한 히친의 방정식을 얻는다.이러한 방정식은 자연스럽게 힉스다발과 히친 계통의 연구로 이어진다.
반자기이중 방정식은 세 방향으로 불변하도록 요구함으로써, 한 간격으로 나옴 방정식을 얻는다.

Nahm 방정식 데이터에서 단면체를 구성하는 방법을 처음 설명한 Werner Nahm에 이어 R $\mathbb {R} ^{3}$ ${\$ 과 $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R}$ ${\$ 라고 하는 $\mathbb {R}$ 치수 감소된 ASD 방정식의 솔루션 사이에는 이중성이 있다.^[13]히친은 그 반전을 보여주었고, 도날드슨은 나옴 방정식에 대한 해결책이 복잡한 투영 선에서 그 자체로 합리적 지도의 모둘리 공간과 더 연결될 수 있다는 것을 증명했다.^[14]^[15]

이러한 해결책에 대해 관측된 이중성은 4-매니폴드의 임의의 대칭의 이중 그룹에 대해 보유하도록 이론화된다.실제로 R $\mathbb {R} ^{4}$ ${\$ 이중 4차원 토리의 인스턴스(inston)에는 이중 격자 아래 인스턴스(inston) 불변성 사이에 유사한 이중성이 있으며, ADHM 구조는 $\mathbb {R} ^{4}$ $\mathbb {R} ^{4}$ ${\$ 에 있는 인스턴스톤과 단일 $\mathbb {R} ^{4}$ 대수 데이터로 생각할 수 있다.Le ^[3]point

체르-시몬스 이론

The moduli space of Yang–Mills equations over a compact Riemann surface $\Sigma$ can be viewed as the configuration space of Chern–Simons theory on a cylinder $\Sigma \times [0,1]$ . In this case the moduli space admits a geometric quantization, discovered independently by Nigel Hitchin anD 액슬로드-델라 피에트라-비튼.^[16]^[17]

참고 항목

메모들

^ 이 사실을 증명하려면 https://mathoverflow.net/a/265399이라는 게시물을 참조하십시오.

참조

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^ 액슬로드, S, 델라 피에트라, & 위튼, E. (1991)체른 시몬스 게이지 이론의 기하학적 수량화. 표현, 34, 39.

[10] 이 사실을 증명하려면 https://mathoverflow.net/a/265399이라는 게시물을 참조하십시오.

[1] 양, C.N.과 밀스, R.L., 1954.동위원소 스핀 및 동위원소 게이지 불변성 보존신체검사 96(1), 페이지191.

[2] 1941년 W. Pauli.기초 입자의 상대론적 필드 이론.현대 물리학의 리뷰, 13(3), 페이지 203.

[DK-3] 도날드슨, S. K. & 크론하이머, P. B. (1990)4마니폴드의 기하학.옥스퍼드 대학 출판부

[4] 아티야, M. F., & Bott, R. (1983년)양-밀스는 리만 표면에 대한 방정식이다.런던 왕립 협회의 철학적 거래.시리즈 A, 수학 및 물리 과학, 308(1505), 523–615.

[5] 도날드슨, S. K. (1983)나라심한과 세샤드리 정리의 새로운 증거.미분 기하학 저널, 18(2), 269–277.

[6] Friedman, R, & Morgan, J. W. (1998년).게이지 이론과 4-매니폴드의 위상 (Vol. 4)American Mathemical Soc..

[Don1-7] 도날드슨, S. K. (1983)4차원 위상에 게이지 이론의 적용.미분 기하학 저널, 18(2), 279–315.

[8] 도날드슨, S. K. (1986)연결, 코호몰로지 및 4-매니폴드의 교차 형태.미분 기하학 저널, 24(3), 275–341.

[Don2-9] 도날드슨, S. K. (1990년)부드러운 4-매니폴드를 위한 다항식 불변제.위상, 29(3), 257–315.

[11] 타우베, C. H. (1982)자가 양-밀스의 비 자가용 4마니폴드 연결.미분 기하학 저널, 17(1), 139–170.

[12] Uhlenbeck, K. K. (1982)곡률에 대한^p L 한계가 있는 연결부.수학적 물리학의 통신, 83(1), 31-42.

[13] Uhlenbeck, K. K. (1982)양-밀스 필드에서 분리 가능한 특이점.수학적 물리학의 통신, 83(1), 11–29.

[14] 옴, W. (1983)임의 게이지 그룹에 대한 모든 자체 이중 멀티모노폴.입자물리학 및 통계역학의 구조요소(pp. 301–310)에서.캘리포니아 주 보스턴의 스프링거

[15] Hitchin, N. J. (1983).단극의 건설에 관하여.수학 물리학에서의 통신, 89(2), 145–190.

[16] 도날드슨, S. K. (1984)옴의 방정식과 단면체의 분류.Communications in Mathemical Physics, 96(3), 387–408.

[17] Hitchin, N. J. (1990).평면 연결 및 기하학적 정량화.수학적 물리학의 통신, 131(2), 347–380.

[18] 액슬로드, S, 델라 피에트라, & 위튼, E. (1991)체른 시몬스 게이지 이론의 기하학적 수량화. 표현, 34, 39.

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