거의 자유 전자 모델

전자 구조 방법
발란스 본드 이론
콜슨-피셔 이론 일반화 발란스 본드 모던발란스 본드
분자 궤도 이론
하트리-포크 방식 반감기 양자화학법 뫼르-플레셋 섭동 이론 구성 상호 작용 커플링 클러스터 다중 구성 자체 일관성 필드 양자화학복합법 퀀텀 몬테 카를로
밀도함수이론
시간 의존적 밀도 기능 이론 토마스-페르미 모델 궤도무밀도기능이론
전자 밴드 구조
거의 자유 전자 모델 타이트 바인딩 머핀틴 근사치 k·p 섭동설 빈 격자 근사치
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솔리드 스테이트 물리학에서 거의 자유 전자 모델(또는 NFE 모델)이나 준자유 전자 모델은 고체의 결정 격자를 통해 거의 자유롭게 움직일 수 있는 전자의 물리적 성질의 양자역학적 모델이다. 모델은 보다 개념적인 빈 격자 근사치와 밀접하게 관련되어 있다. 그 모델은 특히 금속의 전자 밴드 구조를 이해하고 계산할 수 있게 한다.

이 모델은 자유 전자 모델을 즉각적으로 개선한 것으로, 금속을 비접촉 전자 기체로 간주해 이온을 완전히 방치했다.

수학적 공식화

거의 자유 전자 모델은 자유 전자 기체 모델의 변형이며, 결정 고체의 전도 전자와 이온 사이의 상호작용을 모델링하기 위한 약한 주기적 섭동을 포함한다. 이 모델은 자유 전자 모델과 마찬가지로 전자와 전자 간 상호작용을 고려하지 않는다. 즉, 독립 전자 근사치가 여전히 유효하다.

Bloch의 정리에서도 알 수 있듯이 슈뢰딩거 방정식에 주기적인 전위를 도입하면 폼의 파동함수가 발생한다.

${\displaystyle \mathbf {k}}(\mathbf {r} )=u_{\mathbf {k}(\mathbf {r})}(\mathbf {k}) e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

함수 u가_k 격자와 동일한 주기성을 갖는 경우:

${\displaystyle u_{\mathbf {k}}(\mathbf {r} )=u_{\mathbf {k}(\mathbf {r} +\mathbf {T})}}$

(여기서 T는 격자 변환 벡터)

거의 자유 전자 근사치이기 때문에 우리는 다음과 같이 가정할 수 있다.

${\displaystyle u_{\mathbf {k}}}}(\mathbf {r} )\가까이 {\frac {1}{\sqrt {\Oomega _{r}}}}}}$

여기서 Ω은_r 고정 반지름 r의 상태 체적을 나타낸다(Gibbs 역설에서 설명함).

이러한 형태의 용액은 슈뢰딩거 방정식에 연결될 수 있으며, 그 결과 중심 방정식이 발생할 수 있다.

${\lambda _{\mathbf {k}-\epsilon )C_{}-\mathbf {k}}+\sum _{\mathbf {G}U_{{}C_{\mathbf {k} -\mathbf {G}=0}$

여기서 운동 에너지 $\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {k\mathbf{}}_{}}$ ${\$은(는) 다음과 같이 주어진다$$.

${\displaystyle \lambda _{\mathbf {k} }\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}(u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} })}$

${\displaystyle {\psi k}_{}}$( ${\displaystyle r\mathbf{}}$) ${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r}$)로 나눈 후 다음과 같이 감소한다$.$

${\displaystyle \lambda _{\mathbf {k}}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}:}}}}$

${\displaystyle uk\mathbf{}}$ ( r${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle u_{\mathbf {k}(\mathbf$ {r$})${k$}$이(가$$) 거의 일정하고 $\nabla {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\displaystyle {u(}_{}}$ r${\displaystyle }$) ${\displaystyle \ll }$ ${\displaystyle {k\mathrm{}}^{}}${\$displaystyle \u$ ^{2}$u_{\mathbf {r}}{}}}}}}}\mathb$ k^{$nll$ k$^{2}.$$}$

역수 매개변수_k C와_G U는 각각 파동 함수 ((r)의 푸리에 계수 및 선별된 잠재적 에너지 U(r)이다.

${\displaystyle U(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {G}{{}U_{\mathbf {G} }e^{i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \psi(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {k}{}C_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf{r}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

벡터 G는 상호 격자 벡터로서 k의 이산값은 고려 중인 격자의 경계 조건에 의해 결정된다.

어떤 섭동 분석에서든 섭동이 적용되는 기본 사례를 고려해야 한다. 여기서 베이스 케이스는 U(x) = 0이며, 따라서 전위의 푸리에 계수도 모두 0이다. 이 경우 중심 방정식이 양식으로 감소한다.

${\displaystyle(\lambda _{\mathbf {k} }-\epsilon )C_{\mathbf {k}=0}$

이 정체성은 각 k에 대해 다음 두 가지 사례 중 하나가 다음을 포함해야 함을 의미한다.

1. ${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle C_{\mathbf {k} }=0$
2. ${\displaystyle \lambda _{\mathbf {k} }=\epsilon }$

$\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {k\mathbf{}}_{}}$ ${\$의 값이 소멸되지 않은 경우$$, 두 번째 경우는 k의 한 값에서만 발생하는 반면, 나머지는 푸리에 팽창 계수 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\$이 0이어야 한다$$. 이 비감발성 사례에서 표준 자유 전자 가스 결과는 다음과 같이 검색된다.

${\displaystyle \mathbf {k}{\mathbf {k}\propto e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r}}}}}}$

그러나 변질된 경우에는 격자 벡터 k₁, ..., k_m, with₁ = ... = λ_m. 에너지 $ϵ{\displaystyle }$ ${\displaystyle \epsilon }$이(가) value의 이 값과 같을$$ 때, m 독립 평면파 솔루션이 있을 것이며, 선형 결합도 다음과 같은 해결책이 될 것이다.

$\displaystyle \propto \sum _{j=1}^{m}A_{j}e^{i\mathbf {k} _{j}\cdot \mathbf {r}}}}}}$

이 두 경우에서 비감소 및 퇴화 섭동 이론을 적용하여 파동함수의 푸리에 계수_k C(U에서 첫 번째 순서로 수정됨)와 에너지 고유값(U에서 두 번째 순서로 수정됨)을 해결할 수 있다. 이러한 파생의 중요한 결과는 퇴행성이 없는 경우에는 에너지 ε의 1차적인 변화가 없는 반면, 거의 퇴행성의 경우는 이 분석에서 후자의 경우가 더 중요하다는 것을 암시하는 것이다. 특히 브릴루인 구역 경계(또는 동등하게, Bragg 평면의 어느 지점에서든)에서는 다음과 같이 주어지는 에너지의 변화를 초래하는 두 가지 에너지 퇴화를 발견한다.

${\displaystyle \epsilon =\lambda _{\mathbf {k}\pm U_{\mathbf {G}}}$

브릴루인 구역 사이의 이 에너지 갭은 밴드 갭으로 알려져 있으며, 크기는 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle U{}_{}}$ $displaystyle$ 2 $U_{\mathbf {G}}}}$이다$.$

결과.

이러한 약한 동요를 도입하면 슈뢰딩거 방정식의 해법에 상당한 영향을 미치는데, 가장 유의하게 다른 브릴루인 구역에서 파동 벡터들 사이의 대역 갭이 발생한다.

정당화

이 모델에서는 전도 전자와 이온 코어 사이의 상호작용을 "약" 퍼빙 전위를 사용하여 모델링할 수 있다고 가정한다. 이것은 심각한 근사치로 보일 수 있는데, 이 두 개의 반대 전하의 입자 사이의 쿨롱 매력은 단거리에서 상당히 중요할 수 있다. 그러나 양자역학 시스템의 두 가지 중요한 특성에 주목하면 부분적으로 정당화될 수 있다.

1. 이온과 전자 사이의 힘은 아주 작은 거리에서 가장 크다. 그러나 이온 코어에 가장 가까운 궤도는 이미 코어 전자가 점유하고 있다는 파울리 배제 원리로 인해 전도 전자가 이온 코어에 이렇게 가까이 접근하는 것을 "허용"하지 않는다. 그러므로 전도 전자는 그들의 완전한 힘을 느낄 수 있을 만큼 이온 중심부에 충분히 가까이 가지 않는다.
2. 게다가, 코어 전자는 전도 전자에 의해 "보이는" 이온 전하 크기를 차폐한다. 그 결과는 실제 핵 전하보다 현저하게 감소하는 전도 전자가 경험하는 유효 핵 전하다.

참고 항목

• 빈 격자 근사치
• 전자 밴드 구조
• 촘촘한 바인딩 모델
• 블로흐의 정리
• 크로니그-페니 모델

참조

위키미디어 커먼즈에는 전자의 분산 관계와 관련된 미디어가 있다.

• Ashcroft, Neil W.; Mermin, N. David (1976). Solid State Physics. Orlando: Harcourt. ISBN 0-03-083993-9.
• Kittel, Charles (1996). Introduction to Solid State Physics (7th ed.). New York: Wiley. ISBN 0-471-11181-3.
• Elliott, Stephen (1998). The Physics and Chemistry of Solids. New York: Wiley. ISBN 0-471-98194-X.