비계산 대수 기하학

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대수구조 → 링 이론 링 이론
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비계산 대수 비커밋 링 • 디비전 링 • 반비례 반지 • 심플 링 • 정류자 비계산 대수 기하학 자유대수학 클리포드 대수 • 기하 대수학 연산자 대수
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비확장 대수 기하학은 수학의 한 분야로, 구체적으로는 그것들로부터 파생된 기하학적 객체뿐만 아니라 링과 같은 비확장 대수적 객체의 형식적 이중의 기하학적 특성을 연구하는 (예를 들어 국소화를 따라 붙이거나 비확정적 스택 인용구를 취함으로써) 비확장 기하학의 방향이다.ts).

예를 들어, 비고정 대수 기하학은 비고정 링의 스펙트럼의 적절한 접착에 의해 대수적 체계의 개념을 확장해야 한다; 이 목표(및 스펙트럼의 개념)가 비고정적 환경에서 어떻게 일반적으로 이해되는가에 따라, 이것은 다양한 수준의 성공에서 달성되었다. 비협조 링은 여기서 정기적인 기능의 교환 링을 교환 방식으로 일반화한다. 전통적인 (전통적) 대수 기하학에서 통상적인 공간의 함수는 점의 곱셈에 의해 정의된 곱셈을 가지고 있다. 이러한 함수의 값이 통근함에 따라 함수는 또한 통근한다: a 곱하기 b는 a와 같다. 비확정적 연상 알헤브라를 "비확정적" 우주에서 기능들의 알헤브라로 보는 것은 비록 그것이 공식적으로 오류처럼 보이지만, 광범위한 기하학적 직관이라는 것은 주목할 만하다.^{[citation needed]}

비확정 기하학, 특히 비확정 대수 기하학에 대한 동기의 상당 부분은 물리학에서 비롯된다. 특히 양자물리학에서는 관측 가능성의 알헤브라가 실제로 함수의 비확정적 유사성으로 간주되기 때문에 기하학적 측면을 관찰할 수 있는 능력을 갖는 것이 바람직하다.

이 분야의 가치 중 하나는 브라워 그룹과 같은 역학 대수 기하학에서 사물을 연구하기 위한 새로운 기법도 제공한다는 것이다.

비확정 대수 기하학의 방법들은 교감 대수 기하학의 방법들과 유사하지만, 종종 기초가 다르다. 정류 대수 기하학에서의 국소적 행동은 정류 대수학, 특히 국소적 고리의 연구에 의해 포착된다. 이것들은 비확정 설정에서 링-테오틱 아날로그를 가지고 있지 않다. 그러나 범주형 설정에서는 비확정 스펙트럼에 대한 지역 범주의 정합성 피복 더미에 대해 말할 수 있다. 호몰로지 대수학 및 K 이론과 같은 세계적 특성은 더 자주 비확정적 환경으로 이어지게 된다.

역사

고전적 접근법: 비확정적 국산화 문제

정류 대수 기하학은 링의 스펙트럼을 구성하는 것으로 시작한다. 대수적 다양성의 점(또는 더 일반적으로, 체계)은 반지의 주요 이상이며, 대수적 다양성에 관한 기능은 반지의 원소들이다. 그러나 비협조적인 링은 0이 아닌 적절한 양면적 이상을 가지고 있지 않을 수 있다. 예를 들어, 부속 공간의 다항식 미분 연산자의 Weyl 대수에는 다음과 같은 사항이 적용된다. 웨일 대수학은 단순한 고리다. 따라서 원시 스펙트럼에 의해 프라임 스펙트럼을 대체하려는 시도를 예로 들 수 있다: 강하 이론뿐만 아니라 비확정 국산화 이론도 있다. 이것은 어느 정도 효과가 있다: 예를 들어 딕스미어의 포커싱 알헤브라는 리 대수의 포커싱 대수학의 원시 스펙트럼에 대해 비확정 대수 기하학을 작용하는 것으로 생각될 수 있다. 비슷한 정신의 또 다른 작품은 마이클 아틴의 '비공식 고리'^[1]라는 제목의 노트인데, 부분적으로는 비공식-지오메트리 관점에서 표현 이론을 연구하려는 시도다. 두 가지 접근방식에 대한 핵심 통찰은, 불가해한 표현, 또는 적어도 원시적인 이상은 "비확정점"으로 생각할 수 있다는 것이다.

셰이브 범주를 사용한 현대적 관점

알고 보니, 말하자면 원시 스펙트럼부터 시작해서, 실행 가능한 피복 이론을 개발하는 것은 쉽지 않았다. 이러한 어려움은 일종의 양자 현상 때문이라고 생각할 수 있다: 공간의 점들이 멀리 있는 점들에 영향을 미칠 수 있다(사실, 점들을 개별적으로 다루고 공간을 단순한 점들의 집합으로 보는 것은 적절하지 않다).

이상 때문에, 피에르 가브리엘의 논문에 내포되어 있고 가브리엘-로센베르크 재건 정리(피에르 가브리엘과 알렉산더 로젠베르크 이후)에 의해 부분적으로 정당화 된 계략은 오직 계략에 대한 아벨의 범주인 quasicoonous sheaves에서만 재구성될 수 있다는 패러다임을 받아들인다. 알렉산더 그로텐디크는 기하학을 하기 위해서는 공간이 필요하지 않으며, 그것은 공간일 것이다. 이 아이디어는 유리 마닌에 의해 비확장 대수학으로 전달되었다. (quasi)일치형 집합의 파생 범주에서 파생된 비확정 대수 기하학(아래 참조)에 동기를 부여하는 재구성 이론이 약간 더 약하다.

파생대수 기하학

아마도 가장 최근의 접근법은 변형 이론을 통해 도출된 대수 기하학의 영역에 비확정적 대수 기하학을 배치하는 것일 것이다.

동기부여의 예로서 복잡한 숫자 C보다 1차원 Weyl 대수학을 고려한다. 이것은 관계에 의한 프리 링 C(x, y)의 몫이다.

xy - yx = 1

이 링은 단일 변수 x에서 다항식 미분 연산자를 나타내며, y는 미분 연산자 ∂을 나타낸다._x 이 링은 xy - yx = α 관계에 의해 주어지는 1-모수 계열에 적합하다. α가 0이 아닐 때, 이 관계는 Weyl 대수와의 링 이형성을 결정한다. 그러나 α가 0일 때, 그 관계는 x와 y의 공통성 관계이고, 그 결과 발생하는 몫 링은 두 변수인 C[x, y]의 다항식 링이다. 기하학적으로 두 변수의 다항식 고리는 2차원 아핀 공간 A를² 나타내기 때문에, 아핀 공간은 바일 대수학으로 결정된 공간에 대한 비확정적 변형을 인정한다고 이 1변수 가족의 존재는 말하고 있다. 이러한 변형은 미분 연산자의 기호와 관련되며, A는² 아핀 선의 등탄성 묶음이라는 것이다. (Weyl 대수학을 연구하면 아핀 공간에 대한 정보를 얻을 수 있다. Weyl 대수학에 대한 Dixmier 추측은 아핀 공간에 대한 Jacobian 추측과 동일하다.)

이 접근방식의 라인에서, 운용의 집합 또는 공간인 오퍼레이터의 개념이 두드러지게 된다: (Francis 2008) harv error: no target: CITREFFrancis 2008 (도움말) 프란시스는 다음과 같이 쓰고 있다.

우리는 특정한 덜 조화적인 대수 기하학적 기하학적 기하학에 대한 연구를 시작한다. …${\displaystyle {En}_{}}$ ${\$링$$ 위에 있는 대수 기하학은 비계산적 및 역행적 대수 기하학의 일부 파생 이론들 사이에서 보간하는 것으로 생각할 수 있다. n이 증가함에 따라 이들 ${\displaystyle {En}_{}}$ ${\$ -알게브라는$$ 토엔베조시와 루리의 파생 대수 기하학 기하학으로 수렴한다.

비협정 링의 프로지

조합 대수 기하학의 기본적인 구성 중 하나는 프로이즈 등급의 조합 고리 구조다. 이 구조는 균일한 좌표 고리가 원래의 고리인 매우 풍부한 선다발과 함께 투영적인 대수적 다양성을 구축한다. 품종의 근본적인 위상학적 공간을 구축하려면 반지의 국부화가 필요하지만, 그 공간에 단을 쌓는 것은 그렇지 않다. 장-피에르 세레의 정리로는, 등급이 매겨진 링의 프로지 위에 있는 준정합성 피복은 링 위의 등급이 매겨진 모듈에서 유한 치수 인자에 이르는 것과 같다. 알렉산더 그로텐디크가 추진한 토포스 이론의 철학은 한 공간에 깔아 놓은 칼집의 범주가 공간 그 자체로 작용할 수 있다고 말한다. 따라서 비확장 대수 기하학에서는 흔히 프로즈를 다음과 같은 방식으로 정의한다:R을 등급이 매겨진 C-알지브라로 하고, Mod-R은 등급이 매겨진 오른쪽 R-모듈의 범주를 나타내도록 한다. F는 길이가 유한한 모든 모듈로 구성된 Mod-R의 하위 범주를 나타낸다. Proj R은 F에 의한 아벨 범주 Mod-R의 몫으로 정의된다. 동등하게, 적절하게 선택된 F의 객체와 직접 합계를 취한 후 Mod-R에서 이형인 경우 두 모듈이 이형인 Mod-R의 국산화다.

이 접근방식은 비확정적 투영 기하학의 이론으로 이어진다. 비확정적 매끄러운 투영곡선은 매끄러운 교환곡선으로 판명되지만, 단수곡선이나 부드러운 고차원 공간의 경우 비확정적 설정은 새로운 객체를 허용한다.

참고 항목

• 파생 비확정 대수 기하학

메모들

참조

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• 유리 마닌, 양자 그룹과 비전투 기하학, CRM, 몬트리올 1988.
• Yuri I Manin, 주제: 비확장 기하학, 176 pp. 프린스턴 1991.
• A. Bondal, M. van den Bergh, Generators and formativity of functors in communative and noncommutative 기하학, Moscow Mathematical Journal 3(2003), no. 1, 1–36.
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• John Francis, ${\displaystyle E_{}}$ $n{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\$ - 링 위에$$ 파생 대수 기하학
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• M. Kontsevich, A. Rosenberg, 비확정적인 부드러운 공간, Gelfand Mathematical Semina, 1996---1999, 85-108, Gelfand Math. Sem, Birkhauser, Boston 2000; arXiv:math/9812158
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• Pierre Gabriel, Des catégories abeliennes, Bulletin de la Societé Mathématique de France 90(1962), 페이지 323-448, Numdam
• 조란 슈코다, 비확정 대수 기하학의 일부 등변성 구조, 조지아 수학적 저널 16(2009), 1번, 183---202, arXiv:0811.4770.
• Drimtri Orlov, 준정합성 지오메트리의 준정합성 지오메트, Izv. RAN. Ser 2003, vol. 67, 발행 3, 119–138 (MPI 사전 인쇄 버전 dvi, ps)
• M. 카프라노프, 정류자 확장에 기초한 비확장 기하학, 저널 für die reine und angjangwandte Mathik 505 (1998), 73-118, 수학.AG/9802041.

추가 읽기

• A. 본달, D. 오를로프, 대수품종에 대한 반직교 분해_, PreprintMPI/95–15, alg-geom/9506006
• Tomasz Maszczyk, 단일 범주를 통한 비확장 기하학, 수학.QA/0611806
• S. 마한타, 몇몇은 비확정 대수 기하학, 수학으로 접근한다.QA/0501166
• 루드밀 카차르코프, 막심 콘체비치, 토니 판테프, 거울 대칭의 호지 이론적 측면, arxiv/0806.0107
• 드미트리 칼데딘 도쿄 강의 "비확정 기하학의 호메지컬 방법", pdf, teX, (비슷하지만 다른) 서울 강의

외부 링크

• MathOverflow, 비계산 기하학 이론
• nLab의 비확장 대수 기하학 기하학
• nLab의 등변성 비확정 대수 기하학
• nLab의 비규약적 계획
• nLab에 있는 카프라노프의 비확정 기하학