거의 열린 지도

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수학의 기능적 분석과 관련 영역에서 위상학적 공간 사이의 거의 열린 지도는 열린 지도가 되는 조건과 유사하지만 약한 조건을 만족시키는 지도다.아래에 기술한 바와 같이 위상 벡터 공간의 특정 광범위한 범주에 대해서는 모든 굴절 선형 연산자가 거의 개방되어 있어야 한다.

정의들

Given a surjective map ${\displaystyle f:X\to Y,}$ a point ${\displaystyle x\in X}$ is called a point of openness for ${\displaystyle f}$ and ${\displaystyle f}$ is said to be open at ${\displaystyle x}$ (or an open map at ${\displaystyle x}$) if for every open neighborhood ${\dis$$x{\displaystyle }$, ${\displaystyle x,}$${\displaystyle (U)}$ ${\displaystyle$ f$(U)}$의 $Playstyle U}$은 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$에 $f$($)$ {\$displaystystyle f(x$)}의 인접 지역이다($$참고:$$neverything f ($)$가 열린 동네일 필요는$$ 없음).

망연자실한 지도는 그 영역의 모든 지점에서 열려있으면 열린 지도라고 하는 반면, 거의 열린 지도라고 불리는 반면, 그것의 섬유는 각각 어느 정도 개방된 지점이 있다.Explicitly, a surjective map ${\displaystyle f:X\to Y}$ is said to be almost open if for every ${\displaystyle y\in Y,}$ there exists some ${\displaystyle x\in f^{-1}(y)}$ such that ${\displaystyle f}$ is open at ${\displaystyle x.}$ Every almost open surjection is necessarily a pseudo-open map (introduced by Alexander Arhangelskii in 1963), which by definition means that for every ${\displaystyle y\in Y}$ and every neighborhood ${\displaystyle U}$ of ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ (i.e. ${\displaystyle f^{-1}(y)\subseteq \operatorname {Int}$$_{X}U}),$ $f{\displaystyle (U}$) ${\displaystyle f(U)}}$은${\displaystyle (}$는)$$y . {\$displaystyle$ y$.}$의 동네일 수밖에 없다.

거의 열린 선형 지도

A linear map ${\displaystyle T:X\to Y}$ between two topological vector spaces (TVSs) is called almost open if for any neighborhood ${\displaystyle U}$ of ${\displaystyle 0}$ in ${\displaystyle X,}$ the closure of ${\displaystyle T(U)}$ in ${\displaystyle Y}$ is a neighborhood of the or이긴의

Importantly, some authors call ${\displaystyle T}$ is almost open if for any neighborhood ${\displaystyle U}$ of ${\displaystyle 0}$ in ${\displaystyle X,}$ the closure of ${\displaystyle T(U)}$ in ${\displaystyle T(X)}$ (rather than in ${\displaystyle Y}$) is a neighborhood of t그는 기원했다; 이 기사는 이 정의를 사용하지 않을 것이다.^[1]

선형 연산자 $T{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to$ Y$}$이(가) 거의 열려 있는 $경우{\displaystyle }$ T${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$ )$${\$displaystyle$ $T(X)}$은${\displaystyle }$T :${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle Y}$에 0의 $근접$한$$Y$${\$displaystyty$T:$X\to$Y$}$의 벡터 하위 공간이기 때문에 반드시 과부착이 불가피하다$$.이러한 이유로 많은 저자들은 "거의 거의 열려 있는" 정의의 일부로서 허탈성을 요구한다.

$T{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle T:X\to Y}$이(가) 바이어시적 선형 연산자라면$$ $T{\displaystyle }$${\$ $T$$^{-1}$가 거의 연속적일 경우에만 T ${\$displaysty T}이(가) 거의$$ 열려 있다$.$^[1]

열린 지도와의 관계

모든 절망적인 열린 지도는 거의 열린 지도지만 일반적으로 그 반대가 반드시 사실인 것은 아니다.If a surjection ${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$ is an almost open map then it will be an open map if it satisfies the following condition (a condition that does not depend in any way on ${\displaystyle Y}$'s topology ${\displaystyle \sigma }$):

whenever ${\displaystyle m,n\in X}$ belong to the same fiber of ${\displaystyle f}$ (i.e. ${\displaystyle f(m)=f(n)}$) then for every neighborhood ${\displaystyle U\in \tau }$ of ${\displaystyle m,}$ there exists some neighborhood ${\displaystyle V\in \tau }$ of ${\displaystyle n}$${\displaystyle }$$F{\displaystyle (V}$) ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle F(U)}$. ${\displaystyle$ F$(V)\subseteq F(U$)와$$ 같은 ${\displaystyle$ n$}.$$}$

지도가 연속적인 경우 지도를 열기 위해서도 위의 조건이 필요하다.즉, $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$이(가) 연속적인 추리라면$$, 만약 거의 열려 있고 위의 조건을 만족한다면 오픈 맵이다.

개방형 매핑 정리

정리:^[1] $T{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to$ Y$}$이(가) 로컬 볼록 $공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$에서 바레인이 있는 $공간{\displaystyle }$ Y$${\$displaystyle Y}$에 이르는 돌출 선형 연산자라면$$ $T{\displaystyle }$ ${\displaystyty T}$은 거의 열려 있다.

정리:^[1] $T{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle T:X\to$ Y$}$이(가) $TVS{\displaystyle }$ X ${\displaystyle$ X$}$에서 Baire $공간{\displaystyle }$ Y ${\displaystyle$ Y$}($으)로$$ 가는 돌출 선형 연산자라면$$ $T{\displaystyle }$ ${\displaystyty$ T$}$은 $거의$ 열려 있다.

위의 두 가지 이론은 어떤 위상학적 조건을 만족시키기 위해 허탈적 선형 지도를 필요로 하지 않는다.

정리:^[1]$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 완전히 가성계측 가능한 TVS이고, $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가) 하우스도르프 TVS이고, $T{\displaystyle }$: X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystytle T:X\to$ Y$}$이(가$$) 닫히고 거의 열려 있는 선형 $추론$이라면 T$${\$displaystytylean$ T$}$은 $개방형$ 맵이다.

정리:^[1]Suppose ${\displaystyle T:X\to Y}$ is a continuous linear operator from a complete pseudometrizable TVS ${\displaystyle X}$ into a Hausdorff TVS ${\displaystyle Y}$. If the image of ${\displaystyle T}$ is non-meager in ${\displaystyle Y}$ then ${\displaystyle T:X\to Y}$ is a surjective 오픈 맵과 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$은(는) 완전한 측정 가능한 공간이다.

참고 항목

• 거의 오픈 세트
• 경계 공간 – 위상 벡터 공간
• 경계 역정리
• 닫힌 그래프 – 제품 공간에서 닫힌 지도 그래프
• 닫힌 그래프 정리 – 연속성과 그래프에 관련된 정리
• 오픈 세트 – 위상학적 공간의 기본 부분 집합
• 개방 및 폐쇄 지도 – 개방(폐쇄) 하위 세트를 개방(폐쇄) 하위 세트로 보내는 기능
• 개방형 매핑 정리(기능 분석) – 선형 연산자가 개방될 수 있는 조건(Banach-Schauder 정리라고도 함)
• 준열림 지도 – 비열림 세트를 코도메인 내부에 비어 있지 않은 세트에 매핑하는 기능
• 프리셰트 공간의 추리 - 추리성의 특성
• 웹베드 공간 – 열린 매핑과 닫힌 그래프 이론이 있는 공간

참조

참고 문헌 목록

• Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Sur certains espaces vectoriels topologiques [Topological Vector Spaces: Chapters 1–5]. Annales de l'Institut Fourier. Éléments de mathématique. Vol. 2. Translated by Eggleston, H.G.; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190.
• Husain, Taqdir; Khaleelulla, S. M. (1978). Barrelledness in Topological and Ordered Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 692. Berlin, New York, Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC 4493665.
• Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
• Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370.
• Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topological Vector Spaces I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 159. Translated by Garling, D.J.H. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498. OCLC 840293704.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Topological Vector Spaces. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 53. Cambridge England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
• Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.