순서분석

이 문서에는 일반 참조 목록이 포함되어 있지만 해당 인라인 인용이 충분하지 않습니다. 좀 더 정확한 인용문을 소개하여 이 글을 개선할 수 있도록 도와주시기 바랍니다.(2021년 9월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 알아보기)

증명 이론에서 서수 분석은 수학 이론에 서수(종종 큰 수를 셀 수 있는 서수)를 강도의 척도로 할당합니다.만약 이론들이 같은 증명 이론 순서를 가지고 있다면, 그들은 종종 등치적이고, 만약 한 이론이 다른 이론보다 더 큰 증명 이론 순서를 가지고 있다면, 그것은 종종 두 번째 이론의 일관성을 증명할 수 있습니다.

역사

순서 분석 분야는 1934년 게르하르트 겐첸이 절단 제거를 사용하여 페아노 산술의 증명 이론 순서가 ε임을 현대적인 용어로 증명하면서 형성되었습니다.Gentzen의 일관성 증명을 참조하십시오.

정의.

순서 분석은 순서 표기에 대한 진술을 할 수 있도록 산술의 충분한 부분을 해석할 수 있는 진실하고 효과적인(재귀적인) 이론에 관한 것입니다.

그러한 이론 $T$의 증명 이론 서수 ${\displaystyle T}$는 모든 서수 표기법의 차수 유형의 최댓값입니다(필요한 경우 재귀적,다음 절 참조) 이론이 증명할 수 있는 모든 서수 $\alpha {\displaystyle }$ {\$displaystyle$$\alpha}$의 최솟값을 $참조$하십시오. 이는 클리네의 의미에서 표기$$ o ${\$$displaystyle$ $o}$가 $존재$하며, 이는 T$${\displaystyle $t}$가 o ${\displaystyle o}$가 서수 표기임을$$ 증명하는$$ 것입니다.이와 동등하게, 이것은 $서수$ α {\$displaystyle$\alpha}(자연수의 집합)에$$ 그것을 $순서{\displaystyle }$α {\$displaystyle$ \$alpha}$로 잘 정렬하는 재귀 관계 $R{\displaystyle }$ {\displaystyle $R}$이 존재하고$$ $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$가 산술 문장의 초유의 유도를 증명하는$$ 모든$$ 서수 α ${\displaystyle \alpha}$의 최댓값입니다.$r{\displaystyle }$ R ${\displaystyle$ R$\}.$

서수표기호

2차 산술의 하위 시스템과 같은 일부 이론은 초미의 서수에 대한 개념이나 주장을 할 방법이 없습니다.예를 들어, Z $T$₂ ${\displaystyle T}$의 하위 시스템이 "$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha}$가 잘 정렬되었음을 증명"하는 것이$$ 무엇을 의미하는지 공식화하기 위해, 우리는 대신 순서형 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha}$를 가진 순서형 표기 ($A,$ <~) ${\tilde {<}}$를 구성합니다$.$ T ${\displaystyle T}$는 이제 다양한 트랜스피니트 유도 원리와 함께 작동할 수 있습니다$$ <~)${\displaystyle ($A, ${\tilde {<}})},$집합 이론 서수에 대한 추론을 대체합니다.

그러나 일부 병리학적 표기 체계는 작업하기가 예상외로 어려운 것들이 있습니다.예를 들어, Rathjen은 순서 유형 ω ${\displaystyle \omega}$가 있음에도 불구하고 PA가 일치하면 기본적으로 성립되는 원시 재귀 표기법 시스템 $,$< ) ${\displaystyle {N}, <_{T}}$를 제공합니다. - PA의 순서 분석에 이러한 표기법을 포함하면 PTO (${\displaystyle \mathsf{PA}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle \mathsf{}}$ω ${\displaystyle {\mathsf${${\displaystyle \mathsf{PTO}}$$PA)}}}=\omega}.$

상한

σ $11$ ${\displaystyle$ \$Sigma$ _${1}^{1}}$ -xiomatable 및 π ${\displaystyle {11}_{}^{}}$ ${\displaystyle$ \Pi $_{1}^{1}}$ -소리인 경우, 이론이 증명하지 못하는 재귀적 순서의 존재는 σ ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\displaystyle$ \$Sigma$ _${1}^{1}}$ 경계 정리에서 잘 정렬되어 있습니다.그리고 증명 가능한 근거가 있는 순서 표기법은 사실 π ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$ - 소리에 의해 근거가 충분합니다.따라서 π ${\displaystyle {11}_{}^{}}$의 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ 이론 서수 ${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$ - σ ${\displaystyle {}_{}^{}}$을 갖는 소리 이론 ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}}$ 공리화는 항상 (계산 가능한) 재귀 서수, 즉 처치-클렌 서수 ω 1 ${\displaystyle {\mathrm{C}}_{}^{}}$ K ${\displaystyle \{1}^{\mathrm {CK}}}$보다 적을 것입니다$.$

예

증명이론적 서수론을 가진 이론들이 있는 이론들

• Q, 로빈슨 산술 (비록 그러한 약한 이론에 대한 증명 이론 순서의 정의는 수정되어야 함에도 불구하고).^{[citation needed]}
• PA^–, 이산적으로 정렬된 고리의 음이 아닌 부분의 1차 이론.

증명이론적 서수론을 가진 이론들이 있는 이론들

• RFA, 기초 함수 연산.^[3]
• I δ, δ에 귀납법이 있는 산술은 지수화가 완전하다고 주장하는 공리 없이 예측합니다.

증명이론적 서수론을 가진 이론들이 있는 이론들

• EFA, 기초 함수 연산.
• I δ + exp, δ에 귀납법이 있는 산술 - 지수화가 완전하다고 주장하는 공리에 의해 증강된 예측.
• RCA는^*
  ₀ 역수학에서 때때로 사용되는 EFA의 2차 형태입니다.
• 역수학에서 때때로 사용되는 EFA의 2차 형태인 WKL^*
  ₀.

프리드먼의 거대한 추측은 이것을 증명 이론 순서로 하는 약한 시스템에서 많은 "보통" 수학이 증명될 수 있음을 시사합니다.

증명 theore 순서 ω을 갖는 이론(n = 2, 3, ... ω의 경우)

• I δ 또는 EFA는 Grzegorczyk 계층 구조의 n번째 레벨 ${\displaystyle {En}^{}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{n}$의 각 요소가 총계임을 보장하는 공리에 의해 증강됩니다.

증명이론적 서수론을 가진 이론들이 있는 이론들

• RCA₀, 재귀적 이해.
• WKL, 약한 K ő닉의 보조개.
• PRA, 원시 재귀 산술.
• I ς, σ 예측값에 귀납법을 적용한 산술.

증명이론적 서수론을 가진 이론들이 있는 이론들

• PA, Peano 산술 (컷 제거법을 사용하여 Gentzen에 의해 표시됨)
• ACA₀, 산술적 이해.

페페르만-슈테트 서수 γ의 증명이론적 서수론

• ATR₀, 산술 트랜스피니트 재귀.
• 임의로 많은 유한 수준의 우주를 가진 마르틴-뢰프 유형 이론.

이 서수는 때때로 "예측" 이론의 상한으로 간주됩니다.

바흐만-하워드 서수의 증명이론을 가진 이론들

• ID₁, 귀납적 정의의 첫 번째 이론.
• KP, 무한의 공리를 가진 Kripke-Platek 집합론.
• CZF, 아크젤의 건설적인 저멜로-프랭켈 집합론.
• 페퍼만의 명시적 수학 체계 T의₀ 약한 변형인 EON

크리프케-플라텍 또는 CZF 집합 이론은 모든 부분 집합의 집합으로 주어진 전 거듭제곱 집합에 대한 공리가 없는 약한 집합 이론입니다.대신, 그들은 새로운 집합의 제한된 분리와 형성이라는 공리를 갖거나, 더 큰 관계에서 그것들을 잘라내는 대신 특정 기능 공간의 존재를 부여하는 경향이 있습니다.

증명이론적 서수가 더 큰 이론

• ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 11${\displaystyle {}_{}^{}}$- ${\displaystyle CA}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\displaystyle$ \$Pi$ _${1}^{1}{\mbox{-}}{\mathsf {CA}_{$ π 이해는 다소 큰 증명 이론 순서를 가지고 있으며, 이는 Takeuti가 "정규 다이어그램"의 관점에서 설명했으며, 부흐홀츠의 표${\displaystyle {\mathrm{기}}_{}^{}}$법에서 ψ(ω)로 경계를 이루고 있습니다.은 또한 유한 반복 정의 $이론$인 ID < ω {\displaystyle $ID_{<\omega}}$의 순서이기도 합니다또한 MLW, 색인화된 W-Type Setzer를 가진 Martin-Löf 유형 이론의 순서(2004).
• ID, ω 반복 귀납적 정의 이론.그것의 증명 이론 순서는 Takeuti-Feferman-Buchholz 순서와 같습니다.
• T, Feferman의 명시적 수학의 구성 체계는 더 큰 증명 이론 순서를 갖는데, 이는 반복 허용성이 있는 KPi, Kripke-Platek 집합 이론과 σ ${\displaystyle {21}_{}^{}}$ -${\displaystyle {}_{}^{}\mathsf{AC}}$+ ${\displaystyle \mathsf{BI}}$ ${\displaystyle \Sigma _{2}^{1}{\mbox{-}}{\mathsf {AC}}+{\mathsf {B$$I$
• 재귀적으로 접근할 수 없는 순서형을 기반으로 하는 KPi는 매우 큰 증명 이론적 순서형 ψ${\displaystyle (}$ε I${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle \psi (\varepsilon _{I+1})}$를 Jäger와 Pohlers의 1983년 논문에 설명했습니다. 여기서 I는 가장 접근할 수 없는 것입니다.이 서수는 또한${\displaystyle {}_{}^{}}$δ δ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle \mathsf{CA}}$ +$$BI {\$displaystyle$ \$Delta _{$2}^{$1}{\mbox{-}}{\mathsf$ {CA$}}+{\mathsf {B$$I$
• KPM은 재귀적 마흘로 순서형을 기반으로 한 크립키-플라텍 집합 이론의 확장으로, Rathjen(1990)에 의해 설명된 매우 큰 증명 이론적 순서형 θ을 가지고 있습니다.
• 마르틴-뢰프 유형 이론을 한 마흘로 우주로 확장한 MLM은 훨씬 더 큰 증명 이론적 서수 ψ(ω)을 가지고 있습니다.
• ${\displaystyle \mathsf{K}}$ ${\displaystyle \mathsf{P}}$ +${\displaystyle }$$\pi$ ${\displaystyle 3_{}}$- ${\displaystyle \mathrm{Ref}}$ ${\displaystyle {\mathsf {KP}}+\Pi _{3}-Ref}$의 증명 이${\displaystyle \mathsf{론}}$ 순${\displaystyle \mathsf{서}}$는 ${\displaystyle {}_{}}$(ε ${\displaystyle K_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle \Psi (\varepsilon _{K+1})}$이며$,$ 여기서 $K$ ${\displaystyle K}$은(Rathjen 1993)로 인해 첫 번째 약한 콤팩트를 나타냅니다.
• ${\displaystyle \mathsf{}\mathsf{K}\mathsf{P}}$ +${\displaystyle {\pi }_{}}$ ω${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle \mathrm{Ref}}$ ${\displaystyle {\mathsf {KP}}+\Pi$ _${\omega }-Ref$$theor$${\displaystyle \mathsf{e}}$ 순서는${\displaystyle \mathsf{}}$ψ${\displaystyle \mathsf{}}$${\displaystyle X_{}^{}}$ ε ${\displaystyle {{\mathrm{\xi }}_{}}_{}^{}}$+ 1 ${\displaystyle \Psi _{X}^{\varepsilon$ _${\Xi +1}}$입니다${\displaystyle \mathsf{.}}$ 여기서 ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \Xi$ }은${\displaystyle \mathsf{}}$첫 번째$$${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 0_{}^{}}$ {\$displaystyle$ \$Pi$ _${0}^{2}}$ -설명할$$수${\displaystyle \mathsf{}}$없고${\displaystyle \mathsf{}}$X $=$ ($\omega$ +${\displaystyle }$; ${\displaystyle \mathsf{P}}$${\displaystyle {}^{}}$0${\displaystyle \mathsf{}}$;${\displaystyle {}^{}ϵ{}_{}}$ ${\displaystyle {ϵ}_{},0}$ )${\displaystyle \math$${\displaystyle \mathsf{b}}$${X}$ = (\$omega ^{+});$$P_{0};\epsilon,\epsilon,0)},$원인 (Stegert 2010).
• ${\displaystyle \mathsf{Stabilit}}${\$displaystyle${\$mathsf$ {$Stability}}$의 증명 이${\displaystyle \mathsf{론}}$ 순서는${\displaystyle \mathsf{}}$$\psi$${\displaystyle \mathsf{}}$${\displaystyle X_{}^{}}$ ε ${\displaystyle {{\mathrm{\upsilon }}_{}}_{}^{}}$+ 1$$\\$displaystyle$ \$Psi _${\mathbb ${X}}^{\varepsilon _{\$Upsilon +$1}}$이고 여기서$υ$ {\displaystyle $\Upsilon$$$$}$은(는$)$ α${\displaystyle }$+$β$ {\displaystyle $\alpha +\beta}$- 모든 에 대해 안정적인 최소 순서 $\alpha$ ${\displaystyle \alpha$ +\$beta$}의 기본 유사체입니다$.$$표시$ 스타일 \$beta <\alpha }$ 및 $X$ $=$ ($ϵ$ +${\displaystyle {}^{}}$;${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$;${\displaystyle {}_{}}$$ϵ$,${\displaystyle }$$ω$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 0}$ )${\displaystyle \mathbb {X}$ $=$ (\$omega^{+};$$P_{0};\epsilon,\epsilon,0)},$원인 (Stegert 2010).

자연수의 거듭제곱 집합을 설명할 수 있는 대부분의 이론은 증명 이론 서수가 너무 커서 아직 명확한 조합 설명이 제공되지 않았습니다.여기에는 π ${\displaystyle {}_{}^{}}$ -${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\displaystyle \Pi _{2}^{1}-CA_{0$ 완전 2차 산술( π ∞ 1${\displaystyle {}_{}^{}}$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\displaystyle \Pi _{\infty}^{1}-CA_{0$이 포함되며 ZF 및 ZFC를 포함하는 멱집합으로 이론을 설정합니다.직관적인 ZF(IZF)의 강도는 ZF의 강도와 같습니다.

순서분석표

증명이론서수표

서수	1차산술	이차산술	크립케-플라텍 집합론	유형론	구성집합론	명시수학
${\displaystyle \omega}$	${\displaystyle \mathsf{Q}}$ ${\$ ${\displaystyle {\mathsf{PA}}^{}}$ -${\$
${\displaystyle \omega^{2}}$	${\displaystyle \mathsf{RFA}}$ ${\displaystyle {\mathsf {RFA$ $I$ ${\displaystyle {\delta }_{}}$ 0 ${\displaystyle {\mathsf {I\Delta}}_{0}$
${\displaystyle \omega^{3}}$	${\displaystyle \mathsf{EFA}}$ ${\displaystyle {\mathsf {EFA$$I$ ${\displaystyle {\delta }_{}^{}}$ 0${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {\mathsf {I\Delta}}_{0}^{\mathsf {+}}$	${\displaystyle {\mathsf{}\mathsf{RCA}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 0_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathsf {RCA}}_{0}^{*},$${\displaystyle {\mathsf{WKL}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 0_{}^{}}$ ∗ ${\displaystyle {\mathsf {WKL}_{0}^{*}}$
${\displaystyle \omega^{n}$[1]	${\displaystyle E^{}}$ ${\displaystyle {\mathsf{F}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathsf {EFA}}^{\mathsf {$ $I$ ${\displaystyle {\mathsf{\delta }}_{}^{}}$ 0 ${\displaystyle {\mathsf{}}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {\mathsf {I\Delta}}_{0}^{\mathsf {n+}}$
${\displaystyle \omega^{\omega}}$	${\displaystyle \mathsf{PRA}}$ ${\displaystyle {\mathsf${PRA${\displaystyle \mathsf{\}}}\},$ $I$ ${\displaystyle {\sigma }_{}}$ 1 ${\displaystyle {\mathsf {I\Sigma}}_{1}$	${\displaystyle {\mathsf{RCA}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\$ ${\displaystyle {\mathsf{WCL}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\$		${\displaystyle {\mathsf {CPRC}}$
${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega }}}}$		${\displaystyle {\mathsf {RCA}}_{0}+(\Pi _{2}^{0})^{-}{\mathsf {-IND}}}$[6]p.40
${\displaystyle \varepsilon _{0}}$	${\displaystyle {\mathsf {PA}}$	${\displaystyle {\mathsf{ACA}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ACA}$$\delta$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$- ${\displaystyle {\mathsf{CA}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\displaystyle {\mathsf {\Delta}}_{1}^{\mathsf {-CA}$${\displaystyle {\mathsf{\}}}_{}}$$_{0},$σ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ -${\displaystyle {}_{}^{}{\mathsf{AC}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\mathsf {\Sigma}}_{1}^{\mathsf {-AC}_{0}}$				${\displaystyle {\mathsf {EM}}_{0}$
${\displaystyle \varepsilon _{\omega}}$		${\displaystyle {\mathsf{ACA}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$+ ${\displaystyle \mathsf{iRT}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ACA}}_{0}+{\mathsf {iRT$ ${\displaystyle {\mathsf{R}}_{}}$${\displaystyle {\mathsf{C}}_{}}$${\displaystyle {\mathsf{A}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$${\displaystyle {\mathsf{}}_{}}$+${\displaystyle {}_{}\mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ X${\displaystyle (\mathrm{TJ}(n,}$ ${\displaystyle X,}$ Y${\displaystyle {\mathsf {RCA}_{0}+\모든 n\$존재 X$({\textrm {TJ}}(n,X,Y))}$
${\displaystyle \varepsilon _{\varepsilon _{0}}}$		${\displaystyle {\mathsf {ACA}}$
${\displaystyle \zeta _{0}}$		${\displaystyle {\mathsf{A}\mathsf{C}\mathsf{A}}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathsf{}}_{}}$+${\displaystyle {}_{}\mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle X}$ ∃${\displaystyle {\mathsf{}}_{}}$Y${\displaystyle }$(${\displaystyle \text{TJ}(\omega ,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathsf {ACA}}_{0}+\모든 X에 대해 Y({\textrm {TJ}}(\omega,X,Y)),$$p$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\mathsf{CA}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$) ${\displaystyle {\mathsf {p}_{1}({\mathsf {ACA}}_{0}}$
${\displaystyle \varphi (2,\varepsilon _{0})}$		${\displaystyle \mathsf{RF}}$ ${\displaystyle \mathsf{N}}$ ${\displaystyle {\mathsf {RFN$ ${\displaystyle \mathsf{A}}$${\displaystyle \mathsf{CA}}$ ${\displaystyle \mathsf{+}}$${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle X}$ ∃${\displaystyle \mathsf{}}$${\displaystyle Y(\text{TJ}(\omega ,}$ X${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle Y))}$ ${\displaystyle {\mathsf {ACA}}+\모든 X에 대해$ Y$({\textrm {TJ}}(\omega,X,Y))}$
${\displaystyle \varphi (\omega,0)}$	${\displaystyle {\mathsf {ID}}_{1}\#}$	${\displaystyle {\mathsf {\Delta}}_{1}^{1}{\mathsf {-CR}}$				${\displaystyle {\mathsf {EM}}_{0}{\mathsf {+JR}}$
${\displaystyle \varphi (\varepsilon _{0},0)}$	${\displaystyle {\widehat {\mathsf {ID}}_{1}$	${\displaystyle {\mathsf{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {11}_{}^{}}$ -${\displaystyle {}_{}^{}\mathsf{CA}}$ ${\displaystyle {\mathsf${\$Delta}}_{1}^{1}{\mathsf${$CA$ ${\displaystyle \mathsf{\sigma }}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$- ${\displaystyle \mathsf{AC}}$ ${\displaystyle {\mathsf {\Sigma}}_{1}^{\mathsf {-AC}}$		${\displaystyle {\mathsf {ML}}_{1}$		${\displaystyle {\mathsf {EM}}_{0}{\mathsf {+J}}$
${\displaystyle \varphi({\mathsf {<}}\Omega,0)}$[2]	${\displaystyle {\mathsf {Aut(ID\#)}}$
${\displaystyle \Gamma _{0}}$	< ${\displaystyle {\mathsf {ID}}_{<\omega}},$$U{\displaystyle \mathsf{(}\mathsf{PA}\mathsf{)}}$ ${\displaystyle {\mathsf {U(PA)}}$	${\displaystyle {\mathsf{A}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathsf{TR}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ATR}$$\delta$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$- ${\displaystyle \mathsf{CA}\mathsf{}}$+ ${\displaystyle \mathsf{B}}$ ${\displaystyle \mathsf{R}}$ ${\displaystyle {\mathsf {\Delta}}_{1}^{\mathsf {-CA+$$BR}}}$	${\displaystyle {\mathsf {KPi}}^{0}$	< ${\displaystyle {\mathsf {ML}}_{<\omega$ ${\displaystyle \mathsf{MLU}}$ ${\displaystyle {\mathsf {MLU}}$
${\displaystyle \Gamma _{\varepsilon _{0}}}$	${\displaystyle {\widehat {\mathsf {ID}}_{\omega}}$	${\displaystyle {\mathsf {ATR}}$	${\displaystyle {\mathsf {KPI}}^{0}{\mathsf {+F-I}}_{\omega}}$
${\displaystyle \varphi (1,\omega,0)}$	${\displaystyle {\widehat {\mathsf {ID}}_{<\omega^{\omega}}}$	${\displaystyle {\mathsf {ATR}}_{0}+({\mathsf {\Sigma}}_{1}^{1}{\mathsf {-DC}})}$[10]p.7	${\displaystyle {\mathsf {KPi}}^{0}{\mathsf {+\Sigma _{1}-I}}_{\omega}}$
${\displaystyle \varphi (1,\varepsilon _{0},0)}$	${\displaystyle {\mathsf {ID}}_{<\varepsilon _{0}}}$	${\displaystyle {\mathsf {ATR}}+({\mathsf {\Sigma}}_{1}^{1}{\mathsf {-DC})}$[10]p.7	${\displaystyle {\mathsf {KPI}}^{0}{\mathsf {+F-I}}_{\omega}}$
${\displaystyle \varphi (1,\Gamma _{0},0)}$	${\displaystyle {\mathsf {ID}}_{<\Gamma _{0}}}$			${\displaystyle {\mathsf {MLS}}$
${\displaystyle \varphi (2,0,0)}$	${\displaystyle {\mathsf {Aut({\widehat {ID}}}}}}$		${\displaystyle {\mathsf {KPh}}^{0}$	${\displaystyle {\mathsf {Aut(ML)}}$
${\displaystyle \varphi (2,0,\varepsilon _{0})}$	${\displaystyle {\mathsf {FTR}}$[11]
${\displaystyle \varphi (2,\varepsilon _{0},0)}$			${\displaystyle {\mathsf {KPh}}_{0}+({\mathsf {F-I}}_{\omega})}$[11]11쪽
${\displaystyle \varphi (\omega,0,0)}$			${\displaystyle {\mathsf {KPM}}^{0}$
${\displaystyle \varphi (\varepsilon _{0},0,0)}$		${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}{\mathsf {-TDC}}$[10]
${\displaystyle \varphi(1,0,0,0)}$		${\displaystyle {\mathsf {p}}_{1}(\Sigma _{1}^{1}{\mathsf {-TDC}_{0})}$[10]p.7p.7
${\displaystyle \psi _{\Omega _{1}}(\Omega ^{\Omega ^{})}$		${\displaystyle {\mathsf{RC}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathsf{A}\mathsf{}0\mathsf{}}_{}^{}}$ +${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}^{}}$ π ${\displaystyle {}_{}^{}}$ -${\displaystyle {}_{}^{}{\mathsf{CA}}^{}}$- ${\displaystyle {\mathsf {RCA}}_{0}^{*}+\Pi _{1}^{{\mathsf {-CA}},$p ${\displaystyle 3_{}}$(${\displaystyle {\mathsf{ACA}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$) ${\displaystyle {\mathsf {p}_{3}({\mathsf {ACA}}_{0})$
${\displaystyle \vartheta (\Omega^{\Omega})}$		${\displaystyle {\mathsf {p}_{1}({\mathsf {p}}_{3}({\mathsf {ACA}}_{0})}$[10]p.7
${\displaystyle \psi _{0}(\varepsilon _{\Omega +1})}$[3]	${\displaystyle {\mathsf {ID}}_{1}$		${\displaystyle \mathsf{KP}}$ ${\displaystyle {\mathsf {KP}$${\displaystyle \mathsf{KP}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\mathsf {KP\omega}}}$	${\displaystyle {\mathsf {ML}}_{1}{\mathsf {V}}$	${\displaystyle {\mathsf {CZF}}$	${\displaystyle {\mathsf {EON}}$
${\displaystyle \psi _{0}(\Gamma _{\Omega +1})}$[4]	${\displaystyle {\mathsf {U(ID)}_{1}{\mathsf {}}}$
${\displaystyle \psi _{0}(\varphi({\mathsf {<}})\Omega,0,\Omega +1)}$	${\displaystyle {\mathsf {Aut(U(ID))}}$
${\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{\Omega})}$	${\displaystyle {\mathsf {ID}}_{<\omega}}$	${\displaystyle {\mathsf{}}_{}^{}}$π ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {11}_{}^{}}$${\displaystyle {}_{}^{}}$- ${\displaystyle {\mathsf{CA}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\displaystyle {\mathsf${\$Pi}}_{1}^{\mathsf${-$CA}}${$0$ ${\displaystyle {\mathsf{\delta }}_{}}$ 21${\displaystyle {}_{}^{}}$- ${\displaystyle {\mathsf{CA}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\mathsf {\delta}}_{2}^{1}{\mathsf {-CA}_{0}}$		${\displaystyle {\mathsf {MLW}}$
${\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{\omega})\omega^{\omega})}$	${\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mathsf {-CA}}_{0}+\Pi _{2}^{1}{\mathsf {-IND}}}$[13]
${\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{\Omega})\varepsilon _{0})}$	${\displaystyle {\mathsf {W-ID}}_{\omega}}$	${\displaystyle {\mathsf {\Pi}}_{1}^{1}{\mathsf {-CA}}$	${\displaystyle {\mathsf {W-KPI}}$
${\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{\Omega}\Omega )}$		${\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mathsf {-CA+BR}}}$[14]
${\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{\Omega}^{\Omega})}$		${\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mathsf {-CA}}_{0}+\Pi _{2}^{1}{\mathsf {-BI}}}$[13]
${\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{\Omega}^{\Omega}})}$		${\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mathsf {-CA}}_{0}+\Pi _{2}^{1}{\mathsf {-BI}}+\Pi _{3}^{1}{\mathsf {-IND}}}$[13]
${\displaystyle \psi _{0}(\varepsilon _{\Omega _{\Omega}+1})}$[5]	${\displaystyle {\mathsf {ID}}_{\omega}}$	${\displaystyle {\mathsf {\Pi}}_{1}^{1}{\mathsf {-CA+BI}}}$	${\displaystyle {\mathsf {KPI}}$
${\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{\Omega^{\Omega}})}$	${\displaystyle {\mathsf {ID}}_{<\omega^{\omega}}$	${\displaystyle {\mathsf {\Delta}}_{2}^{1}{\mathsf {-CR}}$
${\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{\varepsilon _{0}})}$	${\displaystyle {\mathsf {ID}}_{<\varepsilon _{0}}$	${\displaystyle {\mathsf{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {21}_{}^{}}$${\displaystyle {}_{}^{}}$- ${\displaystyle \mathsf{CA}}$ ${\displaystyle {\mathsf${\$Delta}}_{2}^{1}{\mathsf${$CA$ ${\displaystyle \mathsf{\sigma }}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$- ${\displaystyle \mathsf{AC}}$ ${\displaystyle {\mathsf {\Sigma}}_{2}^{1}{\mathsf {-AC}}$	${\displaystyle {\mathsf {W-KPi}}$
${\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{\Omega})}$	${\displaystyle {\mathsf {Aut(ID)}}$[6]
${\displaystyle \psi _{\Omega _{1}}(\varepsilon _{\Omega _{\Omega}+1})}$	${\displaystyle {\mathsf{}\mathsf{ID}}_{}}$ ${\displaystyle {\prec }^{}}$ ∗ $displaystyle {\mathsf {ID}}_{\prec ^{*}},$${\displaystyle {\mathsf{BID}}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ ∗ ${\displaystyle {\mathsf {B$$ID}}^{2*},$${\displaystyle {ID2}^{}}$ $∗$${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle \mathsf{BI}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ID}}^{2*}+{\mathsf {BI}}}$		${\displaystyle {\mathsf{}\mathsf{KPL}}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {\mathsf {KPL}}^{*$${\displaystyle {KPL}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathsf {KPL}}_{\Omega}^{r}}$
${\displaystyle \psi _{0}(\Phi _{1}(0))}$		${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$π ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {11}_{}^{}}$${\displaystyle {}_{}^{}}$- ${\displaystyle {\mathsf{TR}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\displaystyle$ \$Pi$ _${1}^{1}{\mathsf${-$TR}}_$ π ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {11}_{}^{}}$${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathsf{TR}}_{}}$${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$${\displaystyle 0_{}}$+ ${\displaystyle {\mathsf{\sigma }}_{}}$ 21 - CA ${\displaystyle 0_{}}$ ${\displaystyle$ \$Pi$ _${1}^{{1}}{\mathsf {-TR}}_{0}+\Delta$ _{$2}^{1}{\$mathsf {-$CA}_$${\displaystyle {\mathrm{\{}}_{}^{}}$$0$ ${\displaystyle \mathsf{\sigma }}$ ${\displaystyle 2_{}^{}}$1${\displaystyle \mathsf{}}$- C ${\displaystyle \mathsf{A}}$ + ${\displaystyle \mathsf{B}}$ I${\displaystyle \mathsf{}}$(${\displaystyle \mathsf{i}}$ m${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$${\displaystyle \mathsf{l}\mathsf{}}$- ${\displaystyle {}_{}^{}}$ 2${\displaystyle {}_{}^{}}$1 ) ${\displaystyle$ \$Delta$_{$2}^{1}{\mathsf {-CA}}{\mathsf$ + $BI(impl-}}, {\$${\displaystyle \mathsf{displaystyle}\mathsf{}}$\${\displaystyle \mathsf{Delta}}$ ${\displaystyle \mathsf{\_}\mathsf{\{}\mathsf{2}}$}^{${\displaystyle {\mathrm{1\}\},\; di}}_{}^{}}$$splay$ 2 1 - C A + B R (i m${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$l - { 2 1$$) {\displaystyle \$Delt$$a _{2}^{1}{\mathsf {-CA+BR(impl-}}\Sigma$ _${2}^{1$ ${\displaystyle {\mathbf{AUT}\mathbf{}}_{}^{}}$- ${\displaystyle {\mathbf{ID}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{0}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{pos}}_{}^{}}$ ${\$ ${\displaystyle {\mathbf{AUT}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{-}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{ID}}_{}^{}}$ 0 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{on}}_{}^{}}$ ${\$	${\displaystyle {\mathsf{K}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathsf{Pi}}^{}}$ ${\displaystyle w^{}}$+ ${\displaystyle \mathsf{FOUN}}$ ${\displaystyle \mathsf{DR}}$( ${\displaystyle \mathsf{im}{\mathsf{p}}^{}\mathsf{l}}$ -${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathsf {KPi}}^{w}+{\mathsf {FOUNDR}({\mathsf {impl-})\Sigma$ $)\},$ $K$ ${\displaystyle {Pi}^{}}$ w${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle \mathsf{FOUN}}$ D${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathsf{im}}$${\displaystyle {\mathsf{p}}^{}}$${\displaystyle \mathsf{l}}$ -${\displaystyle }$) σ${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathsf {KPi}^{w}+{\mathsf {FOUND}({\mathsf {impl-})\Sigma )}$	${\displaystyle {\mathbf{A}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{UT}}^{}}$ -${\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\$ $A{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{UT}\mathbf{}}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$} $+\mathbf {KPi} ^{r}}$
${\displaystyle \psi _{0}(\Phi _{1}(0)\varepsilon _{0})}$		${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {11}_{}^{}}$- ${\displaystyle \mathsf{TR}}$ ${\displaystyle$ \Pi $_{1}^{1}{\mathsf {-TR$ $-$ ${\displaystyle {\mathbf{ID}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{pos}}^{}}$ ${\displaystyle$ \$mathbf {AUT-ID}^{pos$$},$ ${\displaystyle {\mathbf{AUT}\mathbf{}}^{}}$- ${\displaystyle {\mathbf{ID}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{mon}}^{}}$ ${\displaystyle$ \$mathbf$ {$AUT-ID}^{mon}$	${\displaystyle \mathbf {AUT-KPL} ^{w}$[15]p.72
${\displaystyle \psi _{0}(\varepsilon _{\Phi _{1}(0)+1}}$		${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ -${\displaystyle {}_{}^{}\mathsf{TR}}$+${\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathsf{BI})}$ ${\displaystyle (\Pi _{1}^{1}{\mathsf {-TR}}+({\mathsf {BI}})},$${\displaystyle {\mathbf{AUT}\mathbf{}}_{}^{}}$- ${\displaystyle {\mathbf{ID}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{pos}}_{}^{}}$ ${\displaystyle \mathbf {AUT-ID} _{2}^{pos},$${\displaystyle {\mathbf{AUT}\mathbf{}}_{}^{}}$- ${\displaystyle {\mathbf{ID}}_{}^{}}$ 2 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{on}}_{}^{}}$ ${\displaystyle \mathbf {AUT-ID} _{2}^{mon}}$	${\displaystyle \mathbf {AUT-KPL}}$[15]p.72
${\displaystyle \psi _{0}(\Phi _{1}(\varepsilon _{0})}$		${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$π ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {11}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{T}}_{}^{}\mathsf{R}}$ +${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle \mathsf{CA}}$ ${\displaystyle$ \$Pi$ _${1}^{1}{\mathsf {-TR}}+\Delta$_{$2}^{1}{\mathsf {-C$ ${\displaystyle \mathsf{\pi }}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{T}}_{}^{}}$${\displaystyle \mathsf{R}}$ +${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle \mathsf{AC}}$ ${\displaystyle$ \$Pi$ _${1}^{\mathsf${-$TR}}+\Sigma$_{$2}^{1}{\mathsf {-AC$ U ${\displaystyle {\mathbf{T}\mathbf{}}^{}}$- ${\displaystyle {\mathbf{K}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{P}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$w + ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{P}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ \$mathbf$ {$AUT-KPL}^{w}+\mathbf$ {$KPI}^{w}}$
${\displaystyle \psi _{0}(\Phi _{\omega}}(0))}$		${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$δ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {21}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathsf{TR}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\$displaystyle \$Delta$ _${2}^{1}{\mathsf${-$TR}}$_$0$ $\sigma$ ${\displaystyle {21}_{}^{}}$${\displaystyle {}_{}^{}}$- ${\displaystyle {\mathsf{TR}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathsf{D}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathsf{C}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\displaystyle$ \$Sigma _{2}^{1}{\mathsf {-TRDC}}$_${\displaystyle {\mathrm{\{}}_{}^{}}$$0$ $\delta$ ${\displaystyle {21}_{}^{}{}_{}^{}}$- ${\displaystyle {\mathsf{CA}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$+ ( ${\displaystyle \mathsf{\sigma }}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$- ${\displaystyle \mathsf{B}}$ I )${\displaystyle$ \$Delta$_{$2}^{1}{\mathsf {-CA}}_{0}+(\sigma$_{$2}^{1}{\mathsf${-$BI}})$	${\displaystyle {\mathbf{K}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{r}}^{}}$+ (${\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$ -${\displaystyle \mathsf{FOUND})}$ ${\displaystyle \mathbf {KPi} ^{r}+(\Sigma {\mathsf {-FOUND})},$$K$ ${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle {\mathbf{r}}^{}}$${\displaystyle {}^{}}$+ (${\displaystyle }$σ -${\displaystyle \mathsf{REC})}$ ${\displaystyle \mathbf {KPi} ^{r}+(\Sigma {\mathsf {-REC})}$
${\displaystyle \psi _{0}(\Phi _{\varepsilon _{0}}(0))}$		${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {21}_{}^{}}$${\displaystyle {}_{}^{}}$- ${\displaystyle \mathsf{TR}}$ ${\displaystyle$ \$Delta$ _${2}^{1}{\mathsf {-T$ $\sigma$ ${\displaystyle {21}_{}^{}}$${\displaystyle {}_{}^{}}$- ${\displaystyle \mathsf{TR}}$ ${\displaystyle \mathsf{DC}}$ ${\displaystyle$ \$Sigma _{2}^{1}{\mathsf {-TRD$${\displaystyle {\mathrm{C}}_{}^{}}$$\}\},$ $\delta$ ${\displaystyle {21}_{}^{}{}_{}^{}}$- ${\displaystyle \mathsf{CA}}$${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$+${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$- B ${\displaystyle \mathsf{I}}$ )${\displaystyle$ \$Delta$_{$2}^{1}{\mathsf {-CA}}+(\Sigma$_{$2}^{1}{\mathsf {-BI}})}$	${\displaystyle {\mathbf{K}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{Pi}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{i}}^{}}$+ (${\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$ -${\displaystyle \mathsf{FOUND}}$) ${\displaystyle \mathbf {KPi} ^{w}+(\Sigma {\mathsf {-FOUND})},$$K$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{w}}^{}}$${\displaystyle {}^{}}$+ (${\displaystyle }$σ -${\displaystyle \mathsf{REC}}$)${\displaystyle \mathbf {KPi} ^{w}+(\Sigma {\mathsf {-REC})}$
${\displaystyle \psi (\varepsilon _{I+1})}$[7]		${\displaystyle {\mathsf$$BI$$}},$${\displaystyle {}_{}^{}}$ -${\displaystyle {}_{}^{}\mathsf{AC}}$ ${\displaystyle \mathsf{+}}$ ${\displaystyle \mathsf{BI}}$ ${\displaystyle {\mathsf {\Sigma}}_{2}^{1}{\mathsf {-AC+$$BI}}}$	${\displaystyle {\mathsf {KPi}}$		${\displaystyle {\mathsf {CZF+REA}}$	${\displaystyle {\mathsf {T}_{0}$
${\displaystyle \psi (\Omega _{I+\omega})}$				${\displaystyle {\mathsf {ML}}_{1}{\mathsf {W}}$[16]38쪽
${\displaystyle \psi (\Omega _{L})}$[8]			${\displaystyle {\mathsf {KPh}}$	${\displaystyle {\mathsf {ML}}_{<\omega}{\mathsf {W}}$
${\displaystyle \psi (\Omega _{L^{*}})}$[9]				${\displaystyle {\mathsf {Aut(MLW)}}$
${\displaystyle \psi _{\Omega }(\chi _{\varepsilon _{M+1}}(0)}$[10]		${\displaystyle {\mathsf {\Delta}}_{2}^{1}{\mathsf {-CA+BI+(M)}}$	${\displaystyle {\mathsf {KPM}}$		${\displaystyle {\mathsf {CZFM}}$
${\displaystyle \psi (\Omega _{M+\omega})}$[11]			${\displaystyle {\mathsf {KPM}}^{+}$	${\displaystyle {\mathsf {MLM}}$
${\displaystyle \Psi _{\Omega}^{0}(\varepsilon _{K+1})}$[12]			${\displaystyle {\mathsf {KP+\Pi}}_{3}-{\mathsf {Ref}}$[17]
${\displaystyle \Psi _{(\omega^{+};P_{0},\epsilon,\epsilon,0)}^{\varepsilon _{\Xi +1}}$[13]			${\displaystyle {\mathsf {KP+\Pi}}_{\omega}-{\mathsf {Ref}}$
${\displaystyle \Psi _{(\omega^{+};P_{0},\epsilon,\epsilon,0)}^{\varepsilon _{\Upsilon +1}}$[14]			${\displaystyle {\mathsf {Stability}}$
${\displaystyle \psi _{\omega _{1}^{CK}}(\varepsilon _{\mathbb {I} +1})}$[18]		${\displaystyle \Sigma _{3}^{1}{\mathsf {-DC+BI}}$	${\displaystyle {\mathsf {KP+\Pi}}_{1}{\mathsf {-collection}}$

열쇠

다음은 이 표에 사용된 기호 목록입니다.

• ψ는 각 인용문에 정의된 다양한 순서 접힘 함수를 나타냅니다.
• ψ Rathjen's 또는 Stegert's Psi를 나타냅니다.
• φ는 베블렌의 기능을 나타냅니다.
• ω는 첫 번째 초첨 서수를 나타냅니다.
• ε는 엡실론 수를 나타냅니다.
• γ는 감마 숫자를 나타냅니다(γ는 Feferman-Sütte 순서입니다).
• ω는 셀 수 없는 서수를 나타냅니다(ω, 약칭 ω는 ω입니다).순서가 증명 이론으로 간주되기 위해서는 계산 가능성이 필요합니다.

다음은 이 표에 사용된 약어 목록입니다.

• 1차산술
  • ${\displaystyle \mathsf{Q}}$ ${\$이(가) Robinson 산술입니다.
  • ${\displaystyle {\mathsf{PA}}^{}}$ -${\$는 이산적으로 정렬된 고리의 음이 아닌 부분의 1차 이론입니다.
  • ${\displaystyle \mathsf{RFA}}$ ${\$은(는) 기본 함수 산술입니다.
  • ${\displaystyle {\mathsf{}}_{}{\mathsf{I}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathsf{\delta }}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\displaystyle {\mathsf {I\Delta}}_{0}$은 지수화가 완전하다는 것을 주장하는${\displaystyle {\mathsf{}}_{}}$공리 없이 δ-예측값으로 귀납이 제한된 산술입니다.
  • ${\displaystyle \mathsf{EFA}}$ ${\$은(는) 기본 함수 연산입니다.
  • ${\displaystyle {\mathsf{}}_{}^{}{\mathsf{I}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathsf{\delta }}_{}^{}}$ ${\displaystyle 0_{}^{}}$+ ${\displaystyle {\mathsf {I\Delta}}_{0}^{\mathsf {+}}$는 지수화가 완전하다고 주장하는 공리에 ${\displaystyle {\mathsf{의}}_{}^{}}$해 증강된 δ-예측값으로 제한된 귀납법을 갖는 산술입니다.
  • ${\displaystyle {\mathsf{E}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathsf{F}}^{}}$ ${\$는 Grzegorczyk 계층 구조의$$ n번째 $레벨{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle E^{}}$ ${\$의 각 원소가 총합임을 확인하는 공리에 의해 증강된 기초 함수 산술입니다.
  • ${\displaystyle {\mathsf{}}_{}^{}{\mathsf{I}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathsf{\delta }}_{}^{}}$ 0 ${\displaystyle {\mathsf{}}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {\mathsf {I\Delta}}_{0}^{\$$mathsf$${n+}}$은(는) ${\displaystyle I_{}^{}}$δ$$0 + {\$displaystyle {$I$\Delta}}_{$0}^{\$mathsf {+}}$이며, Grzegorczyk 계층의 n번째 레벨 ${\displaystyle {En}^{}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}^{n}$의 각 요소가 총계임을 확인하는 공리로 증강됩니다.
  • ${\displaystyle \mathsf{PRA}}$ ${\${PRA$}}$은(는) 원시 재귀 산술입니다.
  • ${\displaystyle {\mathsf{}}_{}{\mathsf{I}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathsf{\sigma }}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {\mathsf {I\Sigma}}_{$은(는) σ 예측값으로 인덕션이 제한된 산술입니다.
  • ${\displaystyle \mathsf{PA}}$ ${\$은(는) Peano 산술입니다.
  • ${\displaystyle {\mathsf{}}_{\mathsf{ID}}}$ ${\displaystyle {\nu }_{}}$${\displaystyle {}_{}}$# ${\displaystyle {\mathsf {ID}}_{\nu}\#}$은(는${\displaystyle {\mathsf{)}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathsf{ID}}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ν ${\displaystyle {\widehat {\mathsf {ID}}_{\nu}}$이지만 양의 공식에 대해서만 귀납법이 있습니다.
  • ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathsf{}}\stackrel{}{\mathsf{ID}}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\nu }_{}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathsf {ID}}_{\nu}}$은(는) ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathsf{모}}}_{}}$노톤 연산자의 ν 반복 고정점으로 PA를 확장합니다.
  • ${\displaystyle \mathsf{U}\mathsf{}}$(${\displaystyle \mathsf{PA}\mathsf{)}}$ ${\$는 정확히 1차 산술 체계는 아니지만 자연수를 바탕으로 서술적 추론을 통해 얻을 수 있는 것을 포착합니다.
  • ${\displaystyle \mathsf{Aut}\mathsf{(}\stackrel{}{\mathsf{ID}}^)}${\$displaystyle${\$mathsf {Aut({\widehat {ID}}}}}$는${\displaystyle \mathsf{}}$ID ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\nu }_{}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ID}}_{\nu}}$의 자동 변형입니다$.$
  • ${\displaystyle {\mathsf{}}_{\mathsf{ID}}}$ ${\displaystyle {\nu }_{}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ID}}_{\nu}}:$ 모노톤 연산자의 최${\displaystyle {\mathsf{소}}_{}}$ 고정점을 ν 반복하여 PA를 확장합니다.
  • ${\displaystyle {\mathsf{U}\mathsf{}}_{}}$(${\displaystyle {\mathsf{ID}}_{}}$ ${\displaystyle {\nu }_{}}$) ${\displaystyle {\mathsf {U(ID)}_{\nu }{\mathsf {}}}$는 정확히 1차 산술 체계는 아니지만 ν 시간 반복 일반 귀납적 정의를 기반으로 한 서술적 추론을 통해 얻을 수 있는 것을 포착합니다.
  • $($ID$))$ {\$displaystyle$ {\$mathsf$ {$Aut(U(ID))}}$은(는${\displaystyle {\mathsf{)}}_{}}$${\displaystyle \mathsf{}}$U($ν)$ {\$displaystyle$ {\$mathsf${U$(ID)}_${\nu$}}{\mathsf {}}$의 자동 변형입니다$.$
  • ${\displaystyle {\mathsf{W}\mathsf{}}_{}}$- ${\displaystyle {\mathsf{ID}}_{}}$ ${\displaystyle {\nu }_{}}$ ${\displaystyle {\mathsf {W-ID}}_{\nu}}$는 W 타입을 기반으${\displaystyle {\mathsf{로}}_{}}$ 한 ${\displaystyle {\mathsf{ID}}_{}}$ ν$${\$displaystyle {\mathsf {ID}_{\nu}}$의 약화된 버전입니다.
• 이차산술
  • ${\displaystyle {\mathsf{}\mathsf{RCA}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 0_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathsf {RCA}}_{0}^{*}$는 역수학에서 때때로 사용되는 $EFA$ {\displaystyle ${\mathsf$ {$EFA}}$의 2차 형식입니다$.$
  • ${\displaystyle {\mathsf{}\mathsf{WKL}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 0_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathsf {WKL}}_{0}^{*}}$는 ${\displaystyle \mathsf{역수학}}$에서$$ 사용되는 $EFA$ {\$displaystyle {\$mathsf {$EFA}}$의 2차 형식입니다.
  • ${\displaystyle {\mathsf{RCA}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\$은(는) 재귀적 이해입니다.
  • ${\displaystyle {\mathsf{WKL}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\displaystyle {\mathsf {WKL}}_{0}$은 약한 K ő니그의 보조개입니다.
  • ${\displaystyle {\mathsf{CA}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\$은 산술 이해입니다.
  • ${\displaystyle \mathsf{CA}}$ ${\$은(는) ${\displaystyle {ACA}_{\mathrm{}}}$ 0 ${\$에 전체 2차 유도 방식입니다.
  • ${\displaystyle {TR0}_{\mathrm{}}}$ ${\$은 산술 트랜스피니트 재귀입니다.
  • ${\$은(는) ${\displaystyle {\mathsf{ATR}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\$에 전체 2차 유도 방식입니다.
  • ${\displaystyle {\mathsf{}}_{}^{}}$δ ${\displaystyle \mathsf{\delta }}$ ${\displaystyle {21}_{}^{}}$${\displaystyle {}_{}^{}}$-${\displaystyle \mathsf{}\mathsf{CA}}$ + BI +${\displaystyle \mathsf{}}$( ${\displaystyle \mathsf{M}\mathsf{}}$) ${\displaystyle {\mathsf${\$Delta}}_{2}^{1}{\mathsf${-$CA+BI+(M))$은$($는)${\displaystyle {}_{}^{}}$ - $21$- ${\displaystyle \mathsf{CA}}$+ ${\displaystyle \mathsf{BI}}$ I ${\displaystyle {\mathsf {\Delta}}$_{$2}^{\mathsf {-CA+$$BI}}$과(와) "${\displaystyle {모든}_{}^{}}$ 참 $π$${\displaystyle {\pi }}_{3}^{1}}$ - 매개 변수가 포함된 문장이 $\beta$ ${\displaystyle \beta}$ -${\displaystyle {}_{}^{}}$$δ$${\displaystyle {}_{}^{}}$의 모델 - ${\displaystyle \mathsf{CA}}$ ${\displaystyle {\mathsf {\Delta$}}$_{2}^{1$}{\$mathsf {-CA}"$에 있습니다.
• 크립케-플라텍 집합론
  • ${\displaystyle \mathsf{KP}}$ ${\$은 무한대 공리를 갖는 크립키-플라텍 집합론입니다.
  • ${\displaystyle \mathsf{}\mathsf{KP}}$ $\omega$ ${\displaystyle {\mathsf {KP\omega}}$은(는) ω ${\displaystyle \omega}$를 포함하는 허용 집합인 크립키-플라텍 집합 이론입니다$.$
  • ${\displaystyle \mathsf{W}}$ -${\displaystyle \mathsf{}\mathsf{KPI}}$ ${\$은(는) W 유형을 기반으로$$ $한{\displaystyle \mathsf{}}$ ${\displaystyle \mathsf{KPI}}${\$displaystyle {\mathsf {KPI}}$의 약화된 버전입니다.
  • ${\displaystyle \mathsf{KPI}}$ ${\$은(는) 우주가 허용 집합의 한계임을 주장합니다$$.
  • ${\displaystyle \mathsf{W}}$ -${\displaystyle \mathsf{}\mathsf{KPi}}$ ${\$은(는) W 유형을 기반으로$$ ${\displaystyle \mathsf{하는}}$ KPi$${\$displaystyle${\$mathsf {KPi}}$의 약화된 버전입니다.
  • ${\displaystyle \mathsf{KPi}}$ ${\$은(는) 우주에 액세스할 수 없는 집합이라고 주장합니다$$.
  • ${\displaystyle \mathsf{KPh}}$ ${\$은(는) 우주가 하이퍼 액세스 불가능한 집합 및 액세스 불가능한 집합의 제한이라고 주장합니다$$.
  • ${\displaystyle \mathsf{KPM}}$ ${\$은(는) 우주가 말로 집합이라고 주장합니다$$.
  • ${\displaystyle {\mathsf{}\mathsf{KP}}_{}}$ +${\displaystyle {\mathsf{}\mathsf{\pi }}_{}}$ ${\displaystyle N_{}}$- ${\displaystyle \mathsf{Ref}}$ ${\displaystyle {\mathsf {KP+\Pi}}_{\mathsf {n}}-{\mathsf {Ref}}}$은(는) 특정 1차 반사 방식으로 증강된 ${\displaystyle \mathsf{KP}}$ ${\displaystyle {\mathsf {KP}}$입니다.
  • ${\displaystyle \mathsf{Stabilit}}$ ${\displaystyle {\mathsf {Stability}$는 공${\displaystyle \mathsf{리\; \forall \; \alpha }}$ ∃ ${\displaystyle {\kappa }_{}}$ ≥${\displaystyle \mathsf{\alpha }}$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\kappa }_{}}$ ${\displaystyle \mathsf{⪯}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}}$ κ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle \forall \alpha \exists \kappa \geq \alpha (L_{\kappa }\preceq _{1}L_{\kappa +\alpha }}$로 증강된 KPi입니다$.$
  • ${\displaystyle {\mathsf{KPM}}^{}}$+ ${\$는 "최소 하나의 재귀적 마흘로지널이 존재합니다"라는 주장으로 보강된 KPI입니다.

위첨자 0은 ${\displaystyle \in}$∈ - 유도가 제거되었음을 나타냅니다(이론이 상당히 약함).

• 유형론
  • ${\displaystyle \mathsf{CPRC}}$ ${\${CPRC$}}$은(는) 원시 재귀 구조의 허벨린-페이티 미적분입니다.
  • ${\displaystyle {MLn}_{\mathsf{}}}$ ${\$은(는) W형이 없고 $n개$의 ${\displaystyle n}$개의$$ 우주가 있는 유형 이론입니다.
  • < ${\displaystyle {\mathsf {ML}}_{<\omega}}$는 W형이 없고 우주가 유한하게 많은 유형 이론입니다.
  • ${\displaystyle \mathsf{MLU}}$ ${\$은(는) 다음 우주 연산자를 갖는 형식 이론입니다.
  • ${\displaystyle \mathsf{MLS}}$ ${\${MLS$}}$은(는) W형이 없고 초우주가 있는 유형 이론입니다.
  • ${\displaystyle \mathsf{Aut}\mathsf{}}$(${\displaystyle \mathsf{ML}\mathsf{)}}$ ${\$는 W형이 없는 유형 이론의 자기 변형입니다.
  • ${\displaystyle {\mathsf{ML}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathsf{1}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathsf{}}$ ${\$는 하나의 우주와 아크젤의 반복 집합 유형을 갖는 유형 이론입니다.
  • ${\displaystyle \mathsf{MLW}}$ ${\$은(는) 색인화된 W-Type이 있는 형식 이론입니다$$.
  • ${\displaystyle {\mathsf{ML}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathsf{1}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathsf{}}$ ${\$은 W 유형과 하나의 우주를 갖는 유형 이론입니다.
  • < ${\displaystyle {\mathsf {ML}}_{<\omega }{\mathsf {W}}$은 W형과 유한 개의 우주를 갖는 유형 이론입니다.
  • ${\displaystyle \mathsf{Aut}\mathsf{}}$(${\displaystyle \mathsf{MLW}\mathsf{)}}$ ${\$는 W형의 유형 이론에 대한 자기 변형입니다.
  • ${\displaystyle \mathsf{MLM}}$ ${\$은(는) Mahlo 우주를 갖는 유형 이론입니다.
• 구성집합론
  • ${\displaystyle \mathsf{CZF}}$ ${\${CZF$}}$는 아크젤의 구성 집합 이론입니다.
  • ${\displaystyle \mathsf{CZF}\mathsf{}}$+ ${\displaystyle \mathsf{REA}}$ ${\${CZF + $REA}}}$은(는) ${\displaystyle \mathsf{CZF}}$ ${\${CZF$}}$에 정규 확장 공리를 더한 값입니다.
  • ${\$$FZ}}_{2}}$는 ${\displaystyle \mathsf{CZF}\mathsf{}}$+ ${\displaystyle \mathsf{REA}}$ ${\${CZF + $REA}}$에 전초차 유도 방식입니다.
  • ${\$$FM}}$은(는) Mahlo 유니버스가 있는$$ ${\displaystyle \mathsf{CZF}}$ ${\${CZF$}}$입니다.
• 명시수학
  • ${\displaystyle {\mathsf{EM}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\$은 기본 명시적 수학에 기초 이해력을 더한 것입니다.
  • ${\displaystyle {\mathsf{EM}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}\mathsf{}}$+ J ${\displaystyle \mathsf{R}}$ ${\$은(는) ${\displaystyle {\mathsf{EM}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\$ 조인$$ 규칙입니다.
  • ${\displaystyle {\mathsf{EM}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}\mathsf{}}$+ ${\displaystyle \mathsf{J}}$ ${\$은(는$)$ EM$0$ {\displaystyle {\$mathsf {EM}_{0}$ + 조인 공리입니다.
  • ${\displaystyle \mathsf{EON}}$ ${\$은(는) Feerman의 ${\displaystyle {T0}_{\mathrm{}}}$ ${\$의 약한 변형입니다$.$
  • ${\displaystyle {\mathsf{T}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\$는 ${\displaystyle {EM}_{\mathrm{}}}$ 0${\displaystyle {}_{}\mathsf{}}$+ ${\displaystyle \mathsf{J}\mathsf{}}$+ ${\displaystyle \mathsf{IG}}$ ${\$$IG$ 여기서 ${\displaystyle \mathsf{IG}}$ ${\$은(는) 귀납 생성입니다$$.
  • ${\displaystyle \mathsf{T}}$ ${\$은(는) ${\displaystyle {EM}_{\mathrm{}}}$ 0${\displaystyle {}_{}{\mathsf{}}_{}}$+ ${\displaystyle {\mathsf{J}\mathsf{}}_{}}$+ ${\displaystyle {\mathsf{IG}\mathsf{}}_{}}$+ F ${\displaystyle {\mathsf{Z}}_{}}$ ${\displaystyle 2_{\mathrm{}}}$ ${\$$IG+FZ}_{2$ 여기서 ${\displaystyle {FZ}_{\mathrm{}}}$ 2 ${\$는 완전한 2차 유도 방식입니다.

참고 항목

• 등분 일관성
• 큰 기수 특성
• 페페르만-슈트 서수
• 바흐만-하워드 서수
• 복잡도 클래스
• 겐첸의 일관성 증명

메모들

1.^< ω ${\displaystyle 1$< $n\leq \omega}$에 대해

2.^ 무한 반복 최소 고정점을 가진 베블렌 함수 φ ${\displaystyle \varphi}.$

3.^ Madore의 ψ에서 일반적으로 ψ${\displaystyle }$(ω${\displaystyle {}_{}}$ε + $)$ {\$displaystyle$ \$psi$(\$varepsilon _${\$Omega$ +1$})}$로 쓸 수도 있습니다.

4.^ 부크홀츠의 ψ보다는 마도레의 ψ을 사용합니다.

5.^ Madore의 ψ에서 일반적으로${\displaystyle }$ψ(ω ω${\displaystyle {}_{}}$ε + $)$ {\$displaystyle \psi$ (\$varepsilon _${\$Omega$_{\$Omega}+1})}$로 쓸 수도 있습니다.

6.^ $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$는 첫 번째 재귀적으로 약하게 압축된 서수를 나타냅니다$$.부크홀츠의 ψ이 아닌 아라이의 ψ을 사용합니다.

7.^ 또한 ${\displaystyle \mathsf{Aut}\mathsf{(}\mathsf{W}\mathsf{}}$- ${\displaystyle \mathsf{ID}\mathsf{)}}$ ${\$의 증명이론 순서도 W형이 주는 약화량이 충분하지 않습니다$.$

8.^ $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$은(는) 액세스할 수 없는 첫 번째 기수를$$ 나타냅니다.부흐홀츠의 ψ 대신 예거의 ψ을 사용합니다.

9.^ $L$ ${\displaystyle$L}은(는)$${\$displaystyle \omega}$ - 액세스 불가능한 카디널 ω의 한계를 나타냅니다.예거의 ψ을 사용합니다.

10.^ $L$ ∗ ${\displaystyle L^{*}$는 $접근$ 불가능한 카디널스 {\$displaystyle$ \Omega$}$ω의$$한계를 나타냅니다.예거의 ψ을 사용합니다.

11.^ $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은 첫 번째 말로 기수를 나타냅니다$$.부흐홀츠의 ψ보다는 라첸의 ψ을 사용합니다.

12.^ $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$는 첫 번째 약한 콤팩트 기수를 나타냅니다$$.부흐홀츠의 ψ이 아닌 라첸의 ψ을 사용합니다.

13.^ ξ ${\displaystyle \Xi$}은$($는) 첫 번째 π ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle \Pi _{0}^{2}}$ -설명할 수 없는 기수를 나타냅니다.부흐홀츠의 ψ이 아닌 슈테거의 ψ을 사용합니다.

14.^ $Y$ ${\displaystyle Y}$는 $가장$ α${\displaystyle \alpha}$로∀ θ < $({\displaystyle \for$ all $\theta \exists \kappa <Y(}'$κ ${\displaystyle \theta }$$$- 설명할 수 없음) 및 ∀ θ< ∀ κ< Y$({\displaystyle \for$ all \displaystyle \displaystyle \for $all \kappa <Y()'$κ ${\displaystyle \kappa }$은(는)$$θ {\displaystyle \$theta$ \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle \theta } - 설명할 수 없음)$}$-설명할 수 없는 $→$ $θ$ <$κ$ ${\displaystyle \rightarrow \theta <\kappa }$ ' ).부흐홀츠의 ψ이 아닌 슈테거의 ψ을 사용합니다.

15.^ $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은 첫 번째 말로 기수를 나타냅니다$$.랏젠의 ψ을 사용합니다.

인용문

참고문헌

• Buchholz, W.; Feferman, S.; Pohlers, W.; Sieg, W. (1981), Iterated inductive definitions and sub-systems of analysis, Lecture Notes in Math., vol. 897, Berlin: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0091894, ISBN 978-3-540-11170-2
• Pohlers, Wolfram (1989), Proof theory, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1407, Berlin: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-540-46825-7, ISBN 3-540-51842-8, MR 1026933
• Pohlers, Wolfram (1998), "Set Theory and Second Order Number Theory", Handbook of Proof Theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, vol. 137, Amsterdam: Elsevier Science B. V., pp. 210–335, doi:10.1016/S0049-237X(98)80019-0, ISBN 0-444-89840-9, MR 1640328
• Rathjen, Michael (1990), "Ordinal notations based on a weakly Mahlo cardinal.", Arch. Math. Logic, 29 (4): 249–263, doi:10.1007/BF01651328, MR 1062729, S2CID 14125063
• Rathjen, Michael (2006), "The art of ordinal analysis" (PDF), International Congress of Mathematicians, vol. II, Zürich: Eur. Math. Soc., pp. 45–69, MR 2275588, archived from the original on 2009-12-22{{citation}}: CS1 maint : bot : 원본 URL 상태 알 수 없음 (링크)
• Rose, H.E. (1984), Subrecursion. Functions and Hierarchies, Oxford logic guides, vol. 9, Oxford, New York: Clarendon Press, Oxford University Press
• Schütte, Kurt (1977), Proof theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 225, Berlin-New York: Springer-Verlag, pp. xii+299, ISBN 3-540-07911-4, MR 0505313
• Setzer, Anton (2004), "Proof theory of Martin-Löf type theory. An Overview", Mathématiques et Sciences Humaines. Mathematics and Social Sciences (165): 59–99
• Takeuti, Gaisi (1987), Proof theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, vol. 81 (Second ed.), Amsterdam: North-Holland Publishing Co., ISBN 0-444-87943-9, MR 0882549
• Rathjen, Michael (1994), "Proof theory of Reflection", Annals of Pure and Applied Logic, 68 (2)
• Stegert, Jan-Carl (2010), Ordinal Proof Theory of Kripke-Platek Set Theory Augmented by Strong Reflection Principles