파푸스의 영역 정리

파푸스의 영역 정리는 임의의 삼각형의 세 면에 부착된 세 개의 평행사변형 영역 사이의 관계를 설명한다. 피타고라스 정리의 일반화라고도 생각할 수 있는 이 정리는 그것을 발견한 알렉산드리아의 그리스 수학자 파푸스(4세기 AD)의 이름을 따서 명명되었다.

정리

임의의 삼각형 두 개의 임의의 평행그램이 그 옆면 두 개에 부착된 경우, 세 번째 평행그램의 면적이 다른 두 평행그램의 면적의 합과 같도록 세 번째 측면에 평행그램을 구성하는 방법을 정리가 알려준다.

ABC는 임의의 삼각형이 되고 ABDE와 ACFG는 삼각형 측면 AB와 AC에 부착된 두 임의의 병렬그램이 되도록 한다. 확장된 평행사변형 DE와 FG는 H에서 교차한다. 이제 선 세그먼트 AH는 삼각형 측면 BC에 부착된 세 번째 평행사변형 BCML의 측면을 "획득"한다. 즉, BC에 걸쳐 하나의 선 세그먼트 BL과 CM을 구성하여 BL과 CM은 AH와 평행하고 길이가 같다. 그 다음, A로 표시된 평행그램의 영역(A로 표시됨)에 대해 다음과 같은 정체성이 유지된다.

${\displaystyle {\text{A}}_{ABDE}+{\text{A}}_{ACFG}={\text{A}_{BCML}}$

그 정리는 피타고라스의 정리를 두 가지로 일반화한다. 첫째는 직각 삼각형보다는 임의 삼각형에, 둘째는 사각형보다는 병렬 삼각형을 사용한다. 임의 삼각형의 양쪽에 있는 정사각형의 경우, 세 번째 면에 걸쳐 동일한 면적의 평행사변형을 생성하며, 두 면이 직각의 다리인 경우 세 번째 면에 대한 평행사변형도 정사각형이 된다. 직각 삼각형의 경우, 오른쪽 각도의 다리에 부착된 두 개의 평행사변형이 세 번째 면에 동일한 면적의 직사각형을 생성하며, 두 개의 평행사변형이 정사각형인 경우 세 번째 면의 직사각형도 정사각형이 된다.

증명

기본 길이와 높이가 같기 때문에 ABDE 및 AB 평행그램UH는 ACFG와 ACVH, ABUH 및 BLQR, ACVH 및 RCMQ에 적용되는 동일한 인수를 가지고 있다. 이는 이미 다음과 같이 원하는 결과를 산출한다.

${\displaystyle {\reasoned}{\text}A}}_{ABDE}+{\text{A}}_{ACFG}&={\text{A}}_{ABUH}+{\text{A}}_{ACVH}\\&={\text{A}}_{BLRQ}+{\text{A}}_{RCMQ}\\&={\text{A}_{BCML}\end{aigned}}}$

참조

• 하워드 이브스: 파푸스의 피타고라스 정리 확장.수학 교사, 제51권, 제7권 (1958년 11월), 페이지 544–546 (JSTOR)
• 하워드 이브스: 그레이트 모멘트 인 수학 (1650년 이전) 1983년 미국 수학 협회 ISBN9780883853108, 페이지 37(구글북스 제외)
• 일라이 모어: 피타고라스 정리: 4000년 역사. 프린스턴 대학교 출판부, 2007, ISBN 9780691125268, 페이지 58–59(예: Google 북스)
• 클라우디 알시나, 로저 B 넬슨: 매력적인 증거: 우아한 수학으로의 여정. MAA, 2010, ISBN 9780883853481, 페이지 77–78(구글북스 예외, 페이지 77)

외부 링크

• 파푸스 지역 정리
• 파푸스 정리

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