크기 및 거리(아리스타쿠스)

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On the Sizes and Distances (of the Sun and Moon) (Περὶ μεγεθῶν καὶ ἀποστημάτων [ἡλίου καὶ σελήνης], Peri megethon kai apostematon) is widely accepted as the only extant work written by Aristarchus of Samos, an ancient Greek astronomer who lived circa 310–230 BCE. 이 작품은 태양과 달의 크기뿐만 아니라 지구 반경을 기준으로 지구와의 거리도 계산한다.

이 책은 비록 이것에 대한 증거가 없지만, 알렉산드리아의 수학 과정 파푸스 학생들이 보존한 것으로 추정된다. 편집 왕자는 1688년 존 월리스에 의해 헨리 사빌 경이 편찬한 여러 중세 원고를 사용하여 출판되었다.^[1] 최초의 라틴어 번역은 1488년 조르지오 발라에 의해 만들어졌다. 프레데리코 커미티노의 1572년 라틴어 번역과 해설도 있다.^[2][3]

기호

이 작품의 방법은 다음과 같은 몇 가지 관찰에 의존했다.

• 하늘에 떠 있는 태양과 달의 겉보기 크기.
• 월식 기간 동안 달과 관련된 지구의 그림자 크기
• 반달 동안 태양과 달의 각도는 90°에 매우 가깝다.

나머지 기사에서는 아리스타르코스의 방법과 결과의 재구성에 대해 자세히 설명하고 있다.^[4] 재구성은 다음 변수를 사용한다.

기호	의미
φ	반달 동안 달과 태양 사이의 각도(직접 측정 가능)
L	지구에서 달까지의 거리
S	지구에서 태양까지의 거리
ℓ	달의 반지름
s	태양의 반지름
t	지구의 반지름
D	지구 중심에서 지구 그림자 원뿔의 꼭지점까지의 거리
d	달의 위치에 있는 지구의 그림자 반지름
n	비율, d/d(월식 중 직접 관측 가능한 수량)
x	비율, S/L = s/s(ℓ에서 계산됨)

반달

아리스타르쿠스는 반달 동안 달이 태양과 지구와 직각 삼각형을 이룬다는 전제에서 시작했다. 태양과 달의 각도인 φ을 관찰함으로써, 태양과 달의 거리 비율을 삼각법의 형태로 추론할 수 있었다.

도표와 삼각측량으로부터 우리는 그것을 계산할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {S}{L}={\frac {1}{\cos \varphi }}}$

도표는 크게 과장되어 있는데, 실제로는 S = 390 L, φ은 90°에 극히 가깝기 때문이다. 아리스타르쿠스는 φ을 직각보다 사분면의 30분의 1(현대에 있어서는 3°) 적은 것으로 결정했다:현재의 용어로는 87° 삼각함수는 아직 발명되지 않았지만, 유클리드 양식의 기하학적 분석을 이용하여 아리스타르코스는 다음과 같이 판단했다.

$18<{\frac {S}{L}<20>.}$

즉, 태양과의 거리는 달까지의 거리보다 18배에서 20배 정도 더 큰 곳이었다. 이 값(또는 그것에 가까운 값)은 망원경의 발명으로 태양 시차축의 더 정확한 추정이 허용되기 전까지 천문학자들은 그 후 2천 년 동안 천문학자들에게 받아들여졌다.

아리스타르쿠스는 또한 태양과 달의 각도는 같으나 태양과의 거리가 달보다 18~20배 더 멀기 때문에 태양이 18~20배 더 커야 한다고 추론했다.

월식

아리스타르쿠스는 그 후 월식에 기초한 또 다른 건축물을 사용했다.

삼각형의 유사성에 의해 ${\displaystyle \frac{D}{}}$ L${\displaystyle }$= ${\displaystyle t\frac{}{}}$ -${\displaystyle \frac{d}{}}$ $d}{D}}}={\frac {t}{t-d}}\quad$$$}}, ${\displaystyle \frac{D}{}}$ S${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{t}{}}$- ${\displaystyle \frac{t}{}}$. ${\displaystyle$ \$quad {\d}}{S}}={frac {t}{s-t}}}.$$}$

이 두 방정식을 나누고 태양과 달의 겉보기 크기가 같다는 관측을 이용하여 $L{\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{S}{}}$ =${\displaystyle \ell \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{s}{}}$ ${\$을$($를) 산출한다.

${\displaystyle {\frac {\ell }{s}}={\frac {t-d}{s-t}}\ \ \Rightarrow \ \ {\frac {s-t}{s}}={\frac {t-d}{\ell }}\ \ \Rightarrow \ \ 1-{\frac {t}{s}}={\frac {t}{\ell }}-{\frac {d}{\ell }}\ \ \Rightarrow \ \ {\frac {t}{\ell }}+{\frac {t}{s}}=1+{\frac {d}{\ell }}.}$

ℓ/t에 대해 가장 오른쪽 방정식을 풀 수 있다.

${\displaystyle {\frac {t}{\ell }}(1+{\frac {\ell }{s}})=1+{\frac {d}{\ell }}\ \ \Rightarrow \ \ {\frac {\ell }{t}}={\frac {1+{\frac {\ell }{s}}}{1+{\frac {d}{\ell }}}}.}$

또는 s/t

${\displaystyle {\frac {t}{s}}(1+{\frac {s}{\ell }})=1+{\frac {d}{\ell }}\ \ \Rightarrow \ \ {\frac {s}{t}}={\frac {1+{\frac {s}{\ell }}}{1+{\frac {d}{\ell }}}}.}$

이러한 방정식의 외형은 n = d/s 및 x = s/s를 사용하여 단순화할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\ell }{t}={\frac {1+x}{x(1+n)}}}$

${\displaystyle {\frac {s}{t}={\frac {1+x}{1+n}}}$

위의 방정식들은 관측 가능한 수량의 측면에서 달과 태양의 반경을 전적으로 제공한다.

다음 공식은 태양과 달에 거리를 지구 단위로 나타낸다.

${\displaystyle {\frac {{t}}}}=\좌측({\frac {\ell}}{t}\우측)\좌측({\frac {180}{\pi \ta}}우측)}$

${\displaystyle {\frac {s}{t}}}=\좌측({\frac {s}{t}\우측)\좌측({\frac {180}{\pi \teta }}우측)}$

여기서 θ은 도 단위로 측정한 달과 태양의 겉보기 반지름이다.

아리스타르쿠스가 이 공식을 정확히 사용했을 가능성은 낮지만, 이 공식은 아리스타르쿠스의 공식을 나타내는 좋은 근사치일 것이다.

결과.

위의 공식은 아리스타르코스의 결과를 재구성하는 데 사용할 수 있다. 다음 표는 n = 2, x = 19.1(수평 = 87°)을 사용한 장기간(그러나 의심스러운) 재구성의 결과를 보여준다. 및 θ = 1°, 현대 허용 값.

수량	관계	재건	모던
s/t	지구 반지름의 태양의 반지름	6.7	109
t/dvs	달 반지름의 지구 반지름	2.85	3.50
L/t	지구 반지름에서의 지구-달 거리	20	60.32
S/t	지구 반지름에서의 지구-태양 거리	380	23,500

^{[필요하다]}

이 계산의 오류는 주로 x와 θ의 값이 좋지 않아서 발생한다. 아르키메데스는 아리스타르쿠스가 태양과 달의 겉보기 지름이 반도의 것으로 가장 먼저 판단했다고 쓰고 있기 때문에 θ의 빈약한 가치는 특히 놀랍다. 이렇게 하면 = = 0.25의 값을 얻을 수 있고, 80 지구 반지름의 달과 그에 상응하는 거리를 얻을 수 있는데, 이것은 훨씬 더 나은 추정치일 것이다. The disagreement of the work with Archimedes seems to be due to its taking an Aristarchus statement that the lunisolar diameter is 1/15 of a "meros" of the zodiac to mean 1/15 of a zodiacal sign (30°), unaware that the Greek word "meros" meant either "portion" or 7°1/2; and 1/15 of the latter amount is 1°/2, in agreement with Archimedes' testimony.

이후 달까지의 평균 거리를 67 지구 반지름으로 추정했던 히파르쿠스와 59 지구 반지름을 이 값으로 가져간 프톨레마이오스가 비슷한 절차를 사용하였다.

삽화

On Size에서 제안사항에 대한 몇 가지 대화형 삽화는 여기에서 확인할 수 있다.

• 가설 4는 달이 우리에게 반감했을 때, 태양으로부터의 거리가 사분면의 1/3로 사분면보다 작다고 말하고 있다[즉, 달이 90°의 1/30로 90°보다 작거나 3°보다 작아서 87°와 같다] (Heath 1913:353)
• 발의안 제1호는 두 개의 동일한 구를 하나의 원통으로 이해하고, 두 개의 불평등한 구를 작은 구의 방향으로 그것의 꼭지점이 있는 동일한 원뿔에 의해 이해한다고 기술하고 있다. 그리고 구들의 중심을 통과하는 직선은 원통 표면 또는 t의 표면이 있는 각각의 원들에 직각이다.원뿔, 구들을 만진다 (Heath 1913:354).
• 발의안 제2호는 구가 자신보다 큰 구에 의해 조명을 받는 경우 구가 조명을 받는 부분이 반구보다 클 것이라고 명시하고 있다(Heath 1913:358).
• 발의안 제3호는 달의 어두운 부분과 밝은 부분을 나누는 원이 태양과 달을 모두 이해하는 원뿔이 우리 눈에 그 꼭지점을 가지고 있을 때(Heath 1913:362) 최소라고 명시하고 있다.
• 발의안 제4호는 달의 어두운 부분과 밝은 부분을 나누는 원은 달의 큰 원(Heath 1913:365)과 눈에 띄게 다르지 않다고 명시하고 있다.
• 발의안 제6호에 따르면 달은 태양보다 낮게[궤도에서] 움직이며, 달이 절반으로 줄어들면 태양으로부터 사분면보다 거리가 멀다고 한다(Heath 1913:372).
• 발의안 제7호는 지구로부터의 태양의 거리는 18배 이상이지만 지구로부터의 달의 거리(Heath 1913:377)는 20배 미만이라고 명시하고 있다. 즉 태양은 달보다 18~20배 더 멀고 넓다.
• 발의안 제13호에 따르면 달의 어두운 부분과 밝은 부분을 나누는 원의 지름의 극단이 움직이는 원주 둘레의 지구의 그림자 안에서 가로채는 부분을 미분하는 직선은 달의 지름의 2배보다 작지만 그 비율이 더 커야 한다. 88은 45가 되어야 하고, 그리고 그것은 태양의 지름의 9분의 1도 되지 않지만, 21이 225가 되어야 하는 그것보다 더 큰 비율을 가져야 한다. 그러나 그것은 태양의 중심에서 축에 직각으로 그리고 원뿔의 측면을 만나는 직선으로 979가 가진 10 125의 비율보다 더 큰 비율을 가져야 한다(Heath 1913:394).
• 발의안 제14호에 따르면 지구의 중심에서 달의 중심까지 연결된 직선은 지구의 그림자 내에서 [순환]을 중간으로 하는 직선으로 달의 중심 축을 향한 축에서 끊어진 직선으로 675와 1 사이의 비율보다 더 큰 비율을 가해야 한다(Heath 1913:400).
• 발의안 제15호는 태양의 지름이 지구의 지름과 19/3보다 크지만 43/6보다 작다고 명시하고 있다(Heath 1913:403). 이것은 태양이 지구보다 6 6 넓다는 것을 의미하거나, 태양이 13½ 지구 반지름이라는 것을 의미한다. 그 다음 달과 태양은 2º의 각도를 미분하기 위해 지구 반지름에서 20°와 387이 떨어져야 한다.
• 알투시의 중세 아랍어판 '크기'에서 제안서 17a는 달의 중심에서 그림자 원뿔의 꼭지점 거리( 달이 지구와 태양을 포함하는 원뿔의 축[일식 중]에 있을 때)와 달의 중심 거리 사이의 비율을 명시하고 있다.그는 지구가 71 대 37의 비율보다 크고 3 대 1의 비율보다 적다(^[5]베르그렌 & 시돌리 2007:218). 즉 지구 그림자 원뿔의 끝이 달보다 108/37~4배 더 멀다는 것이다.

알려진 사본

• 의회 도서관 바티칸 전시회.

참고 항목

• 아리스타르코스
• 에라토스테네스(Eratosthenes, 기원전 276년 – 기원전 194/195년)는 지구의 둘레와 지구에서 태양까지의 거리를 계산한 그리스의 수학자였다.
• 태양과 달의 반지름과 지구와의 거리를 측정한 그리스의 수학자 히파르쿠스(C. 190 – c. 120 BC)이다.
• 크기 및 거리(Hipparchus)
• 지구의 둘레를 계산한 그리스의 천문학자 겸 수학자인 포세이돈니우스(C. 135 – C. 51 BC)이다.

메모들

참고 문헌 목록

• Heath, Thomas (1913). Aristarchus of Samos, the Ancient Copernicus. Oxford: Clarendon. 이것은 나중에 다시 인쇄되었다(ISBN 0-486-4386-4) 참조.
• 판 헬든, A. 우주 측정: 아리스타르쿠스에서 핼리까지의 우주 차원. 시카고: 1985년 시카고프롬의 유니브 ISBN 0-226-84882-5.