바나흐-스톤 정리
Banach–Stone theorem수학에서 바나흐-스톤 정리는 수학자 스테판 바나흐와 마샬 스톤의 이름을 딴 위상학적 공간에 대한 연속 기능 이론의 고전적 결과물이다.
요컨대 바나흐-스톤 정리는 X의 연속적인 실제 또는 복합적인 가치 함수의 공간 C(X)의 바나흐 공간 구조에서 콤팩트한 하우스도르프 공간 X를 회복할 수 있게 한다.만일 어떤 사람이 C(X)의 대수 구조를 호출할 수 있게 된다면, 이것은 쉽다- 우리는 X의 스펙트럼으로 X를 식별할 수 있다, 즉 스칼라 장에 대수 동형성의 집합으로, 이중 공간 C(X)로부터 물려받은 약한*토폴리지를 갖추고 있다*. 바나흐 스톤 정리는 극한 공간으로부터 X를 회복시킴으로써 X의 승법 구조를 참조하는 것을 피한다.C(X)*의 단위 공의 점.
성명서
콤팩트한 하우스도르프 공간 X의 경우, C(X)가 우월적 규범 ‖·‖∞을 갖춘 X에 대한 지속적인 실제 또는 복합적 가치 함수의 바나흐 공간을 나타내도록 한다.
콤팩트한 하우스도르프 공간 X와 Y를 고려할 때, T : C(X) → C(Y)가 굴절 선형 등분법이라고 가정한다.그 다음에 동형상 φ : Y → X와 함수 g ∈ C(Y)가 존재한다.
그런
X와 Y가 콤팩트 메트릭스 공간인 경우는 바나흐, [1]하우스도르프 공간을 콤팩트하게 확장한 것은 스톤 때문이다.[2]사실 둘 다 약간의 일반화를 증명한다.그들은 T가 선형이라고 가정하지 않고, 미터법 공간의 의미에서 등위법이라고만 가정하지 않으며, T가 아핀이라는 것을 보여주기 위해 Mazur-Ulam 정리를 사용하며, 따라서 - ( 는 선형 등위법이다.
일반화
바나흐-스톤 정리는 소형 하우스도르프 위상학 공간에서 벡터 값 연속함수에 대한 일반화를 가지고 있다.예를 들어, E가 사소한 중앙집중기가 있는 바나흐 공간이고 X와 Y가 콤팩트하다면, C(Y; E)에 대한 C(X; E)의 모든 선형 등각도는 강력한 바나흐-스톤 지도가 된다.
X에 있는 일부 다른 기능 공간의 이중의 극한 지점에서 X 공간을 복구하는 데에도 유사한 기술이 사용되어 왔다.
바나흐스톤 정리의 비확정적 아날로그는 완전한 등축(즉, 모든 매트릭스 수준에서 등축)일 경우에만 두 개의 유니탈 C*알게브라가 이등형이라는 민속적 정리다.반대 대수학(소소상하게 동일한 바나흐 공간 구조를 가진)에 이형성이 없는 C*-알지브라(C*-algebra)의 존재에서 알 수 있듯이, 단순한 등축만으로는 충분하지 않다.
참고 항목
참조
- Araujo, 헤수스(2006년)."그 비조밀 Banach–Stone 정리".저널 교환 이론의 55번(2):285–294.ISSN 0379-4024.MR2242851.* 바나흐, 스테판(1932년).Théorie 데 Opérations Linéaires[선형 작전의 이론](PDF).Monografie Matematyczne(프랑스어로).제1권. 바르샤바:Subwencji Funduszu KulturyNarodowej.Zbl 0005.20901. 2014-01-11에 있는 원본(PDF)에서 Archived.2020-07-11 Retrieved.
