쿼터니온 분석

수학에서 쿼터니온 분석은 쿼터니온을 영역 및/또는 범위로 하는 함수를 연구하는 것이다. 그러한 함수는 실제 변수나 복잡한 변수의 함수를 부르는 것과 마찬가지로 쿼터니온 변수의 함수라고 할 수 있다.

복잡하고 실제적인 분석과 마찬가지로 분석성, 홀로모피성, 조화성, 일치성의 개념을 쿼터니온의 맥락에서 연구하는 것이 가능하다. 복잡한 숫자와는 달리 실물과 같은 네 가지 개념은 일치하지 않는다.

특성.

계량 및 버시어 함수뿐만 아니라 스칼라 부분 또는 벡터 부분에 대한 쿼터니온의 투영도 쿼터니온 구조를 이해하기 위한 기본적인 예들이다.

쿼터니온 변수의 함수의 중요한 예는 다음과 같다.

${\displaystyle f_{1}(q)=uqu^{-1}$

q의 벡터 부분을 u로 나타내는 각도의 2배로 회전시킨다.

쿼터니온 승수 $역{\displaystyle {}_{}}$ f ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}q}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$도 다른 숫자$$ 시스템과 마찬가지로 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle f_{2$}($0$$)}$ 및 관련 문제는 일반적으로 0으로 나누는 성격상 제외된다.

쿼터니온의 아핀 변환은 형태를 가지고 있다.

${\displaystyle f_{3}(q)=aq+b,\quad a,b,q\in \mathb {H}.}$

Linear fractional transformations of quaternions can be represented by elements of the matrix ring ${\displaystyle M_{2}(\mathbb {H} )}$ operating on the projective line over ${\displaystyle \mathbb {H} }$. For instance, the mappings ${\displaystyle q\mapsto uqv,}$ where ${\displaystyle u}$ $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$은(는) 타원 공간의 움직임을 생성하는 데 사용되는 고정 버시어이다.

쿼터니온 변수 이론은 일부 측면에서 복합 변수 이론과 다르다. 예를 들면 다음과 같다. 복합 평면의 복잡한 결합 매핑은 중심 도구지만 비산술적, 비분석적 연산의 도입이 필요하다. 실제로, 결합은 평면 그림의 방향을 바꾸는데, 이것은 산술 함수가 변하지 않는 것이다.

복잡한 ${\displaystyle \mathrm{결합}}$과는 대조적으로, 쿼터니온 결합은 산술적으로 ${\displaystyle {표현}_{}}$될 수 있으며, 산술적으로 $f{\displaystyle {}_{}}$ 4${\displaystyle }$(${\displaystyle \frac{\mathrm{q}}{}}$ ${\displaystyle )}$ =${\displaystyle }$- 1 2 (${\displaystyle q}$+ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathrm{qi}}$ +${\displaystyle }$j$q$ + ${\displaystyle kq}$ k $){4}($q)=-{\$tfrac{1}{1$}:{1}{$q+iqj+kkkk}}}}$로 표현될 수 있다.

이 방정식은 기본 {1, i, j, k:부터 증명할 수 있다.

${\displaystyle f_{4}(1)=-{\tfrac {1}{2}}(1-1-1-1)=1,\quad f_{4}(i)=-{\tfrac {1}{2}}(i-i+i+i)=-i,\quad f_{4}(j)=-j,\quad f_{4}(k)=-k}$.

${\displaystyle {따라서\mathrm{}}_{}}$ $f{\displaystyle {}_{}}$ 4 ${\$는 선형이기 때문에

${\displaystyle f_{4}(q)=f_{4}(w+xi+yj+zk)=wf_{4}(1)(i)++yf_{4}(j)+zf_{4}(k)=w-xi-yj-zk=q^{*}.}$

과학 작업에 대해 풍부한 홀로모르픽 함수의 가족을 제공하는 데 있어서 복잡한 분석의 성공은 일부 노동자들을 복잡한 숫자에 근거한 평면 이론을 쿼터니온 변수의 기능을 가진 4공간 연구로 확장하려는 노력에 관여하게 했다.^[1] 이러한 노력은 Deavours(1973년)에 요약되었다.^[a]

$H{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$이(가) 복잡한 평면의 조합으로 나타나지만, 다음과 같은 명제는 복잡한 기능을 확장하는 데 특별한 주의가 필요하다는 것을 보여준다.

${\displaystyle \mathrm{let}}$ f ${\displaystyle {5\mathrm{}}_{}}$( z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle u}$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ i ${\displaystyle v}$( x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$ )${\displaystyle f_{5}(z)=u(x,y)+iv(x,y)}}$는 복합$$ 변수의 함수, $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle i}$ =$$y {\$displaystyle$ z$=x+i$ 또한 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$이(가) $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$의 짝수 함수이고 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$이(가) $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$의 홀수 함수라고 가정하자$.$ Then ${\displaystyle f_{5}(q)=u(x,y)+rv(x,y)}$ is an extension of ${\displaystyle f_{5}}$ to a quaternion variable ${\displaystyle q=x+yr}$ where ${\displaystyle r^{2}=-1}$ and ${\displaystyle r\in \mathbb {H} }$. Then, let ${\displaystyle r^{\ast }}$${\displaystyle r^{*}}$ represent the conjugate of ${\displaystyle r}$, so that ${\displaystyle q=x-yr^{*}}$. The extension to ${\displaystyle \mathbb {H} }$ will be complete when it is shown that ${\displaystyle f_{5}(q)=f_{5}(x-yr^{*})}$. Indeed, by hypo 논지

${\displaystyle u}$( x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle u}$( x${\displaystyle }$,${\displaystyle }$- ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- v ( ${\displaystyle x}$, - ${\displaystyle y}$) =${\displaystyle }$- ${\displaystyle v}$(${\displaystyle }$x ,${\displaystyle }$- y$$) {\$displaystyle u(x,y)=u(x$,-y$)=-v(x$,y)=-v($x,-y)\caps }$을 얻음

${\displaystyle f_{5}(x-yr^{*})=u(x,-y)+r^{*v(x,-y)=u(x,y)+rv(x,y)=f_{5}(q)가 된다.}$

동음이의어

다음에서 콜론과 대괄호는 동종 벡터를 나타내기 위해 사용된다.

축 r에 대한 회전은 공간 매핑에 쿼터니온의 고전적인 응용이다.^[2] 동음이의어로는 회전이 표현된다.

${\displaystyle [q:1]{\pmatrix}u&0\\0&u\end{pmatrix}=[qu:u]\pmatrixim [u^{-1}qu:1},}$

여기서 $u{\displaystyle }$= ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle \theta }$ r${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle \theta }$ + ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \sin }$ sin ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \{}$ {$${ {\$displaystyle u=\exp(\thea r)=\cos \theta +r\sin \theta }$은 버서이다. p$$ * = -p인 경우 ${\displaystyle q}$+${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q\mapsto q+p}$ 변환 q는

${\displaystyle [q:1]{\pmatrix}1&0\\p&1\end{pmatrix}=[q+p:1].}$

회전 축을 따라 회전 및 변환 xr이 주어짐

${\displaystyle [q:1]{\pmatrix}u&0\\uxr&u\end{pmatrix}=[qu+uxr:u]\pmatrixim [u^{-1}qu+xr:1].}$

그러한 지도를 나사 변위라고 한다. 고전 운동학에서 샤슬스의 정리에는 어떤 경직된 몸놀림도 나사 변위로서 표시될 수 있다고 명시되어 있다. 유클리드 평면을 회전으로 나타내는 것이 복잡한 수 산술의 문제인 것처럼, 차슬스의 정리, 필요한 나사 축도 동음이의어로 산술의 문제인 것이다. t = rs와 직각인 오른쪽 버저 또는 마이너스 1의 제곱근으로 하자.

s를 통과하고 r에 평행한 축을 고려한다. 그것에 대한 회전은 동음이의어 구성으로 표현된다^[3].

${\displaystyle {\pmatrix}1&0\-s&1\end{pmatrix}{pmatrix}{pmatrix}u&0\0&u\end{pmatrix}{pmatrix}}{pmatrix}}}}{pmatrix}, {pmatrix}}, {pmatrix}$

여기서 $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle u}$ -${\displaystyle s}$ ${\displaystyle u}$= ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle r}$ s${\displaystyle }$- ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle r}$)${\displaystyle }$= 2 ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \sin \theta .}$ ${\displaystyle z=us-su=\sin \ta(rs-su)=\sin \ta$.}

Now in the (s,t)-plane the parameter θ traces out a circle ${\displaystyle u^{-1}z=u^{-1}(2t\sin \theta )=2\sin \theta (t\cos \theta -s\sin \theta )}$ in the half-plane ${\displaystyle \lbrace wt+xs:x>0\rbrace .}$

이 하프 평면의 p는 원점으로부터 오는 광선 위에 원 - z: <π π } }} ${\displaystyle \lbrace u^{-1}z:0<\theta <\pi \lbrace \}}}$을(를)를 통해 놓여 있으며 p= - ,a > ${\displaysty=p$==p=p=au=$au=au=au=$au$^{-1z,$ \ \$\$\ \ \)$}$

그런 다음 up = az, 0 ) ${\$을(를) 변환 p에 의한 회전 조합을 나타내는 호모그래피로 표시한다.

쿼터니온에 대한 파생상품

해밀턴 시대 이후, 미분류가 0으로 향하는 경로로부터 파생상품의 독립성을 요구하는 것은 너무 제한적이라는 것이 실현되었다: $f{\displaystyle }$(${\displaystyle q}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$조차 차별화에서$$ 제외한다. 따라서 쿼터니언 변수의 기능에는 방향 의존적 파생상품이 필요하다.^[4][5] Quaternionic 인수의 다항함수의 증분을 고려하면 증분이 인수의 증분의 선형 지도임을 알 수 있다.^{[dubious – discuss]} 이를 통해 다음과 같은 정의를 내릴 수 있다.

A continuous map ${\displaystyle f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} }$ is called differentiable on the set ${\displaystyle U\subset \mathbb {H} }$, if, at every point ${\displaystyle x\in U}$, the increment of the map ${\displaystyle f}$ can be represented as

${\displaystyle f(x+h)-f(x)={\frac {df(x)}{dx}\dx}\property h+o(h)}$

어디에

${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}:\mathb {H} \rightarrow \mathb {H}}$

quaternion 대수 $H{\displaystyle \mathbb{}}${\$displaystyle \mathb {H}$의 선형 지도 및 $o{\displaystyle }$ ${\displaystyle :}$ ${\displaystyle H\mathbb{}}$→ H ${\$으)가$$ 연속적인 지도로서,

${\displaystyle \lim _{a\오른쪽 화살표 0}{\frac { o(a)}{a}}{a}}}}}}}}$

선형 지도 $d{\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{f}{}}$( x${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\displaystyle \frac{d}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\$을(를$$) 지도 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 파생어로 부른다$.$

쿼터니온에서 파생상품은 다음과 같이 표현될 수 있다.

${\d_{df(x)}{dx}}=\sum _{d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}}}}}$

따라서 지도 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 차등 표시는 어느 한 쪽에 괄호로 표시할 수 있다$$.

${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}\circ dx=\left(\sum _{s}{\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}\right)\circ dx=\sum _{s}{\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}dx{\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}}$

합계의 항 수는 함수 f에 따라 달라진다. d ${\displaystyle \frac{s_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{p_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{d}{}}$ ${\displaystyle \frac{f}{}}$( x${\displaystyle \frac{}{}}$) d ${\displaystyle \frac{x}{}}$, ${\displaystyle \mathrm{p}}$= ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$ ${\$d 디스플레이 $스타일 {\d_{spap}df(x)}{dx}},p=0,1$} 등의 표현을 파생상품의$$ 성분이라고 한다.

쿼터니온 함수의 파생상품은 다음과 같은 동일성을 유지한다.

${\dplaystyle {\frac {df(x)}{dx}\cH=\lim_{t\to 0}(t^{-1}(f(x+th)-f(x)))}}$

${\displaystyle {\frac {d(x)+g(x))}{dx}}={\frac {df(x)}{dx}}+{\frac {dg(x)}{dx}}}}$

${\dfrac {df(x)g(x)}{dx}={\frac {df(x)}{dx}\g(x)+f(x)\\\frac {dg(x)}{dx}}}}}$

${\df(x)g(x)}{dx}\df(x)}\frac {df(x)}{dx}\reft\frac\{dg(x)\{dg(x)}\refrac {dg(x)}\right)}$

${\displaystyle {\frac {daf(x)b}{dx}}}{dx}=a\\\\\\\$

${\displaystyle {\frac {daf(x)b}{dx}\proft h=a\left\frac {df(x)}{dx}\property h\right)b}$

f(x) = axb 함수의 경우, 파생상품은

${\displaystyle {\frac {daxb}{dx}=a\otimes b}$

${\displaystyle dy={\frac {daxb}{dx}\dx=a\,dx\,b}$

구성 요소는 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {d_{10}axb}{dx}}=a}$

${\displaystyle {\frac {d_{11}axb}{dx}=b}$

마찬가지로 f(x) = x 함수의² 경우 파생상품은

${\displaystyle {\frac {dx^{2}}:{dx}=x\otimes 1+1\otimes x}$

${\displaystyle dy={\frac {dx^{2}}:{dx}\dx=x\,dx+dx\,x}$

구성 요소는 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {d_{10}x^{2}}{dx}=x}$		${\displaystyle {\frac {d_{11}x^{2}}{dx}=1}$
${\displaystyle {\frac {d_{20}x^{2}}{dx}=1}$		${\displaystyle {\frac {d_{21}x^{2}}{dx}=x}$

마지막으로 f(x) = x 함수의⁻¹ 경우 파생상품은

${\displaystyle {\frac {dx^{-1}{dx}=-x^{-1}\otimes x^{-1}}$

${\displaystyle dy={\frac {dx^{-1}{dx}\{dx=-x^{-1}dx\,x^{-1}$

구성 요소는 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {d_{10}x^{-1}{dx}}=-x^{-1}$

${\displaystyle {\frac {d_{11}x^{-1}{dx}}=x^{-1}$

참고 항목

• 케이리 변환

메모들

인용구

참조

• Arnold, Vladimir (1995), translated by Porteous, Ian R., "The geometry of spherical curves and the algebra of quaternions", Russian Mathematical Surveys, 50 (1): 1–68, doi:10.1070/RM1995v050n01ABEH001662, Zbl 0848.58005
• Cayley, Arthur (1848), "On the application of quaternions to the theory of rotation", London and Edinburgh Philosophical Magazine, Series 3, 33 (221): 196–200, doi:10.1080/14786444808645844
• Deavours, C.A. (1973), "The quaternion calculus", American Mathematical Monthly, Washington, DC: Mathematical Association of America, 80 (9): 995–1008, doi:10.2307/2318774, ISSN 0002-9890, JSTOR 2318774, Zbl 0282.30040
• Du Val, Patrick (1964), Homographies, Quaternions and Rotations, Oxford Mathematical Monographs, Oxford: Clarendon Press, MR 0169108, Zbl 0128.15403
• Fueter, Rudolf (1936), "Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen", Commentarii Mathematici Helvetici (in German), 8: 371–378, doi:10.1007/BF01199562, Zbl 0014.16702
• Gentili, Graziano; Stoppato, Caterina; Struppa, Daniele C. (2013), Regular Functions of a Quaternionic Variable, Berlin: Springer, doi:10.1007/978-3-642-33871-7, ISBN 978-3-642-33870-0, Zbl 1269.30001
• Gormley, P.G. (1947), "Stereographic projection and the linear fractional group of transformations of quaternions", Proceedings of the Royal Irish Academy, Section A, 51: 67–85, JSTOR 20488472
• Gürlebeck, Klaus; Sprößig, Wolfgang (1990), Quaternionic analysis and elliptic boundary value problems, Basel: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-2382-0, Zbl 0850.35001
• Hamilton, William Rowan (1853), Lectures on Quaternions, Dublin: Hodges and Smith, OL 23416635M
• Hamilton, William Rowan (1866), Hamilton, William Edwin (ed.), Elements of Quaternions, London: Longmans, Green, & Company, Zbl 1204.01046
• Joly, Charles Jasper (1903), "Quaternions and projective geometry", Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 201 (331–345): 223–327, Bibcode:1903RSPTA.201..223J, doi:10.1098/rsta.1903.0018, JFM 34.0092.01, JSTOR 90902
• Laisant, Charles-Ange (1881), Introduction à la Méthode des Quaternions (in French), Paris: Gauthier-Villars, JFM 13.0524.02
• Porter, R. Michael (1998), "Möbius invariant quaternion geometry" (PDF), Conformal Geometry and Dynamics, 2 (6): 89–196, doi:10.1090/S1088-4173-98-00032-0, Zbl 0910.53005
• Sudbery, A. (1979), "Quaternionic analysis", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 85 (2): 199–225, Bibcode:1979MPCPS..85..199S, doi:10.1017/S0305004100055638, hdl:10338.dmlcz/101933, Zbl 0399.30038