프리셰트 공간의 차별화

수학의 경우, 특히 기능 분석과 비선형 분석에서, 두 프리쳇 공간 사이의 함수의 파생형을 정의할 수 있다.이러한 분화의 개념은 프레셰트 공간 사이의 Gateaux 파생상품이기 때문에 일반적인 위상 벡터 공간 사이에서도 바나흐 공간의 파생상품보다 현저히 약하다.그럼에도 불구하고, 그것은 미적분학으로부터의 많은 익숙한 이론들이 가지고 있는 분화의 가장 약한 개념이다.특히 체인 룰은 사실이다.프레셰트 공간과 기능에 대한 몇 가지 추가적인 제약조건과 함께 내시-모저 역함수 정리라고 하는 역함수 정리의 아날로그가 있어 비선형 해석과 미분 기하학에서 넓은 적용이 가능하다.

수학상세

공식적으로, 차별화의 정의는 Gateaux 파생상품과 동일하다.구체적으로 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ $및$ Y ${\displaystyle Y}$을(를) 프리셰트 공간으로 하고$$, ${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$ X$${\$displaystyle U\subseteq$X}을(를) 오픈 세트로 하고$$, $F{\displaystyle }$: ${\displaystyle U}$→ Y ${\displaystystyle F:$$U\to Y}$은(는) 함수가 된다$$.$v{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle v\in X}$ 방향으로 F$$ ${\displaystyle F}$의 방향 파생 모델은 다음과 같이 정의된다$$.

한도가 존재한다면.하나는 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$이(가) 지속적으로 다를 수 있으며$$, 또는 모든 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle v^{1$}에$$ 대한 제한이 존재하는 경우$$ C ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$ C$^{1}:{$1}라고 한다.연속적인 지도 입니다.

고차파생상품은 다음을 통해 귀납적으로 정의된다.

${\displaystyle {함수}^{}}$는 ${\displaystyle {}^{}F}$ :${\displaystyle U}$ ×${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \times }$ X${\displaystyle }$×${\displaystyle }$X ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle$D^{$k}$F일 경우$$ C ${\displaystyle k^{}}$ ${\$라고 한다$.$$U\time X\time$X$\time$ X\$cdots \time X\$time X\$to$ Y$}$$C$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ C$^{\infit }}}$ 또는$$ 매 $k{\displaystyle }$. ${\displaystystyle$k.}에$$ $대해{\displaystyle {}^{}}$ C ${\displaystyle k^{}}$ ${\$ C$^{k}$이면 매끄럽다$.}$

특성.

$X{\displaystyle }$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle X,Y,}$ 및$$ $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$을(를) 프리쳇 공간으로 한다.$U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$이(가) $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle X,}$${\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$의 열린 부분 집합이라고 가정해 보십시오${\displaystyle .}$ Y , ${\displaystyle Y,}$ $및$ F :${\displaystyle U}$ →${\displaystyle V}$ ,$${\$displaystystyle F:$$U\to V,}$ $G$${\displaystyle }$: ${\displaystyle V}$→ Z ${\displaystyle G:$$V\to Z}$은(는) ${\displaystyle {C\mathrm{}}^{}}$ 1 ${\$ 함수$$ 쌍이다.그런 다음 다음 속성을 유지하십시오.

• 미적분의 기본 정리.${\displaystyle a}$에서 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$까지의 선 세그먼트가 $U{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ U$,}$에 완전히 포함되는$$ 경우
  $${\displaystyle F(b)-F(a)=\int _{0}^{1}DF(a+(b-a)t)\cdot(b-a)dt.}$$

  
• 체인 룰.모든 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u\in U}$ 및$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle$ x$\in$ X$,}$에 대해
  $${\displaystyle D(G\circ F)(u)x=DG(F(u)))DF(u)x}$$

  
• 선형성.DF(u)){DF(u)x\displaystyle}exinterest이자락.{\displaystyle인데}[표창 필요한]더 일반적으로, 만약 F{F\displaystyle}은 Ck,{\displaystyle C^{km그리고 4.9초 만},}그러면 DF}{x1,…,)k}{\displaystyle DF(u)\left\{x_{1},\ldots ,x_{k}\right\(u)}의 x{\displaystyle)}에 나머지 변수는 선형적입니다. 의.
• 남은 테일러의 정리.$u{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u\in U}$과($)$ + ${\displaystyle h}${\$displaystyle u+h}$ 사이의 선 세그먼트가$$ U .${\displaystyle$ U$.}만약$ F ${\displaystyle$ F$}$이($가$) $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\$ C$^{k}$인 경우$$
  $${\displaystyle F(u+h)=F(u)+DF(u)h+{\frac {1}{2!}}}}{{2}}F(u)\{h,h\}+\cdots +{\frac {1}{(k-1)!}}}}{k-1}F(u)\{h,h,\ldots,h\}+R_{k}}}}$$

  
  에 의해 남은 기간이 주어지는 경우.
  $${\displaystyle R_{k}(u,h)={\frac {1}{(k-1)!}}}}\int _{0}^{1(t)^{k-1}D^{k(u+th)\{h,h,\ldots,h\}dt}$$

  
• 방향 유도체의 공통성.$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$이(가) $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$, ${\displaystyle$ C$^{k}$인 경우$$
  $${\displaystyle D^{k}F(u)\좌우\{h_{1},\ldots, h_{k}\오른쪽\}=D^{k}F(u)\좌우\{h_{\sigma(1)},\ldots ,h_{\sigma(k)\오른쪽\}}}}}}}}}}$$

  
  $\{{\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle \dots ,k}$ ${\displaystyle \}}$의 모든 순열 σ에 대해${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots,k\}.$$}$

이러한 특성들 중 많은 것의 증거는 근본적으로 프리셰트 공간에서 연속 곡선의 리만 적분을 정의할 수 있다는 사실에 의존한다.

원활한 매핑

놀랍게도, 부드러운 곡선을 부드러운 곡선에 매핑하는 경우 프래쳇 공간의 열린 부분 집합 사이의 매핑은 부드럽다(적어도 종종 무한히 다를 수 있다). 편리한 분석을 참조하십시오.더욱이 매끄러운 함수의 공간에서의 매끄러운 곡선은 단지 한 변수의 매끄러운 기능일 뿐이다.

차동 기하학에서의 결과

체인 룰의 존재는 프레셰트 공간인 프리셰트 다지관을 모델로 한 다지관의 정의를 가능하게 한다.더욱이, 파생상품의 선형성은 프레셰 다지관의 접선다발과 유사하다는 것을 의미한다.

테임 프레셰트 공간

종종 파생상품의 실제 적용에서 발생하는 프레셰트 공간은 길들여진 추가적인 특성을 즐긴다.대략 말해서, 길들인 프레셰트 공간은 바나흐 공간과 거의 비슷한 공간이다.길들이기 공간에서는 길들이기 맵이라고 알려진 매핑의 선호하는 클래스를 정의할 수 있다.길들이기 지도 아래의 길들이기 공간의 범주에서, 기초 위상은 완전히 기초가 된 미분 위상 이론을 뒷받침할 만큼 충분히 강하다.이 맥락 안에서, 미적분학으로부터 더 많은 기술들이 유지된다.특히 역함수 및 암묵함수 이론의 버전이 있다.

참고 항목

• 유클리드 공간과 다른 벡터 값 함수
• 무한 차원 벡터 함수

참조

• Hamilton, R. S. (1982). "The inverse function theorem of Nash and Moser". Bull. Amer. Math. Soc. 7 (1): 65–222. doi:10.1090/S0273-0979-1982-15004-2. MR 0656198.