볼록 시리즈

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수학, 기능 분석과 볼록한 분석은 .mw-parser-output .vanchor> 특히;형태의 x1x2,…{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots:target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}convex 시리즈는 시리즈 ∑ 나는 나는 나는{\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}r_{나는}x_{나는}x 1∞ r원}}. 너는 위상 벡터 공간의 모든 요소 X{X\displaystyle}, and 모든 $r{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$r ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots }$은(는) $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1}($즉, $\sum {\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\fty}r_{i}=}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$에 해당하는

볼록 계열의 종류

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{S}}}$ ${\$$displaystyle$ $S}$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$∑ i =${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ r ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ ${\displaystyle \}}$$r_$${$$i}$$x_$${i}}}}}$의 볼록 시리즈라고$$ 가정합시다$.$

• If all ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ belong to ${\displaystyle S}$ then the convex series ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$ is called a convex series with elements of ${\displaystyle S}$.
• 세트${\displaystyle }${${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$1,${\displaystyle {}_{}{x\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle \dots \}}${\$displaystyle \left\{x_{1},x_{2},\ldots \right\}$이(가) a(von Neumann) 경계 집합이면 시리즈는 b-콘벡스 시리즈라고 한다.
• The convex series ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$ is said to be a convergent series if the sequence of partial sums ${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}r_{i}x_{i}\right)_{n=1}^{\infty }}$ converges in ${\displaystyle X}$ to sX ,${\displaystyle X,}$의 오메 원소로서$$ 볼록 계열의 합이라고 한다.
• The convex series is called Cauchy if ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$ is a Cauchy series, which by definition means that the sequence of partial sums ${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}r_{i}x_{i}\right)_{n=1}^{\infty }}$ is a Cauchy 순서를 정하다

하위 집합 유형

볼록스 시리즈는 품행이 단정하고 안정성 특성이 매우 양호한 특수 유형의 하위 세트를 정의할 수 있다.

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 위상학적 벡터 $공간{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle$X}의 하위 집합인 경우 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$은(는) 다음과 같다고 한다$$.

• $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 요소를 가진 수렴 볼록 시리즈가 $각각{\displaystyle }$ S${\displaystyle .}$ ${\displaystyle S}$의 합을 갖는$$ 경우 cs-closed 집합
  • 이 정의에서 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(는) 하우스도르프일 필요가 없으며, 이 경우 합이 고유하지 않을 수 있다.어떤 경우든 우리는 모든 합이 $S{\displaystyle .}$ ${\displaystyle S}$에 속할 것을 요구한다.
• lower cs-closed set or a lcs-closed set if there exists a Fréchet space ${\displaystyle Y}$ such that ${\displaystyle S}$ is equal to the projection onto ${\displaystyle X}$ (via the canonical projection) of some cs-closed subset ${\displaystyle B}$ of ${\displaystyle X\times Y}$ Every cs-closed set is lower cs-closed 및 모든 하부 cs-closed 세트는 이상적으로 볼록 및 볼록이 낮다(대화 내용은 일반적으로 사실이 아니다).
• $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 요소를 가진 수렴 b $시리즈$가 S${\displaystyle .}${\$displaystyle$ S$.}$의 합을 갖는$$ 경우 이상적으로 볼록하게 설정됨
• lower ideally convex set or a li-convex set if there exists a Fréchet space ${\displaystyle Y}$ such that ${\displaystyle S}$ is equal to the projection onto ${\displaystyle X}$ (via the canonical projection) of some ideally convex subset ${\displaystyle B}$ of ${\displaystyle X\times Y.}$ Every ideally볼록 세트는 이상적으로 볼록하다.이상적으로 볼록한 모든 하한은 볼록하지만 그 반대는 일반적으로 사실이 아니다.
• $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 요소를 가진 Cauchy 볼록 시리즈가 수렴되고$$ 그 합이 $S{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ S$.}$인 경우 cs-완전 세트
• bcs 완전 집합($S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 요소를 가진 Cauchy b-convx 시리즈가 수렴되고$$ 그 합이 $S{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ S$.}$인 경우).

빈 세트는 볼록, 이상적으로 볼록, bcs-완전, cs-완전, cs-close이다.

조건(Hx) 및 (Hwx)

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및$$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가) 위상학적 벡터 공간인 경우, $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은(는) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X$$\time$ Y$,}$ $및$ X ${\displaystyle \in }$ X ${\$$displaystylease x$$\$in X}의 하위 집합인 경우$$$$$,$^[1] $}:$

• Condition (Hx): Whenever ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}(x_{i},y_{i})}$ is a convex series with elements of ${\displaystyle A}$ such that ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}y_{i}}$ is convergent in ${\displaystyle Y}$ with sum${\displaystyle y}$ and ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$ is Cauchy, then ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$ is convergent in ${\displaystyle X}$ and its sum ${\displaystyle x}$ is such that ${\dis$$놀이 스타일(x,y)\A.}$
• 조건(Hwx):Whenever ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}(x_{i},y_{i})}$ is a b-convex series with elements of ${\displaystyle A}$ such that ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}y_{i}}$ is convergent in ${\displaystyle Y}$ with sum ${\di$$splaystyle y}$ and ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$ is Cauchy, then ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$ is convergent in ${\displaystyle X}$ and its sum ${\displaystyle x}$ is such that ${\displaystyle (x,$$y)\A.}$
  • X가 국소적으로 볼록한 경우, "${\displaystyle \underset{}{\overset{}{및}}}$ $\sum {\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$\\$displaystyle \sum _{i=1}^{\infit }r_{i}x_{i$}}{i$}}}$는 조건(Hwx)의 정의에서 제거될 수 있다.

멀티유닛션

${\displaystyle \mathrm{다음}}$과 같은 표기법과 관념을 사용하며, $여기$서 $R{\displaystyle \mathcal{}}$: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \rightrightarrows }$ Y ${\displaystyle {\mathcal {\$mathcal {$R}:X\rightarrow Y}$ 및 S$$${\displaystyle }$: ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \rightrightarrows }$ Z ${\displaystyle {\mathcal {S}:$$Y\$오른쪽 $화살표 Z}$은(는) 다면체이고 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$은(는) 위상학적 벡터 공간${\displaystyle }X{\displaystyle }$ : {\$displaystyle X:}$의 비어 있지 않은 부분 집합이다.

• The graph of a multifunction of ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ is the set ${\displaystyle \operatorname {gr} {\mathcal {R}}:=\{(x,y)\in X\times Y:y\in {\mathcal {R}}(x)\}.$$}$
• ${\displaystyle }$$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle Y}$. ${\$$displaystyle$ X$\\times Y$$}$의 $R{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$displaystyle {\$displaystyle$ {\displaystyle ${\cs-closed,$ bcs-complete$)$가 동일한 경우 R ${\$$displaystysty$ X\$times$ Y$}$의 닫힘$$
  • The mulifunction ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ is convex if and only if for all ${\displaystyle x_{0},x_{1}\in X}$ and all ${\displaystyle r\in [0,1],}$ ${\displaystyle r{\mathca$$l{R}\왼쪽(x_{0}\오른쪽)+(1-r){\mathcal {R}\왼쪽(x_{1}\오른쪽)\subseteq {\mathcal {R}\reft(rx_{0}+(1-r)x_{1}\오른쪽).$$}$
• 다기능 $R{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 역행은 다기능 $R{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$: ${\displaystyle Y}$⇉ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal${R$}^{-1}:$$R$ - ${\displaystyle 1^{}}$( ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle :=}$ { $x x$ ${\displaystyle x\mathcal{}}$ $X$${\displaystyle }$: y${\displaystyle r}$R ( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \}}$. ${\displaystyle {\mathcal{R}^{-1}(y):$$=\left\{x\in X:y\in {\mathcal {R}}(x)\right\}.}$ For any subset ${\displaystyle B\subseteq Y,}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}(B):$$=\cup _{y\in B}{\mathcal{R}^{-1}(y)$$}$
• The domain of a multifunction ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ is ${\displaystyle \operatorname {Dom} {\mathcal {R}}:=\left\{x\in X:{\mathcal {R}}(x)\neq \emptyset \right\}.$$}$
• 다기능 $R{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\${${\displaystyle R}$$}$의 이미지는 ${\displaystyle 임\mathcal{}}$ ${\displaystyle }$ R ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathcal{}}$ ${\displaystyle R_{}}$( x )${\displaystyle }$.${\displaystyle \operatorname {im}{\r}:=\cup _{x\in$ X$}{x\mathcal {R}}}(x$)이다$.$$}}$ A${\displaystyle }subset{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{X<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash operatorname\; \{Im\}\; \{\backslash mathcal\; \{R\}\}:=\backslash cup\; \_\{x\backslash in\; X\}\{\backslash mathcal\; \{R\}\}(x).\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/abbce92222dc99cf9c8d364685151957a6818474"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:19.854ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="230">}}$, ${\displaystyle A\subseteq$ X$,}$ $R$${\displaystyle \mathcal{}}$ ( A${\displaystyle }$) :=${\displaystyle =}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathcal{}}$ R (${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle {\mathcal${R$}(A):$$=\cup _{x\in A}{\mathcal{R}}(x).$$}$
• The composition ${\displaystyle {\mathcal {S}}\circ {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Z}$ is defined by ${\displaystyle \left({\mathcal {S}}\circ {\mathcal {R}}\right)(x):$$=\cup _{y\in {\mathcal {R}(x)}{\mathcal {S}(y)}$ 각$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle$ x$\in.}$

관계들

Let ${\displaystyle X,Y,{\text{ and }}Z}$ be topological vector spaces, ${\displaystyle S\subseteq X,T\subseteq Y,}$ and ${\displaystyle A\subseteq X\times Y.}$ The following implications hold:

전체$$ ${\displaystyle ⟹}$ ${\$ ${\displaystyle \backslash }$$implies$} cs-cs-closed$$ ${\$ ${\displaystyle \backslash }$$implies}$cs-closed$$ ${\$ lower cs-cs-closed(lcs-closed) 및 이상적으로 볼록하다.

cs-closed(lcs-closed) 또는 이상적으로 볼록한${\displaystyle }$conve$${\$displaystyle \implies}$ 하한$$ 이상적으로 볼록한 ${\displaystyle ⟹}$ ${\$ 볼록$$.

(Hx) ${\displaystyle ⟹}$ ${\$Hwx) ${\displaystyle ⟹}$ ${\$볼록$$.

그 반대의 의미는 일반적으로 들어 있지 않다.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 완료되면

1. ${\displaystyle }$$S{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $S}$이(가) cs-close(존중, 이상적으로 볼록한 경우)인 경우에만 S ${\$$displaystyle$ S$}$은 cs-cs-complete(존중, bcs-complete)이다$$.
2. ${\displaystyle }$$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) cs-close된 경우에만$$ ${\displaystyle A}$이(가) 충족$$(Hx)된다.
3. ${\displaystyle }$$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 이상적으로 볼록한 경우에만$$ ${\displaystyle A}$이(가) 충족(Hwx)된다.

$Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가) 완료되면

1. ${\displaystyle }$$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) cs-완전한 경우에만$$ ${\displaystyle A}$이(가) 충족됨(Hx)
2. ${\displaystyle }$$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) bcs-완전한 경우에만$$ ${\displaystyle A}$이(가) 충족됨$$(Hwx)
3. $B$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle B\subseteq X\time Z}$ 및$$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle$ y$\in Y}$인 경우:
   1. ${\displaystyle }$$B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가) 충족되는 경우(H(x, y))만 충족하면(B ${\displaystyle B}$이(가) 충족된다$$(Hx).
   2. ${\displaystyle }$$B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가) 충족되는 경우(Hw(x, y))만 충족하면(B ${\displaystyle B}$이(가) 충족된다$$(Hwx).

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 로컬 볼록이고 ${\displaystyle {\mathrm{Pr}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle (A)}$ ${\displaystyle \operatorname {Pr} _{X}(A)}$이(가) 바인딩된$$ 경우,

1. $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) ${\displaystyle \mathrm{충족}}$되면 Pr ${\displaystyle X_{}}$satisfies ( ${\displaystyle A_{}}$ ) ${\displaystyle \operatorname {Pr} _{X}(A)}$이(가) cs-close된다.
2. $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(${\displaystyle 가}$) 충족되면$$ ${\displaystyle {\mathrm{Pr}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ( A ) ${\displaystyle \operatorname {Pr} _{X}(A)}$이(가) 이상적으로 볼록한 것이다$$.

보존 특성

$X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $X_$${0}$을 $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$.}$ $Let$ R${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \rightrightarrows }$ Y ${\displaystyle {\R}:X\rightarrow Y}$ 및 $S$ : ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \rightrightarrows }$ Z ${\displaystystyle {\\\mathcal{S}:$$Y\오른쪽$ 화살표 $Z}$은(는) 다각형이다.

• $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) cs-close(resp)인 경우이상적으로 볼록한 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 다음에 X$$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ S {\$displaystyle X_{0}\cap S}$의 부분 집합도 cs-close(resp)이다$$.이상적으로 볼록한) $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle X_{0}$의 부분 집합.$}$
• If ${\displaystyle X}$ is first countable then ${\displaystyle X_{0}}$ is cs-closed (resp. cs-complete) if and only if ${\displaystyle X_{0}}$ is closed (resp. complete); moreover, if ${\displaystyle X}$ is locally convex then ${\displaystyle X_{0}}$ is closed if and only if ${\$디스플레이 $스타일 X_{0}}$는 이상적으로 볼록하다.
• ${\displaystyle S\times T}$ is cs-closed (resp. cs-complete, ideally convex, bcs-complete) in ${\displaystyle X\times Y}$ if and only if the same is true of both ${\displaystyle S}$ in ${\displaystyle X}$ and of ${\displaystyle T}$ in ${\displaystyle Y.}$
• cs-폐쇄, 하부 cs-폐쇄, 이상적 볼록, 하부 이상적 볼록, cs-완전, bcs-완전성의 특성은 모두 위상학적 벡터 공간의 이소형성 하에서 보존된다.
• 임의로 많은 cs-closed(resp)의 교차점.이상적으로 볼록한 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 하위 집합의 속성이 동일함$$
• cs-close(resp)의 데카르트 제품.이상적으로 볼록한) 임의의 많은 위상 벡터 공간의 하위 집합은 (제품 위상과 함께 제공된 제품 공간에서) 동일한 속성을 갖는다.
• 이상적으로 볼록한 하한 다수의 교차점(resp).$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 하위 집합 하한 cs-closed) 하위 집합은 동일한 속성을 갖는다$$.
• 하한 이상적으로 볼록한 데카르트 제품(resp).cs-closed) 하위 집합의 카운트다운 가능한 많은 위상 벡터 공간은 동일한 속성을 갖는다(제품 위상과 함께 제공된 제품 공간).
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 프리셰트 $공간$이고 A$${\$displaystyle A$$}$ 및 $B{\displaystyle }${\$displaystyle$B}이$$(가) 하위 집합이라고 가정하십시오.$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ 및$$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가) 이상적으로 볼록한 경우$$(resp).cs-폐쇄)를 낮추면 $A{\displaystyle }$ +${\displaystyle B.}$ ${\디스플레이$ 스타일 $A+$$B.$$}$
• $X$ ${\$$displaystyle X$$}$이(가) $프리셰트{\displaystyle }$ $공간$이고 $A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle$ X}이$($가) X .${\displaystyle }$$displaystyle$ ${\displaystyle X}$의 $하위$ 집합이라고 가정하십시오$.$$)$ 그러면 $R{\displaystyle \mathcal{}}$ ( A$$)${\displaystyle }$. $displaystyle {\mathcal{R}(A$)도 마찬가지다.$}$
• $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가) 프리쳇 공간이고 ${\displaystyle R_{\mathrm{}}}$ $2{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$: ${\displaystyle X}$⇉ Y ${\displaystyle {\mathcal$ {$R}_{2}:X\rightarrows$ Y$}$이(가) 다기능이라고 가정하자.$R{\displaystyle \mathcal{}}$, ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle 2_{\mathrm{}}}$,${\displaystyle {}_{}S\mathcal{}}$ ${\$이(가) 모두 이상적인 볼록(resp)보다 낮을$$ 경우.lower cs-closed) then so are ${\displaystyle {\mathcal {R}}+{\mathcal {R}}_{2}:X\rightrightarrows Y}$ and ${\displaystyle {\mathcal {S}}\circ {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Z.$$}$

특성.

$S{\displaystyle }$$$ ${\displaystyle S}$이(가) 위상 벡터 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 비어 있지 않은 볼록 부분 집합인 경우$$,

1. $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 닫히거나 열려 있는 $경우{\displaystyle }$S {\$displaystyle$S}이(가$$) cs-닫힌다.
2. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 하우스도르프이고 유한 치수인 경우 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ S$}$은(는) cs-폐쇄된다$$.
3. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 먼저 카운트할 수 $있고{\displaystyle }$S {\$displaystyle S}$이(가$$) 이상적으로 볼록한 경우$int$ S${\displaystyle }$=$$(${\displaystyle \mathrm{cl}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$) .${\displaysty \operatorname {int} \좌(\operatorname {cl}S\오른쪽)$$}$

Let ${\displaystyle X}$ be a Fréchet space, ${\displaystyle Y}$ be a topological vector spaces, ${\displaystyle A\subseteq X\times Y,}$ and ${\displaystyle \operatorname {Pr} _{Y}:X\times Y\to Y}$ be the canonical projection.$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 더 낮은 이상 볼록(resp)일 경우cs-closed)를 낮추면 ${\displaystyle {\mathrm{Pr}}_{}}$ ${\displaystyle Y_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle A}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \operatorname {Pr} _{Y}(A$)도 마찬가지다$.$$}$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 바울링된 첫 번째 계산 가능한 공간이고$$ $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ X ${\displaystyle C\subseteq$ X$}$인 경우$$:

1. If ${\displaystyle C}$ is lower ideally convex then ${\displaystyle C^{i}=\operatorname {int} C,}$ where ${\displaystyle C^{i}:=\operatorname {aint} _{X}C}$ denotes the algebraic interior of ${\displaystyle C}$ in ${\displaystyle X.}$
2. If ${\displaystyle C}$ is ideally convex then ${\displaystyle C^{i}=\operatorname {int} C=\operatorname {int} \left(\operatorname {cl} C\right)=\left(\operatorname {cl} C\right)^{i}.$$}$

참고 항목

• Ursescu 정리 – 닫힌 그래프의 일반화, 개방형 매핑, 균일한 경계 정리

메모들

참조

• Zălinescu, Constantin (30 July 2002). Convex Analysis in General Vector Spaces. River Edge, N.J. London: World Scientific Publishing. ISBN 978-981-4488-15-0. MR 1921556. OCLC 285163112 – via Internet Archive.
• Baggs, Ivan (1974). "Functions with a closed graph". Proceedings of the American Mathematical Society. 43 (2): 439–442. doi:10.1090/S0002-9939-1974-0334132-8. ISSN 0002-9939.