5차 함수

대수학에서, 5차 함수는 형태의 함수이다.

$({displaystyle g(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+class^{2}+ex+f,})$

여기서 a, b, c, d, e 및 f는 필드(일반적으로 유리수, 실수 또는 복소수)의 멤버이며 a는 0이 아닙니다.즉, 5차 함수는 5차 다항식으로 정의된다.

정규 5차 함수는 홀수 차수를 가지기 때문에 그래프로 나타낼 때 정규 5차 함수와 유사한 것으로 나타나지만 추가 국소 최대값과 추가 국소 최소값이 하나씩 있을 수 있습니다.5차 함수의 도함수는 4차 함수이다.

g(x) = 0으로 설정하고 θ 0으로 가정하면 다음과 같은 형태의 5차 방정식이 생성됩니다.

${\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+display^{2}+ex+f=0.\,}$

5차 방정식을 라디칼(n번째 루트)로 푸는 것은 입방정식과 4차 방정식이 풀린 16세기부터 아벨-루피니 정리로 일반 해법의 불가능성이 증명된 19세기 전반까지 대수학의 주요 문제였다.

5차 방정식의 근을 찾다

주어진 다항식의 근(제로)을 찾는 것은 중요한 수학 문제였다.

근이 합리적이든 비합리적이든 실수든 복소수든 상관없이 선형, 2차, 입방정식 및 4차 방정식을 라디칼로 분해하여 푸는 것은 항상 가능합니다.필요한 해법을 산출하는 공식이 있습니다.그러나, 유리수에 대한 일반 5차 방정식의 해에는 대수식이 없다; 이 진술은 아벨-루피니 정리라고 알려져 있으며, 1799년에 처음 주장되어 1824년에 완전히 증명되었다.이 결과는 높은 차수의 방정식에도 적용됩니다.근을 라디칼로 표현할 수 없는 5진수의 예는 x - x + 1 = 0이다⁵.

몇몇 5분위는 급진적인 측면에서 풀릴 수 있다.그러나 일반적으로 솔루션은 너무 복잡하여 실제로 사용할 수 없습니다.대신, 수치 근사치는 다항식에 대한 근원 탐색 알고리즘을 사용하여 계산된다.

해결 가능한 5진수

몇몇 5차 방정식은 라디칼의 관점에서 풀 수 있다.여기에는 x - x⁴ + 1 = (x² + 1)(x + 1)(x - ²1)와 같이⁵ 환원 가능한 다항식으로 정의된 5차 방정식이 포함됩니다.예를 들어, 다음과 같이 나타났습니다^[1].

${\displaystyle x^{5}-x-r=0}$

는 정수해를 가지거나 r이 ±15, ±22440 또는 ±2759640 중 하나이고, 이 경우 다항식이 환원 가능한 경우에만 라디칼로 해결됩니다.

환원 가능한 5차 방정식을 푸는 것이 낮은 차수의 다항식을 푸는 것으로 즉시 감소하기 때문에, 이 섹션의 나머지 부분에서는 환원 불가능한 5차 방정식만 고려되며, "quintic"이라는 용어는 환원 불가능한 5차 방정식만을 나타낼 것이다.따라서 분해 가능한 5차식은 근이 라디칼로 표현될 수 있는 환원 불가능한 5차 다항식이다.

에바리스 갈로아는 해결 가능한 5차, 그리고 보다 일반적으로 해결 가능한 높은 다항식의 특징을 찾기 위해 그룹 이론과 갈로아 이론을 탄생시킨 기술을 개발했습니다.이러한 기술을 적용하면서, Arthur Cayley는 주어진 5진수가 해결 ^[2]가능한지를 결정하기 위한 일반적인 기준을 발견했다.이 기준은 다음과 같습니다.^[3]

방정식이 주어지면

${\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+cx^{2}+ex+f=0,}$

그 Tschirnhaus 변환)= y− .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output .sfrac.는 5차 방정식(그것은, 4의 용어를 제거합니다)를 방해하지만 Den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}b/5a, 그 방정식을 준다.

${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ 5${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$3 + ${\displaystyle {}^{}}$ y${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle ry}$ + ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle =}$ { $displaystyle$ y ^ { $5$} + $py$^ {3} +$qy$^ {$2}$ +$ry$ + s$$=$0$} ,

어디에

${\displaystyle {\displaystyle {5ac-2b^{2}}{5a^{2}}\q&=syslogfrac {25a^{2}d-15g+4b^{3}}{25a^{3}}\\r&=blac {125a^{3}e-50a^{2}bd+15ab^{2}c-3b^{4}}\s&=blac {3125a^{4}f-625a^{3}be125a^2}-b^2}$

두 오분수 모두 유리 계수를 갖는 낮은 차수의 방정식에서 인수분해 가능하거나 케일리의 분해능으로 명명된 다항식² P - 1024 z Ω이 z에서 유리근을 갖는 경우에만 라디칼에 의해 분해될 수 있다.

$디스플레이 스타일P={}&z^{3}-z^{2}(20r+3p^{2})-z(8p^{2}r-16pq^{2}-240r^{2}+400sq-3p^{4}\&-p^{6}+28p^{4}r-16p^3}^{p^2}^{p}^2-{p}{p}^2}{p}{p}{p}^2}{p}{p^2}{p}{p}{p}{p}{p}}{p}}}{p}{p}}}}$

그리고.

${\displaystyle {begin{aligned}\Delta ={}&-128p^{2}r^{4}+3125s^{4}-72p^{4}qrs+16p^{3}+256r^{5}+108p^{s}^{4}&qur3}&qur^{4}\end { aligned}}$

케일리의 결과는 우리가 5진수가 해결 가능한지를 시험할 수 있게 해준다.만약 그렇다면, 그 뿌리를 찾는 것은 더 어려운 문제인데, 이것은 5차 계수와 케일리의 분해능의 합리적 뿌리를 포함하는 라디칼의 관점에서 뿌리를 표현하는 것으로 구성되어 있다.

1888년 조지 팩스턴 영은 명확한 공식을 ^[4]제시하지 않고 해결 가능한 5차 방정식을 푸는 방법을 설명했고, 2004년 다니엘 라자드는 3페이지짜리 ^[5]공식을 썼다.

브링-제라드 형식의 5진수

x + ax + b = 0 형태의⁵ 해결 가능한 5진수에는 브링-제라드 형태라고 불리는 몇 가지 파라메트릭 표현이 있다.

19세기 후반 동안, 존 스튜어트 글래샨, 조지 팩스턴 영, 칼 랭게는 그러한 매개변수화를 제공했다: 브링-제라드 형식의 유리 계수를 갖는 환원 불가능한 5진수는 a = 0 또는 그것이 기록될 경우에만 해결 가능하다.

${\displaystyle x^{5}+{\frac {5\mu ^{4}(4\nu +3)}x}x+{\frac {4\mu ^{5}(2\nu +1)(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}=0}$

여기서 μ와 μ는 유리하다.

1994년에는 블레어 스피어맨과 케네스 S.윌리엄스는 대안을 제시했고

${\displaystyle x^{5}+{\frac {5e^{4}(4c+3)}{c^{2}+1}x+{\frac {-4e^{5}(2c-11)}{c^{2}+1}=0}.}$

1885년과 1994년의 파라미터화 사이의 관계는 다음 식을 정의함으로써 확인할 수 있습니다.

$({displaystyle b=brack {4}{5}}\left(a+20\pm 2grt {(20-a)(5+a)}}\right)}$

여기서 a = 5(4µ + 3)/제곱근² + 1. 제곱근의 음수 대소문자를 사용하면 스케일링 변수 후 첫 번째 매개 변수가 생성되고 양의 대소문자는 두 번째 매개 변수가 생성됩니다.

Spearman-Williams 매개 변수화의 치환 c = -m/l⁵, e = 1/l을 사용하면 특수한 경우 a = 0을 제외하지 않고 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

만약 a와 b가 유리수라면, x + ax + b = 0이라는 방정식은⁵ 그 좌변이 5도 미만의 다항식의 곱이거나 두 개의 유리수 l과 m이 존재한다면 라디칼에 의해 풀릴 수 있다.

${{displaystyle a=sqfrac {5l(3l^{5}-4m}}{m^{2}+l^{10}}\qquad b=sqfrac {4(11l^{5}+2m}}}}{m^{2}+l^{10}}}}.}$

해결 가능한 오차의 근

다항식 방정식은 갈루아군이 해결 가능한 군이면 라디칼에 의해 해결된다.환원 불가능한 5진수의 경우, 갈로아군은 5원소 집합의 모든 배열의 대칭군₅ S의 서브그룹이며, 주기적 배열(12 3 4 5) 및 주기적 배열(12 4 3)에 의해 생성되는 순서 20의 F군의₅ 서브그룹일 경우에만 분해할 수 있다.

5진수가 해결 가능한 경우, 해법 중 하나는 5근과 최대 2개의 제곱근(일반적으로 내포된)을 포함한 대수식으로 표현될 수 있다.다른 해법은 다섯 번째 루트를 변경하거나 다섯 번째 루트의 모든 발생에 원시적인 다섯 번째 루트의 통합의 같은 제곱을 곱함으로써 얻을 수 있다.

$({displaystyle {{\frac {-10-2grt {5}}}}}+{\fracrt {5}-1}{4}}).}$

사실, 통합의 네 개의 원시적인 다섯 번째 근은 제곱근의 부호를 적절히 바꿈으로써 얻을 수 있다; 즉, 표현

$({displaystyle {frac {-10-2}}}+{frcrt {5}-1}{4}}$

$여기$서${\displaystyle \alpha }$, β${\displaystyle }$β${\displaystyle }$β {${\displaystyle }$-${\displaystyle 1}$ , 1$$}({ $displaystyle$ \$alpha$, \$displays \in \{$ - 1, $1$는 4개의 서로 다른 원시적인 통합의 다섯 번째 루트를 생성합니다.

따라서 해결 가능한 5진수의 모든 근을 쓰기 위해서는 4개의 다른 제곱근이 필요할 수 있다.최대 두 제곱근을 포함하는 첫 번째 근이라도, 근의 관점에서 해법의 표현은 대개 매우 복잡하다.그러나 제곱근이 필요하지 않을 때, 첫 번째 용액의 형태는 x - 5x⁴ + 30x³ - 50x² + 55x - 21 = 0과⁵ 같이 다소 단순할 수 있다.

${{displaystyle x=1+{5}{2}-\left\caprt[{5}{}\right)^{2}+\left\caprt[{5}{2}\right)^{3}-\caprt[{5}{2}{}\right)^4}.$

(여기서 쓸 수 있을 만큼 작지만) 더 복잡한 솔루션의 예로는 x - 5x + 12 = 0의 고유한⁵ 실근입니다.a = √ 2⁻¹ 、 b = 2 2 、 c = √ 5 √ 5 。여기서 = 1+5 5/2는 황금비입니다.그러면 유일한 실해 x = -1.84208...에 의해 주어집니다.

${{displaystyle - cx = paramrt [ { 5 } { ( a + c )^2} ( b - c ) } } + {\ paramrt [ { 5 } ( b + c )^2 } - { \ paramrt [ 2 } ( a + c ) }$

또는 동등하게

${\displaystyle x=syslogrt[{5}{y_{1}}+{\syslogrt[{5}}{y_{2}}+{\syslogrt[{5}}{y_{3}}}+{\syslogrt[{5}{4}}},}}},}$

여기서 y는_i 4차 방정식의 4근이다

${\displaystyle y^{4}+{\frac {4}{5}}y^{2}-{\frac {8}{5^{3}}y-{\frac {1}{5^{5}}=0,}$

보다 일반적으로 유리계수를 갖는 소수 p의 방정식 P(x) = 0이 라디칼로 풀 수 있다면, P의 각 근이 Q의 근의 p번째 근의 합이 되도록 합리적인 계수를 갖는 보조 방정식 Q(y) = 0을 정의할 수 있다.이러한 p-근은 조셉-루이 라그랑주에 의해 도입되었으며 p에 의한 곱은 일반적으로 라그랑주 분해라고 불립니다.Q와 그 근의 연산은 P(x) = 0을 푸는 데 사용될 수 있다. 그러나 이러한 p번째 근은 독립적으로 계산되지 않을 수 있다. (이는 p 대신에 p 근을 제공한다^p–1.)따라서 올바른 해결책은 이러한 모든 p-roots를 그 중 하나의 관점에서 표현해야 합니다.갈로아 이론은 결과 공식이 너무 커서 아무 소용이 없을지라도 이론적으로는 이것이 항상 가능하다는 것을 보여준다.

Q의 루트 중 일부는 합리적이거나(이 섹션의 첫 번째 예와 같이), 일부는 제로일 수 있습니다.이러한 경우, 근의 공식은 훨씬 더 간단하다. 예를 들어, 해결 가능한 드 무브르의 5진수이다.

${\displaystyle x^{5}+5ax^{3}+5a^{2}}x+b=0,}$

여기서 보조 방정식은 두 개의 0근을 가지며, 그것들을 인수분해함으로써 2차 방정식으로 감소시킨다.

${\displaystyle y^{2}+by-a^{5}=0,}$

드 모이브르 5차원의 5근은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle x_{k}=\obmega ^{k}{y_{i}}}-{\frac {a}{\obmega ^{k}{\brt[{5}}{y_{i}}}}},$

여기서_i y는 보조 2차 방정식의 임의의 근이고 θ는 통합의 네 가지 원시 5차 근 중 하나이다.이것은 쉽게 일반화될 수 있으며, 반드시 소수가 아닌 용해성 패혈증 및 기타 홀수 차수를 구성할 수 있습니다.

기타해법오차수

앞 절에서 매개 변수화한 Bring-Jerrard 형식의 해결 가능한 5진수는 무한히 많다.

$변수$의 스케일링까지, ${\displaystyle {형상\mathrm{}}^{}x}$ ${\displaystyle {5\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle a}$ x 2${\displaystyle {}^{}}$+$$b {\$display$ x$^{5}+ax^{2}+b$의 정확히 5개의 해결 가능한 5진수가 있습니다(여기서^[6] s는 스케일링 계수입니다).

${\displaystyle x^{5}-2s^{3}x^{2}-{\frac {s^{5}}{5}}}$

${\displaystyle x^{5}-100s^{3}x^{2}-1000s^{5}}}$

${\displaystyle x^{5}-5s^{3}x^{2}-3s^{5}}$

${\displaystyle x^{5}-5s^{3}x^{2}+15s^{5}}$

${\displaystyle x^{5}-25s^{3}x^{2}-300s^{5}}}$

팩스턴 영(1888)은 해결 가능한 5진수의 예를 많이 들었다.

${\displaystyle x^{5}-10x^{3}-20x^{2}-1505x-7412}$
${\displaystyle x^{5}+{\frac {625}{4}}x+3750}$
${\displaystyle x^{5}-{\frac {22}{5}x^{3}-{\frac {11}{25}x^{2}+{\frac {979}{3125}}}$
${\displaystyle x^{5}+20x^{3}+20x^{2}+30x+10}$	${{displaystyle ~\qquad$~} 루트$$: ${\displaystyle \text{exception 25:}}$5 - ${\displaystyle {\text{exception 25:}}^{}}$ ${\displaystyle {\text{exception 25:}}^{}{}^{}{\text{exception 25:}}^{\mathrm{}}}$ + ${\displaystyle {\text{exception 25:}}^{}}$ 5${\displaystyle {}^{}{\text{exception 25:}}^{\mathrm{}}}$ - ${\displaystyle {\text{exception 25:}}^{}}$ 5$$ { $style${ $sqrt$[ { $5 }$ {2} + { \ $sqrt$[ { 5$$} { $2$} { $2$} } } 、 { \ $sqrt$ [ { $5$} { $4 }$}
${\displaystyle x^{5}-20x^{3}+250x-400}$
${\displaystyle x^{5}-5x^{3}+{\frac {85}{8}x-{\frac {13}{2}}}$
${\displaystyle x^{5}+{\frac {20}{17}}x+{\frac {211}{17}}$
${\displaystyle x^{5}-{\frac {4}{13}}x+{\frac {29}{65}}$
${\displaystyle x^{5}+{\frac {10}{13}}x+{\frac {3}{13}}$
$({displaystyle x^{5}+110(5x^{3}+60x^{2}+800x+8320)}$
${\displaystyle x^{5}-20x^{3}-80x^{2}-150x-656}$
${\displaystyle x^{5}-40x^{3}+160x^{2}+1000x-5888}$
${\displaystyle x^{5}-50x^{3}-600x^{2}-2000x-11200}$
$({displaystyle x^{5}+110(5x^{3}+20x^{2}-360x+800)})$
${\displaystyle x^{5}-20x^{3}+170x+context}$

n = 10k + 1이 소수인 상태에서 n번째 통일근의 합이 되는 무한 분해 가능 5진수를 구성할 수 있다.

${\displaystyle x^{5}+x^{4}-4x^{3}-3x^{2}+3x+1}$		루트: ${\displaystyle 2}$ cos${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{k}{}}$ ${\displaystyle \frac{11}{}}$ 11 $){$ $displaystyle 2$ \$cos$ \ left ( { \ $frac${ $2$k \ $pi$} { $11$} \ $right )$ }
${\displaystyle x^{5}+x^{4}-12x^{3}-21x^{2}+x+5}$		루트:${\displaystyle \underset{k}{\overset{}{}}}$ k ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ 5 ${\displaystyle {\frac{\mathrm{e2}}{}}^{}}$ i ${\displaystyle {\frac{{\mathrm{}}^{}}{}}^{}}$ 6 ${\displaystyle {\frac{\mathrm{k}}{{}^{}}}^{}}$ 31 ${$ $displaystyle \sum$_ {$k=0}^{5}$ $e^{\$frac ${2i\pi$ 6$^{k}}$ {$314}}$
${\displaystyle x^{5}+x^{4}-16x^{3}+5x^{2}+21x-9}$		루트:${\displaystyle \underset{k}{\overset{}{}}}$ k ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{\mathrm{e2}}{}}^{}}$ i ${\displaystyle {\frac{{\mathrm{}}^{}}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{3^{}}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{\mathrm{k}}{{}^{}}}^{}}$ 41$${ $displaystyle \sum$_ {$k=0}^{7} e^{\frac {2i\pi$ 3$^{k}}$ {$414}}$
${\displaystyle x^{5}+x^{4}-24x^{3}-17x^{2}+41x-13}$	$\displaystyle ~\qquad ~}$	루트:${\displaystyle \underset{k}{\overset{}{}}}$ k ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{0}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}^{}}$ e ${\displaystyle {\frac{2}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{i}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{(}{}}^{}}$ ( ${\displaystyle {\frac{21}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{{}^{}}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{\mathrm{k}}{{}^{}}}^{}}$ 61 ${$ \ $displaystyle \sum _${ k =$0$}^{ $11$} $e^{$ \ $frac${ $2i \ pi$ ( $21$)^{ $k}}$ { $614}$
${\displaystyle x^{5}+x^{4}-28x^{3}+37x^{2}+25x+1}$		루트:${\displaystyle \underset{k}{\overset{}{}}}$ k ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{0}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{\mathrm{e2}}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{i}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{(}{}}^{}}$ ( ${\displaystyle {\frac{23{}^{}}{}}^{}}$) ${\displaystyle {\frac{\mathrm{k}}{{}^{}}}^{}}$ 71$${ $displaystyle \sum$_ { k$$=$0$}^{ $13$} $e^{\frac${ $2i\pi$($23$)^{$k}}$ {$711}}$

또한 매개 변수화된 두 가지 해결 가능한 5진수 패밀리가 있다.곤도-브루머 5중주

${\displaystyle x^{5}+(a-3),x^{4}+(-a+b+3),x^{3}+(a^{2}-a-1-2b),x^{2}+b,x+a=0}$

및 ${\displaystyle \mathrm{패밀리}}$는 $파라미터{\displaystyle }$ a${\displaystyle ,}$ $m\displaystyle$ a$,\ell,m$에 따라 달라집니다.

${\displaystyle x^{5}-5,p\left(2,x^{3}+a,x^{2}+b,x\right)-p,c=0}$

어디에

$({displaystyle p=paramtfrac {1}{4}}\left[,\ell^{2}(4m^{2}+a^{2})-m^{2},\right]\,}$

$({displaystyle b=\ell},(4m^{2}+a^{2})-5p-2m^{2}\;,}$

${\displaystyle c=tfrac {1}{2}}\left[,b(a+4m)-p(a-4m)-a^{2}m,\right]\;}$

카수스이레두시빌리스

입방정식과 유사하게, 5개의 실근을 갖는 해결 가능한 5등식이 있는데, 그 모든 라디칼의 해는 복소수의 근을 포함한다.이것은 ^{[7]: p.17} Dummit에서 논의된 5진법의 casus irreducibilis입니다.실제로, 만약 환원 불가능한 5진수가 모두 실수라면, 어떤 루트도 실수근의 관점에서 순수하게 표현될 수 없다. (2의 거듭제곱이 아닌 모든 다항식 차수에 대한 사실처럼)

급진주의를 넘어서

1835년경, 제라드는 실수 a에 대한 t + t - a = 0의 고유한⁵ 실수 근인 초라디칼(Bring radials라고도 함)을 사용하여 5진수를 풀 수 있다는 것을 증명했다.1858년 찰스 에르미트는 삼각함수에 의해 입방정식을 푸는 보다 친숙한 접근방식을 사용하여 자코비 세타 함수와 관련된 타원 모듈 함수의 관점에서 브링 래디컬을 특징지을 수 있다는 것을 보여주었다.비슷한 시기에, 레오폴드 크로네커는 그룹 이론을 이용하여, 프란체스코 브리오스키처럼 헤르미테의 결과를 도출하는 더 간단한 방법을 개발했다.이후 펠릭스 클라인은 에르미트의 해법에 나타난 이십면체, 갈로아 이론, 타원 모듈러 함수의 대칭을 연관짓는 방법을 고안해 냈고, 일반화된 초기하 ^[8]함수의 관점에서 그 자신의 해법을 개발했다.클라인에 의해 연구되고 이십면체 대칭 related 관련 기하학에서 논의된 것과 유사한 현상이 7도(정방정식)와 11도에서도 발생한다.

BRING RADIUS를 사용한 해결

4차 방정식을 풀어서 계산될 수 있는 치른하우스 변환은 형태의 일반적인 5차 방정식을 감소시킨다.

${\displaystyle x^{5}+a_{4}}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0,}$

x - x + t = 0인⁵ 경우.

이 방정식의 근원은 라디칼로는 표현할 수 없다.그러나 1858년 찰스 에르미트는 타원함수의 ^[9]관점에서 이 방정식의 첫 번째 알려진 해답을 발표했다.비슷한 시기에 프란체스코 브리오스키와^[10] 레오폴드 크로네커는^[11] 동등한 해결책을 찾아냈다.

이러한 솔루션 및 일부 관련 솔루션에 대한 자세한 내용은 Bring radical을 참조하십시오.

천체역학에 대한 응용

두 물체의 질량이 지워지지 않는 천문 궤도의 라그랑지안 점 위치를 푸는 것은 5차 해법을 포함한다.

두 대중의 세번째(예를 들어, 태양과 지구의 위성과 같은 지구 그리고 제임스 웹 우주 망원경에서 L2및 SOHO에서 L1)에 중력 위성의 구심력 제공하는 다음 방정식에, 동기 궤도에 있는 지구의 a과 함께 하기 위해 필요한 좀 더 정밀하게, L2및 L1의 위치 그 해결책round Sun:

${{displaystyle {GmM_{S}}{(R\pm r)^{2}}\pm {{Frac {GmM_{E}}{r^{2}}=m\obega ^{2}(R\pm r)}$

± 부호는 각각 L과₁ L에 해당하며₂, G는 중력 상수, θ각 속도, r 위성의 지구까지의 거리, R은 태양과 지구까지의 거리(즉, 지구 궤도의 반장축), m, M은_ES 위성, 지구 및 태양의 질량을 나타낸다.

케플러의 제3법칙 ${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$ 2 ${\displaystyle {}^{}}$ 4 ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ 2 ${\displaystyle \frac{{}^{}}{{}^{}}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}\frac{}{}G\frac{}{}}$ ( ${\displaystyle \frac{M_{}}{}}$ S${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{{}_{}{E}_{}}{}}$ ) ${\displaystyle \frac{{R\mathrm{}}^{}}{}}$3 ( \ $displaystyle \ omega$^{2}$= spec frac {4\pi$^{2}} =$spec$ frac ${G(M_{S}+M_{3E}})$

${\displaystyle ar^{5}+br^{4}+cr^{3}+dr^{2}+er+f=0}$

포함:

A=±(MS+ME), b-+(MS+ME)3R, c), d-+(ME∓ ME)R3( 바래usd)0f시 r L2), e)±ME2R4, f)∓ ME-R5{\displaystyle{\begin{정렬}&, a=\pm(M_{S}+M_{E}),\\&, b=+(M_{S}+M_{E})3(MS+ME)3R2±.R,\\&, c=\$PM(M_{S}+M_{E})3$$R^{2},\&d=+(M_{E}\mp M_{E})$$R^{3}\(L_{2$}의 경우$d=0\),\&e$=\$pm$ M_${E}2R^{4},\&f$=\$mp$ M_${E}R^{5}\end{aligned}}}.$

이 두 5진수를 풀면 l의 경우 r = 1.51 x⁹ 10 m, L의 경우₁ r₂ = 1.491 x 10⁹ m가 된다.태양-지구 라그랑지안 지점₂ L과₁ L은 보통 지구에서 150만 km 떨어져 있다.

작은 물체(M_E)의 질량이 큰 물체(M_S)의 질량보다 훨씬 작으면 5차 방정식을 크게 줄일 수 있으며₁, L과₂ L은 다음과 같이 구체의 대략적인 반지름에 있다.

${\displaystyle r{\sqrt[{3}}{\frac {M_{E}}}{3}M_{S}}}}}$

이는 또한 태양-지구 시스템의 L과₂ L에 있는₁ 위성의 경우 r = 1.5 x 10m를⁹ 산출한다.

「 」를 참조해 주세요.

• 육분방정식
• 패혈 기능
• 방정식 이론

메모들

레퍼런스

• Charles Hermite, "Sur la résolution de l'lequation du sinquéme degé", œvres de Charles Hermite, 2:5-21, Gauthier-Villars, 1908.
• 펠릭스 클라인, 이십면체와 5차 방정식의 해법에 대한 강의, 트랜스.조지 개빈 모리스, Trübner & Co., 1888ISBN 0-486-49528-0.
• 레오폴드 크로네커, "Sur la résolution de l'equiéme degré, extit d'une letre addressée m M"에르미트,"Comptes Rendus de l'Academie des Sciences, 46:1:1150–1152 1858.
• 블레어 스피어맨과 케네스 S.윌리엄스, "미국의 수학 월간지⁵, 101:986-992(1994년)"
• 이안 스튜어트, 갈로아 이론 제2판, 채프먼 앤 홀, 1989년ISBN 0-412-34550-1.일반 5분위의 불용성 증명을 포함하여 갈로아 이론을 전반적으로 논의합니다.
• Jörg Bewersdorff, 초보자를 위한 갈로아 이론: A historic perspecture, American Mathematical Society, 2006.ISBN 0-8218-3817-2.제8장(2010년 3월 31일 아카이브)에서는 5차 방정식의 해는 해결 가능한 5진수⁵ x + cx + d의 해법을 설명한다.
• 빅터 S.Adamchik과 David J. Jeffrey, "Tschirnhouse, Bring and Jerrard의 폴리옴 변환", ACM SIGSAM Bulletin, 제37권, 제3호, 2003년 9월, 페이지 90-94.
• 에렌프리드 발터 폰 치른하우스, "특정 방정식에서 모든 중간 용어를 제거하는 방법", ACM SIGSAM Bulletin, Vol. 37, No. 1, 2003년 3월, 페이지 1-3.
• Lazard, Daniel (2004). "Solving quintics in radicals". In Olav Arnfinn Laudal; Ragni Piene (eds.). The Legacy of Niels Henrik Abel. Berlin. pp. 207–225. ISBN 3-540-43826-2. Archived from the original on January 6, 2005.
• Tóth, Gábor (2002), Finite Möbius groups, minimal immersions of spheres, and moduli

외부 링크

• Mathworld - 5진수 방정식– 5진수를 푸는 방법에 대한 자세한 내용
• 해결 가능한 5진수 해결– David S에 의한 해결 가능한 5진수 해결 방법젠장.
• 주어진 방정식에서 모든 중간 용어를 제거하는 방법 - Tshirnhouse의 1683년 논문의 최근 영어 번역.