직교군

수학에서, $차원$ n의 직교 군(O $(n))$ 은 고정점을 보존하는 $차원$ n의 유클리드 공간의 거리 보존 변환 군이며, 여기서 군 연산은 변환을 합성함으로써 주어진다.직교 그룹은 일반 선형 그룹과 유추하여 일반 직교 그룹이라고 부르기도 합니다.마찬가지로, n×n 직교 행렬의 $군$ 이며, 여기서 군 연산은 행렬 곱셈에 의해 주어진다(직교 행렬은 역행렬의 전치 행렬과 같은 실행렬이다).직교 그룹은 대수 그룹과 Lie 그룹입니다.컴팩트합니다.

$차원$ n의 직교 그룹에는 두 개의 성분이 연결되어 있습니다.항등원소가 포함된 항등원소는 특수 직교 그룹이라고 하는 정규 부분군이며 SO $(n)$ 로 $표시$ 됩니다. $행렬식$ 1의 모든 직교 행렬로 구성됩니다.이 그룹을 회전 그룹이라고도 하며, 치수 2와 3에서 해당 요소는 점(치수 2) 또는 선(치수 3) 주위의 일반적인 회전입니다.저차원에서 이러한 그룹은 널리 연구되어 왔다. $SO($ $2), SO($ 3 $), SO$ (4 $)$ 를 참조한다.다른 성분은 행렬식 $-1$ 의 모든 직교 행렬로 구성됩니다.이 구성 요소는 두 요소의 곱이 결정식 1이므로 그룹을 형성하지 않는다.

확장으로, 임의의 $필드$ F에 대해서, 그 전치 역행렬과 같도록 $F$ 에 엔트리가 있는 n $\times n$ $행렬$ 을 F $위$ 의 직교 행렬이라고 한다. $n \times n$ 직교 행렬은 일반 $선형군$ $GL$ ( $n,$ $F)$ 의 O $($ $n,$ F $)$ 로 $표시$ 된 부분군을 형성한다.

\displaystyle \operatorname {O}(n,F)=\left\{Q\in\operatorname {GL}(n,F)\mid Q^{\mathsf {T}}=나는 옳다.}

보다 일반적으로, 필드 위의 벡터 공간에 비퇴화 대칭 쌍선형 형식 또는 2차^[1] 형식이 주어졌을 때, 형식의 직교 그룹은 형태를 보존하는 반전 선형 맵의 그룹이다.앞의 직교 그룹은 어떤 기준에서 쌍선형 형태가 점곱이거나 그에 상응하는 2차 형식이 좌표의 제곱합인 특수한 경우입니다.

형태를 보존하는 조건이 행렬의 등식으로 표현될 수 있기 때문에 모든 직교 그룹은 대수 군이다.

이름.

"직교 그룹"의 이름은 요소의 다음과 같은 특성에서 유래합니다. $차원$ n의 유클리드 벡터 $공간$ E가 주어졌을 때, $직교군$ O $(n)$ 의 요소는 균일한 스케일링(호모테시)까지 직교 벡터를 직교 벡터에 매핑하는 $E$ 에서 E까지의 선형 맵이다.

유클리드 기하학에서

$직교군$ O $($ $n)$ 는 일반 선형군 GL( $n,$ $R)$ 의 $부분군$ 이며, 유클리드 노름을 보존하는 모든 내형사상으로 구성되어 $\|g(x)\|=\|x\|.$ . 즉 $\|g(x)\|=\|x\|.$ $내형사$ g는 $\|g(x)\|=\|x\|.$ θ g ( $\|g(x)\|=\|x\|.$ ) $=$ x $\|g(x)\|=\|x\|.$ θ . $\|g(x)\|=\|x\|.$ { $디스플레이$ 스타일 \ $g(x)\ x\}$ 이다.

E $(n)$ 가 $차원$ n의 유클리드 $공간$ S의 유클리드 등각체의 군이라고 $하자$ .이 그룹은 같은 차원의 모든 유클리드 공간이 동형이기 때문에 특정 공간의 선택에 의존하지 않는다. $점$ x $δ$ S의 안정기 부분군은 g $(x)$ = $x$ 인 $요소$ g $δ$ E $(n)$ 의 부분군이다. 이 안정기는 점의 원점 선택이 유클리드 공간과 연관된 유클리드 벡터 공간 사이의 동형성을 유도하기 때문에 O $(n)$ 이다.

E $(n)$ 부터 O $(n)$ 까지 자연군 $동형사$ p가 존재하며, 이는 다음과 같이 정의된다.

p(g)(y-x)=g(y)-g(x)

여기서, 통상대로, 두 개의 점을 빼는 것은 두 번째 점을 첫 번째 점에 매핑하는 변환 벡터를 나타낸다.이것은 잘 정의된 동형사상입니다. 왜냐하면, 간단한 검증 결과, 두 개의 점 쌍이 같은 차이가 있는 경우, g에 $의한$ 이미지에 대해서도 마찬가지입니다(자세한 내용은 아핀 공간 subtract 뺄셈 및 Weyl의 공리를 참조하십시오).

$p$ 의 커널은 변환의 벡터 공간입니다.따라서 변환은 E $(n)$ 의 정규 부분군을 형성하고, 두 점의 스태빌라이저는 변환 작용 하에서 켤레이며, 모든 스태빌라이저는 O $(n)$ 와 동형이다.

게다가, 유클리드 그룹은 O $(n)$ 와 번역 그룹의 반직접 산물이다.따라서 유클리드 그룹의 연구는 본질적으로 O $(n)$ 의 연구로 환원된다.

특수 직교군

유클리드 벡터 공간의 직교 기저를 선택함으로써, 직교 그룹은 다음과 같은 행렬인 직교 행렬의 군(행렬 곱셈 아래)과 식별될 수 있다.

QQ^{\mathsf {T}}=I

이 방정식에서 Q의 $행렬식$ 의 제곱은 1이 $되고$ , 따라서 $Q$ 의 행렬식은 1 또는 $-1$ 이 $된다$ . $행렬식$ 1을 갖는 직교 행렬은 SO $(n)$ 라고 하는 특수 직교 군이라는 부분군을 형성하며, 공간의 방향을 보존하는 O $(n)$ 의 모든 직접 등각체로 구성됩니다.

$SO(n)$ 는 결정식의 커널로서 O(n)의 정규 부분군이다. SO( $n)$ 는 곱셈군 ${-1, +1$ }인 군 동형사상이다.또한 직교기는 SO $(n)$ 의 반직접 곱이며, 2개의 원소를 가진 군이다. 왜냐하면 어떤 $반사$ r이 주어질 때 하나는 $O (n)$ \ $SO (n$ ) $= r$ $SO ($ n)를 가지기 때문이다.

2개의 원소 {± $I$ }( $여기$ 서 I는 항등행렬)를 가진 그룹은 정규 부분군이며 O $(n)$ 의 특성 부분군이며, n이 짝수인 $경우$ SO $(n)$ 의 부분군이다.n이 홀수일 $경우$ O $(n)$ 는 SO $(n)$ 와 {± $I$ }의 내부 직접 곱이다.모든 양의 $정수$ k에 대해 k배 회전의 $순환군 k$ C는 O $(2)$ 와 SO( $2)$ 의 정규 부분군이다.

표준 형식

O $(n)$ 의 모든 원소에 대해 행렬이 다음 형태를 갖는 직교 기저가 있다.

{bmatrix} {\begin{matrix} R_{1} &\&\dots &\\&R_{k} \end {matrix} & 0 \ \ \ begin{matrix} \ pm 1 &\\\&\\pm 1 \end {matrix} {matrix}, \\\begin {m {m

여기서 $행렬 1$ R, $...,$ $R$ 은_k 2x2 회전 행렬이며, 이는 형태의 행렬이다.

(\displaystyle {bmatrix} a&b&a\end {bmatrix},

$a^{2}+b^{2}=1.$ $a^{2}+b^{2}=1.$ + $a^{2}+b^{2}=1.$ 2 $=$ . $a^{2}+b^{2}=1.$ {\ $display a^{2}+b^{2$ }= $1.$ $}$

이는 복소공역인 고유값을 다시 정리하고 직교행렬의 고유값의 절대값이 모두 1이라는 점을 고려하여 스펙트럼 정리에 의한 결과이다.

대각선에 짝수 $-1$ 이 있는 경우에만 요소는 SO $(n)$ 에 속합니다.

n = $3$ 의 $특별$ 한 경우는 오일러의 회전정리로 알려져 있는데, 이것은 SO( $3)$ 의 모든 (비-비-비-비-비-비-원소)가 고유한 축-각 쌍에 대한 회전이라고 주장한다.

리플리케이션

반사는 표준 $형식$ 이 다음과 같은 O( $n)$ 의 요소이다.

(\displaystyle\displaystyle\bmatrix)-1&0&\0&I\end {bmatrix},}

$여기$ 서 I는 $(n-1)\times(n-1)$ 항등 행렬이고, 0은 행 또는 열 0 행렬을 나타냅니다.즉, 반사란 초평면에 대한 미러 이미지의 공간을 변환하는 변환입니다.

차원 2에서는 모든 회전이 두 반사의 산물입니다.보다 정확하게는 각도 $θ$ 의 회전은 축이 $θ$ / $2인$ 2개의 반사의 곱이다.

O $(n)$ 의 모든 원소는 $최대$ n개의 반사의 산물이다.이는 위의 표준 형식과 2차원의 경우에서 바로 비롯됩니다.

카르탕-디오도네 정리는 이 결과를 2와 다른 특성 장에 걸쳐 비퇴생 2차 형식의 직교 군으로 일반화시킨 것이다.

원점(지도 v $µ$ -v $)$ 을 통한 반사는 $n개$ 미만의 반사의 곱이 아닌 O( $n) 요소$ 의 예이다.

구의 대칭군

직교 $그룹$ O $(n)$ 는 ( $n$ - $1)-$ 구(n = $3$ 의 $경우$ , 이것은 구면일 뿐)와 원점이 중심에서 선택되는 경우 구면 대칭을 가진 모든 물체의 대칭 그룹입니다.

원의 대칭군은 O( $2)$ 이다.방향 보존 $부분군$ SO $(2)$ 는 (실제 Lie 그룹으로) 절대값의 복소수 1의 곱셈 그룹인 U(1 $)$ 라고도 $알려진$ 원 그룹에 동형이다.이 동형식은 $절대값$ 1의 $복소수$ exp $(cos$ i)= $cos(cos)$ + $i$ sin(sin $)$ 을 특수 직교 행렬로 보낸다.

(\displaystyle {bmatrix(\varphi)\cos(\varphi)\sin(\varphi)\cos(\varphi)\end{bmatrix}).}

고차원에서 O $(n)$ 는 더 복잡한 구조를 가지고 있다(특히 더 이상 가환적이지 않다).n-sphere와 $O(n)$ 의 위상 구조는 강한 상관 관계가 있으며, 이 상관 관계는 두 위상 공간 연구에 널리 사용됩니다.

그룹 구조

$그룹 O ($ n)와 $SO ($ n)는 $차원$ n $(n -$ 1)/ $2$ 의 실제 콤팩트 Lie 그룹이다. $그룹$ O $(n)$ 에는 2개의 연결된 컴포넌트가 있으며 SO $(n)$ 는 ID 컴포넌트, 즉 ID 매트릭스를 포함하는 연결 컴포넌트가 있습니다.

대수군으로서

$직교군$ O $(n)$ 는 $A^{\mathsf {T}}A=I.$ $A^{\mathsf {T}}A=I.$ A $A^{\mathsf {T}}A=I.$ $.$ { $style A^{\mathsf$ { $T$ $}}A=I.}$ 이 $A^{\mathsf {T}}A=I.$ 방정식의 두 구성원은 대칭 행렬이므로 $\textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}$ $\textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}$ 은 $\textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}$ n ( $n$ + 1 $\textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}$ 2 {\ $displaystyle$ \textstyle ${+1$ }{displaystyle\textstyle A}{1}{1}{{}}}}}{{{{}}}}}}}}{{{{{}}}}}}}}{{{}}}}}}}}}{{}}}}}} $}}}}$ 개의 $\textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}$ 방정식은 직교 행렬의 엔트리가 모두 만족해야 하지만 비직교 행렬의 엔트리가 모두 만족하는 것은 아닙니다.

이것은 O $(n)$ 가 대수 집합이라는 $것$ 을 증명한다.게다가, 그 차원이 다음과 같은 것을 증명할^{[citation needed]} 수 있다.

{n(n-1)}{2}=n^{2}-{\frac {n(n+1)}{2}

즉, O( $n)$ 가 완전한 교차점임을 $의미$ 합니다.이는 모든 환원 불가능한 구성요소가 동일한 치수를 가지며 내장된 구성요소가 없음을 의미합니다.실제로 O $(n)$ 는 2개의 환원 불가능한 성분을 가지며, 이들은 결정인자 기호(det $(A)$ = $1$ $또는$ det $(A)$ = –1)로 구별된다.둘 다 같은 $차원$ n $(n -$ 1) / $2$ 의 비칭상 대수 변종이다. det $(A)$ = $1인$ 성분은 SO $(n)$ 이다.

최대 토리족 및 와일족

콤팩트 Lie군 G의 최대 토러스란 $T$ 와^k 동형인 k개의 최대 서브그룹이며, $여기$ 서 T $=SO(2)$ 는 표준 1차원 토러스이다.^[2]

O $(2n)$ 와 SO $(2n)$ 에서, 모든 최대 토러스에 대해, 토러스가 형태의 블록 대각 행렬로 구성된 기초가 있다.

{\displaystyle {bmatrix} R_{1}&\dots &\0&R_{n}\end {bmatrix},

여기서 $각 j$ R은 SO( $2)에 속한다$ .O $(2n$ $+ 1$ ) 및 $SO(2n$ $+ 1$ )에서 최대 토리는 동일한 형태를 가지며 행과 0의 열, 대각선의 1로 둘러싸여 있습니다.

평범한 초등abelian 2-subgroup고 T×{1}의 해당 서클 인자에 추론에 따르면{±1}n 행위의 각{±1}요소의 심상치 않은 요소가 되었고, 그 대칭 군 Sn는 대칭 군, 행위의 SO(2n+1)의 바일 그룹은 반직접 제품{±1}n⋊ Sn{\displaystyle\와 같이{1\\pm}^{n}\rtimes S_{n}}. 에{± $1} n$ 과 $($ 와) T × { $1$ }을(를) 모두 인자로 변환합니다.Weyl 그룹의 $원소는 O$ (2n) × {± $1$ } $행렬$ 로 표시됩니다. $S n$ 인자는 2x2 블럭이 있는 블럭 순열 행렬과 대각선에 있는 최종 1로 표시됩니다. ${\pm1} n$ 성분은 2x2 블록의 블록 대각 행렬로 표시됩니다.

({displaystyle} {bmatrix} 1 & 0 & 1 \ \ \ end { bmatrix } } {}}\ { text {or } \quad { bmatrix } ) 。

결정식 1을 만들기 위해 선택한 마지막 성분 ± $1$ .

SO(2n)의 바일 그룹은 서브 그룹 Hn− 1⋊ Sn<>{±1}nSn{\displaystyle H_{n-1}\rtimes S_{n}< ⋊.}그 SO(2n+1), Hn−1 &lt의 S_{n}\{\pm 1\}^{n}\rtimes는 불완전 변태의{±1}n은 커널{±1}n→{±1}ϵ 1⋯ϵ n{\displaystyle \le(ϵ 1,…,ϵ n)↦에 의해 주어집니다.피트(\epsilon_{ $1,\ldots ,\epsilon$ _ ${n}\right)\mapsto \epsilon$ _{ $1$ $}\n$ $cdots \epsilon$ _ ${n$ ; 즉, $H n -1$ < ${\pm1$ }는 짝수 마이너스 부호를 가진 서브그룹입니다.SO $(2n)$ 의 와일기는 SO $(2n +$ 1)의 와일기를 대표하는 표준 $주입$ SO $(2n)$ → $SO(2n$ +1)에 따른 사전 이미지로 SO( $2n$ $)$ 로 $나타낸다$ .Those matrices with an odd number of ${\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$ blocks have no remaining final $-1$ coordinate to make their determinants positive, and hence cannot be represented in $SO(2 n)$ .

토폴로지

저차원 토폴로지

저차원(실제) 직교 그룹은 익숙한 공간입니다.

$O(1) =$ $S 0$ , 2점 이산 공간
$SO(1) = {1}$
$SO(2)$ 는¹ S입니다.
$SO(3)$ 는³ RP
$SO(4)$ 는 SU $(2)$ × $SU(2) = S 3$ × $S$ 로³ 이중으로 커버된다.

기본 그룹

대수 위상의 관점에서, n > $2$ 에 $대하여$ $,$ $SO (n,$ R)의 기본 ^[4]그룹은 2차 순환이며, 스핀 $그룹$ Spin( $n)$ 은 그것의 보편적 커버이다.n = $2$ 의 $경우$ 기본 그룹은 무한 순환이고 범용 커버는 실제 라인에 해당합니다( $그룹$ Spin(2 $)$ 는 연결된 고유한 2중 커버입니다).

호모토피 그룹

일반적으로, 실직교군의 호모토피군 $δ k ($ O)는 구체의 호모토피군과 관련되기 때문에 일반적으로 계산하기 어렵다.그러나 포함 수열의 직접 한계로 정의된 안정적인 직교 그룹(무한 직교 그룹이라고도 함)의 호모토피 그룹을 계산할 수 있습니다.

\displaystyle \operatorname {O} (0)\operatorname {O} (1)\operatorname {O} (2)\cdots \cdots \operatorname {O} {k=0}^{\infty}\operatorname {O} (k)

포함이 모두 닫혀 있기 때문에, 따라서 공보정이 이루어지기 때문에, 이것은 결합으로도 해석될 수 있다.한편, $S$ 는ⁿ O $(n +1)$ 의 균일한 공간이며, 1개는 다음 파이버번들을 가지고 있습니다.

\operatorname {O} (n)\to \operatorname {O} (n+1)\to S^{n

$직교군$ O $(n +$ 1)는 $단위구 n$ S에서 횡방향으로 작용하며, 점의 안정제(단위 벡터로 생각됨)는 직교 보체의 직교군으로 1차원 아래이다.따라서 $자연포함$ O $(n)$ → $O(n$ +1)는 $(n - 1$ ) 연결되므로 호모토피 그룹은 안정되고, n $> k$ + $1$ 에 $대해$ $δ k (O(n) = δ k (O(n$ )): 안정공간의 호모토피 그룹은 불안정한 공간의 하위 호모토피 그룹과 같다.

Bott 주기성으로부터 $δO 8 δO$ 를 얻으므로, $O$ 의 호모토피 그룹은 8배 주기적이며, 이는 $δ k + 8$ ( $O) = δ k$ ( $O)$ 를 의미하며, 하위 8개의 호모토피 그룹만 나열하면 된다.

{signed}\pi _{0}(O)&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\pi _{2}(O) &= 0\pi {3O

KO이론과의 관계

파지구조를 통해 $안정$ 된 공간 O의 호모토피 그룹은 1: δ $(O$ ) = $δ k k + 1 (BO$ )의 치수 시프트로 구체상의 안정된 벡터 다발로 식별된다.KO $= BO$ × $Z$ = $δO -1$ × $Z$ ( $δ$ 를₀ 주기성에 적합하게 만들기 위해)를 $설정$ 하면 다음을 얻을 수 있다.

{\displaystyle {displaystyle} \pi _{0}(KO) &=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\pi _{2}(KO) &=\mathbf {Z} \pi {3} \pi

호모토피 그룹의 계산 및 해석

저차원 그룹

처음 몇 개의 호모토피 그룹은 저차원 그룹에 대한 구체적인 설명을 사용하여 계산할 수 있습니다.

방향보존₀/방향보존으로부터 θ( $O 0) = θ$ (O(1 $))$ = $Z$ /2Z(이 등급은 $O$ (2)까지 $존속$ 하므로 안정적으로 유지됨)
스핀인₁ $θ 3$ ( $O 1)$ = θ $($ $SO(3) = Z$ / $2Z$ 는 SO( $3$ ) = RP = $S 3 /(Z$ /2Z $)$ 에서 $나온다$ .
$θ (O 2)$ = $θ(SO(3)$ = $0$ , $θ(SO(4))$ 로₂ 돌출한다. $따라서 2$ 후자는 사라진다.

거짓말 그룹

Lie 그룹에 관한 일반적인 사실에서 $θ 2 (G)$ 는 항상 사라지고 $θ 3 (G)$ 는 자유(자유 아벨리안)이다.

벡터 번들

벡터 다발의 관점에서 $보면 0, δ ($ KO)는⁰ S 위의 벡터 다발, 즉 2점입니다.따라서, 각 점에 걸쳐, 다발은 사소하며, 다발의 비대응성은 두 점에 걸친 벡터 공간의 치수 차이이다. 따라서 $δ 0$ ( $KO)$ = $Z$ 는 차원이다.

루프 공간

Bott 주기성의 루프 공간에 대한 구체적인 설명을 사용하면 낮은 차수의 분석하기 쉬운 호모토피의 관점에서 O의 $높은$ 호모토피를 해석할 수 있다. $O$ 와 O $/U$ 는 ,를₀ 이용하여 KO $= BO$ × $Z$ 와 $KSp$ = $BSp$ × $Z$ 의 2가지 성분을 가지며, 나머지는 헤아릴 수 없을 정도로 많은 성분을 가지며, 나머지는 연결되어 있다.

호모토피 그룹의 해석

한마디로:^[5]

$((KO)$ = $Z$ 는₀ 치수 정도
$((KO)$ = $Z /2Z$ 는 방향성에 관한 것입니다₁.
$((KO)$ = $Z /2Z$ 는 스핀에 $관한 2$ 것
$▲(KO)$ = $Z$ 는 위상 양자장론에 관한 것이다₄.

$R$ 을 4분할 대수 $R$ , $C$ , $H$ , $O$ 중 하나로 하고, L을 $투영선 1$ RP 위의 동질선 다발로 $하고 R$ $,$ [ $L R]$ 을 K이론에서 등급으로 한다.RP = $S 1$ , $CP 1$ = $S 2$ , $HP 1$ = $S 4$ , $OP 1$ = $S$ 라는⁸ $점$ 에¹ 주목하면, 이것들은 해당하는 구에 걸쳐 벡터 묶음을 산출한다.

$① ($ KO $)$ 는 [L $]$ 에_R 의해 $생성$ 됩니다₁.
$① ($ KO $)$ 는 [L $]$ 에_C 의해 $생성$ 됩니다₂.
$① ($ KO $)$ 는 [L $]$ 에_H 의해 $생성$ 됩니다₄.
$① ($ KO $)$ 는 [L $]$ 에_O 의해 $생성$ 됩니다₈.

심플렉틱 지오메트리의 관점에서는 $안정$ 된₀₈ 라그랑지안 $그라스만니안$ 의 기본군 $δ 1$ $(U 7$ $/$ $O$ $),$ $so 1 =O(U 1+7)$ = $Z$ 를마슬로프 지수로 해석할 수 있다.

화이트헤드 타워

직교 그룹은 화이트헤드 타워를 고정합니다.

\displaystyle \rightarrow \operatorname {Fivebrane}(n)\rightarrow \operatorname {String}(n)\rightarrow \operatorname {SO}(n)\rightarrow \operatorname {O}(n)

순서는 증가하는 호모토피 그룹을 연속적으로 제거함으로써 얻을 수 있습니다.이는 호모토피 그룹이 제거되는 Eilenberg-MacLane 공간에서 시작하는 짧은 정확한 시퀀스를 구성함으로써 수행됩니다.타워의 처음 몇 개의 엔트리는 스핀 그룹과 스트링 그룹이며, 그 앞에 5브레인 그룹이 있습니다.죽은 호모토피 그룹은 차례로 $δ$ ₀(O)가 O로부터 SO를 얻고, $δ$ ₁(O)가 SO로부터 Spin을 얻고, $δ$ ₃(O)가 Spin에서 String을 얻고, 다음으로 δ₇(O)가 고차 브랜들을 얻는다.

실수에 대한 부정 2차 형식의

실수에 걸쳐, 비퇴생 2차 형식은 실베스터의 관성의 법칙에 의해 분류된다. 실베스터의 관성의 법칙은 $차원$ n의 벡터 공간에서, 그러한 형태는 $p$ 의 제곱합과 $q$ 의 제곱합의 차이로 $쓰여질$ 수 있으며, $p$ + $q$ = n이다.즉, 2차 형식의 행렬이 대각행렬이며 $p엔트리$ 는 $1$ 이고 q엔트리는 $-1이다.$ 관성이라고 불리는 쌍 $(p,$ q)은 대각 행렬 계산 방법에 의존하지 않는다는 점에서 2차 형식의 불변량입니다.

2차 형식의 직교 그룹은 관성에만 의존하므로 일반적으로 O $(p,$ q)로 $표시$ 됩니다.또한 2차 형식과 그 반대편이 같은 직교 그룹을 가지므로 O $(p,$ q) = $O(q,$ $p)$ 이다.

표준 직교 그룹은 O $(n)$ = $O(n, 0) = O(0,$ $n)$ 입니다.따라서 이 섹션의 나머지 부분에서는 $p$ 도 q도 $0$ 이 아니라고 가정합니다.

O $(p,$ q)에서 행렬식 1의 부분군은 SO $(p,$ q)로 표기된다. $그룹$ O $(p,$ q)는 요소가 2차 형식이 양의 유한 또는 음의 유한인 두 개의 최대 부분 공간 중 하나에서 방향을 유지하느냐에 따라 네 개의 연결된 구성요소를 가집니다.두 하위 공간에서 방향을 유지하는 요소를 가진 ID의 구성요소는 SO $(p,$ q)로⁺ 표시됩니다.

$O군(3,$ 1)은 상대성 이론의 기초가 되는 로렌츠 군이다.여기서 $3$ 은 공간 좌표에 $대응$ 하고 1은 시간 좌표에 대응합니다.

복잡한 2차 형식의

복소수 필드 C에서, n 변수의 $모든$ 비퇴화 2차 형식은 x $x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}$ + $x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}$ + x $x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}$ 2 $x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}$ ({ $displaystyle x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^2$ 와 같다. 따라서, 동형사상까지, 차원 $n$ 의 비퇴화 복소 2차 공간은 보통 1개이고, $직교군인$ $C$ 는 $1개$ 이다.이것은 복소 직교 행렬의 그룹이며, 전치 산물이 항등 행렬인 복소 행렬입니다.

$실제$ 경우와 마찬가지로 O $(n,$ $C)$ 에는 2개의 컴포넌트가 접속되어 있습니다.항등식의 성분은 $O(n$ , $C)$ 에서 $행렬식$ 1의 모든 행렬로 구성되어 있으며 SO $(n,$ $C)$ 로 표기된다.

$그룹 O (n,$ C)와 $SO (n,$ C)는 $치수$ n $(n -$ 1)/ $2가$ $C$ 보다 복잡한 Lie 그룹이다(R $위$ 의 치수는 그 2배).n $2$ 2의 $경우$ 이들 그룹은 비콤팩트합니다.실제와 같이 SO $(n,$ $C)$ 는 단순히 연결되어 있지 않습니다.n > $2$ 의 $경우$ $,$ SO( $n,$ $C)$ 의 기본 그룹은 2차 순환이며 $,$ SO(2, $C)$ 의 기본 그룹은 $Z$ 이다.

유한 필드 이상

2와 다른 특징

두 가지와는 다른 특성의 장에서, 두 개의 2차 형식은 행렬이 일치할 경우, 즉 기저의 변화가 첫 번째 형태의 행렬을 두 번째 형태의 행렬로 변환하는 경우 등가입니다.두 개의 동등한 2차 형식은 명백히 동일한 직교 그룹을 가집니다.

2와 다른 특성의 유한장에 걸친 비퇴화 2차 형태는 완전히 일치 클래스로 분류되며, 이 분류에서 홀수 차원에는 직교 그룹이 하나이고 짝수 차원에는 두 개밖에 없다는 결과가 된다.

좀 더 정확히 말하면, 위트의 분해 정리는 (2와 다른 특성에서) 비퇴화 $2차$ 형식 Q를 갖춘 모든 벡터 공간이 쌍으로 된 직교 부분 공간의 직합으로 분해될 수 있다고 주장한다.

V=L_{1}\oplus L_{2}\oplus \cdots \oplus L_{m}\oplus W,

$여기$ 서_i 각 L은 쌍곡면(즉, Q $to i$ L $제한$ 행렬이 [ $\textstyle {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$ 1 $\textstyle {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$ $](\$ 의 형태를 갖는 기초가 있으며, Q $to$ W $제한$ 은 모든 QW에 대해 $이방성$ ( $즉$ , 0 $)$ 이다 $.$

체벌리-경고정리는 유한장에 $걸쳐$ W의 차원은 최대 2라고 주장한다.

$V$ 의 치수가 홀수일 경우 $W$ 의 치수는 1이며 행렬은 [ $\textstyle {\begin{bmatrix}\varphi \end{bmatrix}},$ $](\displaystyle \textstyle {bmatrix}1\end$ {bmatrix $})$ 또는 $\textstyle {\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}$ $\textstyle {\begin{bmatrix}\varphi \end{bmatrix}},$ [ $]](\displaystyle$ \ $begin$ {bmatrix $}\varphi$ \ $end$ {bmatrix $})$ 에 $\textstyle {\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}$ 일치합니다. $여기$ 서 스칼라 스칼라:결과적으로 O $(2n$ +1 $, q$ )로 $표시$ 되는 직교 그룹은 하나뿐입니다. $여기$ 서 q는 유한 필드의 요소 수(홀수 ^[6]소수의 거듭제곱)입니다.

만약 $W$ 의 치수가 2이고 $-1$ 이 지면장의 정사각형이 아니라면(즉, $원소수$ q가 3 모듈로 4와 일치한다면), Q $to$ $W$ 의 제한행렬은 I 또는 $-I$ 중 $하나$ 에 해당하며, 여기서 $나$ 는 2×2 항등행렬이다. $W$ 의 치수가 2이고 $-1$ 이 그라운드 필드 내의 정사각형(즉, q가 1과 $일치$ 하면 모듈로 4), Q $to$ W의 $제한$ $\textstyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&\phi \end{bmatrix}},$ 은 [ $\textstyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&\phi \end{bmatrix}},$ 0 ${\],$ { $display$ style $\be {matrix}1&0\0&phi \end {b}$ $\textstyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&\phi \end{bmatrix}},$ $\textstyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&\phi \end{bmatrix}},$ 일치합니다.

즉, $V$ 의 차원이 짝수인 경우 W의 $차원$ 이 0인지 2인지에 따라 직교 그룹이 두 개뿐임을 의미합니다.이들은 $각각 + O$ ( $2n,$ q) $및 -$ O $(2n,$ ^[6] $q$ )로 표시됩니다.

$직교군 ϵ$ O( $2, q$ )는 2 $(q$ $- θ$ )의 이면체군이며, 여기서 $θ$ = $\pm$ 이다.

증명

O( $2, q$ )의^ϵ 직교 그룹을 연구하기 위해, 2차 형식의 행렬은 Q $Q={\begin{bmatrix}1&0\\0&-\omega \end{bmatrix}},$ [ $Q={\begin{bmatrix}1&0\\0&-\omega \end{bmatrix}},$ $Q={\begin{bmatrix}1&0\\0&-\omega \end{bmatrix}},$ - $Q={\begin{bmatrix}1&0\\0&-\omega \end{bmatrix}},$ $Q={\begin{bmatrix}1&0\\0&-\omega \end{bmatrix}},$ , $Q={\begin{bmatrix}1&0\\0&-\omega \end{bmatrix}},$ { $displaystyle$ Q = $be$ begin { $bmatrix }1&0\0&-\Omega$ \ $end {bmatrix}}$ 라고 $Q={\begin{bmatrix}1&0\\0&-\omega \end{bmatrix}},$ 가정할 수 있다. 왜냐하면 2차 형식이 주어진 행렬은 대각선화 가능하기 때문이다. $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ A $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ [ $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ $]$ { $displaystyle$ A = $bmatrix$ } $a&b\c&d\end {bmatrix}}$ 는 $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ $AQA^{\text{T}}=Q,$ $AQA^{\text{T}}=Q,$ $AQA^{\text{T}}=Q,$ $AQA^{\text{T}}=Q,$ 직교 그룹에 속합니다 $.{$ $displaystyle$ AQA^ { \ $text$ } $T}}=Q,}$ $AQA^{\text{T}}=Q,$ a – $b 2$ b = $1$ , $ac$ – $b$ bd = $0$ $및 2$ c – $d 2$ d = – $d$ 입니다. $a$ 와 b는 둘 다 0일 수 없기 $때문$ 에(첫 번째 방정식 때문에), 두 번째 방정식은 $f$ 에서_q $c$ = $θb$ 및 d = $θa$ 의 $존재$ 를 암시한다.세 번째 방정식으로 이러한 값을 보고하고 첫 번째 방정식을 사용하면 $θ 2$ = 1이 되고, 따라서 직교 그룹은 행렬로 구성됩니다.

(\displaystyle\displaystyle\displaystyle\bmatrix\ilon\mega b&\ilon a\end{bmatrix})

$여기$ 서² a – $µb 2$ = $1$ , $µb$ = ± $1$ 이다.또한 행렬의 행렬식은 $θ$ 이다.

직교군을 더욱 연구하기 위해서는 $θ$ 의 $제곱근α$ 를 도입하는 것이 편리하다.직교 그룹이 O( $2,$ q)인⁺ $경우$ 이 제곱근은 $F$ 에_q 속하고 그렇지 않은 경우 $F$ 에_q² 속합니다.x $= a$ + $αb$ 및 $y$ $= a$ - $αb$ 로 $설정$ 하면 다음과 같이 됩니다.

({displaystyle xy=1,\qquad a=sublicfrac {x+y}{2}}\qquad b=sublicfrac {x-y}{2\alpha}}).}

A1컵[1b1ω b11]{\displaystyle A_{1}={\begin{bmatrix}a_{1}&, b_{1}\\\omega b_{1}&, a_{1}\end{bmatrix}}}과 2)[2b2ω b22]{\displaystyle A_{2}={\begin{bmatrix}a_{2}&, b_{2}\\\omega b_{2}&, a_{2}\end{bmatrix}}}두 매트.determi의 밥직교 그룹에 있는 nant 1.

A_{1}A_{2}=bgin{1}a_{1}a_{2}+\obega b_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}\\\\\obega b_{1}a_{1}a_{1}\\\\b_{2}

${\begin{bmatrix}a&b\\\omega b&a\end{bmatrix}},$ 은 a $= aa 12$ + $µbb 12$ 및 $b$ $= ab 12$ + $ba$ 인₁₂ 직교행렬 ${\begin{bmatrix}a&b\\\omega b&a\end{bmatrix}},$ [ $]$ , { $displaystyle$ { $bmatrix} a&$ b\\ $displaystyle b&a\end {bmatrix}}$ 이다 ${\begin{bmatrix}a&b\\\omega b&a\end{bmatrix}},$ .따라서

({displaystyle a+\alpha b=(a_{1}+\alpha b_{1})(a_{2}+\alpha b_{2}).}

따라서 지도 $(a,b)\mapsto a+\alpha b$ ( $(a,b)\mapsto a+\alpha b$ $(a,b)\mapsto a+\alpha b$ + $(a,b)\mapsto a+\alpha b$ b { $displaystyle (a, b)\mapsto$ a $+\alpha$ b $}$ 는 $(a,b)\mapsto a+\alpha b$ 결정식 1의 직교 행렬군을 $F$ 의_q² 곱셈기로 동형한다.

O $(2n, q$ )의⁺ 경우, 화상은 $순서$ q의 주기군인 $F$ 의_q 곱셈군이다.

O $(2n, q$ )의^– 경우, $상기$ $x$ 와 y는 켤레이며, 따라서 프로베니우스 자기동형에 의한 서로의 상이다.즉, y $y=x^{-1}=x^{q},$ - $y=x^{-1}=x^{q},$ $=$ $y=x^{-1}=x^{q},$ q $,$ {{ $displaystyle$ y $=x^{-1$ }= $x^{q}},$ $x^{q+1}=1.$ x $x^{q+1}=1.$ q + $x^{q+1}=1.$ . $x^{q+1}=1.$ { $displaystyle$ x $^{q+1$ }= $1$ 을 $y=x^{-1}=x^{q},$ 합니다.} 이러한 $x^{q+1}=1.$ $x$ 마다 대응하는 직교 행렬을 재구성할 수 있다 $.$ $(a,b)\mapsto a+\alpha b$ 맵 $(a,b)\mapsto a+\alpha b$ $(a,b)\mapsto a+\alpha b$ $(a,b)\mapsto a+\alpha b$ + $(a,b)\mapsto a+\alpha b$ b \ $displaystyle (a,$ b) \ $mapsto$ a+\ $alpha$ b $}$ 는 $(a,b)\mapsto a+\alpha b$ 결정식 1의 직교 행렬에서 통합의 $(q$ $+ 1$ )근까지의 군 동형이다.이 그룹은 g $g^{q-1},$ - $1$ 의 거듭제곱으로 이루어진 차수 $q$ + 1의 $순환군$ 이다. $여기$ 서 g는 F의 $원시 q 2$ 원소이다.

증명을 마치기 위해, 모든 직교 행렬이 아벨 행렬이 아니며, { $1, -$ 1 $}$ 군과 행렬식 1의 직교 행렬의 반직접 곱임을 확인하는 것으로 충분하다.

이 증거를 실제 사례와 비교하면 분명해질 수 있습니다.

여기에서는, 다음의 2개의 그룹 동형이 관련합니다.

{begin{aligned}\mathbb {Z} /(q+1)\mathbb {Z} &\to T\k&\mapsto g^{(q-1)k},\end{aligned}}

$여기$ 서 g는 F의 $원시 q 2$ $원소$ 이고 T는 F의 $노름 q 2$ 원소의 곱셈군이다.

{begin{aligned}\mathbb {T}&\to \operatorname {SO}^{+}(2,\mathbf {F}_{q})\x&\map to {begin{bmatrix}a&b\\mapto b&a\mapto {bmap

$a={\frac {x+x^{-1}}{2}}$ $a={\frac {x+x^{-1}}{2}}$ + $a={\frac {x+x^{-1}}{2}}$ - $a={\frac {x+x^{-1}}{2}}$ {{ $display$ a = $specfrac$ $b={\frac {x-x^{-1}}{2\alpha }}.$ { $x+x^{-1}}$ { $2}}$ $b={\frac {x-x^{-1}}{2\alpha }}.$ b $b={\frac {x-x^{-1}}{2\alpha }}.$ - $b={\frac {x-x^{-1}}{2\alpha }}.$ - $b={\frac {x-x^{-1}}{2\alpha }}.$ $b={\frac {x-x^{-1}}{2\alpha }}.$ α $.$ {{ $display$ b $b={\frac {x-x^{-1}}{2\alpha }}.$ = $specfrac$ { $x-x^{-1}} {$ 2\alpha $}}}}$ 로 지정합니다. $}$

실제의 경우, 대응하는 동형사상은 다음과 같습니다.

(\displaystyle {begin{aligned}\mathbb {R} / 2\pi \mathbb {R} &\to C\theta &\mapsto e^{i\theta},\end {aligned})

$여기$ 서 C는 노름 1의 복소수의 원이다.

(\displaystyle {begin {C}\to \operatorname {SO}(2,\mathbb {R})\x&\mapto\cos \theta &\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}\cos\cos \theta \sin \theta \ta \end {b{b {brap}) 정렬됨

cos $\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$ $\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$ $\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$ $\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$ $\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$ - i $\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$ = $\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$ e - $\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$ $\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$ 2 { $displaystyle \ cos$ \theta $=$ e $^ {$ $\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}.$ \ $theta$ } + $e$ ^ { - i \ $theta }}$ {2 $}$ 및 $\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}.$ $\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}.$ - $\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}.$ - $\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}.$ = $\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}.$ i . $displaystyle$ \ $ta$ = $frac$ { frac } { e $\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}.$ } { displaystyle } { e }입니다 $\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$ . $}$

특성이 2가 아닐 경우 직교 그룹의^[7] 순서는 다음과 같습니다.

\displaystyle \left \operatorname {O} (2n+1,q)\right = 2q^{n^{2}\flight _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right)

\displaystyle \left \operatorname {O}^{+}(2n,q)\right =2q^{n(n-1)}\left(q^{n}-1\right)\displaystyle _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right)}

\displaystyle \left \operatorname {O}^{-}(2n,q)\right =2q^{n(1)}\left(q^{n}+1\right)\left(q^{2i}-1\right).}

특성 2에서는 O $\left|\operatorname {O} (2n+1,q)\right|$ ( 2 $\left|\operatorname {O} (2n+1,q)\right|$ + $\left|\operatorname {O} (2n+1,q)\right|$ , $\left|\operatorname {O} (2n+1,q)\right|$ $\left|\operatorname {O} (2n+1,q)\right|$ 의 $\left|\operatorname {O} (2n+1,q)\right|$ 2를 제거해야 한다는 점을 제외하고 수식은 동일합니다.{ $displaystyle \left \operatorname {O}$ ( $2n+1,q)\right }$ 을 $\left|\operatorname {O} (2n+1,q)\right|$ (를) 제거해야 합니다.

딕슨 불변량

직교 그룹의 경우, 딕슨 불변량은 직교 그룹에서 몫 $그룹$ Z/ $2Z$ (정수 모듈로 2)로의 동형사상으로, 원소가 짝수 반사의 곱인 경우 값 0을 취하며,^[8] 그렇지 않은 $경우$ 값 1을 취합니다.

대수적으로 딕슨 불변량은 D $(f)$ = $랭크(I$ - $f) 모듈로 2$ 로 $정의$ 할 수 있다. 여기서 $I$ 는 항등식이다(테일러 1992, 정리 11.43).특성 2가 아닌 필드에서는 행렬식과 같습니다. 행렬식은 딕슨 불변의 제곱에 -1입니다.특성 2의 필드 전체에 걸쳐, 행렬식은 항상 1이므로, 딕슨 불변성은 행렬식보다 더 많은 정보를 제공합니다.

특수 직교 그룹은 딕슨 불변량의^[8] 커널이며 일반적으로 O $(n,$ $F)$ ^[9]에 $지수$ 2가 있습니다.F의 $특성$ 이 2가 아닌 경우 Dickson 불변량은 행렬식이 $1일$ 때마다 0이 $됩니다$ .따라서 특성이 2가 아닐 때 SO $(n,$ $F)$ 는 $일반적$ 으로 $결정식$ 1을 갖는 O $(n,$ $F)$ 의 원소로 정의된다.O $(n,$ $F)$ 의 각 요소는 행렬식 $\pm1$ 을 가진다.따라서 특성 2에서 행렬식은 $항상$ 1입니다.

딕슨 불변량은 (모든 차원에서) 유사한 방법으로 클리포드 그룹과 핀 그룹에 대해 정의할 수도 있다.

특성 2의 직교 그룹

특징적인 2개의 직교 그룹의 필드에서는 종종 특수한 동작이 나타나며, 그 중 일부는 이 섹션에 기재되어 있습니다(이러한 그룹은 이전에는 하이포아벨리안 그룹으로 알려져 있었지만, 이 용어는 더 이상 사용되지 않습니다).

벡터 공간이 2개의 요소를 가진 필드 위에 4차원이고 Witt 지수가 ^[10]2인 고유한 예를 제외하고, 모든 필드 위의 직교 그룹은 반사에 의해 생성된다.특성 2의 반사는 약간 다른 정의를 가지고 있다.특성 2에서 $벡터$ u에 직교하는 반사는 벡터 $v$ ~ $v + B (v, u)/Q(u)\cdot u$ 를 취한다. $여기$ 서 B는 $쌍선형형$ 이고^{[clarification needed]} Q는 직교기하학에 관련된 2차형이다.이를 홀수 특성 또는 특성 0의 세대주 반영과 비교하면 v에서 $v$ - $2\cdot B (v,$ u)/ $Q (u)$ · u가 $된다$ .
직교 그룹의 중심은 I = $-I$ 이므로 $일반적$ 으로 특성 2에서 순서 1을 가집니다.
특성 2의 홀수 차원 $2n$ + $1$ 에서, 완전 장에 걸친 직교 그룹은 차원 $2n$ 의 심플렉틱 군과 같다.사실 대칭 형태는 특성 2에서 교대로 존재하며, 차원이 홀수이므로 반드시 차원 1의 커널을 가져야 하며, 이 커널에 의한 몫은 직교 그룹에 의해 작용되는 차원 $2n$ 의 심플렉틱 공간이다.
특성 2의 짝수 차원에서는 2차 형식의 대칭 쌍선형 형태도 교대 형태이기 때문에 직교군은 심플렉틱 그룹의 부분군이다.

스피너 노름

스피너 노름은 $필드$ F 위의 직교 군에서 $몫군 \times F/(2 F \times$ )(필드 F의 제곱 요소에 의한 곱셈까지의 곱셈 군)에 이르는 동형사상으로, $노름$ n의 벡터에서 F $/(F \times) 2$ ^[11]의^× n의 $이미지$ 로 반사를 취한다.

실수에 대한 일반적인 직교 그룹의 경우, 이것은 사소하지만 다른 필드에는 사소하지 않은 경우가 많으며, 2차 형식의 직교 그룹의 경우 양의 확정값이 아닙니다.

갈로아 코호몰로지 및 직교군

대수군의 갈로아 코호몰로지 이론에서는 몇 가지 추가적인 관점이 소개된다.그들은 특히 2차 형식의 이론과 관련하여 설명적인 가치를 가지고 있다; 그러나 현상의 발견에 관한 한 대부분의 경우 임시방편이었다.첫 번째 점은 한 장에 걸친 2차 형식이 $갈로아 1$ H 또는 직교 그룹의 비틀린 형태(토르)로 식별될 수 있다는 것입니다.대수군으로서, 직교 그룹은 일반적으로 연결되거나 단순하게 연결되지 않습니다. 후자의 점은 스핀 현상을 가져오지만, 전자는 결정식과 관련이 있습니다.

스피너 노름의 'spin' 이름은 스핀 그룹(더 정확히는 핀 그룹)에 대한 연결로 설명할 수 있습니다.이것은 이제 갈로아 코호몰로지에 의해 빠르게 설명될 수 있다(그러나 클리포드 대수의 보다 직접적인 사용에 의해 그 용어의 도입 이후).직교 그룹의 스핀 커버는 대수 그룹의 짧은 정확한 시퀀스를 제공합니다.

1\rightarrow \mu _{2}\rightarrow \mathrm {Pin}_{V}\rightarrow 1

$여기$ 서₂ μ는 1의 제곱근의 대수군이다; 2가 아닌 특징의 장에 걸쳐 그것은 사소한 갈로아 작용을 가진 2원소 군과 거의 같다.H $(μ 2)$ 는 필드 모듈로 제곱의 곱셈기와 동형이기 $때문$ 에¹ 단순히 F 값 점의 군 O $(F)$ 인_V H $(O V)$ 에서⁰ H $(μ 2)$ 로의¹ 연결 동형은 본질적으로 스피너 노름이다.

직교 그룹의 $H$ 에서¹ 스핀 피복의 커널의 $H$ 로의² 연결 동형도 있다.코호몰로지는 비벨론적이기 때문에 적어도 기존의 정의로는 가능한 한 멀리 갈 수 있습니다.

리 대수

Lie $그룹$ O $(n,$ $F)$ 및 $SO(n,$ $F)$ 에 대응하는 Lie 대수는 정류자에 의해 주어진 Lie 괄호 $[,$ ]와 함께 $스큐-대칭$ n × $n$ 행렬로 구성됩니다.하나의 Lie 대수는 두 그룹 모두에 해당합니다.It is often denoted by ${\mathfrak {o}}(n,F)$ or ${\mathfrak {so}}(n,F)$ , and called the orthogonal Lie algebra or special orthogonal Lie algebra.실수에서, $다른$ n에 대한 이러한 리 대수는 반단순 리 대수의 네 패밀리 중 두 개의 콤팩트 실재 형태이다. 즉, 홀수 $차원 k$ B에서는 $n$ = $2k$ + $1$ 이고 짝수 $차원 r$ $D$ 에서는 n = $2r$ 이다.

SO $(n)군$ 은 단순하게 연결되어 있지 않기 때문에 직교 리 대수의 표현 이론은 직교군의 통상적인 표현에 대응하는 표현과 직교군의 투영 표현에 대응하는 표현을 모두 포함한다.(SO $(n)$ 의 $투영$ 표현은 범용 커버, 스핀 그룹 Spin(n)의 선형 표현일 뿐입니다.)후자는 소위 스핀 표현으로, 물리학에서 중요합니다.

보다 일반적으로, 벡터 $공간$ V $($ 이 2와 같지 않은 필드 위)가 비퇴축 대칭 쌍선형 $(\cdot ,\cdot )$ , , $(\cdot ,\cdot )$ )인 경우 $(\$ $displaystyle$ $(\cdot ,\cdot )$ ( \ $cdot$ , \ $cdot$ $(\cdot ,\cdot )$ 특수 직교 리 대수는 이 대칭의 스큐 내형상 $\phi$ {\( \ $displaystyle \phi)$ 으로 구성된다 $\phi$ .rm $(\phi A,B)+(A,\phi B)=0$ ( " $(\phi A,B)+(A,\phi B)=0$ , $(\phi A,B)+(A,\phi B)=0$ B $(\phi A,B)+(A,\phi B)=0$ ) $(\phi A,B)+(A,\phi B)=0$ + ( $(\phi A,B)+(A,\phi B)=0$ , " $(\phi A,B)+(A,\phi B)=0$ ) $(\phi A,B)+(A,\phi B)=0$ { $displaystyle$ ( \ $phi$ A , B ) + ( A , \ $phi$ B ) = $0$ } $(\phi A,B)+(A,\phi B)=0$ 。특성 2의 장에 걸쳐 우리는 대신 교대 내형성을 고려한다.구체적으로는 교류 텐서 $(\displaystyle \Lambda ^{2}V$ 와 동일시할 수 있습니다.통신 내용은 다음과 같습니다.

\displaystyle v\mapsto (v,\cdot)w-(w,\cdot)v}

이 설명은 부호 $(p,q)$ q $)$ { $displaystyle$ (p ${\mathfrak {so}}(p,q)$ $(p,q)$ $)}{displaystyle (p,q)}{$ displaystyle ( ${\mathfrak {so}}(p,q)$ ,q $(p,q)$ displaystyle (p,q)}{displaystyle (p $,q)}$ 의 ${\mathfrak {so}}(p,q)$ 대칭 쌍선형 형태에 대해 ${\mathfrak {so}}(p,q)$ 하게 적용됩니다.

실수에 대한 이 특성화는 벡터장(자연적으로 2-벡터)의 컬을 극소 회전 또는 "컬"로 해석하는 데 사용됩니다.

주 균질 공간:스티펠 다양체

직교 $그룹$ O $(n)$ 에 대한 주요 균질 공간은 직교 기저(정규 n-프레임)의 스티펠 $다양체 n$ V $(R n)$ 이다.

즉, 직교 기저의 공간은 직교 군과 같지만, 기준점의 선택권이 없다.직교 공간이 주어지면, 직교 기저의 자연적 선택은 없지만, 일단 1이 주어지면, 베이스와 직교 군 사이에 일대일 대응이 생긴다.구체적으로는, 선형 맵은, 베이스의 송신지에 의해서 결정됩니다.역할 수 있는 맵이 다른 베이스에 어떠한 베이스도 취할 수 있듯이, 직교 맵은 다른 직교 베이스에 어떠한 직교 베이스도 취할 수 있습니다.

불완전한 직교 기저(직교 정규 k-프레임)의 k < $n$ 에 $대한$ 다른 $스티펠 k$ 다양체 $V n ($ R)는 여전히 직교 그룹을 위한 동질 공간이지만 주요 동질 공간은 아니다. 모든 k-프레임은 직교 지도에 의해 다른 k-프레임으로 이동할 수 있지만 이 맵은 고유하게 결정되지 않았다.

「」를 참조해 주세요.

특정 변환

특정 그룹

회전 그룹, SO(3, R)
SO(8)

그룹 목록

표현 이론

메모들

^ 콤팩트 공간의 무한 부분 집합은 누적점을 가지며 이산적이지 않습니다.
^ $O(n) gl$ GL( $n,$ $Z)$ 는 부호화된 치환 행렬과 같다. 왜냐하면 노름 1의 정수 벡터는 반드시 $\pm1$ 이어야 한다. (만약 그것이 두 개의 0이 아닌 엔트리를 가지고 있거나 더 큰 엔트리를 가지고 있다면, 노름은 1보다 클 것이다.) 그리고 직교 행렬에서 이러한 엔트리는 다른 좌표여야 한다. 이것은 정확히 부호화된 치환 행렬이다.s.
^ 홀수 차원에서는 SO $(2k$ $+ 1) p$ PSO $(2k$ $+ 1$ )는 $중심$ 없음(단순히 연결되지 않음)이며, 짝수 $차원$ 에서는 SO $(2k)$ 는 중심 없음 또는 단순하게 연결되어 있지 않습니다.

인용문

^ 특성이 2가 아닌 기저장의 경우 대칭 쌍선형 형식의 정의는 2차 형식의 정의와 동일하지만 특성 2에서는 이러한 개념이 다르다.
^ 홀 2015 정리 11.2
^ 홀 2015 섹션 1.3.4
^ Hall 2015 Proposition 13.10
^ John Baez "이번 주 수학 물리학의 발견" 105주
^ ^a ^b Wilson, Robert A. (2009). The finite simple groups. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 251. London: Springer. pp. 69–75. ISBN 978-1-84800-987-5. Zbl 1203.20012.
^ (테일러 1992, 페이지 141)
^ ^a ^b Knus, Max-Albert (1991), Quadratic and Hermitian forms over rings, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 294, Berlin etc.: Springer-Verlag, p. 224, ISBN 3-540-52117-8, Zbl 0756.11008
^ (테일러 1992, 160페이지)
^ (Grove 2002, 정리 6.6 및 14.16)
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레퍼런스

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Taylor, Donald E. (1992), The Geometry of the Classical Groups, Sigma Series in Pure Mathematics, vol. 9, Berlin: Heldermann Verlag, ISBN 3-88538-009-9, MR 1189139, Zbl 0767.20001

외부 링크

"Orthogonal group", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
John Baez "이번 주 수학 물리학의 발견" 105주
옥토니언스의 존 배즈
(이탈리아어) n차원 특수 직교 그룹 매개변수 조정

[12] 콤팩트 공간의 무한 부분 집합은 누적점을 가지며 이산적이지 않습니다.

[13] $O(n) gl$ GL( $n,$ $Z)$ 는 부호화된 치환 행렬과 같다. 왜냐하면 노름 1의 정수 벡터는 반드시 $\pm1$ 이어야 한다. (만약 그것이 두 개의 0이 아닌 엔트리를 가지고 있거나 더 큰 엔트리를 가지고 있다면, 노름은 1보다 클 것이다.) 그리고 직교 행렬에서 이러한 엔트리는 다른 좌표여야 한다. 이것은 정확히 부호화된 치환 행렬이다.s.

[14] 홀수 차원에서는 SO $(2k$ $+ 1) p$ PSO $(2k$ $+ 1$ )는 $중심$ 없음(단순히 연결되지 않음)이며, 짝수 $차원$ 에서는 SO $(2k)$ 는 중심 없음 또는 단순하게 연결되어 있지 않습니다.

[1] 특성이 2가 아닌 기저장의 경우 대칭 쌍선형 형식의 정의는 2차 형식의 정의와 동일하지만 특성 2에서는 이러한 개념이 다르다.

[2] 홀 2015 정리 11.2

[3] 홀 2015 섹션 1.3.4

[4] Hall 2015 Proposition 13.10

[5] John Baez "이번 주 수학 물리학의 발견" 105주

[Wil6975-6] Wilson, Robert A. (2009). The finite simple groups. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 251. London: Springer. pp. 69–75. ISBN 978-1-84800-987-5. Zbl 1203.20012.

[7] (테일러 1992, 페이지 141)

[Knus224-8] Knus, Max-Albert (1991), Quadratic and Hermitian forms over rings, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 294, Berlin etc.: Springer-Verlag, p. 224, ISBN 3-540-52117-8, Zbl 0756.11008

[9] (테일러 1992, 160페이지)

[10] (Grove 2002, 정리 6.6 및 14.16)

[C178-11] 카셀 1978, 페이지 178

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