Wess–Zumino–비튼 모형

이론물리학과 수학에서, Wess–Zumino –웨스-주미노-노비코프-위튼 모형이라고도 불리는 위튼(WZW) 모형은 줄리어스 웨스, 브루노 주미노, 세르게이 노비코프, 에드워드 위튼의 이름을 딴 2차원 등각장론의 한 유형입니다.^[1][2][3][4] WZW 모델은 Lie 그룹(또는 수퍼그룹)과 연관되며, 대칭 대수는 해당 Lie 대수(또는 Lie 수퍼대수)로부터 구축된 아핀 Lie 대수입니다. 확장하여 대칭 대수가 아핀 리 대수인 모든 등각 장론에 WZW 모델이라는 이름을 사용하기도 합니다.^[5]

액션.

정의.

For ${\displaystyle \Sigma }$ a Riemann surface, ${\displaystyle G}$ a Lie group, and ${\displaystyle k}$ a (generally complex) number, let us define the ${\displaystyle G}$-WZW model on ${\displaystyle \Sigma }$ at the level ${\displaystyle k}$. 이 모델은 작용이 필드${\displaystyle }$γ의 함수인 비선형 시그마 모델입니다. σ → G ${\displaystyle$ $\backslash$gamma :\Sigma \to G}:

${\displaystyle S_{k}(\gamma )=-{\frac {k}{8\pi}}\int_{\Sigma}d^{2}x\,{\mathcal {K}\left(\gamma ^{-1}\partial ^{\mu }\gamma,\gamma ^{-1}\partial _{\mu }\gamma \right)+2\pi kS^{\mathrm {W} Z}(\gamma)}$

Here, ${\displaystyle \Sigma }$ is equipped with a flat Euclidean metric, ${\displaystyle \partial _{\mu }}$ is the partial derivative, and ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ is the Killing form on the Lie algebra of ${\displaystyle G}$. The Wess–Zumino term of the action is

${\displaystyle S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )=-{\frac {1}{48\pi ^{2}}\int_{\mathbf {B} ^{3}}d^{3}y\,\epsilon ^{ijk}{\mathcal {K}\left(\gamma ^{-1}\partial _{i}\gamma,\left[\gamma ^{-1}\partial _{j}\gamma,\gamma ^{-1}\partial _{k}\gamma \right]\right).$

여기서$$ϵ ik ${\displaystyle \epsilon$^{ijk}}는 완전 반대칭$$텐서이고${\displaystyle ,}$ $[...]$ ${\displaystyle$ [..]은 Lie 괄호입니다. Wess-Zumino 항은 ${\displaystyle {}^{}}$가 ∂ B $3$ = σ partial ${\displaystyle$$\mathbf {B} ^{3}$인 ${\displaystyle {}^{}}$ 매니폴드 B $3$ ${\displaystyle$ \partial \mathbf ${$B} ^{3} =\Sigma}에 대한 적분입니다.

Wess–Zumino 항의 위상학적 특성

Wess–Zumino 항이 이해되기 위해서는 필드$$γ ${\displaystyle$ \gamma}가 B 3${\displaystyle \mathbf${B$\}$ ^{3$}}$까지 확장되어야 합니다. 이를 위해서는 $호모토피{\displaystyle {}_{}\mathrm{그룹}}$π 2 (G)${\displaystyle$ \pi _{2}(G)}가 사소해야 합니다. 이는 특히 임의의 콤팩트 리 그룹 $G{\displaystyle }${\$displaystyle$ G$}$에서 그러합니다$.$

주어진${\displaystyle }$γ: σ$$gamma G ${\displaystyle$\gamma $:\$Sigma \to G} ~ B 3${\displaystyle$\mathbf {B} ^{3}}의 확장은 일반적으로 고유하지 않습니다. WZW 모형이 잘 정의되려면 ${\displaystyle {eis}^{}}$ $($γ) ${\displaystyle e^{$iS_{$k}(\$gamma )}}가 확장의 선택에 의존해서는 안 됩니다. Wess-Zumino 항은$$γ${\displaystyle$ \gamma$}$의 작은 변형 하에서 불변하며 동형 클래스에만 의존합니다. 가능한 호모토피 클래스는 호모토피 그룹${\displaystyle }$π 3$($G) ${\displaystyle \pi_$3}(G)}에 의해 제어됩니다.

연결된 콤팩트한 간단한 Lie 그룹 $G$ ${\displaystyle G}$의 경우${\displaystyle }$π 3(G) = Z $displaystyle$\pi_{3}(G) =$\mathbb$ $\{$Z}가 있으며, γ${\displaystyle$ \gamma }의 다른$확장$은 정수에 따라 $다른$ SW Z(γ)${\displaystyle$S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )}의 값으로${\displaystyle {이어집니다}^{}}$. 따라서 레벨이 준수할 경우 ${\displaystyle {eis}^{}}$ ${\displaystyle {K_{}}^{}}$ ($$γ) {\$displaystyle e^{$iS_{$k}(\$gamma )}}의 값은 동일합니다.

${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$

수준의 정수 값은 아핀 리 대수인 모델의 대칭 대수의 표현 이론에서도 중요한 역할을 합니다. 수준이 양의 정수이면, 아핀 리 대수는 지배적 적분인 가장 높은 가중치를 갖는 단일 최고 가중치 표현을 갖습니다. 이러한 표현은 각각의 단순한 루트, 해당 음의 루트 및 카르탄 생성기인 그들의 정류기가 스팬하는 하위 대수에 대해 유한 차원의 하위 표현으로 분해됩니다.

비압축 단순 리 그룹 ${\displaystyle \mathrm{SL}(2,}$ R${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL}(2,\mathbb {R})}$의 경우$,$ 호모토피 그룹${\displaystyle {}_{}}$π${\displaystyle }$3(${\displaystyle SL(}$2$,$ R) ${\displaystyle$\pi_{$3}(\mathrm {$SL}($2,\mathbb {$R})}은 사소하며, 레벨은 정수로 제한되지 않습니다.

웨스-주미노 용어의 기하학적 해석

만약_a e가 리 대수의 기본 벡터라면, $K{\displaystyle \mathcal{}}$(${\displaystyle {ea}_{}}$[${\displaystyle e_{}}$ b${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}(e_{a},$ [$e_{b}, e_{c}]}$는 리 대수의 구조 상수입니다. 구조 상수는 완전히 반대칭이므로 G의 군 다양체에 3-형태를 정의합니다. 따라서 위의 적분기는 조화 3-형태를 $볼$ ${\displaystyle {}^{}}$ 3에 대한 풀백일 뿐입니다${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathbf {B}^{3}}$ 조화 3-형태를 c로 표시하고 풀백을$$γ ∗으로 표시하면 {\$displaystyle$\gamma ^{*}} 하나는 다음을 갖습니다.

${\displaystyle S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )=\int _{\mathbf {B}^{3}}\gamma ^{*}c.}$

이 형태는 직접적으로 WZ 항에 대한 위상 분석으로 이어집니다.

기하학적으로 이 용어는 각 매니폴드의 비틀림을 설명합니다.^[7] 이 비틀림의 존재는 매니폴드의 텔레평행성을 강제하여 비틀림 곡률 텐서를 3중화합니다. 따라서 기하학적 로스토시스라고 불리는 현상인 재규격화 그룹의 적외선 고정점인 재규격화 흐름을 정지시킵니다.

대칭대수학

일반화군대칭

The Wess–Zumino–Witten 모델은 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 그룹 요소에 의한 전역 변환에서 대칭일$$뿐만 아니라 훨씬 더 풍부한 대칭을 가지고 있습니다. 이 대칭을 흔히 $G{\displaystyle (z)}$× G$z$¯) {\$displaystyle$G$(z)\times G({\$bar {z}}} 대칭이라고 합니다. Namely, given any holomorphic ${\displaystyle G}$-valued function ${\displaystyle \Omega (z)}$, and any other (completely independent of ${\displaystyle \Omega (z)}$) antiholomorphic ${\displaystyle G}$-valued function ${\displaystyle {\bar {\Omega }}({\bar {z}})}$, 유클리드 공간 좌표 x, y {\displaystyle x,y}의 $관점$에서 ${\displaystyle z}$ = x + y {\$displaystyle z$= x$+iy}$ 및 z ¯ $x$ - y {\displaystyle {z}= x-iy}를 식별하면 다음과 같은 대칭이 유지됩니다.

${\displaystyle S_{k}(\gamma )=S_{k}(\Omega \gamma {\bar {\Omega}}^{-1})}$

이 대칭의 존재를 증명하는 한 가지 방법은 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ G$}$ 값$$ 필드의 제품에 대해 Poliakov-Wiegmann 항등식을 반복적으로 적용하는 것입니다.

${\displaystyle S_{k}(\alpha \beta ^{-1})=S_{k}(\alpha )+S_{k}(\beta )+{\frac {k}{16\pi ^{2}}}\int d^{2}x{\textrm {Tr}}(\alpha ^{-1}\partial _{\bar {z}}\alpha \beta ^{-1}\partial _{z}\beta )}$

The holomorphic and anti-holomorphic currents ${\displaystyle J(z)=-{\frac {1}{2}}k(\partial _{z}\gamma )\gamma ^{-1}}$ and ${\displaystyle {\bar {J}}({\bar {z}})=-{\frac {1}{2}}k\gamma ^{-1}\partial _{\bar {z}}\gamma }$ are 이 대칭과 관련된 보존된 전류 이러한 전류의 생성물과 다른 양자장의 단일 동작은 $G$(${\displaystyle z)}$× G$z$¯) {\$displaystyle$G$(z)\times G({\$bar {z}}} 그룹의 무한한 최소 동작에서 해당 필드가 어떻게 변환되는지 결정합니다.

아핀 리 대수

$z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$를$G{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$${\displaystyle }$\${\displaystyle {}^{}}$}의 로컬 복소 ${\displaystyle {좌표}^{}}${$ta} {\displaystyle \{$a$$}\} G ${\displaystyle$ G$\}$의 Lie$$대수(Killing form)의 정규 기저(Killing form)라고 하자. $그리고$ ${\displaystyle {Ja}^{}}$(${\displaystyle z)}$ ${\displaystyle$ J$^{a}(z))$ 필드 K의 양자화${\displaystyle ({}^{}{}^{}}$ ∂ z${\displaystyle {\mathrm{g}}^{}}$- 1) ${\displaystyle {\mathcal {K}}($t^{$a},\partial$_{$z}$g$^\{-$1})}. 다음 연산자 제품 확장이 있습니다.

${\displaystyle J^{a}(z)J^{b}(w)={\frac {k\delta ^{ab}}{(z-w)^{2}}}+{\frac {if_{c}^{ab}J^{c}(w)}{z-w}}+{\mathcal {O}}(1),}$

$여기$서 ${\displaystyle {\mathrm{fca}}_{}^{}}$ b$${\$displaystyle f_{c}^{ab}}$는 [${\displaystyle t^{}}$$t$ b ] = fca b c {\displaystyle [t^{a}, t^{b}] = f_{c}^{ab}t^{c}}와 같은 계수입니다. 마찬가지로 Ja (z) {\displaystyle J^{a}(z)}가 모드로 확장되면

${\displaystyle J^{a}(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }J_{n}^{a}z^{-n-1},}$

그런 다음${\displaystyle }${${\displaystyle J_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle \{J_{n}^{a}\}$에 의해 생성된 현재 대수는 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ G$}$의 Lie 대수와 관련된 아핀 Lie 대수이며$,$ WZW 모델의$$ $레벨{\displaystyle }$ k ${\display k}$와 일치하는 수준입니다.^[5] $g$ =$$ (G) {\$displaystyle {\mathfrak {$g}}=\mathrm {Lie} (G)}인 경우, 아핀 리 대수의 표기법은 g ^ {\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}_{k}}입니다. 아핀 리 대수의 절단 관계는 다음과 같습니다.

${\displaystyle [J_{n}^{a}],J_{m}^{b}]=f_{c}^{ab}J_{m+n}^{c}+kn\delta ^{ab}\delta _{n+m,0}.}$

이 아핀 리 대수는 왼쪽으로 움직이는 전류 $K{\displaystyle ({}^{}{}^{}}$ ∂ z$g$ - 1) ${\displaystyle {\mathcal {K}}(t$^{a$},\partial$_{$z}$g$^\{-$1})}와 관련된 키랄 대칭 대수입니다. 동일한 아핀 리 대수의 두 번째 복사본은 오른쪽으로 움직이는${\displaystyle {전류}^{}}$K(ta,${\displaystyle {}^{}{g}_{}{}^{-}}$ ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle z^{}}$ ¯ g) {\$displaystyle {\mathcal {K$}}(t^{a},g$^{-1$ _{\bar {z}}}. 두 번째 복사본의 ${\displaystyle \mathrm{생성기}}$ $J$ ¯$a$(z) ${\displaystyle {\bar {J}}^{$a}(z)}는 반홀형입니다. WZW 모델의 완전 대칭 대수는 아핀 리 대수의 두 사본의 곱입니다.

스가와라 건설

스가와라 구성은 비라소로 대수를 아핀 리 대수의 보편적 포락 대수에 포함시키는 것입니다. 임베딩의 존재는 WZW 모델이 등각장 이론임을 보여줍니다. 또한 상관 함수에 대한 Knizhnik-Zamolodchikov 방정식으로 이어집니다.

Sugawara 구성은 전류 수준에서 가장 간결하게 작성됩니다: 아핀 리 대수의 경우$$ ${\displaystyle {Ja}^{}z)}$ ${\displaystyle J^{a}(z)},$ 비라소로 대수의 경우$$ 에너지-운동량 $텐서{\displaystyle }$ T${\displaystyle (z)}$ ${\displaystyle$ T$(z)}:$

${\displaystyle T(z)={\frac {1}{2(k+h^{\vee })}}\sum _{a}:J^{a}J^{a}:(z),}$

여기서${\displaystyle :}$은 일반 순서를 나타내고 $h$∨ {\$displaystyle h^{\$vee}}은 듀얼 콕서터 번호입니다. 전류의 OPE와 Wick's 정리의 버전을 사용하면 $T{\displaystyle (z)}$ ${\displaystyle T(z)}$의 OPE가 다음과^[5] 같이 주어짐을 추론할 수 있습니다.

${\displaystyle T(y)T(z)={\frac {\frac {c}{2}}{(y-z)^{4}}}+{\frac {2T(z)}{(y-z)^{2}}}+{\frac {\partial T(z)}{y-z}}+{\mathcal {O}}(1),}$

이는 비라소로 대수의 교환 관계와 동치입니다. 비라소로 대수의 중심 전하는 아핀 리 대수의$$ 레벨 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ k$}$에 따라 주어집니다.

${\displaystyle c={\frac {k\mathrm {dim}({\mathfrak {g}})}{k+h^{\vee}}}.$

아핀 리 대수의 생성자 수준에서 스가와라 작도는

${\displaystyle L_{n\neq 0}={\frac {1}{2(k+h^{\vee })}}\sum _{a}\sum _{m\in \mathbb {Z} }J_{n-m}^{a}J_{m}^{a},}$

${\displaystyle L_{0}={\frac {1}{2(k+h^{\vee })}}\left(2\sum _{a}\sum _{m=1}^{\infty }J_{-m}^{a}J_{m}^{a}+J_{a}^{0}J_{a}^{0}\right).}$

여기서 비라소로 대수의 생성기 ${\displaystyle {Ln}_{}}$ ${\displaystyle L_{n}}$은 ${\displaystyle {\mathrm{에너지-}}^{}}$momentum 텐서의 모드이며, $T{\displaystyle (}$z${\displaystyle )}$ =${\displaystyle \underset{}{}}$∑ ${\displaystyle n_{}}$ ∈$$ Ln z - 2 {\displaystyle T(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }L_{n}z^{-n-2}}입니다.

스펙트럼

콤팩트하고 단순하게 연결된 그룹이 있는 WZW 모델

만약 Lie $그룹{\displaystyle }$ G$${\$displaystyle$G}가$$ 콤팩트하고 간단하게 연결되어 있다면, WZW 모델은 유리하고 대각(rational)입니다. 왜냐하면 스펙트럼은 적분 가능한 최고 가중치 표현이라고 불리는 아핀 Lie 대수의 (수준 의존적) 축소 불가능한 유한 표현 집합에서 구축되기 때문입니다. 그리고 대각선은 왼쪽으로 움직이는 대수의 표현이 오른쪽으로 움직이는 대수의 표현과 동일한 표현과 결합되기 때문입니다.^[5]

예를 들어$,$ \$mathbb$ {N}의 $레벨$ ${\displaystyle k}$ ∈ N ${\displaystyle k$\에서 ${\displaystyle \mathrm{SU}}$(${\displaystyle 2)}$ ${\displaystyle SU(2)}$ WZW 모델의 스펙트럼은

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{k}=\bigoplus _{j=0,{\frac {1}{2},1,\dots,{\frac {k}{2}}{\mathcal {R}_{j}\otimes {\bar {\mathcal {R}}_{j}\,}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 Rj$${\$displaystyle${\$mathcal$ {$R}}_{$j}는 스핀 $j${\$displaystyle$ j$}$의 아핀 최고 가중치 표현입니다$.$ $상태$ ${\displaystyle v}$ ⟩ {\$displaystyle$ v$\$rangle}에 의해 생성된 표현으로 다음과 같습니다.

${\displaystyle J_{n<0}^{a} v\rangle =J_{0}^{-} v\rangle =0\ ,}$

여기서 $J{\displaystyle {}^{}}$- ${\$는 ${\displaystyle \mathrm{SU}}$(${\displaystyle 2)}$ ${\displaystyle SU(2)}$의 Lie 대수의 발생기 $t{\displaystyle {}^{}}$- ${\$ t$^{-}$에 해당하는 전류입니다$.$

다른 유형의 그룹이 있는 WZW 모형

그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$가 콤팩트하지만 단순히 연결되어 있지 않은 경우 WZW 모델은 유리형이지만 반드시 대각선일 필요는 없습니다. 예를 들어 ${\displaystyle \mathrm{SO}(3)}$ ${\displaystyle SO(3)}$ WZW 모델은 짝수 정수 $수준$ ${\displaystyle k}$ ∈ 2 N ${\displaystyle k\in$ 2$\mathbb${N}에 대해 존재하며 스펙트럼은 무한히 많은 적분 가능한 최고 가중치 표현의 비다각 조합입니다.

그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$가 콤팩트하지 않으면 WZW 모형은 비합리적입니다. 또한, 스펙트럼에는 비고중량 표현이 포함될 수 있습니다. 예를 들어, ${\displaystyle \mathrm{SL}(2\mathbb{},}$ R${\displaystyle )}$ ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R})}$ WZW$$ 모델의 스펙트럼은 최고 가중치 표현과 아핀 리 대수의 스펙트럼 흐름 자기 동형성 하에서의 이미지로 구축됩니다.^[6]

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$가 슈퍼그룹인 경우 스펙트럼은 좌우 이동 대칭 대수의 표현의 텐서 곱으로 인수분해되지 않는 표현을 포함할 수 있습니다. 이는 $예$를 들어 G = ${\displaystyle G}$ L${\displaystyle }$($11$$)$ {\$displaystyle$ G = $GL$(11)}의 경우와 G = PSU (1, 12) {\displaystyle G = psu (1, 12)}와 같은 더 복잡한 상위 그룹에서도 발생합니다. 인수분해가 불가능한 표현은 해당 WZW 모델이 로그 등각 필드 이론이라는 사실에 책임이 있습니다.

아핀 리 대수에 기초한 다른 이론들

아핀 리 대수에 기초한 알려진 등각장 이론은 WZW 모델에 국한되지 않습니다. 예를 들어, ${\displaystyle \mathrm{SU}}$(${\displaystyle 2)}$ ${\displaystyle SU(2)}$ WZW$$ 모델의 아핀 리 대수의 경우 모듈 불변 토러스 분할 함수는 ADE 분류를 따르며, 여기서 ${\displaystyle \mathrm{SU}}$(${\displaystyle 2)}$ ${\displaystyle SU(2)}$ WZW$$ 모델은 A 시리즈만을 설명합니다.^[11] D 시리즈는 ${\displaystyle \mathrm{SO}(3)}$ ${\displaystyle SO(3)}$ WZW$$ 모델에 해당하며, E 시리즈는 어떤 WZW 모델에도 해당하지 않습니다.

$또{\displaystyle {}_{}^{}}$ 다른 예로는 H ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}^{}}$+ ${\$ 모델이$$ 있습니다. ${\displaystyle 이}$ 모델은 윅 회전으로${\displaystyle 관련}$된${\displaystyle }$SL$$(2, R) {\$displaystyle$SL($2,\mathbb${R$$})} WZW 모델과 동일한 대칭 대수를 기반으로 합니다. 그러나 ${\displaystyle {H3}_{}^{}}$+ ${\displaystyle H_{3}^{+}}$${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \mathrm{SU}}$(${\displaystyle 2)}$ ${\displaystyle H_{3$}^{+} = $SL(2,\mathbb {C})$/ $SU(2)}$는 군이 아니라 코셋이므로 엄격하게 WZW 모델을 말하는 것은 아닙니다.

필드 및 상관 함수

필드

G ${\displaystyle$ G$\}$의 Lie$대수$의 단순 표현$$ρ {\displaystyle$$\rho }이 주어졌을 때, $아핀{\displaystyle {}^{}\mathrm{기본}}$ 필드$$φ$$ρ (z) ${\displaystyle$ \Phi^{\rho }(z)}는$$ρ {\displaystyle \rho$}의 표현$공간에서 값을 가져 오는 필드로, 다음과 같습니다.

${\displaystyle J^{a}(y)\Phi ^{\rho }(z)=-{\frac {\rho (t^{a})\Phi ^{\rho }(z)}{y-z}}+O(1)\ .}$

아핀 1차 필드는 스가와라 구조에서 비롯된 비라소로 대수의 1차 필드이기도 합니다. 아핀 기본 필드의 등각 차원은 $표현$ρ${\$displaystyle \rho}(즉, 표현 ρ {\displaystyle C_${$2}(\rho)}의 2차 $카시미르$ ${\displaystyle C_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$ρ)로 제공됩니다. ${\displaystyle b^{}}$ ${\$에서 2차 카시미르 요소 ${\displaystyle {\mathrm{Kab}}_{}}$의 고유값 여기서$$ ${\displaystyle {\mathrm{Kab}}_{}}$ ${\$는 K $행렬$의 역수${\displaystyle ({ta}^{}}$ t ${\displaystyle b^{}}$) ${\displaystyle {\mathcal {K}}(t$$^{a}, t^{b})}$에 의한 것입니다.

${\displaystyle \Delta _{\rho }={\frac {C_{2}(\rho )}{2(k+h^{\vee })}}\ .}$

예를 들어, ${\displaystyle \mathrm{SU}}$(${\displaystyle 2)}$ ${\displaystyle SU(2)}$ WZW$$ 모델에서 $스핀{\displaystyle }$ j ${\displaystyle$ j$}$의 주 필드의 등각 치수는$$

${\displaystyle \Delta _{j}={\frac {j(j+1)}{k+2}}\ .}$

상태 필드 대응에 의해, 아핀 기본 필드는 아핀 기본 상태에 해당하며, 이는 아핀 리 대수의 가장 높은 가중치 표현의 가장 높은 가중치 상태입니다.

상관함수

그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$가 콤팩트한 경우 WZW 모델의 스펙트럼은 가장 높은 가중치 표현으로 구성되며 모든 상관 함수는 워드 아이덴티티를 통해 아핀 기본 필드의 상관 함수에서 추론할 수 있습니다.

리만 표면$$σ${\displaystyle$ \Sigma}가 리만 구면, 아핀 1차 장의 상관 함수는 크니즈니크-자몰로드치코프 방정식을 따릅니다. 더 높은 속의 리만 표면에서 상관 함수는 필드의 위치뿐만 아니라 표면의 모듈리의 도함수를 포함하는 Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard 방정식을 따릅니다.^[13]

게이지 WZW 모델

Given a Lie subgroup ${\displaystyle H\subset G}$, the ${\displaystyle G/H}$ gauged WZW model (or coset model) is a nonlinear sigma model whose target space is the quotient ${\displaystyle G/H}$ for the adjoint action of ${\displaystyle H}$ on ${\displaystyle G}$. 이 측정된 WZW 모델은 $대칭{\displaystyle }$ 대수가 G ${\displaystyle G}$ $및{\displaystyle }$ H$$ ${\displaystyle H}$ WZW$$ 모델의 두 아핀 리 대수의 몫이며 중심 전하가 중심 전하의 차이입니다.

적용들

Lie 그룹이 그룹 ${\displaystyle \mathrm{SL}(2,}$ ${\displaystyle R\mathbb{})}$ ${\displaystyle \mathrm {SL}(2,\mathbb {R})}$의 보편적인 커버인 WZW 모델은 후안 말다세나와 히로시 우구리에 의해 3차원 안티 드 시터 공간 ${\displaystyle \mathrm{Ad}}$ ${\displaystyle {S3\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 대한 보소닉 스트링 이론을 설명하는 데 사용되었습니다$.$^[6] ${\displaystyle \mathrm{Ad}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$× ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 초끈은 슈퍼그룹${\displaystyle \mathrm{PSU}}$(1, 12) {\$displaystyle PSU(1, 12)}$의$$WZW 모델 또는 Ramond-Ramond flux가 켜져 있는 경우의 변형에 의해 설명됩니다$$.^[14][10]

정수 양자 홀 효과에서 고원 전이를 설명하기 위해 WZW 모델과 그 변형이 제안되었습니다.^[15]

${\displaystyle \mathrm{SL}(2,}$ ${\displaystyle R)}$/ U${\displaystyle (1)}$ ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R})$/ $U(1)}$ 게이지$$ WZW 모델은 끈 이론에서 Witten의 2차원 유클리드 블랙홀로 해석됩니다.^[16] 또한 동일한 모델은 임계 반강자성 포츠 모델과 같이 중요한 특정 2차원 통계 시스템을 설명합니다.^[17]

참고문헌