단수 스펙트럼 분석

시계열 분석에서 단수 스펙트럼 분석(SSA)은 비모수 스펙트럼 추정 방법이다.고전 시계열 분석, 다변량 통계, 다변량 기하학, 동적 시스템 및 신호 처리의 요소를 결합한다.그 뿌리는 고전 카루넨(1946)에 있다.로에브(1945, 1978년) 시계열 및 무작위 필드와 마녜(1981)-의 스펙트럼 분해타켄스(1981) 임베딩 정리.SSA는 시계열을 성분들의 합으로 분해하는 데 도움이 될 수 있으며 각각은 의미 있는 해석을 가지고 있다."가수 스펙트럼 분석"이라는 명칭은 공분산 행렬의 단수 값 분해에 있는 고유값의 스펙트럼과 관련되며 주파수 영역 분해에는 직접 관련되지 않는다.

간략한 역사

SSA의 기원과 보다 일반적으로는 신호 처리를 위한 아공간 기반 방법의 기원은 18세기(프론의 방법)로 거슬러 올라간다.^{[citation needed]}핵심적인 발전은 1940년대 후반에 카리 카루넨과 미셸 로에브가 공분산 공정의 공분산 운영자의 fspectral 분해의 공식화였다(Loeve, 1945; Karhunen,

브룸헤드와 킹(1986a, b) 및 프레이드리히(1986)는 측정된 시계열에서 시스템의 유인기를 재구성할 목적으로 비선형 역학의 맥락에서 SSA와 멀티채널 SSA(M-SSA)를 사용할 것을 제안했다.이러한 저자들은 내장 정리에 기초하여 단일 시계열에서 역학을 재구성하는 발상의 연장선과 보다 강력한 응용을 제공하였다.몇몇 다른 저자들은 이미 M-SSA의 간단한 버전을 기상학적 및 생태학적 데이터 세트에 적용하였다(Colebrook, 1978; Barnett and Haselmann, 1979; Weare and Nasstrom, 1982).

Ghil, Vautard 및 그 동료들(Vautard and Ghil, 1989년; Ghil and Vautard, 1991년; Vautard et al., 1992년; Ghil et al., 2002년)은 다른 한편으로 Braumhead와 King의 궤적 행렬과 Karhunen-Loeve 분해(시간 영역의 주성분해석) 사이의 유사성을 주목했다.따라서 SSA는 유인기 재구성과는 별개로 시계열 분석의 시간 및 빈도 영역 방법으로 사용할 수 있으며, 여기에는 유인기 재구축과 별개로 후자가 고장날 수 있는 경우가 포함된다.Ghil 등의 조사서.(2002)는 본 문서의 § 방법론 섹션의 기본이다.이 저자들의 연구의 결정적인 결과는 SSA가 소음 발생을 포함한 유인기의 "골격"을 강력하게 복구할 수 있다는 것이다.이 골격은 SSA와 M-SSA의 고유값 스펙트럼에서 식별할 수 있는 가장 불안정한 주기적 궤도에 의해 형성된다.이러한 궤도에 대한 식별과 상세한 설명은 기초적인 비선형 역학에 대한 매우 유용한 포인터를 제공할 수 있다.

이른바 '카터필러(Caterfilar)' 방법론은 서구의 주류 SSA 작업과는 별개로 구소련에서 개발된 SSA의 버전이다.이 방법론은 최근에 전세계에 더 많이 알려지게 되었다(Danilov and Zhigljavsky, Eds, 1997; Golyandina et al., 2001; Zhigljavsky, Ed, 2010; Golyandina와 Zhigljavsky, 2013; Goyandina et al., 2018).'Caterfilar-SSA'는 예를 들어 SSA 매개변수 선택과 관련된 특정 권고사항으로 이어지는 개념인 분리 가능성 개념을 강조한다.이 방법은 § SSA에 이 기사의 모델 없는 도구로 자세히 설명되어 있다.

방법론

In practice, SSA is a nonparametric spectral estimation method based on embedding a time series ${\displaystyle \{X(t):t=1,\ldots ,N\}}$ in a vector space of dimension ${\displaystyle M}$. SSA proceeds by diagonalizing the ${\displaystyle M\times M}$ lag-covariance matrix ${\di$$X{\displaystyle }$( $){\displaystyle X(t)}$의 $splaystyle {\textbf{C}_{X}}}$를 사용하여$$ 약한 의미에서 정지해 있다고 가정하는 시계열에 대한 스펙트럼 정보를 얻는다.매트릭스 C ${\displaystyle X_{}}$ ${\${\$textbf{C}_{X}$는 일정한 대각선을 갖는 토우플리츠 매트릭스(Vautard 및 Ghil, 1989), 즉, 입력 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ j$${\$displaystyle c_{ij}$는 지연 ${\displaystyle i}$- j $displaystyle i-j$에만 의존한다$$$$.

${\displaystyle c_{ij}={\frac {1}{{N- i-j }}}\sum _{t=1}^{N- i-j }X(t+ i-j)X(t+ i-j).}$

An alternative way to compute ${\displaystyle {\textbf {C}}_{X}}$, is by using the ${\displaystyle N'\times M}$ "trajectory matrix" ${\displaystyle {\textbf {D}}}$ that is formed by ${\displaystyle M}$ lag-shifted copies of ${\displaystyle {\it {X(t)}}}$, which are ${\displaystyle N^{\prime }=}$${\displaystyle \mathrm{N}}$- M${\displaystyle }$+ 1 ${\displaystyle N'=N-M+1}$ 길이$$, 그 다음

${\displaystyle {\textbf {C}_{X}={\frac {1}{{N'}}{\textbf {D}^{\rm}{\textbf {D}}.}$

지연-공분산 $행렬$ C ${\displaystyle X_{}}$ ${\$$displaystyle$ {\$displaybf{E}_{k}}$의 $M{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle {\textbf{C}_{X}}$는 시간$$ ${\displaystyle {경험적}_{}}$ 직교함수(EOFs)라고 한다$$.The eigenvalues ${\displaystyle \lambda _{k}}$ of ${\displaystyle {\textbf {C}}_{X}}$ account for the partial variance in the direction ${\displaystyle {\textbf {E}}_{k}}$ and the sum of the eigenvalues, i.e., the trace of ${\displaystyle {\textbf {C}}_{X}}$, gives the total vari$원래$ 시계열 $($ ${\displaystyle )}$의$$ance$.$방법의 이름은 ${\displaystyle C_{}}$ X${\displaystyle {}_{}}$. ${\$$displaystyle \lambda _{k}^{1/2}}$의 단수 값 from $k{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$/ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$$displaystyle {\textbf{C}_{X}$에서 유래한다.$}$

분해 및 재구성

각 EOF에 시계열을 투영하면 해당 시간 주성분(PC) ${\displaystyle A_{}}$ $k{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ {$A}_{k}}$:

${\displaystyle A_{k}(t)=\sum _{j=1}^{M}X(t+j-1)E_{k}(j).}$

진동 모드는 거의 동일한 SSA 고유값과 근사치 위상 4분법(Ghil et al., 2002)에 있는 관련 PC의 쌍으로 특징지어진다.그러한 쌍은 효율적으로 비선형적이고 조화로운 진동을 나타낼 수 있다.이는 단일 쌍의 데이터 적응형 SSA 고유모드가 푸리에 변환에 사용되는 사인 및 코사인 같이 고정된 기본 함수를 갖는 방법보다 진동 모드의 기본 주기성을 더 잘 포착할 수 있기 때문이다.

창 너비 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은 SSA가 캡처한 가장 긴 주기성을 결정한다$$.신호 대 잡음 분리는 고유값 ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ k ${\$의 "스크리 다이어그램" 또는$$ 단수값 $\lambda {\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 1${\displaystyle {}_{}^{}}$/ 2 ${\$2$$}} 대 $k{\displaystyle }${\$displaystystylek}$의 기울기 분리를 검사하기만 하면 얻을 수 있다$.$"차원"D안 된다 혼동해서는{D\displaystyle}(Vautard과 Ghil, 1989년)이 파손이 발생하는지점 k디스플레이)S{\displaystyle k^{*}=S}기초결정론적 역학의 는.

몬테카를로 시험(Allen and Smith, 1996; Allen and Robertson, 1996; Groth and Ghil, 2015)을 적용하여 SSA가 검출한 진동 쌍의 통계적 유의성을 확인할 수 있다.트렌드, 진동 모드 또는 노이즈에 해당하는 전체 시계열 또는 그 일부를 재구성된 구성요소(RC) $R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\$ :

${\displaystyle R_{K}(t)={\frac {1}{M_{t}}}\sum _{k\in {\textit {K}}\sum _{j={}L_{t}}^{{U_{t}A_{k}(t-j+1)E_{k}(j);}$

여기서 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$은 재구성의 기반이 되는 EOF 집합이다.정규화 요인 $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$의 $값$과 ${\displaystyle {합계}_{}}$ L$$t {\$displaystyle L_{$t$$} $및{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle U_{}}$t {\$displaystyle U_{$t$\}$의 하한 및 상한 값은 시계열의 중심 부분과 그 끝점 부근 사이에 다르다(Ghil 등, 2002).

다변량연장

Multi-channel SSA (or M-SSA) is a natural extension of SSA to an ${\displaystyle L}$-channel time series of vectors or maps with ${\displaystyle N}$ data points ${\displaystyle \{X_{l}(t):l=1,\dots ,L;t=1,\dots ,N\}}$. In the meteorological literature, extended EOF (EEOF) analysis는 종종 M-SSA와 동의어로 간주된다.두 가지 방법은 모두 고전적 주성분 분석(PCA)의 확장이지만 강조점이 다르다: EEOF 분석은 일반적으로 시간적 시차 $수{\displaystyle }$ M$$ ${\displaystyle M}$보다 훨씬 큰 공간 $채널$의 L ${\displaystyle L}$을 사용하므로 시간적 및 스펙트럼 정보가 제한된다.반면에 M-SSA에서는 대개 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ $[\디스플레이$ 스타일 $L\leq M}$을 선택한다$.$ 다변량 시계열에서 상세한 시간적 및 스펙트럼 정보를 추출할 수 있을 만큼 $큰{\displaystyle }$ M ${\디스플레이$ 스타일 $M}$을 선택한$$ 상태에서 종종 M-SSA를 공간 데이터의 선두 PC 몇 대에 적용한다(Ghil et al., 2002).그러나 Groth와 Ghil(2015년)은 보존된 PC의 숫자$$ $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$이(가) 너무 작아질 때 이 분산 압축이 약한 신호의 검출률에 미칠 수 있는 부정적인 영향을 입증했다.이러한 관행은 그러한 약한 신호의 주피오-임시 패턴의 현명한 재구성에도 부정적인 영향을 미칠 수 있으며, 그로스 외 연구진(2016)은 최대 수의 PC, 즉 $L{\displaystyle }$= ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle L=N}$을(를) 보유할 것을 권고한다$.$

그로스와 길(2011년)은 고전적인 M-SSA 분석이 퇴행성 문제를 겪고 있다는 것을 입증했다. 즉, 해당 고유값이 유사한 경우 EOF는 구별되는 진동 사이에서 잘 분리되지 않는다.이 문제는 특히 M-SSA에만 국한된 것이 아니라 일반적으로 주성분 분석의 단점이다.혼합물 효과를 줄이고 물리적 해석을 개선하기 위해 그로스와 길(2011년)은 M-SSA의 주걱-임시 EOFs(ST-EOFs)의 후속 VARIMAX 회전을 제안했다.스펙트럼 특성 상실을 방지하기 위해(플라우트 및 Vautard 1994) ST-EOF의 주걱 구조물을 고려한 공통 VARIMAX 회전의 약간의 수정을 도입했다.또는 반복 SVD 분해에 의한 EOF의 동시 회전을 위한 알고리즘의 폐쇄 매트릭스 제형이 제안되었다(Portes and Aguirre, 2016).

M-SSA는 반복과 벡터라고 알려진 두 가지 예측 접근법을 가지고 있다.이 두 접근법 사이의 불일치는 다변량 사례의 블록 궤적 행렬에 각 시리즈의 단일$$ 궤적 행렬 $X{\displaystyle }$ ${\$을(를) 조직했기 때문이다.최근 하사니와 마흐무드반드(2013)에서 소개된 바와 같이 두 개의 궤도 행렬을 수직(VMSA) 또는 수평(HMSSA)으로 구성할 수 있으며, 이러한 구조는 더 나은 예측으로 이어지는 것으로 나타났다.따라서, 우리는 이 버전의 MSSA(Hassani and Mahmoudvand, 2013)에서 활용할 수 있는 네 가지 다른 예측 알고리즘을 가지고 있다.

예측

이 하위섹션에서 우리는 반복은 이해도를 증가시키고 따라서 그러한 이해와 밀접하게 연관된 예측 방법에 대한 신뢰도를 증가시킨다는 중요한 진동 요소를 나타내는 현상에 초점을 맞춘다.

단수 스펙트럼 분석(SSA)과 최대 엔트로피 방법(MEM)을 결합하여 기상학, 해양학 및 기후 역학(Ghil et al., 2002, 그리고 이 기준)의 다양한 현상을 예측하였다.첫째, "소음"은 SSA가 획득한 선행 EOF의 하위 집합에 시계열을 투영함으로써 걸러진다. 선택한 하위 집합은 통계적으로 유의한 진동 모드를 포함해야 한다.경험에 따르면 이 접근방식은 이러한 모드를 포착하는 RC 쌍과 관련된 부분 분산이 클 때 가장 잘 작동한다(길과 장, 1998).

그런 다음 사전 필터링된 RC는 계수가 나머지 "신호"의 MEM 스펙트럼을 제공하는 자기 $회귀{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{모델}}$ A R${\displaystyle }$[${\displaystyle p}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle AR[p]}$에 대한 최소 제곱 피팅에 의해 추론된다$.$마지막으로, 확장 RC는 SSA 재구성 과정에서 예측값을 산출하기 위해 사용된다.The reason why this approach – via SSA prefiltering, AR extrapolation of the RCs, and SSA reconstruction – works better than the customary AR-based prediction is explained by the fact that the individual RCs are narrow-band signals, unlike the original, noisy time series ${\displaystyle X(t)}$ (Penland et al., 1991; Keppenne and Ghil, 1993).실제로 개별 RC에 대해 획득한 최적 순서 p는 표준 Akaike 정보 기준(AIC)이나 이와 유사한 것에 의해 주어진 순서보다 상당히 낮다.

스파티오-임시 갭 충전

SSA의 갭 채우기 버전은 불균일하게 샘플링되거나 누락된 데이터가 포함된 데이터 세트를 분석하는 데 사용될 수 있다(Kondrashov 및 Ghil, 2006; Kondrashov et al. 2010).일변량 시계열의 경우 SSA 간격 채우기 절차는 시간 상관 관계를 이용하여 누락된 점을 채운다.다변량 데이터 세트의 경우, M-SSA에 의한 간격 채우기는 공간적 상관관계와 시간적 상관관계를 모두 이용한다.In either case: (i) estimates of missing data points are produced iteratively, and are then used to compute a self-consistent lag-covariance matrix ${\displaystyle {\textbf {C}}_{X}}$ and its EOFs ${\displaystyle {\textbf {E}}_{k}}$; and (ii) cross-validation is used to optimize the window width ${\disp$노이즈가 폐기되는 동안 반복적으로 추정된 "신호"로 공백을 메우기 위한 $레이스타일 M}$ 및 선도$$ SSA 모드 수입니다.

모델 없는 도구로 사용

SSA를 적용할 수 있는 분야는 기후학, 해양과학, 지구물리학, 공학, 이미지 처리, 의학, 계량학 등 매우 광범위하다.따라서 SSA의 서로 다른 수정이 제안되었고 SSA의 다른 방법론이 추세 추출, 주기성 검출, 계절 조정, 스무딩, 소음 감소와 같은 실제 적용에 사용된다(Golyandina, et al, 2001).

기본 SSA

SSA는 무모델 기법으로 사용할 수 있어 비스테이션 시계열을 포함한 임의 시계열에 적용할 수 있다.SSA의 기본 목적은 시계열을 추세, 주기적 성분 및 노이즈와 같은 해석 가능한 성분의 합으로 분해하는 것이며 이러한 성분의 파라메트릭 형태에 대한 사전 가정을 하지 않는다.

Consider a real-valued time series ${\displaystyle \mathbb {X} =(x_{1},\ldots ,x_{N})}$ of length ${\displaystyle N}$. Let ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \ (1<L<N)}$ be some integer called the window length and ${\displaystyle K=N-L+1}$.

주 알고리즘

첫 번째 단계: 임베딩.

시리즈 $X{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 궤적 행렬을 형성하십시오$.$ 이 행렬은 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \times }$ K ${\displaystyle$ L$\!\times \!$$K}$ 행렬$$

${\displaystyle \mathbf{X}=[X_{1}:\ldots:X_{K}]=(x_{ij})_{i,j=1}^{L,K}={\begin{bmatrix}x_{1}&, x_{2}&, x_{3}&, \ldots &, x_{K}\\x_{2}&, x_{3}&, x_{4}&, \ldots &, x_{K+1}\\x_{3}&, x_{4}&, x_{5}&, \ldots, x_{K+2}\\\vdots, \vdots & &, \vdots & &, \ddots &, \vdots{\\x_.L}&x_{L+1}&, x_{L+2}&, \ldots &, x_{N}\\\end{bmatrix}}}$

where ${\displaystyle X_{i}=(x_{i},\ldots ,x_{i+L-1})^{\mathrm {T} }\;\quad (1\leq i\leq K)}$ are lagged vectors of size ${\displaystyle L}$. The matrix ${\displaystyle \mathbf {X} }$ is a Hankel matrix which means that ${\displaystyle \mathbf {X} }$$$ 반투명 $i{\displaystyle }$ +${\displaystyle j}$= ${\displaystyle c\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{o}}$ ${\displaystyle \mathrm{t}}$ ${\$에 동일한 요소 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$을(를) 가지고 있음$.$

두 번째 단계: 특이값 분해(SVD).

Perform the singular value decomposition (SVD) of the trajectory matrix ${\displaystyle \mathbf {X} }$. Set ${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {X} \mathbf {X} ^{\mathrm {T} }}$ and denote by ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{L}}$ the eigenvalues of ${\displays$$tyle \mathbf {S} }$ taken in the decreasing order of magnitude (${\displaystyle \lambda _{1}\geq \ldots \geq \lambda _{L}\geq 0}$) and by ${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{L}}$ the orthonormal system of the eigenvectors of the matrix ${\displaystyle \mathbf {S} }$ corresponding to 이 고유값들

)}})\lambda _{나는}>{X}=\max\{i,\{\mbox{그런}\mathbf, 0\}}(노트 전형적인 실제 시리즈에 d)L{\displaystyle d=L})과 V나는 나는{\displaystyle V_{나는}=\mathbf XTU나는/λ원 ⁡ X)최대{나는, 전입니다. λ 같은;0}{\displaystyle d=\mathop{\mathrm{계급}오빠 kr d설정합니다. {X}^{$\mathrm {T} }U_{i}/{\sqrt {\lambda _{i$${\displaystyle i}$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle d}$ )${\$$displaystyle$$(i=1,\$$ldots$ $,d$ 이 표기법에서 궤도 $행렬{\displaystyle \mathbf{}}$X의 SVD는 그대로 쓸 수 있다$$$.$

${\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {X} _{1}+\ldots +\mathbf {X} _{d}}$

어디에

${\displaystyle \mathbf {X} _{i}={\sqrt {\lambda _{i}}}U_{i}V_{i}^{\mathrm {T}}}}}}$

1위를 가진 행렬이다. 이를 기본 행렬이라고 한다.컬렉션$({\displaystyle \lambda \sqrt{{}_{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{i_{}}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$, V ${\displaystyle i_{}}$) ${\displaystyle({\sqrt {\lambda _{i}}},$$U_{i},V_{i}}}$은(는) $SVD$의 i ${\displaystyle i}$ th$$ eigentriple(약칭 ET)로 불릴 것이다$$.Vectors ${\displaystyle U_{i}}$ are the left singular vectors of the matrix ${\displaystyle \mathbf {X} }$, numbers ${\displaystyle {\sqrt {\lambda _{i}}}}$ are the singular values and provide the singular spectrum of ${\displaystyle \mathbf {X} }$; this gives the name to SSA.벡터 $\lambda {\displaystyle \sqrt{{}_{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{i_{}}}$ V ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ T ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$mathrm ${T}}{{i}}}}}}$는 $주성분$(PC) 벡터라고 불린다$$.

세 번째 단계:Eigentriple 그룹화.

인덱스 집합$\{{\displaystyle 1}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{1,\ldots,d\}$을(를) $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$ disjoint$$ 하위 집합 ${\displaystyle {I1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle \dots ,I_{}}$ m ${\$로 분할하십시오$.$

Let $I{\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle I=\{i_{1},\ldots, i_{p$Then the resultant matrix ${\displaystyle \mathbf {X} _{I}}$ corresponding to the group ${\displaystyle I}$ is defined as ${\displaystyle \mathbf {X} _{I}=\mathbf {X} _{i_{1}}+\ldots +\mathbf {X} _{i_{p}}}$.결과 행렬은 그룹 $I{\displaystyle }$= ${\displaystyle {I\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, I ${\displaystyle m_{}}$ ${\$에 대해 계산되며$$, $그룹화$된 X ${\$의 SVD 확장은 이제 다음과 같이 기록할 수 있다$$.

${\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {X} _{I_{1}+\ldots +\mathbf {X} _{I_{m}}.}$

4단계: 대각선 평균.

그룹화된 분해의$$ 각 행렬 X $I{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {j_{}}_{}}$ ${\$은(는) 행클화된 다음, 획득한 행클 매트릭스는 행클 매트릭스와 시계열 사이의 일대일 대응법을 사용하여$$ $길이{\displaystyle }$ N ${\displaysty$ N$}$의 새로운 시리즈로 변환된다.Diagonal averaging applied to a resultant matrix ${\displaystyle \mathbf {X} _{I_{k}}}$ produces a reconstructed series ${\displaystyle {\widetilde {\mathbb {X} }}^{(k)}=({\widetilde {x}}_{1}^{(k)},\ldots ,{\widetilde {x}}_{N}^{(k)})}$. In이렇게 하면 초기 시리즈 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}\dots ,}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$이(가) $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$ 재구성된$$ 하위 시리즈의 합으로 분해된다$$.

${\displaystyle x_{n}=\sum \limits _{k=1}^{m}{\widetilde{x}}^{n}^{n}}}\(n=1,2,\ldots ,N)\ (n=1,n)}$

이 분해는 SSA 알고리즘의 주요 결과물이다.분해는 재구성된 각 하위 영상 시리즈를 추세 또는 일부 주기적 성분 또는 노이즈의 일부로 분류할 수 있다면 의미가 있다.

SSA 분리성 이론

SSA 이론이 답하고자 하는 두 가지 주요 질문은 ⑴ SSA에 의해 어떤 시계열 구성요소가 분리될 수 있는지와 ⑵ 창 $길이{\displaystyle }$ L ${\displaystyle L}$을 선택하고$$ 바람직한 구성요소를 추출하기 위해 적절한 그룹을 만드는 방법이다.많은 이론적 결과는 골리안디나 외 연구소에서 찾을 수 있다.(2001, 1장 및 6장).

추세(시계열의 천천히 변화하는 성분으로 정의됨), 주기적 성분과 노이즈는 $점증적$으로 N${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle$ N$\rightarrow \infit }$으로 분리할 수 있다$.$ 실제로 $N{\displaystyle }$ ${\\displaystyle N}$은 고정되어 있으며, 시계열 성분 간의 대략적인 분리성에 관심이 있다.대략적인 분리 가능성을 나타내는 여러 지표를 사용할 수 있다(골리안디나 등 참조).(2001, 1장).창 길이 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$은(는) 방법의 분해능을 결정한다$.$ $L{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ L$}$의 값이 클수록$$ 기본 구성요소로 분해되어 분리성이 향상된다.창 길이 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$은 SSA가 캡처한 가장 긴 주기성을 결정한다$$.추세는 천천히 변화하는 고유 벡터를 가진 고유 벡터를 그룹화하여 추출할 수 있다.주파수가 0.5보다 작은 사인파에서는 거의 동일한 고유값 2개와 주파수가 동일한 사인파 고유 벡터 2개와 $\pi {\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle \pi /2}$ -시프트$$ 페이즈가 생성된다.

두 개의 시계열 구성 요소의 분리는 다른 구성 요소에 의한 섭동이 있는 상태에서 한 구성 요소의 추출로 간주할 수 있다.SSA 섭동 이론은 Nekrutkin(2010)과 Hassani 외(2011)에서 개발되었다.

SSA별 예측

일부 시리즈 $X{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 경우 Basic$$ SSA의 SVD 단계에서 < L ${\displaystyle d<L}$이가) 제공되면 이 시리즈를 순위 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$의 시계열이라고 한다($$골리안디나 등, 2001, Ch.5).$d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$ 선행$$ 고유 벡터에 의해 확장되는 하위 공간을 신호 하위 공간이라고 한다.이 하위 공간은 신호 처리에서 신호 매개변수(예: 고해상도 주파수 추정을 위한 ESPRIT)를 추정하는 데 사용된다.또한 이 하위 공간은 예측에 사용할 수 있는 시리즈를 지배하는 선형 동종 재발 관계(LRR)를 결정한다.LRR에 의한 영상 시리즈의 연속성은 신호 처리에서 전방 선형 예측과 유사하다.

그 시리즈가 최소한의 장거리 레이더에 의해 다스려 지자)nx∑ k=1dbk=n− k{\displaystyle x_{n}=\sum _{k=1}^{d}b_{k}x_{n-k}} 할게. 우리에게 선택 나는>d{\displaystyle L>, d}, U1,…, Ud{\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{d}}이 값( 남아 단수 벡터의 L{L\displaystyle}-.trajec토리 매트릭스)는 SSA의 SVD 단계에 의해 제공된다.Then this series is governed by an LRR ${\displaystyle x_{n}=\sum _{k=1}^{L-1}a_{k}x_{n-k}}$, where ${\displaystyle (a_{L-1},\ldots ,a_{1})^{\mathrm {T} }}$ are expressed through ${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{d}}$ (GolYandina 등, 2001, Che.5), 그리고 동일한 LRR로 계속할 수 있다.

이는 SSA 반복 및 벡터 예측 알고리즘의 기초를 제공한다(골얀디나 외, 2001, Chi.2).실제로 신호는 섭동(예: 소음)에 의해 손상되며, SSA는 그 하위 공간을 대략 추정한다.따라서 SSA 예측은 LRR에 의해 근사적으로 관리되고 잔존으로부터 근사적으로 분리된 시계열 구성요소의 예측에 적용할 수 있다.

다변량연장

다채널, 다변량 SSA(또는 M-SSA)는 다변량 시계열 분석을 위해 SSA를 자연적으로 확장한 것으로, 여기서 서로 다른 일변량 시계열의 크기가 같을 필요는 없다.다중 채널 시계열의 궤적 행렬은 개별 시계열의 연결된 궤적 행렬로 구성된다.알고리즘의 나머지 부분은 일변량 사례와 동일하다.직렬 시스템은 SSA 반복 및 벡터 알고리즘과 유사하게 예측될 수 있다(골얀디나와 스테파노프, 2005).MSSA는 많은 응용 프로그램을 가지고 있다.특히 시리즈 길이가 짧고 긴 경제 및 금융 시계열을 분석하고 예측하는 데 인기가 있다(패터슨 외, 2011년, 하사니 외, 2012년, 하사니와 마흐무드반드, 2013년).기타 다변량 확장자는 디지털 영상과 같은 2차원 데이터에 적용할 수 있는 2D-SSA이다(Golyandina and Usevich, 2010).궤적 매트릭스의 아날로그는 ${\displaystyle L_{}}$ x x${\displaystyle {}_{}}$× ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\$ 크기의 2D 창을 이동하여 생성된다$.$

MSSA 및 인과 관계

시계열 분석에서 자주 발생하는 문제는 한 경제 변수가 다른 경제 변수를 예측하는 데 도움이 될 수 있느냐다.이 문제를 해결하는 한 가지 방법은 그레인저(1969년)에 의해 제안되었는데, 그 속에서 그는 인과관계 개념을 공식화하였다.최근 MSSA에 기반한 종합적인 인과관계 테스트가 인과관계 측정을 위해 도입되었다.이 테스트는 MSSA 알고리즘의 변화 방향에 대한 예측 정확도와 예측 가능성에 기초한다(Hassani et al., 2011 및 Hassani et al.,2012).

MSSA 및 EMH

MSSA 예측 결과는 효율적인 시장 가설 논란(EMH)을 조사하는 데 사용될 수 있다.EMH는 자산의 가격 시리즈에 포함된 정보를 자산의 현재 가격에 "즉시, 완전, 영구적으로" 반영할 것을 제안한다.가격 시리즈와 그 안에 포함된 정보는 모든 시장 참여자가 이용할 수 있기 때문에 시장에서 거래함으로써 자산의 가격 이력에 포함된 정보를 이용하려고 하면 아무도 이익을 얻을 수 없다.이는 SSA 분석에서 다변량 시스템에서 영상 시리즈 길이가 다른 두 영상 시리즈를 사용하여 평가된다(Hassani et al. 2010).

MSSA, SSA 및 비즈니스 주기

경기 순환은 거시경제학에서 핵심적인 역할을 하며, 중앙은행, 정책 입안자, 금융 중개자 등 경제의 다양한 주체들의 관심사다.최근 MSSA 기반의 경기순환 추적방법이 도입되어 경제의 순환적 위치를 실시간으로 신뢰성 있게 평가할 수 있는 것으로 나타났다(de Carvalho et al., 2012, de Carvalho and Rua, 2017).

MSSA, SSA 및 단위 루트

SSA의 어떤 종류의 고정 또는 결정적으로 추세적인 시리즈에 대한 적용 가능성은 단위 루트를 갖는 시리즈라고도 알려진 확률적 추세를 가진 시리즈의 경우로 확장되었다.하사니와 토마코스(2010년)와 토마코스(2010년)에서는 몇 가지 예와 함께 단위뿌리의 시리즈인 경우 SSA의 특성과 적용에 관한 기본이론을 제시한다.그러한 시리즈에서 SSA는 형태와 스펙트럼 특성이 도출되는 특수한 종류의 필터를 생산하며, 재구성된 단일 구성요소의 예측은 이동 평균으로 감소한다.따라서 단위 루트의 SSA는 단위 루트로 시리즈를 평활하기 위한 '최적화' 비모수 프레임워크를 제공한다.이 작업 라인은 또한 두 시리즈 모두 단위 루트를 가지고 있지만 공동 통합되어 있는 두 시리즈의 경우로 확장된다.이 이바리테이트 프레임워크에 SSA를 적용하면 공통 루트 성분의 평활 시리즈가 생성된다.

갭 필링

SSA의 틈새 채우기 버전은 불균일하게 샘플링되거나 누락된 데이터가 포함된 데이터 세트를 분석하는 데 사용될 수 있다(Schoellhamer, 2001; 골얀디나와 Osipov, 2007).

Schoellhamer(2001)는 알 수 없는 조건을 생략하고 대략적인 내부 제품을 공식적으로 계산하는 간단한 아이디어가 긴 정지 시간 시리즈에서 실행 가능하다는 것을 보여준다.골얀디나와 오시포프(2007)는 주어진 하위 공간에서 가져간 벡터에 누락된 항목을 입력하는 아이디어를 사용한다.반복적이고 벡터 SSA 예측은 논문에 기술된 알고리즘을 채우는 특정 사례로 간주할 수 있다.

구조 변화 감지

SSA는 시계열 감시와 변화 탐지의 비모수적 방법으로 효과적으로 사용될 수 있다.이를 위해 SSA는 다음과 같은 방법으로 서브 스페이스 추적을 수행한다.SSA는 시리즈의 초기 부분에 순차적으로 적용되며, 해당 신호 서브스페이스를 구성하고, 이러한 서브스페이스와 가장 최근의 관측치 몇 개에서 형성된 지연 벡터 사이의 거리를 점검한다.이러한 거리가 너무 커지면 시리즈에서 구조적 변화가 발생한 것으로 의심된다(골리안디나 외, 2001년, Ch.3; Moskbina 및 Zhigljavsky, 2003).

이러한 방식으로 SSA는 추세뿐 아니라 시리즈의 가변성, 즉 서로 다른 시리즈 간 및 소음 구조 간 의존도를 결정하는 메커니즘에서 변화 탐지에 사용될 수 있다.이 방법은 서로 다른 공학 문제(예: 로봇공학에서는 모하마드와 니시다(2011년))에 유용하다는 것이 입증되었고, 검출 지연과 거짓 양성률에 대한 상응하는 분석으로 다변량 사례로 확대되었다.^[1]

SSA와 기타 방법의 관계

SSA와 자기회귀.Typical model for SSA is ${\displaystyle x_{n}=s_{n}+e_{n}}$, where ${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{r}a_{k}s_{n-k}}$ (signal satisfying an LRR) and ${\displaystyle e_{n}}$ is noise.AR 모델은 x ${\displaystyle n_{}}$= ${\displaystyle \underset{k}{\overset{}{}}}$= 1 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{r}}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ x -${\displaystyle k_{}}$+ ${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 이 두 모델은 비슷하게 생겼음에도 불구하고 매우 다르다.SSA는 AR을 소음 성분으로만 간주한다.빨간색 노이즈인 AR(1)은 몬테카를로 SSA의 대표적인 소음 모델이다(Allen and Smith, 1996).

SSA 및 스펙트럼 푸리에 분석.사인 및 코사인 함수의 고정된 기초를 가진 푸리에 분석과는 대조적으로 SSA는 시계열 자체에서 생성된 적응적 기준을 사용한다.그 결과 SSA의 기본 모델은 보다 일반적이며 SSA는 $k{\displaystyle /N}$ ${\displaystyle k/N}$과 다른 주파수로 진폭 변조 사인파 성분을 추출할 수 있다$.$ ESPRIT와 같은 SSA 관련 방법은 스펙트럼 푸리에 분석보다 높은 분해능으로 주파수를 추정할 수 있다.

SSA 및 선형 재발 관계.선형 재발 관계 ${\displaystyle s_{}}$ $n{\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{k}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ r ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$- ${\displaystyle k_{}}$ s ${\$ 즉 지수, 다항식 및 사인파 함수의 곱 합으로 나타낼 수 있는 시리즈로 신호를 모델링한다.This includes the sum of dumped sinusoids model whose complex-valued form is ${\displaystyle s_{n}=\sum _{k}C_{k}\rho _{k}^{n}e^{i2\pi \omega _{k}n}}$. SSA-related methods allow estimation of frequencies ${\displaystyle \omega _{k}}$ and exponential factors ${\displaystyle {\rho }_k}$${\displaystyle \rho _{k}($골리안디나와 지글자브스키, 2013년, 3.8장).계수 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$는 최소 제곱법으로 추정할$$ 수 있다.$C{\displaystyle }$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$가 n ${\displaystyle n}$의 다항식으로 대체되는$$ 모델의 확장도 SSA 관련 방법 내에서 고려할 수 있다$($Badeau et al., 2008).

SSA 및 신호 하위 공간 메서드.SSA는 ${\displaystyle \mathrm{치수}}$ $r{\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystyle r}$의 신호 $하위{\displaystyle }$ 공간을 s p ${\displaystyle \mathrm{a}}$ n ${\displaystyle ({U\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle U_{}}$ r${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \mathop {\mathrm {span}}(U_{1},\ldots ,U_{r})$로 추정할 수 있기 때문에 하위 공간 기반 방법으로 간주할 수 있다$.$

SSA 및 State Space Models.The main model behind SSA is ${\displaystyle x_{n}=s_{n}+e_{n}}$, where ${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{r}a_{k}s_{n-k}}$ and ${\displaystyle e_{n}}$ is noise.형식적으로 이 모델은 국가 우주 모델의 일반계급에 속한다.SSA의 구체적인 내용은 매개변수 추정이 SSA에서 2차 중요도의 문제이며 SSA의 데이터 분석 절차는 궤적 또는 지연 공분산 행렬의 SVD에 기초하기 때문에 비선형적이라는 사실에 있다.

SSA 및 독립 성분 분석(ICA).SSA는 ICA에 의한 사전 처리 단계로서 블라인드 소스 분리에 사용된다(Pietilé et al., 2006).반면에 ICA는 더 나은 분리성을 달성하기 위해 SSA 알고리즘의 SVD 단계의 대체물로 사용될 수 있다(골얀디나와 지글자브스키, 2013년, 제2.5.4장).

SSA 및 회귀 분석.SSA는 다항식 및 지수 추세를 추출할 수 있다.그러나 회귀 분석과 달리 SSA는 명확한 모델이 없는 상태에서 탐색 데이터 분석을 수행할 때 유의미한 이점을 줄 수 있는 모수 모델을 가정하지 않는다(Golyandina 등, 2001, Cho.1).

SSA 및 선형 필터.SSA에 의한 시리즈 재구성은 적응형 선형 여과로 간주할 수 있다.If the window length ${\displaystyle L}$ is small, then each eigenvector ${\displaystyle U_{i}=(u_{1},\ldots ,u_{L})^{\mathrm {T} }}$ generates a linear filter of width ${\displaystyle 2L-1}$ for reconstruction of the middle of the series ${\displaystyle {$$\widetile{x}_{s$ $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L\leq$ s$\leq K$ 여과가 비침습이다.그러나 소위 라스트 포인트 SSA는 인과 여과(Golyandina and Zhigljavsky 2013, 3.9장)로 사용할 수 있다.

SSA 및 밀도 추정.SSA는 데이터 평활 방법으로 사용할 수 있으므로 비모수 밀도 추정 방법으로 사용할 수 있다(Golyandina et al., 2012).

참고 항목

• 다중접속법
• 단시간 푸리에 변환
• 스펙트럼 밀도 추정

참조

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• 에 관한
• 패키地와 의께 R NECTI 예
• R적용 SSA(R)에서
• 및상동지(R)
• 비즈니스 주기 추적을 위한 다변량 단일 주파수 필터
• VBAVBA를(Excel Demo With VBA) 한국 기술자(Stevency) Excel 데모.
• MatlabMatlablablablabilt와 함께 .
• MatlabMatlablablabilt와
• 줄리아의 특이 스펙트럼 분석