스타이너 시스템

조합 수학에서 Steiner 시스템(Jakob Steiner의 이름을 따서 명명)은 블록 설계의 한 유형이며, 특히 = = 1과 t = 2 또는 (최근) t 2 2를 갖는 t-설계도 있다.

매개변수 t, k, n, S(t,k,n)를 가진 Steiner 시스템은 S의 각 t-element subsets 집합(블록이라 함)과 함께 n-element sets S와 각 s의 t-element subset가 정확히 하나의 블록에 포함되어 있는 속성이다.블럭 설계에 대한 대체 표기법에서 S(t,k,n)는 t-(n,k,1) 설계일 것이다.

이 정의는 비교적 새로운 것이다.스테이너 시스템의 고전적 정의에도 k = t + 1. 안 S(2,3,n)는 스테이너 3중(또는 3중)계라고 불린 반면, S(3,4,n)는 슈타이너 4중계라고 하는 등등이 요구되었다.정의가 일반화됨에 따라, 이 명명 체계는 더 이상 엄격하게 지켜지지 않는다.

설계 이론의 오랜 문제점은 t ≥ 6을 가진 비종교적 Steiner 시스템(비종교적 의미 t < k < n))이 존재하는지 여부였다. 또한 무한히 많은 사람들이 t = 4 또는 5를 가지고 있는지 여부였다.^[1]두 가지 존재는 모두 2014년 피터 키바시에 의해 증명되었다.그의 증거는 비건설적이며, 2019년 현재 t의 큰 가치로 알려진 실제 스타이너 시스템은 없다.^[2][3][4]

Steiner 시스템의 유형

선들을 블럭으로 하는 q 순서의 유한 투영 평면은 s(2, q + 1, q² + q + 1)로, q + 1 포인트를 가지고 있기 때문에 각 선은 q² + 1 포인트를 통과하며, 각 선 쌍의 구별되는 점은 정확히 한 선에 놓여 있다.

선들을 블럭으로 하는 순서 q의 유한 부착면은 S(2, q, q²)이다.순서 q의 부착면은 하나의 블록과 그 블록의 모든 점을 투사면에서 제거함으로써 동일한 순서의 투사면에서 얻을 수 있다.이러한 방법으로 제거할 여러 블록을 선택하는 것은 비이형성 아핀 평면으로 이어질 수 있다.

S(3,4,n)는 Steiner 4중계라고 불린다.S(3,4,n)의 존재에 필요한 충분한 조건은 n $\equiv {\displaystyle }$ ${\displaystyle \equiv }$ 2 또는$$ 4(mod 6)이다.이러한 시스템에는 흔히 SQS(n)라는 약어가 사용된다.이형성까지, SQS(8)와 SQS(10)가 고유하며, 4 SQS(14)와 1054,163 SQS(16)가 있다.^[5]

S(4,5,n)는 Steiner 5중주 시스템이라고 불린다.그러한 시스템의 존재에 필요한 조건은 n${\displaystyle }$n ${\displaystyle \equiv }$ 3 또는$$ 5 (mod 6)이며, 이는 모든 고전적인 Steiner 시스템에 적용되는 고려사항에서 비롯된다.추가적으로 필요한 조건은 n $\not\equiv {\displaystyle }$ ${\displaystyle \not \equiv }$ 4$$ (mod 5)인데, 이는 블럭 수가 정수여야 한다는 사실에서 비롯된다.충분한 조건을 알 수 없다.오더 11의 독특한 슈타이너 5중주 체계가 있지만 오더 15나 오더 17은 하나도 없다.^[6]시스템은 주문 23, 35, 47, 71, 83, 107, 131, 167, 243으로 알려져 있다.존재를 알 수 없는 가장 작은 순서는 21(2011년 기준)이다.

슈타이너 트리플 시스템

S(2,3,n)는 Steiner 3중계라고 불리며, 그것의 블록은 3중계라고 불린다.steiner triple system of order n의 약자 STS(n)를 흔히 볼 수 있다.쌍의 총수는 n(n-1)/2이며, 그 중 3개가 3배로 나타나므로 총 3배수는 n(n-1)/6이다.이것은 n이 일부 k에 대해 6k+1 또는 6k + 3 형식이어야 함을 보여준다.n에 대한 이 조건이 S(2,3,n)의 존재에 충분하다는 사실은 라즈 찬드라 보세와^[7] T에 의해 증명되었다.스콜렘.^[8]순서 2의 투영면(Fano 평면)은 STS(7)이고 순서 3의 아핀면은 STS(9)이다.이형성까지 STS(7)와 STS(9)가 유일하며 STS(13)가 2개, STS(15)가 80개, STS(19개)가 11,084,874,829개다.^[9]

우리는 모든 a in S에 대해 aa = a를 설정하고, {a,b,c}이(가) 삼중인 경우 ab = c를 설정하여 Steiner 3중 시스템을 사용하여 집합 S에 곱셈을 정의할 수 있다.이것은 S를 특유하고, 상호 작용하는 Quas그룹으로 만든다.Ab = c가 암시하는 추가 속성을 가지고 있다.^{[note 1]} 반대로 이러한 속성을 가진 (마인드) 쿼이그룹은 스타이너 3중 시스템에서 발생한다.이 추가 특성을 만족하는 공통 IDempotent Quas그룹들은 Steiner Quas그룹이라고 불린다.^[10]

확인 가능한 Steiner 시스템

S(2,3,n) 시스템 중 일부는 블록을 각각 (n-1)/2 세트의 (n/3) 세트로 분할할 수 있다.이것을 해결 가능한 시스템이라고 하며, 그러한 시스템들은 슈타이너 이전에 그러한 해결 가능한 시스템을 연구한 토마스 커크먼의 이름을 따서 커크맨 트리플 시스템이라고 부른다.데일 메스너, 얼 크레이머 등에서는 서로 분리된 슈타이너 트리플 시스템의 컬렉션을 조사했다(즉, 그러한 컬렉션에서 두 개의 슈타이너 시스템이 공통의 트리플트를 공유하지 않는다).(Bays 1917년, 크레이머 &, Mesner 1974년)그 7개의 각기 다른 S(2,3,9)시스템을 9-set에 모두 84세 쌍둥이를 충당하기 위해 생성할 수 있다;그것은 그들에 의해가 둘non-isomorphic 해결책으로 재표기에서 multiplicities 6720과 8640 respec으로 줄이15360 다른 방법 해결책의 7-sets을 찾기 위해, 알려져 있다고 알려져 있다.tiv엘리의

13개의 서로 다른 분리형 S(2,3,15) 시스템을 찾기 위한 상응하는 질문은 커크먼의 여학생 문제의 연장선상에서 1860년 제임스 실베스터에 의해 요청되었는데, 즉 커크먼의 여학생들이 전체 학기에 걸쳐 3중 3중의 여학생들이 반복되지 않고 13주 동안 전체 학기를 행진할 수 있는지 여부였다.이 문제는 1974년 RHF Denniston에 의해 해결되었는데,^[11] 그는 Week 1을 다음과 같이 구성했다.

Day 1 ABJ CEM FKL HIN DGO Day 2 ACH DEI FGM JLN BKO Day 3 ADL BHM GIK CFN EJO Day 4 AEG BIL CJK DMN FHO Day 5 AFI BCD GHJ EKN LMO Day 6 AKM DFJ EHL BGN CIO Day 7 BEF CGL DHK IJM ANO

A에서 O로 라벨을 붙이고, A에서 B로, B에서 C로, ...로 변경하여 바로 전임자로부터 다음 주의 솔루션을 구축했다.L에서 M으로, M은 A로, 모두 N과 O를 변경하지 않고 그대로 둔다.13주 해결책은, 다시 본을 뜨자마자, 1주 해결책으로 되돌아간다.데니스톤은 논문에서 자신이 고용한 검색은 레스터 대학의 엘리엇 4130 컴퓨터에 7시간이 걸렸고, 그는 독특함을 확립할 생각은 하지 않고 위의 해결책을 찾는 검색을 즉시 끝냈다고 보고했다.실베스터 문제에 대한 비이형적 해결책의 수는 2021년 현재 알려지지 않고 있다.

특성.

t, k, n)의 정의에서 볼 때 < t< k < [\$displaystyle$ 1$<t<k<n}$. (평등도는 기술적으로는 가능하지만, 사소한 시스템으로 이어진다는 것은 분명하다.

S(t, k, n)가 존재하는 경우, 특정 요소를 포함하는 모든 블록을 가져다가 해당 요소를 폐기하면 파생 시스템 S(t-1, k-1, n-1)가 된다.따라서 S(t-1, k-1, n-1)의 존재는 S(t, k, n)의 존재에 필요한 조건이다.

S에서 t-element subset의 수는$($t ) {\$displaystyle$ {\$tbinom$ {$n}{t}}$이고$,$ 각 블록의 t-element subset 수는${\displaystyle }$(${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{k}{}}$ t${\displaystyle }$) ${\$이다$.$ $모든$ t-elementset은 정확히 하나의 블록에 포함되기 때문에 (${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{t}{}}$)${\displaystyle }$= b =${\displaystyle }$(${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{k}{}}$ $)$$스타일 {\tbinom {n}{t}=b{\tbinom {k}{t}},$또는

${\displaystyle b={\frac {\tbinom {n}{t}}}{\tbinom {k}}={\frac {n-1)\cdots(n-t+1){k(k-t+1)},},}$

여기서 b는 블럭 수입니다.특정 요소를 포함하는 t-element 하위 집합에 대한 유사한 추론은 우리에게${\displaystyle }$(${\displaystyle n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$- ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{t}}{}}$- 1${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$)${\displaystyle }$= r${\displaystyle }$( ${\displaystyle k\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$- 1 ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$- $){\$ 또는 {k-1}, 또는

${\displaystyle r={\frac {\tbinom {n-1}{t-1}}{\tbinom {k-1}{t-1}}}}$ =${\displaystyle {\frac {(n-t+1)\cdots (n-2)(n-1)}{(k-t+1)\cdots (k-2)(k-1)}},}$

여기서 r은 주어진 요소를 포함하는 블럭 수입니다.이러한 정의로부터 b ${\displaystyle k}$= ${\displaystyle r}$ n ${\displaystyle bk=rn}$ 등식을 따른다$.$b와 r이 정수인 것은 S(t, k, n)의 존재에 필요한 조건이다.어떤 블록 설계와 마찬가지로, 피셔의 불평등 $b{\displaystyle }$inequalityn {\$displaystyle b\$geqn$}은 Steiner$ 시스템에서 사실이다.

적어도 하나의 블록에 포함된 Steiner 시스템 S(t, k, n)와 $크기{\displaystyle {}^{}}$ t ${\displaystyle \prime }$ subset ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle$ t$'\leq$ t$\}$의 부분 집합의 매개변수를 고려할 때, Pascal 삼각형을 구성하여 고정된 수의 요소에서 부분 집합과 교차하는 블록 수를 계산할 수 있다.^[12]특히 요소 수에 관계없이 고정된 블록을 교차하는 블록의 수는 선택한 블록과 독립적이다.

I-element 점 집합을 포함하는 블럭 수는 다음과 같다.

$\displaystyle \lambda _{i}=\왼쪽.{\binom {n-i}{t-i}\right/{\binom {k-i}{t-i}}{\text{{}}}{}i=0,1,\ldots,t,}$

k가 1보다 큰 1차 전력인 Steiner 시스템 S(2, k, n)가 있다면 n${\displaystyle }${ ${\displaystyle \equiv$} 1 또는 k(mod k(k-1)임을 알 수 있다.특히 Steiner 트리플 시스템 S(2, 3, n)는 n = 6m + 1 또는 6m + 3을 가져야 한다.그리고 이미 언급한 바와 같이, 이것은 Steiner 3중 시스템에 대한 유일한 제한으로, 즉 각 자연수 m에 대해 시스템 S(2, 3, 6m + 1)와 S(2, 3, 6m + 3)가 존재한다.

역사

Steiner 3중 시스템은 1844년 Wesley S. B. Woolhouse에 의해 처음으로 정의되었다. 신사 숙녀 일기의 수상 질문 #1733.^[13]제기된 문제는 토마스 커크먼(1847년)이 해결했다.1850년에 커크맨은 커크맨의 여학생 문제라고 알려진 문제의 변형을 제기했는데, 이 문제는 트리플 시스템이 추가적인 특성(복원성)을 가질 것을 요구한다.커크만의 작품을 모르는 야콥 스타이너(1853)는 트리플 시스템을 다시 도입했고, 이 작품이 더욱 널리 알려지자 커크만의 명예를 걸고 그 시스템들이 명명되었다.

마티외 그룹

스타이너 시스템의 몇 가지 예는 집단 이론과 밀접하게 관련되어 있다.특히 마티외 그룹이라 불리는 유한단순 집단은 스타이너 시스템의 오토모피즘 집단으로 다음과 같이 생겨난다.

• Mathieu 그룹₁₁ M은 S (4,5,11) Steiner 시스템의 자동형 그룹이다.
• Mathieu 그룹₁₂ M은 S (5,6,12) Steiner 시스템의 자동형 그룹이다.
• Mathieu 그룹₂₂ M은 S(3,6,22) Steiner 시스템의 자동형성 그룹의 고유한 지수 2 서브그룹이다.
• Mathieu 그룹₂₃ M은 S (4,7,23) Steiner 시스템의 자동형 그룹이다.
• Mathieu 그룹₂₄ M은 S (5,8,24) Steiner 시스템의 자동형 그룹이다.

Steiner 시스템 S(5, 6, 12)

독특한 S (5,6,12) Steiner 체계가 있다; 그것의 오토모피즘 집단은 마티외 그룹₁₂ M이며, 그러한 맥락에서 그것은₁₂ W에 의해 표시된다.

투영선 건설

이 공사는 카마이클(1937년) 덕분이다.^[14]

유한장 F의₁₁ 11개 요소(즉, 정수 module 11)에 새로운 요소를 추가한다.12개 요소의 이 세트인 S는 F에₁₁ 대한 투영 선의 점으로 공식적으로 식별할 수 있다.다음의 6사이즈 서브셋을 호출한다.

${\displaystyle \{\fty,1,3,4,5,9\}}$

"블록" (F의₁₁ 5개의 0이 아닌 제곱과 함께 ∞을 포함한다).이 블록에서 선형 부분 변환을 반복적으로 적용하여 S(5,6,12) 시스템의 다른 블록을 얻는다.

${\displaystyle z'=f(z)={\frac {az+b}{cz+d},}$

여기서 a,b,c,d는 F와₁₁ ad-bc = 1이다.f(-d/c) = ∞, f(∞) = a/c를 정의하는 통상적인 규약으로, 이들 함수는 세트 S를 그 자체에 매핑한다.기하학 언어에서 그것들은 투영 선의 투영성이다.그들은 순서 660의 투영 특수 선형 그룹 PSL(2,11)인 구성 하에 그룹을 형성한다.출발 블록을 세로로 고정된 상태로 유지하는 요소, ^[15]즉 b=c=0과 ad=1로 f(z)가 z가² 되도록 하는 요소들이 이 그룹의 정확히 5개 있다.그래서 660/5 = 132개의 블록 이미지가 있을 것이다.이 세트에 작용하는 이 그룹의 곱셈 전이적 특성의 결과로서, S의 5개 원소의 어떤 부분집합은 크기 6의 132 이미지 중 정확히 한 가지에 나타날 것이다.

키튼 건설

W의₁₂ 대체구조는 R.T. 커티스의 '키튼'을 사용하여 얻어지는데,^[16] 이는 블록을 한 번에 하나씩 적는 '핸드 계산기'로 의도되었다.키튼 방법은 3x3의 숫자 그리드에서 패턴을 완성하는 것에 기초하고 있는데, 이는 S(2,3,9) 시스템인 벡터 공간 FxF에서₃₃ 아핀 기하학을 나타낸다.

K₆ 그래프 인자화를 통한 시공

전체 그래프 K의₆ 그래프 요인 간의 관계는 S(5,6,12)를 생성한다.^[17]K₆ 그래프는 6개의 꼭지점, 15개의 가장자리, 15개의 완벽한 일치, 6개의 다른 1-요인화를 가지고 있다.정점 집합(123456)과 인수 집합(ABCDEF)은 각각 하나의 블록을 제공한다.모든 요인 쌍에는 정확히 하나의 완벽한 일치가 공통적으로 있다.요인 A와 B가 에지 12, 34 및 56과 공통 일치를 가지고 있다고 가정합시다.공통 일치의 각 에지를 차례로 인자화 라벨과 교체하면서 세 개의 새 블록 AB3456, 12AB56 및 1234AB를 추가한다.마찬가지로 블럭 12CDEF, 34CDEF 및 56CDEF를 세 개 더 추가하여 공통 일치의 해당 에지 레이블로 인자화 레이블을 대체한다.모든 15쌍의 요인화에 대해 이 작업을 수행하여 90개의 새 블럭을 추가하십시오.마지막으로${\displaystyle }$(${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{12}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{6}{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 924}$ ${\displaystyle {\tbinom {12}{6}{$6}}=$924}$의 전체 집합을 취하여 지금까지 생성된 92개 블록 중 하나와 공통적으로 5개 이상의 개체를 가진 모든 조합을 폐기하십시오.정확히 40개의 블록이 남아 있어 2 + 90 + 40 = 132개의 S 블록(5,6,12)이 발생한다.이 방법은 대칭 그룹 S에₆ 외부 자동형성이 있기 때문에 정점을 인자화, 가장자리는 분할에 매핑한다.정점을 허용하면 요인화가 외부 자동화에 따라 다르게 허용된다.

Steiner 시스템 S(5, 8, 24)

위트 설계 또는 위트 기하학으로도 알려진 슈타이너 시스템 S(5, 8, 24)는 카마이클(1931)이 처음 설명하고 위트(1938)가 재발견했다.이 시스템은 산발적으로 단순한 많은 그룹과 리치 격자로 알려진 예외적인 24차원 격자와 연결되어 있다.S(5, 8, 24)의 자동형성 그룹은 마티외 그룹 M이며₂₄, 그러한 맥락에서 설계는 W₂₄("Witt"의 경우 W)로 표시된다.

직접 사전 생성

24개 요소 집합의 모든 8개 요소 하위 집합은 사전 편찬 순서로 생성되며, 4개 미만의 위치에서 이미 발견된 일부 하위 집합과 다른 하위 집합은 폐기된다.

01, 02, 03, ..., 22, 23, 24 원소의 옥타드 목록은 다음과 같다.

01 02 03 04 05 06 07 08

01 02 03 04 09 10 11 12

01 02 03 04 13 14 15 16

.

. (다음 753 옥타드 생략)

.

13 14 15 16 17 18 19 20

13 14 15 16 21 22 23 24

17 18 19 20 21 22 23 24

각각의 원소는 어떤 옥타드에서 253번 발생한다.각각의 쌍은 77번 발생한다.각각의 세 쌍은 21번 일어난다.각각의 4중(테트라드)은 5번 발생한다.각 5중주(펜타드)는 한 번 발생한다.모든 육각류, 헵타드 또는 옥타드가 발생하는 것은 아니다.

바이너리 골레이 코드의 구성

24비트 바이너리 골레이 코드의 4096개의 코드 워드가 생성되며, 해밍 웨이트 8의 코드 워드는 S(5,8,24) 시스템에 해당한다.

골레이 코드는 사전순으로 24비트 이진 문자열을 모두 생성하고 8개 미만의 위치에서 일부 이전 문자열과 다른 문자열을 삭제하는 등 여러 가지 방법으로 구성할 수 있다.결과는 다음과 같다.

00000000000000000000000000000000000000001111111111110000111. (다음 4090 24비트 문자열 생략) 1111111111111100110000000011111111110000001111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111.

암호는 XOR 작전에 따라 그룹을 형성한다.

투영선 건설

이 공사는 카마이클(1931년) 덕분이다.^[18]

유한장 F의₂₃ 23개 요소(즉, 정수 mod 23)에 새로운 요소를 추가한다.24개 요소의 이 세트인 S는 F에₂₃ 걸친 투영 선의 점으로 공식적으로 식별할 수 있다.다음의 8사이즈 서브셋을 호출한다.

${\displaystyle \{\fty ,0,1,3,12,15,21,22\}}$

"블록" (확장 바이너리 골레이 코드의 옥타드, 2차 잔류 코드로 볼 수 있다.)이 블록에서 선형 부분 변환을 반복적으로 적용하여 S(5,8,24) 시스템의 다른 블록을 얻는다.

${\displaystyle z'=f(z)={\frac {az+b}{cz+d},}$

여기서 a,b,c,d는 F와₂₃ ad-bc = 1이다.f(-d/c) = ∞, f(∞) = a/c를 정의하는 통상적인 규약으로, 이들 함수는 세트 S를 그 자체에 매핑한다.기하학 언어에서 그것들은 투영 선의 투영성이다.그들은 6072년 순서의 투영 특수 선형 그룹 PSL(2,23)인 구성 하에 그룹을 형성한다.이 그룹에는 정확히 초기 블록을 세팅하여 고정시키는 8개의 요소가 있다.따라서 6072/8 = 759개의 블록 이미지가 있을 것이다.이것들은 S의 옥타드를 형성한다.

미라클 옥타드 제너레이터로부터의 건설

MOG(Miracle Octad Generator)는 지정된 하위 집합을 포함하는 것과 같은 옥타드를 생성하는 도구다.4x6 배열로 구성되며, 행에 특정 가중치가 할당된다.특히 8개 서브셋은 S(5,8,24)의 옥타드가 되기 위해 세 가지 규칙을 준수해야 한다.첫째, 6개의 각 열은 동일한 패리티를 가져야 한다. 즉, 모두 홀수 수의 셀을 가져야 한다. 또는 짝수 수의 셀을 가져야 한다.둘째, 맨 위 행은 각 열과 동일한 패리티를 가져야 한다.셋째, 행에 각각 0, 1, 2, 3의 가중치를 순서 4의 유한한 필드에 곱하고, 6개의 열에 대한 열 합계를 계산하여 유한한 필드 산술 정의를 이용하여 곱셈과 덧셈을 한다.결과 열 합계는 형식(a, b, c, a + b + c, 3a + 2b + c, 2a + 3b + c)의 유효한 육각문자를 형성해야 하며, 여기서 a, b, c도 순서 4의 유한한 분야에서 나온다.열의 합계가 행 합계 패리티 또는 서로 일치하지 않거나, 열의 합계가 유효한 16진법을 형성하는 a, b, c가 존재하지 않는 경우, 8의 부분 집합은 S의 옥타드가 아니다.

MOG는 8세트를 두 개의 서로 다른 4세트로 분할하는 35가지 방법과 Fano 3-공간 PG(3,2)의 35개 라인 사이의 편향(Conwell 1910, "Conwell 3-space PG" 및 그 그룹)을 만드는 것에 기초한다.It is also geometrically related (Cullinane, "Symmetry Invariance in a Diamond Ring", Notices of the AMS, pp A193-194, Feb 1979) to the 35 different ways to partition a 4x4 array into 4 different groups of 4 cells each, such that if the 4x4 array represents a four-dimensional finite affine space, then the groups form a set of parallel subspaces.

참고 항목

• 상수중량코드
• 커크먼의 여학생 문제
• 실베스터-갈라이 구성

메모들

참조

참조

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• Assmus, E.F.; Key, J.D. (1992), Designs and Their Codes, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-41361-9
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외부 링크

위키미디어 커먼즈에는 스타이너 시스템과 관련된 미디어가 있다.

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• 앤드리스 브루워별 스타이너 시스템
• 알베르토 델가도 박사, 게이브 하트, 마이클 콜케벡의 S(5,8,24) 구현
• S(5, 8, 24) Johan E의 소프트웨어 및 목록메비우스