순수주의

순수주의는 유한한 수학적 사물의 존재만을 받아들이는 수학철학이다. 무한 수학 객체(예: 무한 집합)가 합법적인 것으로 받아들여지는 수학의 주류 철학에 비해 가장 잘 이해된다.

주요 아이디어

피니티즘 수학의 주요 개념은 무한 집합과 같은 무한한 객체의 존재를 받아들이지 않는 것이다. 모든 자연수는 존재하는 것으로 받아들여지지만, 모든 자연수의 집합은 수학적인 개체로서 존재하는 것으로 간주되지 않는다. 따라서 무한 영역에 대한 계량화는 의미 있는 것으로 간주되지 않는다. 종종 순수주의와 관련된 수학 이론은 Thoralf Scolem의 원시적인 재귀 산술이다.

역사

무한 수학적 사물의 도입은 몇 세기 전에 일어났는데, 무한 수학적 사물의 사용이 이미 수학자들 사이에서 논쟁의 여지가 있는 주제였다. 이 문제는 1874년 게오르그 칸토르가 현재 순진한 세트 이론이라고 불리는 것을 소개하면서 새로운 국면에 접어들었고, 그것을 트랜스피나이트 수 연구 근거지로 삼았다. 캔터의 순진한 세트 이론에서 러셀의 역설, 베리의 역설, 부랄리-포르티 역설과 같은 역설들이 발견되었을 때, 이 문제는 수학자들 사이에서 뜨거운 화제가 되었다.

수학자들이 취하는 다양한 입장이 있었다. 모두 자연수와 같은 유한한 수학적 객체에 대해 동의했다. 그러나 무한대의 수학적 물체에 대해서는 의견이 분분했다. 한 가지 입장은 L. E. J. 브루워에 의해 주창된 직관적 수학이었는데, 브루워는 그것들이 만들어질 때까지 무한한 물체의 존재를 거부하였다.

또 다른 입장은 David Hilbert에 의해 지지되었다: 유한한 수학 물체는 구체적인 물체, 무한의 수학 물체는 이상적인 물체, 그리고 이상적인 수학적 물체를 받아들이는 것은 유한한 수학 물체와 관련된 문제를 일으키지 않는다. 좀 더 형식적으로 힐버트는 이상적인 무한의 물체를 사용하여 얻을 수 있는 유한한 수학 물체에 대한 어떤 정리도 그것들 없이도 얻을 수 있다는 것을 보여주는 것이 가능하다고 믿었다. 따라서 무한정 수학적 사물을 허용하는 것은 유한한 사물에 관한 문제를 일으키지 않을 것이다. 이것은 이상적인 수학적 물체를 추가하는 것이 피니티즘적인 부분보다 보수적이라는 것을 암시할 수 있기 때문에, 피니티즘적인 수단을 사용하여 세트 이론의 일관성과 완전성을 모두 증명하는 힐버트의 프로그램으로 이어졌다. 힐버트의 견해는 수학의 형식주의 철학과도 관련이 있다. 세트 이론의 일관성과 완전성을 증명하거나 심지어 산술적인 수단을 통해 산술까지 증명하려는 힐베르트의 목표는 커트 괴델의 불완전성 정리 때문에 불가능한 작업으로 판명되었다. 그러나 하비 프리드먼의 대견한 추측에 의하면 대부분의 수학적인 결과는 미세한 수단을 사용하여 증명할 수 있다는 것을 암시할 수 있을 것이다.

힐버트는 자신이 미완성적이라고 간주하고 초등이라고 지칭하는 것에 대해 엄격한 설명을 하지 않았다. 그러나, 폴 버네이즈와의 연구에 기초하여 윌리엄 타이트와 같은 일부 전문가들은 힐버트가 finitistic 수학을 고려했을 때 원시적인 재귀적 산술은 상한으로 간주될 수 있다고 주장해왔다.

괴델의 이론이 있은 후 몇 년 동안, 수학의 일관성을 증명할 희망이 없다는 것이 분명해졌고, 제르멜로-프렌켈 집합 이론과 같은 자명적인 집합 이론이 발전하고 일관성에 반하는 어떤 증거도 결여되면서, 대부분의 수학자들은 이 주제에 흥미를 잃었다. 오늘날 대부분의 고전 수학자들은 플라톤주의자로 간주되어 무한의 수학적 물체와 세트이론적 우주를 쉽게 사용한다.^{[citation needed]}

고전적 친유대 vs 엄격한 친유대주의

'세트 이론의 철학'이라는 책에서 메리 타일즈는 잠재적으로 무한한 물체를 허용하는 사람들을 고전적인 피니티스트로서, 그리고 잠재적으로 무한한 물체를 허용하지 않는 사람들을 엄격한 피니티스트로서 특징지었다. 예를 들어, 고전적인 피니티스트들은 "모든 자연적인 숫자에 후계자가 있다"와 같은 진술을 허용하고 의미 있는 것을 받아들인다.엄격한 마무리론자는 그렇지 않지만, 유한 부분 합계의 한계라는 의미에서 무한 계열의 ss. 역사적으로, 칸토르가 19세기 말에 트랜스피니트 추기경의 위계를 만들기 전까지는 수학의 글로 쓰여진 역사는 따라서 분류학적으로 마무리되었다.

무한 수학 객체 관련 보기

레오폴드 크로네커는 칸토르의 이론에 대해 강경한 반대자로 남아 있었다.^[1]

신은 정수를 창조하셨고, 다른 모든 것은 인간의 일이다.^[2]

르우벤 굿스타인은 또 다른 친유대주의 지지자였다. 그의 작품들 중 일부는 기초학술의 기초에서 분석하는 것을 포함했다.

비록 그는 그것을 부인했지만, 루드비히 비트겐슈타인의 수학에 대한 많은 글들은 친유대주의와 강한 친화력을 가지고 있다.^[3]

피니티스트와 트랜스피니티스트(예: 지지자)가 대조되는 경우. 게오르크 칸토르의 부정의 위계), 그렇다면 또한 아리스토텔레스는 피니티스트로서 특징지어질지도 모른다. 아리스토텔레스는 특히 엄격한 친선주의와 실제 무한대 사이의 중간 선택사항으로서 잠재된 무한대를 촉진시켰다(후자는 자연에서 결코 끝나지 않는 것을 실현하는 것으로, 자연에서 사물과 아무 상관도 없는 트랜스피니트 추기경과 서수수로 구성된 칸토리스트의 실제 무한대와는 대조적으로).

그러나 반면에 무한이 어떤 식으로든 존재하지 않는다고 가정하는 것은 분명히 불가능한 많은 결과를 초래한다: 시간의 시작과 끝이 있을 것이고, 그 크기는 크기로 나눌 수 없을 것이며, 수는 무한하지 않을 것이다. 만약 위의 고려사항으로 볼 때, 어느 대안도 불가능해 보인다면, 중재자를 불러와야 한다.

— Aristotle, Physics, Book 3, Chapter 6

기타 수학 관련 철학

초정파주의(초정파주의라고도 한다)는 수학적 사물에 대해 친유대주의보다 훨씬 보수적인 태도를 가지며, 너무 큰 경우 유한한 수학적 사물의 존재에 대해 이의를 제기한다.

20세기 말에 존 펜 메이베리는 그가 "유클리드 산술"이라고 부르는 미세한 수학 체계를 개발했다. 그의 시스템에서 가장 두드러진 교훈은 반복 "+1"에 의한 자연수 구성을 포함하여 반복 프로세스에 일반적으로 수반되는 특수한 기초적 상태에 대한 완전하고 엄격한 거부다. 결과적으로 메이베리는 미세한 수학을 페이노 산술이나 원시 재귀 산술과 같은 단편과 동일시하려는 사람들과는 극명한 반대 입장에 있다.

참고 항목

• 시간순유대주의
• 트랜스컴퓨팅 문제
• 피니티스트 집합론
• 이성 삼각법

참조

추가 읽기

• Feng Ye (2011). Strict Finitism and the Logic of Mathematical Applications. Springer. ISBN 978-94-007-1347-5.

외부 링크

• "Finitism in Geometry". Stanford Encyclopedia of Philosophy.