와지 계층 구조

서술 집합 이론에서, 수학 내에서, 와지 학위는 실재 집합의 복잡성 수준이다.세트는 연속적인 감소에 의해 비교된다.Wadge 계층 구조는 Wadge diages의 구조다.이 개념들은 윌리엄 W. 와지의 이름을 따서 명명되었다.null

와지 도

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ $및$ B ${\displaystyle B}$이(가^ω) Baire 공간의 하위 집합이라고 가정하십시오.한다면 연속 함수 fωω에 A=f− 1[B]{\displaystyle A=f^{)}[B]과{\displaystyle f}은 그럼, A{A\displaystyle}Wadge B{B\displaystyle}≤W B{B\displaystyle}또는 A{A\displaystyle}에}. 환원할 수 있는 Wadge preorder 또는 quasiorder에 하위 집합의 베르 spac.e. 이 사전 주문에 따른 세트의 동등성 클래스를 Wadge 도라고 하며, $세트{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$의 정도는 [${\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ $$_W]로 표시된다$$.와지 명령이 명령한 와지 학위 세트를 와지 서열이라고 한다.null

와지도의 특성은 정의가능성의 관점에서 언급된 복잡성 측도와의 일관성을 포함한다.예를 들어, $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$A} ≤$$_W B ${\displaystyle B}$과($)$ B {\$displaystyle$ B}이$($가) 오픈 세트의 카운트 가능한 교차점이라면 A ${\displaystyle A}$도($가{\displaystyle }$) 그렇다$.$보렐 계층 구조와 차이 계층의 모든 레벨에 대해 동일한 작업이 수행된다.와지 계층 구조는 결정성의 공리 모델에 중요한 역할을 한다.Wadge 학위에 대한 더 많은 관심은 컴퓨터 과학에서 비롯된다. 일부 논문들은 Wadge 학위가 알고리즘의 복잡성과 관련이 있다고 제안했다.null

와지·립시츠 경기

와지 게임은 윌리엄 와지("임금"이라고 발음)가 발견한 단순한 무한 게임이다.Baire 공간의 서브셋에 대한 지속적 감소 개념을 조사하는 데 사용된다.와지는 1972년까지 게임으로 베이어 공간을 위한 와지 서열 구조를 분석했으나, 훨씬 후에야 박사 논문에서 이러한 결과를 발표했다.와지 게임 $G{\displaystyle }$(${\displaystyle A}$, B${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ G $(A,B)}$에서는 플레이어 I와 플레이어 II가 각각 이전에 플레이한 정수에 따라 달라질 수 있는 정수를 차례로 플레이한다$.$경기 결과는 선수 I과 II가 각각 세트 A와 B에 생성되는 시퀀스 x와 y가 들어있는지 확인함으로써 결정된다.두 선수 모두 결과가 같을 경우, 즉, $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$이(가) $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $A$$}$인 경우 및 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $y$$}$인 경우에만 플레이어 II가 승리하며$,$ 결과가 다를 경우 플레이어 I가 승리한다.때로는 이것을 립스치츠 게임이라고도 하며, 2번 선수가 패스할 수 있는 옵션(그러나 무한히 자주 플레이해야 한다)을 가지고 있는 변종을 와지 게임이라고 한다.null

잠시 게임이 결정되었다고 가정해보자.만약 플레이어 I가 승리 전략을 가지고 있다면, 이것은 연속적인 (이른) 립시츠 $맵$을 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 보완으로 B {\$displaystyle B}$을(를) 정의하고$,$ 반대로 II 플레이어가 승리 전략을 가지고 있다면, $당신$은 A$${\$displaysty$$A$}을(를) B$\}($를)로$$ 줄인다. 예를 들어,레이어 2는 승리 전략을 가지고 있다.모든 시퀀스 x를 $G{\displaystyle }$(${\displaystyle A}$, B$){\displaystyle$G$(A,B)}$에서 플레이하는 시퀀스 y에 매핑한다. 만약 플레이어가 시퀀스 x를 플레이하고, 플레이어가 자신의 승리 전략을 따른다면$$.이것은 f(x)가 B ${\displaystyle B}$에 있는 경우에만$$ x가 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에 있는 속성을 가진 연속 지도 f를 정의한다$.$

Wadge의 보조정리부는 결정성(AD)의 공리 아래, Baire 공간의$$ $어떤{\displaystyle }$ 두 하위 ${\displaystyle \mathrm{집합}}$에 대해$,$ A, $B,$ A {\$displaystyle$ $A$$}$ $$_W $or{\displaystyle }$$$ ${\displaystyle }$$$${\displaystyle B$} $또는{\displaystyle }$ B$${\$displaystyle B$^ω} $$_W– $Ω–$ {\$displaystystyle$ A$\}.$Wadge 보조정리기가 γ에서 세트에 대해 가지는 주장은 γ 또는 SLO(Slo)에 대한 반선순서 원칙이다.아무거나반선형 순서는 등가 등급 모듈로 보완되는 선형 순서를 정의한다.Wadge의 보조정리기는 Borel 세트, Δ¹_n 세트, Δ¹_n 세트 또는 or¹_n 세트와 같은 모든 포인트 클래스 γ에 로컬로 적용할 수 있다.그것은 Ⅱ에서 집합의 차이의 결정성에서 비롯된다.보렐 결정성이 ZFC에서 입증되기 때문에 ZFC는 보렐 세트에 대한 와지의 보조정리법을 암시한다.null

와지 계층 구조

마틴과 몽크는 1973년에 AD가 바이어 공간에 대한 와지 질서가 잘 세워져 있음을 암시한다는 것을 증명했다.따라서 AD에서는 Wadge 클래스 모듈로 보완이 잘 되어 있다.A $집합$의 Wadge 등급은 [${\displaystyle }$ ${\displaystyle A}]$_W보다 엄격히 아래에 보완되는 Wadge 도 모듈로 집합의 순서 유형이다$$.와지 계층의 길이는 Ⅱ인 것으로 나타났다.와지(Wadge)는 또한 보렐 집합으로 제한되는 와지(Wadge) 계층의 길이가 φ_ω1(1) (또는 표기법에 따라 φ_ω1(2))이라는 것을 증명했다. 여기서_γ φ은 베이스₁ Ω에 대한^th bl 베블렌 함수(일반 Ω 대신)이다.null

와지 보조정리기는 결정성의 공리를 가정하여 어떤 점 등급 Ⅱ에도 적용된다.$각{\displaystyle }$ 세트 A ${\$$displaystyle{\displaystyle }$ $A}$과(와) Wadge 계층의$$ A ${\displaystyle A}$ 아래에 있는 모든 세트의 컬렉션을$$ 연결하면 이 컬렉션은 포인트 클래스를 형성한다.동등하게, 각 서수 α α θ에 대해 단계 α 이전에 나타나는 집합의 집합_α W는 점 등급이다.반대로 모든 포인트 클래스는 $일부{\displaystyle }$ W ${\displaystyle W}$과 동일하다$.$_α 포인트 클래스는 보완 하에 닫히면 자체 이중화라고 한다.α가 0이거나 짝수 후계 서수이거나 계수 가능한 공완성의 한계 서수일 경우에만 W가_α 자체 이중임을 알 수 있다.null

기타 정도 개념

유사한 감소와 정도의 개념은 ID 함수를 포함하고 구성 하에서 닫히는 기능 F의 어떤 등급에 의해서도 연속적인 기능을 대체함으로써 발생한다.F의 일부 $함수{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$에 $대해{\displaystyle }$ A${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$[ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle A=f^{-1}[B]}$인 경우 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ $$_F${\displaystystyle B}$을(를) 쓰십시오.그러한 어떤 종류의 기능도 다시 바이어 공간의 서브셋에 대한 사전 주문을 결정한다.립스치츠 기능에 의해 주어지는 정도를 립스치츠 도라고 하며, 보렐 함수 보렐-와지 도에서 나오는 도라고 한다.null

참고 항목

• 분석 계층 구조
• 산술 계층 구조
• 결정성의 공리
• 보렐 계층 구조
• 결정성
• 포인트 클래스

참조

• Alexander S. Kechris; Benedikt Löwe; John R. Steel, eds. (December 2011). Wadge Degrees and Projective Ordinals: The Cabal Seminar Volume II. Lecture Notes in Logic. Cambridge University Press. ISBN 9781139504249.
• Andretta, Alessandro (2007). "The SLO principle and the Wadge hierarchy". In Bold, Stefan; Benedikt Löwe; Räsch, Thoralf; et al. (eds.). Infinite Games, Papers of the conference "Foundations of the Formal Sciences V" held in Bonn, Nov 26-29, 2004. Studies in Logic. Vol. 11. College Publications. pp. 1–38. ISBN 9781904987758..
• Kanamori, Akihiro (2000). The Higher Infinite (second ed.). Springer. ISBN 3-540-00384-3.
• Kechris, Alexander S. (1995). Classical Descriptive Set Theory. Springer. ISBN 0-387-94374-9.
• Wadge, William W. (1983). "Reducibility and determinateness on the Baire space". PhD thesis. Univ. of California, Berkeley. {{cite journal}}:Cite 저널은 필요로 한다. journal=(도움말)

추가 읽기

• Andretta, Alessandro & Martin, Donald (2003). "Borel-Wadge degrees". Fundamenta Mathematicae. 177 (2): 175–192. doi:10.4064/fm177-2-5.
• Cenzer, Douglas (1984). "Monotone Reducibility and the Family of Infinite Sets". The Journal of Symbolic Logic. Association for Symbolic Logic. 49 (3): 774–782. doi:10.2307/2274130. JSTOR 2274130.
• Duparc, Jacques (2001). "Wadge hierarchy and Veblen hierarchy. Part I: Borel sets of finite rank". Journal of Symbolic Logic. 66 (1): 55–86. doi:10.2307/2694911. JSTOR 2694911.
• Selivanov, Victor L. (2006). "Towards a descriptive set theory for domain-like structures". Theoretical Computer Science Archive, Spatial Representation: Discrete Vs. Continuous Computational Models. 365 (3): 258–282. doi:10.1016/j.tcs.2006.07.053. ISSN 0304-3975.
• Selivanov, Victor L. (2008). "Wadge Reducibility and Infinite Computations". Mathematics in Computer Science. 2 (1): 5–36. doi:10.1007/s11786-008-0042-x. ISSN 1661-8270.
• Semmes, Brian T. (2006). "A game for the Borel Functions". preprint. Univ. of Amsterdam, ILLC Prepublications PP-2006-24. Retrieved 2007-08-12. {{cite journal}}:Cite 저널은 필요로 한다. journal=(도움말)