케일리 딕슨 건축

수학에서, 아서 케일리와 레너드 유진 딕슨의 이름을 딴 케일리-딕슨 구조는 실수 분야에 걸쳐 각각 이전의 두 배의 차원을 갖는 일련의 대수를 만듭니다.이 과정에 의해 생성된 대수는 케일리-딕슨 대수로 알려져 있으며, 예를 들어 복소수, 쿼터니언, 팔분의 수 등이 있습니다.이 예들은 수학 물리학에서 자주 적용되는 유용한 구성 대수입니다.

케일리-딕슨 구조는 새로운 대수를 자신과 대수의 데카르트 곱으로 정의하고, 곱셈은 특정한 방식으로 정의되고 (성분별 곱셈과는 다르다), 그리고 컨쥬게이션(conjugation)이라고 알려진 진화로 정의합니다.원소와 그 결합체의 곱(또는 때로는 이 곱의 제곱근)을 표준이라고 합니다.

케일리-딕슨 구조가 반복적으로 적용됨에 따라 실제 장의 대칭성은 사라집니다. 먼저 순서를 잃고, 그 다음에 곱셈의 교환성, 곱셈의 연관성, 그리고 마지막으로 대안성.

더 일반적으로 케일리-딕슨 구조는 차원의 두 배의 진화를 가진 다른 대수에 대한 어떤 대수도 취합니다.^[1]^{: 45}

후르비츠의 정리(구성대수)는 실수, 복소수, 쿼터니언, 팔분수가 실수보다 많은 유일한 분할대수라는 것을 말합니다.

시놉시스

케일리 딕슨 대수 특성
대수학	치수	주문된	곱셈 속성				논트라이브. 영 나눗셈들
대수학	치수	주문된	교환성	연상적인	대안	파워 어소시에이트.	논트라이브. 영 나눗셈들
실수	1	네.	네.	네.	네.	네.	아니요.
복소수.	2	아니요.	네.	네.	네.	네.	아니요.
쿼터니언	4	아니요.	아니요.	네.	네.	네.	아니요.
팔색조	8	아니요.	아니요.	아니요.	네.	네.	아니요.
세데니온	16	아니요.	아니요.	아니요.	아니요.	네.	네.
	≥ 32	아니요.	아니요.	아니요.	아니요.	네.	네.

케일리-딕슨의 구축은 1919년 레너드 딕슨이 팔색조가 쿼터니언 위의 2차원 대수로 어떻게 구성될 수 있는지 보여준 것에 기인합니다.실제로, F 필드로 시작하는 구성은 차원 2의ⁿ F-대수 시퀀스를 산출합니다.n = 2의 경우 사분면 대수라고 불리는 연관 대수이고, n = 3의 경우 팔분면 대수라고 불리는 대체 대수입니다.이 인스턴스 n = 1, 2, 3은 아래와 같이 구성 대수를 생성합니다.

경우 n = 1은 F × F의 원소 (a, b)로 시작하여 결합체 (a, b)*를 (a*, –b)로 정의하고, 경우 n = 1인 경우 a* = a이며, 이후 공식에 의해 결정됩니다.F-대수의 본질은 다음과 같은 두 요소(a, b)와 (c, d)의 곱의 정의에 있습니다.

(a,b)\times (c,d)= (ac-d^{*}b,da+bc^{*}).

명제 1: $z=(a,b)$ = $z=(a,b)$ ( $z=(a,b)$ $z=(a,b)$ ${\displaystyle$ z = ( $a,b)}$ 및 $w=(c,d),$ = $w=(c,d),$ ( $w=(c,d),$ $w=(c,d),$ ${\displaystyle$ w = ( $c,d),}$ 제품의 컨쥬게이트는 $w^{*}z^{*}=(zw)^{*}.$ ∗ $w^{*}z^{*}=(zw)^{*}.$ ∗ = $w^{*}z^{*}=(zw)^{*}.$ ( $w^{*}z^{*}=(zw)^{*}.$ $w^{*}z^{*}=(zw)^{*}.$ 입니다 $w^{*}z^{*}=(zw)^{*}.$ ${\displaystyle w^{*}z$ ^{*}= ( $zw)^{*}}$

증명:

(c^{*},-d)(a^{*},-b)=(c^{*}a^{*}+b^{*}(-d),-bc^{*}-da)=(zw)^{*}.

(

(c^{*},-d)(a^{*},-b)=(c^{*}a^{*}+b^{*}(-d),-bc^{*}-da)=(zw)^{*}.

∗

(c^{*},-d)(a^{*},-b)=(c^{*}a^{*}+b^{*}(-d),-bc^{*}-da)=(zw)^{*}.

-

(c^{*},-d)(a^{*},-b)=(c^{*}a^{*}+b^{*}(-d),-bc^{*}-da)=(zw)^{*}.

)

(c^{*},-d)(a^{*},-b)=(c^{*}a^{*}+b^{*}(-d),-bc^{*}-da)=(zw)^{*}.

(

(c^{*},-d)(a^{*},-b)=(c^{*}a^{*}+b^{*}(-d),-bc^{*}-da)=(zw)^{*}.

∗

(c^{*},-d)(a^{*},-b)=(c^{*}a^{*}+b^{*}(-d),-bc^{*}-da)=(zw)^{*}.

-

(c^{*},-d)(a^{*},-b)=(c^{*}a^{*}+b^{*}(-d),-bc^{*}-da)=(zw)^{*}.

)

(c^{*},-d)(a^{*},-b)=(c^{*}a^{*}+b^{*}(-d),-bc^{*}-da)=(zw)^{*}.

=

(c^{*},-d)(a^{*},-b)=(c^{*}a^{*}+b^{*}(-d),-bc^{*}-da)=(zw)^{*}.

(

(c^{*},-d)(a^{*},-b)=(c^{*}a^{*}+b^{*}(-d),-bc^{*}-da)=(zw)^{*}.

∗

(c^{*},-d)(a^{*},-b)=(c^{*}a^{*}+b^{*}(-d),-bc^{*}-da)=(zw)^{*}.

∗

(c^{*},-d)(a^{*},-b)=(c^{*}a^{*}+b^{*}(-d),-bc^{*}-da)=(zw)^{*}.

+ b ∗ (

(c^{*},-d)(a^{*},-b)=(c^{*}a^{*}+b^{*}(-d),-bc^{*}-da)=(zw)^{*}.

-

(c^{*},-d)(a^{*},-b)=(c^{*}a^{*}+b^{*}(-d),-bc^{*}-da)=(zw)^{*}.

)

(c^{*},-d)(a^{*},-b)=(c^{*}a^{*}+b^{*}(-d),-bc^{*}-da)=(zw)^{*}.

,

(c^{*},-d)(a^{*},-b)=(c^{*}a^{*}+b^{*}(-d),-bc^{*}-da)=(zw)^{*}.

- b

(c^{*},-d)(a^{*},-b)=(c^{*}a^{*}+b^{*}(-d),-bc^{*}-da)=(zw)^{*}.

∗

(c^{*},-d)(a^{*},-b)=(c^{*}a^{*}+b^{*}(-d),-bc^{*}-da)=(zw)^{*}.

-

(c^{*},-d)(a^{*},-b)=(c^{*}a^{*}+b^{*}(-d),-bc^{*}-da)=(zw)^{*}.

)

(c^{*},-d)(a^{*},-b)=(c^{*}a^{*}+b^{*}(-d),-bc^{*}-da)=(zw)^{*}.

=

(c^{*},-d)(a^{*},-b)=(c^{*}a^{*}+b^{*}(-d),-bc^{*}-da)=(zw)^{*}.

(

(c^{*},-d)(a^{*},-b)=(c^{*}a^{*}+b^{*}(-d),-bc^{*}-da)=(zw)^{*}.

w

(c^{*},-d)(a^{*},-b)=(c^{*}a^{*}+b^{*}(-d),-bc^{*}-da)=(zw)^{*}.

)

(c^{*},-d)(a^{*},-b)=(c^{*}a^{*}+b^{*}(-d),-bc^{*}-da)=(zw)^{*}.

∗ .

{\displaystyle (c^{*},-d)

(

a^{*},-b

) = (

c^{*}a^{*}+b^{*}(-d

),

-bc^{*}

= (

zw)^{*}

명제 2: 만약 F-대수가 $N(z)=zz^{*}$ 이고 N $N(z)=zz^{*}$ ( $N(z)=zz^{*}$ = $N(z)=zz^{*}$ $N(z)=zz^{*}$ ∗ $N(z)=zz^{*}$ {\ $displaystyle$ N (z) = $zz^{*}}$ 이라면 $N(z)=zz^{*}$ $N(zw)=N(z)N(w).$ ( $N(zw)=N(z)N(w).$ $N(zw)=N(z)N(w).$ = N $N(zw)=N(z)N(w).$ $N(zw)=N(z)N(w).$ ( $N(zw)=N(z)N(w).$ ${\displaystyle N (zw$ ) = N $(z)$ N $(w)}$

증명:

N(zw)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})(c^{*}a^{*}-b^{*}d,-da-bc^{*})=(aa^{*}+bb^{*})(cc^{*}+dd^{*})

(

N(zw)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})(c^{*}a^{*}-b^{*}d,-da-bc^{*})=(aa^{*}+bb^{*})(cc^{*}+dd^{*})

w )

N(zw)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})(c^{*}a^{*}-b^{*}d,-da-bc^{*})=(aa^{*}+bb^{*})(cc^{*}+dd^{*})

=

N(zw)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})(c^{*}a^{*}-b^{*}d,-da-bc^{*})=(aa^{*}+bb^{*})(cc^{*}+dd^{*})

(

N(zw)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})(c^{*}a^{*}-b^{*}d,-da-bc^{*})=(aa^{*}+bb^{*})(cc^{*}+dd^{*})

-

N(zw)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})(c^{*}a^{*}-b^{*}d,-da-bc^{*})=(aa^{*}+bb^{*})(cc^{*}+dd^{*})

∗

N(zw)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})(c^{*}a^{*}-b^{*}d,-da-bc^{*})=(aa^{*}+bb^{*})(cc^{*}+dd^{*})

N(zw)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})(c^{*}a^{*}-b^{*}d,-da-bc^{*})=(aa^{*}+bb^{*})(cc^{*}+dd^{*})

+

N(zw)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})(c^{*}a^{*}-b^{*}d,-da-bc^{*})=(aa^{*}+bb^{*})(cc^{*}+dd^{*})

N(zw)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})(c^{*}a^{*}-b^{*}d,-da-bc^{*})=(aa^{*}+bb^{*})(cc^{*}+dd^{*})

∗

N(zw)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})(c^{*}a^{*}-b^{*}d,-da-bc^{*})=(aa^{*}+bb^{*})(cc^{*}+dd^{*})

)

N(zw)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})(c^{*}a^{*}-b^{*}d,-da-bc^{*})=(aa^{*}+bb^{*})(cc^{*}+dd^{*})

(

N(zw)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})(c^{*}a^{*}-b^{*}d,-da-bc^{*})=(aa^{*}+bb^{*})(cc^{*}+dd^{*})

∗

N(zw)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})(c^{*}a^{*}-b^{*}d,-da-bc^{*})=(aa^{*}+bb^{*})(cc^{*}+dd^{*})

∗ -

N(zw)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})(c^{*}a^{*}-b^{*}d,-da-bc^{*})=(aa^{*}+bb^{*})(cc^{*}+dd^{*})

∗

N(zw)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})(c^{*}a^{*}-b^{*}d,-da-bc^{*})=(aa^{*}+bb^{*})(cc^{*}+dd^{*})

-

N(zw)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})(c^{*}a^{*}-b^{*}d,-da-bc^{*})=(aa^{*}+bb^{*})(cc^{*}+dd^{*})

-

N(zw)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})(c^{*}a^{*}-b^{*}d,-da-bc^{*})=(aa^{*}+bb^{*})(cc^{*}+dd^{*})

N(zw)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})(c^{*}a^{*}-b^{*}d,-da-bc^{*})=(aa^{*}+bb^{*})(cc^{*}+dd^{*})

∗ )

N(zw)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})(c^{*}a^{*}-b^{*}d,-da-bc^{*})=(aa^{*}+bb^{*})(cc^{*}+dd^{*})

=

N(zw)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})(c^{*}a^{*}-b^{*}d,-da-bc^{*})=(aa^{*}+bb^{*})(cc^{*}+dd^{*})

(

N(zw)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})(c^{*}a^{*}-b^{*}d,-da-bc^{*})=(aa^{*}+bb^{*})(cc^{*}+dd^{*})

∗

N(zw)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})(c^{*}a^{*}-b^{*}d,-da-bc^{*})=(aa^{*}+bb^{*})(cc^{*}+dd^{*})

+

N(zw)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})(c^{*}a^{*}-b^{*}d,-da-bc^{*})=(aa^{*}+bb^{*})(cc^{*}+dd^{*})

∗

N(zw)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})(c^{*}a^{*}-b^{*}d,-da-bc^{*})=(aa^{*}+bb^{*})(cc^{*}+dd^{*})

)

N(zw)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})(c^{*}a^{*}-b^{*}d,-da-bc^{*})=(aa^{*}+bb^{*})(cc^{*}+dd^{*})

(

N(zw)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})(c^{*}a^{*}-b^{*}d,-da-bc^{*})=(aa^{*}+bb^{*})(cc^{*}+dd^{*})

∗

N(zw)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})(c^{*}a^{*}-b^{*}d,-da-bc^{*})=(aa^{*}+bb^{*})(cc^{*}+dd^{*})

+

N(zw)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})(c^{*}a^{*}-b^{*}d,-da-bc^{*})=(aa^{*}+bb^{*})(cc^{*}+dd^{*})

∗ )

{\displaystyle N(zw

) = (

ac-d^{*}b, da

+

bc^{*}) {\

displaystyle N(

zw)

= (

ac-d^{*}b

, da + bc^{*}) { (

aa

^{*} +

bb^{*})

(

cc^{*}

+

dd^{*})

+ 연관성에 의해 취소되는 항

실대수 구축 단계

고전적 실수대수의 구성에 대한 세부 사항은 다음과 같습니다.

순서쌍으로 복소수

복소수는 실수 $a$ 와 $b$ 의 순서쌍( $a,$ $b)$ 로 표기할 수 있으며, 덧셈 연산자는 성분 단위로, 곱셈은 다음과 같이 정의됩니다.

(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)\,

두 번째 성분이 0인 복소수는 실수와 연관되어 있고, 복소수 ( $a, 0)$ 는 $실수$ a와 연관되어 있습니다.

$(a,$ $b)$ 의 복소수 켤레 $(a,$ b $)*$ 는 다음과 같이 주어집니다.

(a,b)^{*}=(a^{*},-b)=(a,-b)

$a$ 는 실수이고 자신의 켤레이기 때문입니다.

결합체는 다음과 같은 성질을 가지고 있습니다.

(a,b)^{*}(a,b)=(aa+bb,ab-ba)=\left(a^{2}+b^{2},0\right),\,

음이 아닌 실수입니다.이와 같이, 켤레는 실수 위에 복소수를 정규 벡터 공간으로 만드는 노름을 정의합니다: 복소수 $z$ 의 노름은

z =\left(z^{*}z\right)^{\frac {1}{2}}\,

게다가, 임의의 0이 아닌 복소수 $z$ 에 대하여, 컨쥬게이션은 곱셈 역수를 제공하고,

z^{-1}={\frac {z^{*}}{z^{2}}}

복소수는 두 개의 독립적인 실수로 구성되어 있으므로 실수 위에 2차원 벡터 공간을 형성합니다.

복소수는 더 높은 차원일 뿐만 아니라 실수의 대수적 성질이 하나도 없다고 할 수 있습니다. 즉 실수는 자신의 결합체입니다.

쿼터니언

구축의 다음 단계는 곱셈 및 컨쥬게이션 연산을 일반화하는 것입니다.

복소수 $a$ 와 $b$ 의 순서쌍 ( $a,$ $b)$ 을 형성하고 곱셈은 다음과 같이 정의됩니다.

(a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*}).\,

이 공식에 약간의 변형이 있을 수 있습니다. 결과적인 구조는 기저부의 부호까지 동일한 구조를 산출합니다.

요인의 순서는 지금은 이상하지만 다음 단계에서는 중요합니다.

$다음$ 과 같이 ( $a,$ b)의 $컨쥬게이트$ ( $a,$ b)*를 정의합니다.

(a,b)^{*}=(a^{*},-b).\,

이 연산자들은 복소수의 실수 부분 집합에서 $a$ 와 $b$ 를 취하면 공식에서 짝수의 모양은 영향을 미치지 않으므로 복소수의 연산자들과 같습니다.

0이 아닌 원소와 그 결합체의 곱은 음수가 아닌 실수입니다.

{\begin{aligned}(a,b)^{*}(a,b)&=(a^{*},-b)\&=(a^{*}a+b^{*}b,ba^{*}-ba^{*})\&=\left(a^{2}+b^{2},0\right).\,\end{aligned}

이전과 마찬가지로, 콘쥬게이트는 그러한 순서 쌍에 대해 노름과 역을 산출합니다.따라서 위에서 설명한 의미에서 이 쌍들은 실수와 같은 대수를 구성합니다.그것들은 해밀턴에 의해 1843년에 이름 지어진 쿼터니언입니다.

쿼터니언은 두 개의 독립적인 복소수로 구성되어 있기 때문에 실수 위에 4차원 벡터 공간을 형성합니다.

4차수의 곱셈은 실수의 곱셈과 같지는 않지만, 교환적이지는 않습니다. 즉, $p$ 와 $q$ 가 4차수이면 $pq$ = $qp$ 인 것이 항상 사실은 아닙니다.

팔색조

추가 대수를 만드는 모든 단계는 팔각형부터 동일합니다.

이번에는 쿼터니언 $p$ 와 $q$ 의 순서쌍 $(p$ , $q)$ 을 형성하고, 곱셈과 컨쥬게이션은 쿼터니언에 대해 정확히 정의됩니다.

{\displaystyle(p,q)(r,s)=(pr-s^{*}q,sp+qr^{*}).\,}

그러나, 4분의 1이 상호 교환적이지 않기 때문에, 곱셈 공식의 요소들의 순서가 중요해진다는 것에 유의하십시오. 만약 곱셈 공식의 마지막 요소가 $qr *$ 이 아니라 $r * q$ 였다면, 어떤 요소의 곱셈에 대한 공식은 실수를 산출하지 못했을 것입니다.

공액 연산자는 이전과 정확히 같은 이유로 0이 아닌 요소의 노름과 곱셈 역을 산출합니다.

이 대수는 1843년 존 T. 그레이브스에 의해 발견되었으며, 팔색조 또는 "케일리 수"라고 불립니다.

옥토니온은 두 개의 독립적인 쿼터니언으로 구성되어 있기 때문에 실수 위에 8차원 벡터 공간을 형성합니다.

팔분의 곱은 사분의 곱보다 더 이상합니다. 비상호적일 뿐만 아니라 연관성이 없습니다. 즉, $p$ , $q$ 및 $rare$ 팔분의 곱이 항상 ( $pq) r$ = $p (qr$ )인 것이 아닙니다 $.$

이러한 비연관성 때문에 팔색조에는 행렬 표현이 없습니다.

추가대수

팔색조 바로 뒤에 오는 대수를 세데니온이라고 합니다.그것은 $s$ 가 세데온이면 $ss$ = $s$ 이지만 대체 대수가 되는 성질을 잃으므로 구성 대수가 될 수 없음을 의미하는 멱 연관성이라는 대수적 성질을 유지합니다.

케일리-딕슨 구조는 각 단계에서 이전 단계의 대수보다 두 배의 차원을 갖는 멱 연관 대수를 생성하는 무한대로 수행될 수 있습니다.필드에 대해 이렇게 생성된 모든 대수는 2차적입니다. 즉, 각 요소는 필드의 계수로 2차 방정식을 만족시킵니다.^[1]^{: 50}

1954년 R. D. Schafer는 $F장$ 에 대한 케일리-딕슨 과정에 의해 생성된 대수를 조사했고 그것들이 유연한 항등식을 만족한다는 것을 보여주었습니다.^[2]그는 또한 케일리-딕슨 대수의 모든 유도 대수가 $F$ 에 대한 14차원 리 대수인 케일리 수의 유도 대수와 동형이라는 것을 증명했습니다.^{[citation needed]}

케일리 딕슨 건축공사

실수 $\mathbb {R}$ ${\$ 에서 시작하는 케일리-딕슨 구성은 $\mathbb {R}$ 합성 대수 $\mathbb {C}$ ${\$ 복소수), $\mathbb {H}$ ${\$ 쿼터니언), $\mathbb {O}$ ${\$ 옥톤) $\mathbb {O}$ 을 생성합니다.다음과 같이 순서쌍의 곱의 정의에서 마이너스 기호를 플러스 기호로 대체하여 약간의 수정을 통해 얻은 등방성 이차 형식인 구성 대수도 있습니다.

(a,b)(c,d)=(ac+d^{*}b,da+bc^{*}).

이 수정된 구성을 $\mathbb {R}$ ${\$ 에 적용하면 $\mathbb {R}$ 직접 곱 $\mathbb {R} \times \mathbb {R} ;$ × $\mathbb {R} \times \mathbb {R} ;$ 과 환 동형인 분할 복소수를 $\mathbb {R} \times \mathbb {R} ;$ 얻는다 $;$ {\ $displaystyle$ \ $mathbb$ {R} \ $times$ \ $mathbb$ {R $};}$ 다음 $\mathbb {R} \times \mathbb {R} ;$ , 분할 쿼터니언을 구하고, 연관 대수는 2 × 2개의 실수 행렬과 동형이다; 그리고 $존$ ( $R)$ 과 동형인 e 분할 팔색조 $.$ 원래의 케일리-딕슨 구조를 분할 복합체에 적용하면 분할 쿼터니언과 분할 옥타니언도 생성됩니다.^[3]

케일리 딕슨 종합공사

Albert(1942, p. 171)는 약간의 일반화를 통해 A의 대수에 대해 $B$ = $A$ ⊕에 대한 곱과 해를 정의했습니다 $((xy)*$ = $y * x *).$

{\begin{aligned}(p,q)(r,s)&=(pr-\gamma s^{*}q,sp+qr^{*})\,\\(p,q)^{*}&=(p^{*},-q)\,\end{aligned}

γ를 들어 *와 임의의 원소에 의한 좌우 곱셈으로교호하는 가법 지도. (실제 γ의 모든 선택은 -1, 0 또는 1과 같습니다.)이 구성에서 $A$ 는 다음과 같은 뜻을 가진, 진화를 가진 대수입니다.

$A$ 는 $+$ 아래의 아벨 군입니다.
$A$ 에는 $+$ 보다 좌우로 분포하는 제품이 있습니다.
$A$ 는( $x *)*$ $=$ $x$ , ( $x$ + $y)*$ $=$ $x *$ + $y *,$ ( $xy)*$ $=$ $y * x$ *의 해를 갖습니다 $.$

케일리-딕슨 구조에 의해 생성된 대수 $B$ = $A$ ⊕ $A$ 도 또한 진화를 가진 대수입니다.

$B$ 는 $A$ 로부터 다음과 같이 변함없이 속성을 상속합니다.

$A$ 가 1의 $항등식$ 을_A 가지면 $B$ 는 $1$ 의_A 항등식을 갖습니다 $.$
$만약$ $A$ 가 x + $x *,$ $xx *$ 의 속성을 가지고 있다면, $B$ 도 마찬가지입니다.이 성질은 임의의 원소가 교환 연상 *대수를 생성한다는 것을 의미하므로, 특히 대수는 거듭제곱 연상입니다.

$A$ 의 다른 성질은 $B$ 의 약한 성질만 유도합니다.

만약 $A$ 가 가환적이고 사소한 진화를 가지고 있다면, $B$ 는 가환적입니다.
$A$ 가 치환과 연관성이 $있으면$ B는 연관성을 갖습니다.
만약 $A$ 가 연관성이 $있고 x$ + x $*,$ $xx *$ 가 모든 것과 연관되고 통근한다면, $B$ 는 대안 대수입니다.

메모들

^ ^a ^b Schafer, Richard D. (1995) [1966], An introduction to non-associative algebras, Dover Publications, ISBN 0-486-68813-5, Zbl 0145.25601
^ 리처드 D.Schafer (1954) "케일리-딕슨 과정에 의해 형성된 대수에 관하여", 미국 수학 저널 76:435–46 Doi:10.2307/2372583
^ Kevin McCrimmon (2004) A Taste of Jordan Algebars, pp 64, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 MR2014924

참고문헌

Albert, A. A. (1942), "Quadratic forms permitting composition", Annals of Mathematics, Second Series, 43 (1): 161–177, doi:10.2307/1968887, JSTOR 1968887, MR 0006140 (페이지 171 참조)
Baez, John (2002), "The Octonions", Bulletin of the American Mathematical Society, 39 (2): 145–205, arXiv:math/0105155, doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X, S2CID 586512Baez, John (2002), "The Octonions", Bulletin of the American Mathematical Society, 39 (2): 145–205, arXiv:math/0105155, doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X, S2CID 586512("섹션 2.2, 케일리-딕슨 시공" 참조)
Dickson, L. E. (1919), "On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem", Annals of Mathematics, Second Series, Annals of Mathematics, 20 (3): 155–171, doi:10.2307/1967865, JSTOR 1967865
Biss, Daniel K.; Christensen, J. Daniel; Dugger, Daniel; Isaksen, Daniel C. (2007). "Large annihilators in Cayley–Dickson algebras II". Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana. 3: 269–292. arXiv:math/0702075. Bibcode:2007math......2075B.
Kantor, I. L.; Solodownikow, A. S. (1978), Hyperkomplexe Zahlen, Leipzig: B.G. Teubner (다음 참고문헌은 이 책의 영문 번역본입니다.)
Kantor, I. L.; Solodovnikov, A. S. (1989), Hypercomplex numbers, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96980-0, MR 0996029
Hamilton, William Rowan (1847), "On Quaternions", Proceedings of the Royal Irish Academy, 3: 1–16, ISSN 1393-7197
Roos, Guy (2008). "Exceptional symmetric domains §1: Cayley algebras". In Gilligan, Bruce; Roos, Guy (eds.). Symmetries in Complex Analysis. Contemporary Mathematics. Vol. 468. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4459-5.

추가열람

Daboul, Jamil; Delbourgo, Robert (1999). "Matrix representations of octonions and generalizations". Journal of Mathematical Physics. 40 (8): 4134–50. arXiv:hep-th/9906065. Bibcode:1999JMP....40.4134D. doi:10.1063/1.532950. S2CID 16932871.

[Sch66-1] Schafer, Richard D. (1995) [1966], An introduction to non-associative algebras, Dover Publications, ISBN 0-486-68813-5, Zbl 0145.25601

[2] 리처드 D.Schafer (1954) "케일리-딕슨 과정에 의해 형성된 대수에 관하여", 미국 수학 저널 76:435–46 Doi:10.2307/2372583

[3] Kevin McCrimmon (2004) A Taste of Jordan Algebars, pp 64, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 MR2014924

[1]

[2]

[3]

v t 수계
정의 가능한 숫자 집합	자연수 ( $\mathbb {N}$ 의 ${\displaystyle$ \ $mathbb {N$ 정수( $\mathbb {Z}$ ${\$ 유리수 ( $\mathbb {Q}$ ${\$ 구성 가능한 수 대수적 숫자 ( $\mathbb {A}$ ${\$ 폐쇄형 번호 기간 계산 가능한 수 산술수 집합 이론적으로 정의 가능한 숫자 가우스 정수
조성대수	분할대수:실수 ( $\mathbb {R}$ ${\$ 복소수 ( $\mathbb {C}$ ${\$ 쿼터니언 ( $\mathbb {H}$ ${\$ 옥토니언 ( $\mathbb {O}$ ${\$
분열되다 종류들	${\$ $\mathbb {R}$ 분할복소수 스플릿 쿼터니언 스플릿 옥토니언 $\mathbb {C}$ 이상의 ${\$ 쌍복소수 쌍사분면 바이오옥토니온
기타 초복합체	이중숫자 이중 사분위수 이중복소수 쌍곡 쿼터니언 세데니언 ( $\mathbb {S}$ ${\$ 스플릿 바이 쿼터니언 다복소수 기하대수/클리퍼드대수 물리 공간 대수 시공간 대수 평면 기반 기하 대수
기타종류	기수 확장 자연수 무리수 퍼지수 초실수 레비시비타 필드 초현실수 초월수 순서수 p-adic 번호(p-adic solenoids) 초자연수 범접 정수 초실수 정상수
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