군론 용어집

대수구조 → 군론 군론
기본 개념 서브그룹 정규 부분군 몫군 (반쪽-)다이렉트 프로덕트 군 동형사상 커널 이미지 직접 합계 화환 제품 간단하죠. 유한한 인피니트 계속되는 곱셈의 첨가물 순환의 아벨리안 이면체 무효 해결 가능한 액션. 군론 용어집 그룹 이론 토픽 목록
유한군 유한단순군분류 순환의 번갈아 거짓말형 산발적인 코시의 정리 라그랑주 정리 시로우 정리 홀의 정리 p그룹 초등 아벨 군 프로베니우스군 슈어 승수 대칭군n S 클라인 4족 V 이면체군n D 사분위수 Q 쌍환기n Dic
개별 그룹 격자 ${\displaystyle \mathbb{}}$($$Z \$displaystyle \mathbb {Z$$$) 자유 그룹 모듈러 그룹 PSL(2,$Z{\displaystyle \mathbb{}}$ \$style \mathbb {Z$ 표시$)$ SL(2,$Z{\displaystyle \mathbb{}}$ \$displaystyle \mathbb {Z$ 산술군 격자 쌍곡선 군
토폴로지 그룹 및 Lie 그룹 솔레노이드 원형 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수 직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) 심플렉틱 Sp(n) G2 에프4 E6. E7. E8. 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 미분 동형 고리 무한 차원 리 군 O()) SU()) Sp())
대수군 선형 대수군 환원군 아벨 변종 타원 곡선
v t

그룹은 하나의 아이덴티티 요소를 수용하고 모든 요소가 역수를 가지도록 관련 연산과 함께 설정된 집합입니다.

기사 전체에서 그룹의 ID 요소를 나타내기 위해 e$\style$e를 $사용$합니다.

A

abelian group

A group ${\displaystyle (G,*)}$ is abelian if ${\displaystyle *}$ is commutative, i.e. ${\displaystyle g*h=h*g}$ for all ${\displaystyle g}$,${\displaystyle h}$ ∈ ${\displaystyle G}$. Likewise, a group is nonabelian if this relation fails to hold for any pair ${\displaystyle$$g$ ,$$ { $displaystyle$ h$$}$$display G { $displaystyle$ G$\}$ 。

ascendant subgroup

군 G의 부분군 H는 H에서 시작하여 G로 끝나는 오름차순 계열이 있으면 상승하며, 그 계열의 모든 항이 그 후속의 정규 부분군이 된다.급수는 무한할 수 있습니다.시계열이 유한하면 부분군이 정규 분포를 밑도는 것입니다.

automorphism

그룹의 자기동형성은 그룹 자체의 동형성이다.

C

center of a group

그룹 G의 중심(Z(G)로 표기)은 G의 모든 요소와 함께 이동하는 그룹 요소의 집합이다. 즉, 모든 g g G에 대해 hg = gh가 항상 G의 정규 부분군이 되도록 모든 h g G의 집합이다. 그룹 G는 Z(G) =인 경우에만 아벨리안이다.

centerless group

그룹 G는 그 중심 Z(G)가 소량일 경우 중심 없음이다.

central subgroup

그룹의 부분군은 그룹의 중심 내에 있는 경우 해당 그룹의 중심 부분군입니다.

class function

군 G의 클래스 함수는 군 G의 켤레 클래스에서 일정하게 존재하는 함수이다.

class number

그룹의 클래스 번호는 해당 켤레 클래스의 번호입니다.

commutator

그룹 G의 두 원소 g와 h의 정류자는 [g, h] = ghgh이다⁻¹⁻¹.일부 저자는 정류자를 대신 [g, h] = ghgh로⁻¹⁻¹ 정의한다.두 요소 g와 h의 교환자는 g와 h가 교환하는 경우에만, 즉 gh = hg인 경우에만 그룹의 동일성과 같다.

commutator subgroup

그룹의 정류자 부분군 또는 파생 부분군은 그룹의 모든 정류자에 의해 생성된 부분군입니다.

composition series

그룹 G의 합성 계열은 유한 길이의 정규 이하의 계열이다.

$({displaystyle 1=H_{0}\triangleleleft H_{1}\triangleleleft \cdots \triangleleft H_{n}=G,})$

각 H가_i H의 최대_i+1 엄밀한 정규 부분군이 되도록 엄밀한 포함을 합니다. 마찬가지로, 조성 계열은 각 요인_i+1 그룹 H_i/H가 단순하도록 정규 이하의 계열입니다.요인 그룹을 구성 요인이라고 합니다.

conjugacy-closed subgroup

그룹의 서브그룹은 그룹 내에서 공역하는 서브그룹의 두 요소 중 하나라도 서브그룹 내에서 공역하는 경우에는 공역 닫힘이라고 한다.

conjugacy class

그룹 G의 켤레 클래스는 서로 켤레인 그룹 요소를 포함하는 G의 서브셋이다.

conjugate elements

gxg⁻¹ = y가 되는 g δ G가 존재하는 경우, 군 G의 두 원소 x 및 y는 켤레이다.x로 표시된^g gxg⁻¹ 원소는 x x g의 켤레라고 불린다.어떤 저자들은 x x g의 켤레를 gxg로⁻¹ 정의한다.이것은 종종 x로 표시된다. 켤레성은 등가 관계이다.그것의 동등성 클래스는 켤레 클래스라고 불린다.

conjugate subgroups

그룹 G의 두 부분군₂ H와₁₂ H는 g ≤ G가 있고 gHg₁⁻¹ = H이면 켤레 부분군이 된다.

contranormal subgroup

군 G의 부분군은 정규 폐쇄가 G 그 자체일 경우 G의 반대 정규 부분군이다.

cyclic group

순환군은 g 또는 그 역연산을 반복함으로써 그룹의 다른 모든 요소를 얻을 수 있도록 단일 원소에 의해 생성되는 그룹이다.

D

derived subgroup

정류자 부분군의 동의어입니다.

direct product

G × H로 표시된 두 그룹 G와 H의 직접 곱은 기본 G와 H 세트의 데카르트 곱이며, 성분별로 정의된₁ 이항 연산(g₁, h) · (g₂₂, h ( h) = (g₂ h₁ g₂, h h h)를₁ 갖추고 있다.이 연산에서는 G × H 자체가 군을 형성한다.

F

factor group

몫 그룹의 동의어입니다.

FC-group

그룹의 요소의 모든 결합 클래스가 유한 카디널리티를 갖는 경우 그룹은 FC 그룹입니다.

finite group

유한 그룹은 유한 차수의 그룹, 즉 유한한 수의 요소를 가진 그룹입니다.

finitely generated group

G의 모든 원소가 S의 유한한 다수의 원소와 S의 반전 원소의 조합으로서 쓸 수 있도록 G의 원소의 유한한 집합 S가 있으면 그룹 G를 최종 생성한다.

G

generating set

군 G의 생성 세트는 G의 모든 원소가 S의 최종 다수 원소의 조합(군 연산 하)과 S의 원소의 역(逆)으로 표현될 수 있도록 G의 서브셋 S의 생성 세트는 G의 서브셋 S이다.

group automorphism

'자기동형' 참조.

group homomorphism

동형사상 참조.

group isomomorphism

동형성을 참조해 주세요.

H

homomorphism

두 개의 군(G, θ) 및 (H, ·)이 주어졌을 때, G에서 H로의 동형은 함수 h: G → H이며, G의 모든 a 및 b에 대해 h(aab) = h(a) · h(b)이다.

I

index of a subgroup

G : H, [G : H], (G : H) 또는 (G : H)로 표기되는 그룹 G의 부분군 H의 지수는 G에서 H의 코세트 수이다.군 G의 정규 부분군 N의 경우 G의 N의 지수는 지수군 G/N의 순서와 같고, 군 G의 유한 부분군 H의 경우 G의 H의 지수는 G와 H의 차수의 몫과 같다.

isomorphism

2개의 그룹(G, θ) 및 (H, ·)이 주어졌을 때, G와 H 사이의 동형성은 G에서 H까지의 바이젝티브 동형사상, 즉 주어진 그룹 연산을 존중하는 방법으로 그룹의 요소 간의 일대일 대응이다.한 그룹에서 다른 그룹으로 그룹 동형 매핑이 존재하는 경우 두 그룹은 동형입니다.동형 그룹은 본질적으로 동일한 것으로 생각할 수 있으며, 개별 요소에 서로 다른 레이블이 있을 뿐입니다.

L

lattice of subgroups

그룹의 부분군 격자는 부분군에 의해 정의된 격자로, 집합 포함에 의해 부분적으로 순서가 지정됩니다.

locally cyclic group

최종적으로 생성된 모든 부분군이 주기적인 경우 그룹은 국소적으로 주기적입니다.모든 순환 그룹은 국소 순환 그룹이고, 최종 생성된 모든 국소 순환 그룹은 국소 순환 그룹입니다.모든 국소 순환군은 아벨 군이다.국소 순환 그룹의 모든 부분군, 모든 몫군 및 모든 동형 화상은 국소 순환이다.

N

normal closure

그룹 G의 부분 집합 S의 정규 닫힘은 S를 포함하는 G의 모든 정규 부분군의 교차입니다.

normal core

그룹 G의 부분군 H의 정규 핵은 H에 포함된 G의 정규 부분군 중 가장 큽니다.

normalizer

그룹 G의 부분 집합 S에 대해, G에서 S의 정규화기(N(S)로 표기_G)는 다음과 같이 정의된 G의 부분군이다.

$\displaystyle \mathrm {N} _{G}(S)=\{g\in G\mid gS=Display\}.}$

normal series

그룹 G의 정규 계열은 순서의 각 요소가 다음 요소의 정규 부분군이 되도록 G의 정규 부분군의 계열입니다.

$\displaystyle 1=A_{0}\triangleleleft A_{1}\triangleleleft \cdots \triangleleft A_{n}=G}$

와 함께

${\displaystyle A_{}}$ i ${\displaystyle G{}_{}}$\$displaystyle A$_ {$i$ \ $triangle left$ G$$}

normal subgroup

그룹 G의 서브그룹 N은 G의 원소 g에 대한 N의 결합이 항상 N이면, 즉, 그룹 G의 모든 g g G 및 n a N이면 Gng⁻¹ a N을 사용할 수 있는 G($표시 N$G\$triangle왼쪽$ G$)$에서 정규이다.

no small subgroup

중요하지 않은 부분군을 포함하지 않는 ID 요소의 근방이 존재하는 경우 위상 그룹에는 작은 부분군이 없습니다.

O

orbit

그룹 G가 집합 X에 작용한다고 가정합니다.X의 원소 x의 궤도는 X의 원소 집합으로, G의 원소에 의해 x가 이동될 수 있다.x의 궤도는 Gxx로 표시된다.

order of a group

그룹$({\displaystyle G}$ , ${\displaystyle )}$ $)$ { $displaystyle$( G ,$$* )의$$ 순서는 G$${ $displaystyle$ G$\}$의 카디널리티(즉 요소의 수)입니다.순서가 유한한 그룹을 유한 그룹이라고 합니다.

order of a group element

군 G의 원소 g의 순서는 g = e가 되도록ⁿ 가장 작은 양의 정수 n이다. 만약 그러한 정수가 존재하지 않는다면 g의 순서는 무한하다고 한다.유한군의 순서는 모든 원소의 순서로 나누어진다.

P

perfect core

그룹의 완벽한 중심은 그룹의 가장 큰 완벽한 부분군입니다.

perfect group

완전 그룹은 자체 정류자 부분군과 동일한 그룹입니다.

periodic group

모든 그룹 요소의 순서가 유한할 경우 그룹은 주기적입니다.모든 유한 그룹은 주기적이다.

permutation group

치환군은 주어진 집합 M의 순열(세트 M에서 그 자신으로의 비주사적 함수)이며, 그 그룹 연산이 그러한 순열의 구성인 그룹이다.집합 M의 모든 순열로 구성된 그룹은 M의 대칭 그룹입니다.

p-group

p가 소수일 경우 p-그룹은 모든 원소의 순서가 p의 거듭제곱인 그룹입니다.유한 그룹은 그룹의 순서가 p의 거듭제곱인 경우에만 p-그룹입니다.

p-subgroup

p-그룹이기도 한 부분군입니다.p-하위 그룹에 대한 연구는 Sylow 이론의 중심 객체이다.

Q

quotient group

$그룹{\displaystyle }$G({$displaystyle$ G$}$와 G$({displaystyle$G$\})$의 $표준{\displaystyle }$ 서브그룹$$N({$displaystyle$$$N})의$$ 경우, 몫그룹은 왼쪽 코세트${\displaystyle }${${\displaystyle a}$ ${\displaystyle :}$ $a$ G$$}({$displaystyle$$$G})의 집합 G$({displaystyle G$${\displaystyle \}<img\; alt="G"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.827ex;\; height:2.176ex;">}$ /$$N})입니다.$*bN=abN.$} 정규$$ 부분군, 동형사상, 인자군의 관계는 동형사상의 기본정리에 정리되어 있다$.$

R

real element

G군의 원소 g는 그 역과 같은 켤레 클래스에 속하면 G의 실원소라고 하며, ${\displaystyle G^{}}$에 $=$ ${\displaystyle {\mathrm{g}}^{}}$ - 1$(\$$display$ g$^{h}=$$g^{-1$의 h가 있으면$$gh로⁻¹ 정의한다.그룹 G의 요소는 G의 모든 표현에 대해 대응하는 행렬의 트레이스가 실수일 경우에만 실재한다.

S

serial subgroup

그룹 G의 서브그룹 H는 연속된 서브그룹 X, Y의 각 쌍에 대해 X가 Y의 정규 서브그룹인 H에서 G까지의 서브그룹 체인 C가 존재하는 경우 G의 시리얼 서브그룹이다.사슬이 유한하면 H는 G의 정규 하위 부분군입니다.

simple group

단순 그룹은 단순 그룹과 그룹 자체만 정상 하위 그룹인 중요하지 않은 그룹입니다.

subgroup

그룹 G의 서브그룹은 그룹 동작의 제한을 G에서 H×H로 했을 때 그 자체가 그룹을 형성하는 G의 원소의 서브셋 H이다.군 G의 부분집합 H가 비어 있지 않고 곱과 반전 하에서 닫힌 경우, 즉 H의 모든 a와 b, ab 및⁻¹ a가 H에 있는 경우에만 G의 부분집합이다.

subgroup series

그룹 G의 부분군 계열은 G의 부분군 계열로, 해당 계열의 각 원소가 다음 원소의 부분군이 되도록 합니다.

$\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq A_{n}=G}$

subnormal subgroup

그룹 G의 부분군 H는 그룹의 부분군의 유한한 사슬이 있는 경우, 각각 H에서 시작하여 G에서 끝나는 다음 정규 부분군이다.

symmetric group

집합 M이 주어졌을 때, M의 대칭 그룹은 M의 모든 순열 집합(M에서 M까지의 모든 비분사 함수를 설정)이며 순열의 구성은 그룹 연산입니다.크기 n의 유한 집합의 대칭군은 S로 표시됩니다_n(같은 크기의 두 집합의 대칭군은 모두 동형입니다).

T

torsion group

주기 그룹의 동의어입니다.

transitively normal subgroup

그룹의 부분군은 그룹 전체에서도 정규 부분군의 모든 정규 부분군이 정규 부분군일 경우 그룹 내에서 과도 정규 부분군이라고 한다.

trivial group

사소한 그룹은 단일 요소, 즉 그룹의 ID 요소로 구성된 그룹입니다.그러한 그룹은 모두 동형이며, 종종 사소한 그룹에 대해 이야기한다.

기본 정의

서브그룹조작 ${\$ { $displaystyle$ *$$}이$$H { \ $displaystyle$ H$$}로 제한되었을 때 그룹$({\displaystyle G}$ ,$) )$의 $서브셋{\displaystyle }$H { \ $displaystyle$ $H$$$}는$$$$ G$${ \ $displaystyle$ G$$}의 서브셋이라고 불립니다.

{G\displaystyle}. G의 하위 집합 S{S\displaystyle}을 감안할 때 우리는<>에 의해;{\displaystyle<>S을 의미한다.S>.}G{G\displaystyle}의 작은 서브 그룹 S{S\displaystyle}가 있다.<>S>{\displaystyle<>.S>.}G{G\displaystyle}의 서브 그룹 S{S\displaystyle}에 의해 생성되라고 불린다.

정규 부분군입니다.${\displaystyle G}$의$모든{\displaystyle }$$$g({$displaystyle$$$G$}$ $및$$H$의$$${\displaystyle {}^{}}$$({$$displaystyle$ H$\})$에 대해 g${\displaystyle {}^{}\mathrm{display}}$ h - 1({displaystyle $g*g^-1})$도 H$({displaystyle$ H$\})$에 속할$$경우 H(\$displaystyle$$$G$)$는 G$(\displaystyle$ G)의 표준 서브그룹입니다.

주어진 그룹의 부분군과 정규 부분군은 모두 부분 집합을 포함하는 완전한 격자를 형성한다. 이 특성과 일부 관련 결과는 격자 정리에 의해 설명된다.

군 동형사상f${\displaystyle }$:${\displaystyle }$(${\displaystyle G}$ , ${\displaystyle )}$ ) ${\displaystyle \to }$ ( ${\displaystyle H}$,${\displaystyle }$×$$) { $displaystyle f$ \$times$ ( G , * ) \$to$ ($H$ , \ times $)$ } 입니다.

${\displaystyle f(a*b)=f(a)\times f(b),}$

$G의$ a$(\displaystyle$ a$)$ $및$ b$(\$$displaystyle$b$)$에 대해 설명합니다.

그룹 동형사상의 커널입니다.그것은 군 동형사상의 코드메인에 있는 동일성의 초기 이미지이다.모든 정규 부분군은 군 동형사상의 핵심이고 그 반대도 마찬가지입니다.

군 동형사상역함수를 갖는 그룹 동형사상.동형사상의 역수는 동형사상이어야 한다는 것이 밝혀졌다.

동형군.한 그룹에서 다른 그룹으로 그룹 동형 매핑이 존재하는 경우 두 그룹은 동형입니다.동형 그룹은 본질적으로 동일한 것으로 생각할 수 있으며, 개별 요소에 서로 다른 레이블이 있을 뿐입니다.집단 이론의 근본적인 문제들 중 하나는 동형사상까지의 집단의 분류이다.

그룹의 직접곱, 직접합 및 반직접곱.그룹을 조합하여 새로운 그룹을 구성하는 방법은 다음과 같습니다.설명에 대해서는 대응하는 링크를 참조해 주세요.

그룹의 종류

최종 생성된 그룹입니다.< > 、 < \ $displaystyle$< $S$$$> = Gthat ) set$$ set s s display $display$、 G display$$ display display display display display display $display{\displaystyle }$ display s s s s s s s s s $s{\displaystyle }$ s s s display display display s s s sS$(\displaystyle$ S$)$가 하나의 요소로 간주될 수 있는 $경우{\displaystyle }$$,$ G(\$displaystyle$ G$)$는 유한 차수의 순환 그룹, 무한 순환 그룹 또는 하나의 요소로 구성된 그룹${\displaystyle }${$}(\displaystyle \{e\})$일$$ 수 있습니다.

단순한 그룹입니다.단순한 그룹은 e$(style$ e$)$만을 가지며, 그 자신을 일반적인 서브그룹으로 하는 그룹입니다.단순한 그룹은 사실 매우 복잡할 수 있기 때문에 이 이름은 오해의 소지가 있습니다.예를 들어, 10개 정도⁵⁴ 되는 몬스터 그룹이 있습니다.모든 유한 그룹은 그룹 확장을 통해 단순한 그룹에서 구축되므로, 유한 단순 그룹에 대한 연구는 모든 유한 그룹에 대한 연구의 중심이다.유한한 단순 그룹들이 알려져 있고 분류된다.

모든 유한 아벨 군의 구조는 비교적 단순하다. 모든 유한 아벨 군은 순환 p-군의 직접 합이다.이것은 유한 집합으로 생성된 모든 아벨 군, 즉 모든 아벨 군을 완전히 분류하는 데까지 확장될 수 있다.

상황은 비벨리안 그룹에게 훨씬 더 복잡하다.

자유 그룹임의의 $집합{\displaystyle }$A(\$displaystyle$ A$)$에서 그룹을 A$(\displaystyle$ A$)$의 자유 반군을 포함하는 최소 그룹으로 정의할 수 있습니다.그룹은$$A의 $요소$(\$displaystyle$ A$)$로 구성 가능한 유한 문자열(워드)과 그룹을 구성하는 데 필요한 다른 요소로 구성됩니다.문자열의 곱셈은 (${\displaystyle a}$ b ) (${\displaystyle b}$ c${\displaystyle }$a )$=$a ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ca}$ $.\ display$ ( $abb )*$ ( $bca$ )= $abbbca$등$,{\displaystyle }$ 접속에 의해서 정의됩니다.$}$

각 그룹$))$ {$displaystyle(G,*)}$은 기본적으로 G$${$displaystyle$ G$\}$에 의해 생성된 프리 그룹의 요인 그룹입니다.자세한 내용은 그룹의 프레젠테이션을 참조하십시오.그런 다음 이러한 프레젠테이션에 대해 다음과 같은 알고리즘 질문을 할 수 있습니다.

• 이 두 프레젠테이션은 동형 그룹을 지정합니까?또는
• 이 프레젠테이션은 trivial group을 지정하고 있습니까?

일반적인 경우는 단어 문제이며, 이들 질문 중 몇 가지는 사실 어떤 일반적인 알고리즘으로도 해결할 수 없습니다.

GL(n, F)로 표시되는 일반 선형 그룹은 n개의$${\$displaystyle$n}-$${$displaystyle$ n$}$개의 반전 행렬로 $이루어진{\displaystyle }$ 그룹으로, 행렬의 요소는 필드 $(예$: 실수 또는 복소수$)$에서 가져옵니다.

그룹 표현(그룹 표현과 혼동하지 마십시오).군 표현은 군에서 일반 선형 군으로의 동형사상입니다.기본적으로 주어진 추상 그룹을 훨씬 더 쉽게 연구할 수 있는 가역 행렬의 구체적인 그룹으로 "표현"

「 」를 참조해 주세요.

• 리 군과 리 대수의 용어집
• 고리 이론 용어집
• 구성 시리즈
• 정규 계열