이중 다면체

정육면체의 이중은 팔면체다. 한 개의 정점은 다른 사람의 얼굴에 대응하고, 가장자리는 서로 대응한다.

기하학에서 모든 다면체는 두 번째 이중 형상과 연관되는데, 여기서 한 쌍의 정점이 다른 한 쌍의 정점 사이에 있는 가장자리는 다른 한 쌍의 얼굴 쌍 사이의 가장자리와 다른 쌍의 정점 사이의 가장자리는 다른 한 쌍의 얼굴들 사이에 있는 가장자리와 일치한다.^[1] 그러한 이중 형상은 결합체나 추상적인 다면체로 남아 있지만, 모든 것이 기하학적 다면체도 아니다.^[2] 어떤 주어진 다면체로부터 시작하여, 그것의 이중은 원래의 다면체다.

이중성은 다면체의 대칭을 보존한다. 따라서 대칭에 의해 정의된 많은 종류의 다면체에서 이중은 상응하는 대칭 등급에 속한다. 예를 들어, 일반 다면체 – (콘벡스) 플라토닉 고형분과 (별) 케플러-푸인소트 다면체 – 는 이중 쌍을 형성하며, 여기서 일반 사면체는 자가 이중이다. 이등각 다면체의 이중(두 정점이 다면체의 대칭에서 등가)은 등각 다면체(두 면이 등가[...]인 경우)이며, 그 반대의 경우도 마찬가지다. 동위원소 다면체(어떤 두 개의 가장자리가 동등한 하나[...])의 이중도 동위원소다.

이중성은 상호성 또는 극성과 밀접하게 관련되어 있는데, 이는 볼록한 다면체에 적용되었을 때 이중 다면체를 또 다른 볼록 다면체로서 실현하는 기하학적 변환이다.

이중성의 종류

플라토닉 고체의 이중은 안면 중심을 연결하여 구성할 수 있다. 일반적으로 이것은 위상학적 이중만을 생성한다.
케플러의 하모니에서 본 영상 Mundi (1619)

이중성에는 여러 종류가 있다. 기초적인 다면체와 가장 관련 있는 종류는 극성상호주의와 위상학적 또는 추상적 이중성이다.

극상호작용

유클리드 공간에서 다면체 $P$ $P$ 의 이중은 구체에 대한 극적 상호주의 관점에서 정의되는 경우가 $P$ 많다. 여기서 각 꼭지점(극)은 중심에서 정점까지의 광선이 평면에 수직이 되도록 면평면(극평면 또는 단지 극극)과 연관되어 있으며, 중심에서 각 정점까지의 거리의 산물은 반지름의 제곱과 같다.^[3]

구가 $반지름$ r{\ $displaystyle r$ }을 $r$ (를) 가지고 있고 원점에 중심인 경우(방정식 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$ 2 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$ + $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$ $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$ + $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$ 2 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$ = r $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$ ${\$ ) 볼록 다면체 $P$ {\ $displaystystyle P}$ 의 극극 이중은 다음과 같이 $P$ 정의된다. $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$

P^{\circ }=\{q~{\big |}~q\cdot p\leq r^{2}

P\},

P^{\circ }=\{q~{\big |}~q\cdot p\leq r^{2}

=

P^{\circ }=\{q~{\big |}~q\cdot p\leq r^{2}

{

P^{\circ }=\{q~{\big |}~q\cdot p\leq r^{2}

P^{\circ }=\{q~{\big |}~q\cdot p\leq r^{2}

P^{\circ }=\{q~{\big |}~q\cdot p\leq r^{2}

P^{\circ }=\{q~{\big |}~q\cdot p\leq r^{2}

r

P^{\circ }=\{q~{\big |}~q\cdot p\leq r^{2}

{\

p

^{\circle }=\{q~{\big }~q\cdot

p

\leq r^{2}}:

P\},

p

{\displaystystyle

p

},

{\displaystystystyle

p

\},

{\}

여기서 $q\cdot p$ p $q\cdot p$ 은 $q\cdot p$ $q$ $q$ 및 $p$ ${\displaystyle p$ 의 표준 도트 제품을 의미한다.

일반적으로 이중의 구성에 구체가 지정되지 않은 경우 단위 구가 사용되는데, 이는 위의 정의에서 $r=1$ $r=1$ = $r=1$ $r=1$ 을 의미한다.^[4]

선형 방정식으로 설명된 $P$ $P$ $P$ 의 각 면 평면에 대해

x_{0}x+y_{0}y+z_{0}z=r^{2},

the corresponding vertex of the dual polyhedron

P^{\circ }

will have coordinates

(x_{0},y_{0},z_{0})

. Similarly, each vertex of

P

corresponds to a face plane of

P^{\circ }

, and each edge line of

P

P

은(는)

P^{\circ }

P^{\circ }

{\

P

^{\circle }

의 에지 라인에 해당한다

P

P^{\circ }

P

P

과

P

(와)

P^{\circ }

P^{\circ }

{\

의 정점, 가장자리 및 면 사이의 대응은 포함을 반대로

P^{\circ }

한다. 예를

P^{\circ }

들어,

P

{\

displaystyle

P}의 가장자리가 정점을 포함하는

P

경우,

P^{\circ }

면에 P

P^{\circ }

∘

{\

P

^{\circle }

의 해당 가장자리가 포함된다.

대칭의 중심이 되는 다면체의 경우 도만 루크 구조(아래 참조)에서처럼 이 점을 중심으로 한 구를 사용하는 것이 일반적이다. 이에 실패하면, 구가 새겨진 다면체, 구 또는 중간체(모든 모서리를 접선으로 한 다면체)의 경우, 이를 사용할 수 있다. 그러나, 어떤 구에 대해서든 다면체에 대해 답례하는 것은 가능하며, 이중의 결과적인 형태는 구의 크기와 위치에 따라 달라질 것이다; 구가 변화함에 따라, 이중 형태도 마찬가지일 것이다. 구에 대한 중심 선택은 이중에서 유사도까지를 정의하기에 충분하다.

유클리드 공간의 다면체에 면면, 모서리선 또는 정점이 구의 중앙에 놓여 있다면, 그 이중의 해당 요소는 무한대로 갈 것이다. 유클리드 공간은 결코 무한대에 도달하지 않기 때문에, 확장 유클리드 공간이라 불리는 투영적 등가물이 필요한 '인피니티 평면'을 추가함으로써 형성될 수도 있다. 일부 이론가들은 유클리드 공간에 집착하는 것을 선호하며 이중적인 것은 없다고 말한다. 한편 Wenninger(1983)는 (일부 한정된 부분의) 모델을 만들기에 적합한 방식으로 이러한 무한 이중성을 나타내는 방법을 찾아냈다.

여기서 이중성의 개념은 선과 가장자리가 교차하는 투영 기하학에서 이중성과 밀접하게 관련되어 있다. 투영 극성은 볼록한 다면체에 충분히 효과가 있다. 그러나 별 다면체 같은 비합체 인물의 경우, 우리가 투영적 극성의 관점에서 이러한 형태의 다면체 이중성을 엄격하게 정의하려고 할 때, 다양한 문제가 나타난다.^[5] 비콘벡스 다면체의 기하학적 이중성에 대한 정의상의 문제 때문에, 그룬바움(2007)은 비콘벡스 다면체의 어떤 적절한 정의도 이중 다면체의 개념을 포함해야 한다고 주장한다.

표준 듀얼스

큐옥타헤드론(빛)과 롬빅 도데헤드론(어두움)의 표준 이중 화합물. 가장자리 쌍은 공통의 중간 지점에서 만난다.

모든 볼록한 다면체는 모든 가장자리에 단위 중간(혹은 중간)이 접선 상태로 존재하는 표준적인 형태로 왜곡될 수 있으며, 따라서 접선점의 평균 위치가 구의 중심이다. 이 형식은 합치기에 매우 독특하다.

만약 우리가 그러한 표준 다면체에 그것의 중간 부분에 대해 답례한다면, 이중 다면체는 같은 가장자리-접선 포인트를 공유하게 될 것이고, 따라서 또한 표준 다면적이 될 것이다. 그것은 표준 이중이며, 두 개가 함께 표준 이중 복합체를 형성한다.^[6]

도만 루크 공사

균일한 다면체의 경우, 이중 다면체의 각 면은 도만 루크 구조를 사용하여 원래 다면체의 해당 꼭지점에서 파생될 수 있다.^[7]

위상학적 이중성

한 쌍의 다면체를 서로 상호작용으로 얻을 수 없는 경우에도 한 쌍의 정점이 다른 쌍의 정점에 해당하는 한 쌍의 쌍면체라고 부르고, 한 쌍의 가장자리는 다른 쌍면체의 가장자리에 해당하는 한, 하나의 쌍면체(쌍면체)라고 할 수 있다. 그러한 다면체 쌍은 여전히 위상학적으로 또는 추상적으로 이중적이다.

볼록한 다면체의 정점과 가장자리는 다면체(다면체의 1-골격)의 표면에 삽입된 그래프(다면체의 1-골격)를 형성한다. 이 그래프는 평평한 평면에 슐레겔 도표를 형성하는 것으로 투영할 수 있다. 이중 다면체의 정점과 가장자리로 형성된 그래프는 원본 그래프의 이중 그래프다.

보다 일반적으로, 얼굴이 닫힌 표면을 형성하는 모든 다면체의 경우, 다면체의 정점과 가장자리는 이 표면에 내장된 그래프를 형성하고, (추상) 이중 다면체의 정점과 가장자리는 원래 그래프의 이중 그래프를 형성한다.

추상적 다면체는 다면체의 요소들 사이의 발생 또는 연결과 같은 원소의 일부 순서 집합(포셋)의 특정 종류로, 다면체의 요소들 사이의 발생(페이스, 가장자리, 정점)에 대응한다. 그러한 모든 포지션에는 모든 주문 관계를 역전시킴으로써 형성된 이중 포지션이 있다. 포셋을 하세 다이어그램으로 시각화하면, 이중 포셋은 단순히 하세 다이어그램을 뒤집어서 시각화할 수 있다.

모든 기하학적 다면체는 이런 식으로 추상 다면체에 해당하며, 추상 이중 다면체를 가지고 있다. 그러나 일부 비콘벡스 기하학적 다면체의 경우 이중 다면체는 기하학적으로 실현 가능하지 않을 수 있다.

자가이중다면체

지형학적으로 자기 이중 다면체는 정점, 가장자리 및 면 사이에 정확히 동일한 연결성을 갖는 다면체다. 추상적으로 그들은 같은 하세 다이어그램을 가지고 있다.

기하학적으로 자기 이중 다면체는 위상학적으로 자기 이중일 뿐만 아니라, 특정 지점, 전형적으로 그 중심점에 대한 극역호작용도 비슷한 형상이다. 예를 들어, 일반 사면체의 이중은 원점을 통해 반사되는 또 다른 일반 사면체다.

모든 폴리곤은 위상학적으로 자기 이중(가장자리와 정점의 수가 같고, 이것들은 이중성에 의해 전환된다)이지만 일반적으로 기하학적으로 자기 이중(예를 들어 강체 운동까지)이 되지는 않을 것이다. 모든 폴리곤은 그것의 인터피어티에 기하학적으로 자기 이중적인 정규 형태를 가지고 있다. 모든 각도는 모든 에지와 마찬가지로 일치하기 때문에 이중성에서는 이러한 결합이 교환된다.

마찬가지로, 모든 위상학적으로 자기 이중 대류 다면체는 그 표준 다면체인 등가 기하학적으로 자기 이중 다면체, 즉 그 중간의 중심에 대해 호혜적으로 실현될 수 있다.

기하학적으로 자기 이중 다면체가 무한히 많다. 가장 단순한 무한가족은 n면들의 표준 피라미드다. 또 다른 무한대의 가족, 길쭉한 피라미드는 프리즘(변수가 같은) 위에 놓인 피라미드라고 대략 묘사할 수 있는 다면체로 이루어져 있다. 프리즘 아래에 좌절(위쪽이 잘려진 피라미드)을 추가하면 또 다른 무한가족이 생기게 되는 등등이 있다.

다른 많은 볼록한 자가 이중 다면체도 있다. 예를 들어, 7개의 정점을 가진 6개의 다른 정점과 8개의 정점을 가진 16개의 정점이 있다.^[8]

브뤼크너는 1900년에 육각형의 얼굴을 가진 자가이중^{[clarification needed]} 비원형 이코사슬론을 확인했다.^[9]^[10]^[11] 다른 비콘벡스 자가 이중 다면체 및 이중체의 특정 정의에 따라 발견된 바 있다.^{[clarification needed]}

피라미드 가문
3	4	5	6

길쭉한 피라미드 가문

3	4	5

사다리꼴이 줄어든 가족

3	4	5	6	7

이중 폴리탑 및 테셀레이션

이중성은 n차원 공간과 이중 폴리토페스로 일반화할 수 있으며, 2차원에서는 이중 폴리곤이라고 한다.

한 폴리토프의 정점은 다른 폴리토프의 (n - 1)차원 원소 또는 면에 대응하며, (j - 1)차원 원소를 정의하는 j 지점은 (n - j)차원 원소를 주기 위해 교차하는 j 하이퍼플레인에 대응한다. n-차원 테셀레이션 또는 벌집합물의 이중은 유사하게 정의될 수 있다.

일반적으로 폴리토프 이중의 면은 폴리토프 정점 형상의 위상학적 이중일 것이다. 규칙적이고 균일한 폴리에스테르의 극적 왕복선의 경우, 이중 면은 원본 정점 형상의 극적 왕복선이 될 것이다. 예를 들어, 4차원에서는 600세포의 정점 모양이 이도사면이고, 600세포의 이중은 120세포인데, 그 면은 도데카면체(dodecheadra)이며, 이는 이도사면체의 이중이다.

자가이중 폴리토피 및 테셀레이션

사각 타일링, {4,4}은(는) 이러한 빨강과 파랑 기울기에서 볼 수 있듯이 자가 이중이다.

무한 순서 아페이로겐 타일링, 빨간색 {∞,∞}, 파란색 이중 위치

자가이중 폴리토페스의 일차적 등급은 팔린드로믹 슐레플리 기호가 있는 일반 폴리토페이다. 모든 일반 폴리곤, {a}은(는) {a,a} 형식의 자가 이중, 다면체, {a,b,a}, {a,b,a} 형식의 4-폴리탑, {a,b,b,a}, 5-폴리탑 등이다.

자가이중 일반 폴리토판은 다음과 같다.

모든 일반 다각형, {a}.
일반 사면체: {3,3}
일반적으로 모든 일반 n-심플렉스, {3,3,...,3}
4차원의 일반 24 셀, {3,4,3}.
훌륭한 120 셀 {5,5/2,5}과(와) 120 셀 {5,5,5/2}

자가이중(무한) 정규 유클리드 허니콤은 다음과 같다.

아페이로곤: {∞}
사각 타일링: {4,4}
큐빅 벌집: {4,3,4}
일반적으로 모든 정규 n차원 유클리드 하이퍼큐브 꿀콤: {4,3,...,3,4}.

자가 쌍곡선(무한) 정기 쌍곡선 꿀콤은 다음과 같다.

소형 쌍곡선 기울기: {5,5}, {6,6}, ... {p,p}.
파라콤팩트 쌍곡선 타일링: {message,message}
소형 쌍곡선 벌집: {3,5,3}, {5,3,5} 및 {5,3,3,5}
파라콤팩트 쌍곡선 허니컴: {3,6,3}, {6,3,6}, {4,4,4}, {3,3,3}

참고 항목

참조

메모들

^ Wenninger(1983), "stellation and duality에 대한 기본 개념" 페이지 1.
^ 그룬바움(2003)
^ Cundy & Rollett(1961), 3.2 Duality, 페이지 78–79, Wenninger(1983), 페이지 3-5 (주, Wenninger의 논의는 비콘벡스 다면체를 포함한다.)
^ 바비노크(2002년), 페이지 143.
^ 예를 들어 Grünbaum & Shephard(2013), Gailiunas & Sharp(2005)을 참조하십시오. Wenninger(1983)는 또한 그의 무한한 이중성을 도출하는 방법에 관한 몇 가지 문제들을 논의한다.
^ 그룬바움(2007), 정리 3.1, 페이지 449.
^ Cundy & Rollett(1961), 페이지 117, Wenninger(1983), 페이지 30.
^ Brendan D, Gunnar Blinkmann의 종이 기반 Canonical Self-Dual Polyedra의 Symmetries에서 3D Java 모델. McKay, 평면 그래프의 빠른 생성 PDF [1]
^ 앤서니 M. 커틀러와 에곤 슐트; "인덱스 2의 정규 폴리헤드라", I; Beitrége zur 대수 및 기하학 / 2011년 4월 대수 및 기하학에 기여, 제52권, 제1권, 제133–161권.
^ N. J. 브리지; 액타 결정판, Vol. "도데카헤드론 제작 A 30, Part 4 1974년 7월 4일, 그림 3c 및 동봉된 텍스트.
^ 브뤼크너, M.; 벨레케 und Vielflache: 테우브너, 라이프치히, 1900년 테오리와 게시히테

참고 문헌 목록

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Gailiunas, P.; Sharp, J. (2005), "Duality of polyhedra", International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 36 (6): 617–642, doi:10.1080/00207390500064049, S2CID 120818796.
Grünbaum, Slobodan(2003년),"당신의 다면체 내가 다면체로 동일합니까?", Aronov, 보리스에 바수, Saugata, Pach, 헝가리, Sharir, 집(eds.), 이산과 해석 기하학:.그 Goodman–Pollack 기념 논문집, 알고리즘 및 Combinatorics, 25, 베를린:스프링거,를 대신하여 서명함. 461–488, CiteSeerX 10.1.1.102.755, doi:10.1007/978-3-642-55566-4_21, 아이 에스비엔 978-3-642-62442-1, MR2038487.
Grünbaum, Branko (2007), "Graphs of polyhedra; polyhedra as graphs", Discrete Mathematics, 307 (3–5): 445–463, doi:10.1016/j.disc.2005.09.037, hdl:1773/2276, MR 2287486.
Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (2013), "Duality of polyhedra", in Senechal, Marjorie (ed.), Shaping Space: Exploring polyhedra in nature, art, and the geometrical imagination, New York: Springer, pp. 211–216, doi:10.1007/978-0-387-92714-5_15, ISBN 978-0-387-92713-8, MR 3077226.
Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, ISBN 0-521-54325-8, MR 0730208.
Barvinok, Alexander (2002), A course in convexity, Providence: American Mathematical Soc., ISBN 0821829688.

외부 링크

[1] Wenninger(1983), "stellation and duality에 대한 기본 개념" 페이지 1.

[2] 그룬바움(2003)

[3] Cundy & Rollett(1961), 3.2 Duality, 페이지 78–79, Wenninger(1983), 페이지 3-5 (주, Wenninger의 논의는 비콘벡스 다면체를 포함한다.)

[4] 바비노크(2002년), 페이지 143.

[5] 예를 들어 Grünbaum & Shephard(2013), Gailiunas & Sharp(2005)을 참조하십시오. Wenninger(1983)는 또한 그의 무한한 이중성을 도출하는 방법에 관한 몇 가지 문제들을 논의한다.

[6] 그룬바움(2007), 정리 3.1, 페이지 449.

[7] Cundy & Rollett(1961), 페이지 117, Wenninger(1983), 페이지 30.

[8] Brendan D, Gunnar Blinkmann의 종이 기반 Canonical Self-Dual Polyedra의 Symmetries에서 3D Java 모델. McKay, 평면 그래프의 빠른 생성 PDF [1]

[9] 앤서니 M. 커틀러와 에곤 슐트; "인덱스 2의 정규 폴리헤드라", I; Beitrége zur 대수 및 기하학 / 2011년 4월 대수 및 기하학에 기여, 제52권, 제1권, 제133–161권.

[10] N. J. 브리지; 액타 결정판, Vol. "도데카헤드론 제작 A 30, Part 4 1974년 7월 4일, 그림 3c 및 동봉된 텍스트.

[11] 브뤼크너, M.; 벨레케 und Vielflache: 테우브너, 라이프치히, 1900년 테오리와 게시히테

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