드보레츠키 정리

Dvoretzky's theorem

수학에서 드보레츠키의 정리는 1960년대 초 아리예 드보레츠키가 알렉산더 그로텐디크의 질문에 [1]답하면서 증명한 정규 벡터 공간에 대한 중요한 구조 정리입니다. 본질적으로, 그것은 모든 충분히 고차원 표준 벡터 공간이 대략 유클리드인 저차원 부분 공간을 가질 것이라고 말합니다. 마찬가지로, 모든 고차원 유계 대칭 볼록 집합에는 대략 타원체인 저차원 단면이 있습니다.

1970년대에[2] 비탈리 밀만이 발견한 새로운 증거는 점근적 기하학적 분석(점근적 함수 분석 또는 바나흐 공간의 국소 이론이라고도 함)의 발전의 출발점 중 하나였습니다.[3]

원제

모든 자연수 k ∈ N과 모든 ε > 0에 대하여, (X, ‖, ‖)가 임의의 정칙 차원 N(k, ε) 공간이라면, (X, ⊂) 차원 K의 부분 공간 E ∈ X와 E 위에 대응하는 유클리드 노름이 존재하는 양의 정칙 이차 형식 Q가 존재합니다.

하나의 E는 다음을 만족합니다.

곱셈적 바나흐-마주르 거리의 관점에서 정리의 결론은 다음과 같이 공식화될 수 있습니다.

여기서ℓ k 2 _{k}^{2}}는 표준 k차원 유클리드 공간을 나타냅니다.

모든 정규 벡터 공간의 단위 공은 유계, 대칭, 볼록 집합이고 모든 유클리드 공간의 단위 공은 타원체이므로 이 정리는 볼록 집합의 타원체 섹션에 대한 문장으로 공식화될 수도 있습니다.

추가 개발

1971년 비탈리 밀만은 드보레츠키의 정리에 대한 새로운 증명을 내놓았는데, 구에 대한 측정 농도를 이용하여 임의의 k차원 부분공간이 1에 매우 가까운 확률로 위의 부등식을 만족한다는 것을 보여주었습니다. 이 증명을 통해 k에 대한 의존성이 명확해집니다.

상수 C(ε)가 ε에만 의존하는 경우.

따라서 우리는 다음과 같이 말할 수 있습니다: 모든 ε > 0에 대하여 상수 C(ε) > 0이 존재하여, 모든 차원 N의 정규 공간 (X, ‖, ‖)에 대하여, 차원 k ≥ C(ε) 로그 N의 부분 공간 E ⊂ X와 유클리드 노름 · E가 존재하여 다음과 같이 될 수 있습니다.

좀 더 정확하게 말하면, X 위의 어떤 유클리드 구조 Q에 대한 단위 구를 S라고 하고, σ를 S 위의 불변 확률 측도라고 합니다. 그러면.

  • 다음과 같은 부분 공간 E가 존재합니다.
  • 임의의 X에 대하여 괄호 안의 항이 최대가 되도록 Q를 선택할 수 있습니다.

여기서1 c는 보편 상수입니다. 주어진 X와 ε에 대하여, 가능한 가장 큰 k는 k(X)로 표시되고 X의 드보레츠키 차원이라고 불립니다.

ε에 대한 의존성은 k(X) ≥ c가 log N을 ε한다는 것을 보여준 Yehoram Gordon에 의해 연구되었습니다. 이 결과에 대한 또 다른 증거는 Gideon Schechtman에 의해 제시되었습니다.[6]

노가 알론(Noga Alon)과 비탈리 밀만(Vitali Milman)은 유클리드 공간이나 체비셰프 공간에 가까운 부분 공간을 받아들일 의사가 있다면 드보레츠키 정리에서 부분 공간 차원의 로그 바운드가 크게 향상될 수 있음을 보여주었습니다. 구체적으로, 어떤 상수 c에 대하여, 모든 n차원 공간은 ℓ 또는 ℓ에 가까운 차원 k ≥ exp(c √ 로그 N)의 부분 공간을 갖습니다.

중요한 관련 결과는 Tadeusz Figiel, Joram Lindenstrauss, 그리고 Milman에 의해 증명되었습니다.[8]

참고문헌

  1. ^ Dvoretzky, A. (1961). "Some results on convex bodies and Banach spaces". Proc. Internat. Sympos. Linear Spaces (Jerusalem, 1960). Jerusalem: Jerusalem Academic Press. pp. 123–160.
  2. ^ Milman, V. D. (1971). "A new proof of A. Dvoretzky's theorem on cross-sections of convex bodies". Funkcional. Anal. I Prilozhen. (in Russian). 5 (4): 28–37.
  3. ^ Gowers, W. T. (2000). "The two cultures of mathematics". Mathematics: frontiers and perspectives. Providence, RI: Amer. Math. Soc. pp. 65–78. ISBN 978-0-8218-2070-4. The full significance of measure concentration was first realized by Vitali Milman in his revolutionary proof [Mil1971] of the theorem of Dvoretzky ... Dvoretzky's theorem, especially as proved by Milman, is a milestone in the local (that is, finite-dimensional) theory of Banach spaces. While I feel sorry for a mathematician who cannot see its intrinsic appeal, this appeal on its own does not explain the enormous influence that the proof has had, well beyond Banach space theory, as a result of planting the idea of measure concentration in the minds of many mathematicians. Huge numbers of papers have now been published exploiting this idea or giving new techniques for showing that it holds.
  4. ^ Gordon, Y. (1985). "Some inequalities for Gaussian processes and applications". Israel Journal of Mathematics. 50 (4): 265–289. doi:10.1007/bf02759761.
  5. ^ Gordon, Y. (1988). "Gaussian processes and almost spherical sections of convex bodies". Annals of Probability. 16 (1): 180–188. doi:10.1214/aop/1176991893.
  6. ^ Schechtman, G. (1989). "A remark concerning the dependence on ε in Dvoretzky's theorem". Geometric aspects of functional analysis (1987–88). Lecture Notes in Math. Vol. 1376. Berlin: Springer. pp. 274–277. ISBN 978-0-387-51303-4.
  7. ^ Alon, N.; Milman, V. D. (1983), "Embedding of in finite-dimensional Banach spaces", Israel Journal of Mathematics, 45 (4): 265–280, doi:10.1007/BF02804012, MR 0720303.
  8. ^ Figiel, T.; Lindenstrauss, J.; Milman, V. D. (1976). "The dimension of almost spherical sections of convex bodies". Bull. Amer. Math. Soc. 82 (4): 575–578. doi:10.1090/s0002-9904-1976-14108-0."볼록체의 거의 구면 단면의 차원"Figiel, T.; Lindenstrauss, J.; Milman, V. D. (1976). "The dimension of almost spherical sections of convex bodies". Bull. Amer. Math. Soc. 82 (4): 575–578. doi:10.1090/s0002-9904-1976-14108-0.에서 확장됨, Acta Math. 139 (1977), 53–94.

더보기

  • Vershynin, Roman (2018). "Dvoretzky–Milman Theorem". High-Dimensional Probability : An Introduction with Applications in Data Science. Cambridge University Press. pp. 254–264. doi:10.1017/9781108231596.014.