효과적인 조치

양자장 이론에서, 양자 유효 작용은 최소 작용의 원리를 적용하면서 양자 보정을 고려하는 고전적인 작용에 대한 변형된 표현으로, 유효 작용의 극치가 양자장의 진공 기대치에 대한 운동 방정식을 만들어 낸다는 것을 의미합니다.효과적인 작용은 또한 한 입자의 환원 불가능한 상관 함수에 대한 생성 함수로서도 작용한다.실제 진공의 기대치는 고전적 전위가 아닌 이 전위의 최소값으로 유효 전위라고 불리며, 이는 자발적 대칭 파괴를 연구하는 데 중요하다.

이것은 ^[1]1962년 제프리 골드스톤과 스티븐 와인버그에 의해 섭동적으로 처음 정의되었고, 비섭동적 정의는 1963년^[2] 브라이스 드윗에 의해 도입되었고 1964년 ^[3]조반니 조나 라시니오에 의해 독립적으로 도입되었다.

이 기사에서는 단일 스칼라 필드에 대한 효과적인 작용에 대해 설명하지만, 여러 스칼라 필드 또는 페르미온 필드에 대해 유사한 결과가 존재합니다.

함수 생성

이러한 세대 함수는 통계역학 및 정보이론에도 적용되며 $,$ i {\ $displaystyle$ i $}$ 및 $i$ 부호 $i$ 도 약간 다르다.

$S[\phi ]$ S [ $]$ \ $displaystyle$ S [ \ $phi$ ]{ displaystyle S [ \ phi ]}를 $S[\phi ]$ 갖는 양자장 이론은 분할 함수를 사용하여 경로 적분 형식론에서 완전히 설명될 수 있다.

Z[J]=\int {mathcal {D}\phi e^{iS[\phi]+i\int d^{4}x\phi(x)J(x)}}.

이는 고전적인 $J(x)$ 전류 $J(x)$ x $)$ { $display J($ x $J(x)$ 가 존재하는 경우 진공에서 진공으로의 전환에 해당하므로 연결 및 연결 해제된 모든 파인만 다이어그램의 합으로 섭동적으로 평가할 수 있습니다.상관 함수 생성 함수이기도 합니다.

\displaystyle \hat \hat \phi } （ x _ { n } ） \ rangle = phi ) ^{n} { \ frac { 1 } { Z [ J } } } { \ frac { \ flac ^ { n } Z [ J ] } { \ delta J ( x _ dots }

${\hat {\phi }}(x)$ 서 스칼라 필드 연산자는 ${\hat {\phi }}(x)$ ( ${\hat {\phi }}(x)$ ) { $displaystyle {hat {phi$ 로 표시됩니다. 연결된 상관 함수 생성을 담당하는 $W[J]=-i\ln Z[J]$ 다른 유용한 생성 $W[J]=-i\ln Z[J]$ W [ $W[J]=-i\ln Z[J]$ ] $W[J]=-i\ln Z[J]$ - $W[J]=-i\ln Z[J]$ $W[J]=-i\ln Z[J]$ Z [ J $W[J]=-i\ln Z[J]$ ] \ $displaystyle$ W [ J ] = - $i$ \ $ln$ Z [ J $W[J]=-i\ln Z[J]$ ] ] 를 $정의$ 할 수 있습니다.

\displaystyle \hat \hat \hat \hi }(x_{n})\cdots \hat \rangle _{\text{con}=hangle _{n}{\frac ^{n}W[J]}{\delta J(x_{1}\dots \dots J(x_{n}}}}{\bigg }_{J=0}}

이 값은 ^[4]연결된 모든 다이어그램의 합으로 섭동적으로 계산됩니다.여기서 connected는 클러스터 분해의 의미로 해석됩니다.즉, 공간상의 큰 분리에서는 상관 함수가 0에 가깝다는 것을 의미합니다.일반 상관 함수는 항상 연결된 상관 함수의 곱의 합으로 작성될 수 있습니다.

양자 유효 작용은 W $W[J]$ [ $J]$ { $displaystyle$ W $[J]}$ 의 Legendre 변환을 사용하여 정의됩니다.

$\Displaystyle \Gamma [\phi ]=W[J_{\phi }]-\int d^{4}xJ_{\phi }(x)\phi(x),}$

$J_{\phi }$ 서 J ${\$ { \ $displaystyle$ J _ { \ $phi$ $\phi (x)$ 는 $J_{\phi }$ 스칼라 필드의 기대치 $\phi (x)$ ( x $){$ $displaystyle \phi ( x$ )이 되는 소스 전류입니다.클래식 필드라고 불리며 암묵적으로 정의됩니다.

한 입자로 축소할 수 없는 다이어그램의 예.

축소할 수 없는 한 입자의 다이어그램의 예.

{\displaystyle\phi(x)=\rangle_{J}=\frac{\delta J(x)}}

기대치로, 표준 필드는 스칼라 필드를 발생시키는 $J(x)$ J $)\displaystyle$ J $(x)$ 가 존재하는 $J(x)$ 경우 양자 변동에 대한 가중 평균으로 간주할 수 있습니다. $\phi (x)$ ( $\phi (x)$ ) { $displaystyle \phi ($ x )} 수율에 $\phi (x)$ 대한 Legendre 변환의 함수 도함수를 취한다.

J_{\phi }(x)=-{\frac \Gamma [\phi ]{\displaystyle \phi (x)

$J_{\phi }(x)=0$ J $J_{\phi }(x)=0$ ( $J_{\phi }(x)=0$ x ) $=$ {\ $displaystyle$ J_{\ $phi$ }(x)=0 $J_{\phi }(x)=0$ 이 없을 경우, 위의 내용은 필드의 진공 기대치가 고전 작용이 아닌 양자 유효 작용의 극치를 나타낸다.이것은 완전 양자장 이론에서 최소 작용의 원리에 지나지 않는다.양자 이론이 이러한 수정을 필요로 하는 이유는 모든 가능한 필드 구성이 경로 적분에 기여하는 반면, 고전 필드 이론에서는 고전적인 구성만 기여하기 때문에 경로 적분의 관점에서 비롯됩니다.

1PI 상관함수의 생성함수도 유효하며, 1PI 다이어그램은 하나의 내부선을 절단하여 두 조각으로 분리할 수 없는 연결그래프입니다.그렇기 때문에

\displaystyle \hat \hat \hi }(x_{1})\langle _{\mathrm {1}PI } = i440frac {\param ^{n}\Gamma [\phi ] } {\param \phi (x_{n})} {\bigg } _ {J=0}

$γ$ [ $\Gamma [\phi ]$ $]$ { $display$ \ Gamma [ \ $phi$ ]}는 $\Gamma [\phi ]$ 모든 1PI 파인만 다이어그램의 합계입니다.W $W[J]$ [ $]$ \ $displaystyle$ W [ $J$ ] $\Gamma [\phi ]$ $\Gamma [\phi ]$ $]$ \ $displaystyle$ \ $Gamma$ [ \ $phi ]$ 사이에 $\Gamma [\phi ]$ $W[J]$ 한 관계가 있다는 것은 이들 상관 함수 사이에 많은 매우 유용한 관계가 있음을 의미합니다.예를 들어 2포인트 상관함수는 $\Delta (x,y)$ δ $x$ , $)\displaystyle \Delta$ ( $x ,$ y $\Delta (x,y)$ 보다 작지 않습니다.이 함수는 1PI 2포인트 상관함수의 역함수입니다.

{\displaystyle\Delta(x,y)=\displayfrac(\displaystyle ^{2})W[J]}{\delta J(x)\delta J(y)}=frac {\frac \phi(x)}{\frac J(y)}={\frac bigg(x)}{-{\frac}}

유효 작용 계산 방법

유효 작용 $\Gamma [\phi _{0}]$ [ $\Gamma [\phi _{0}]$ 0 $]$ ${\displaystyle$ \ $Gamma$ [\ $phi$ _ ${0}}$ 을 $\Gamma [\phi _{0}]$ (를) 1PI 다이어그램의 합으로 계산하는 직접적인 방법은 시프트 $S[\phi +\phi _{0}]$ S [ $S[\phi +\phi _{0}]$ + + $S[\phi +\phi _{0}]$ 0 $S[\phi +\phi _{0}]$ ] {\ $displaystyle$ S $[\phi +\0$ ] _ ${0i$ $S[\phi +\phi _{0}]$ _{} } 에서 도출된 모든 1PI 진공 다이어그램의 합계를 구하는 것이다. $\phi _{0}$ \ $displaystyle$ \ $phi _$ { 0 $\phi _{0}$ } $\phi _{0}$ vertices vertices vertices 。또는 정점은 $외부 {\$ \ $displaystyle$ \ phi $\phi$ }라인을 $\phi$ 부착할 수 있는 장소입니다.이는 효과적인 액션을 계산하는 데 사용할 수 있는 백그라운드 필드 방법과 매우 유사합니다.

또는 고전적인 진공 기대치 필드 구성 $\phi (x)=\phi _{\text{cl}}(x)+\delta \phi (x)$ ( $\phi (x)=\phi _{\text{cl}}(x)+\delta \phi (x)$ ) $\phi (x)=\phi _{\text{cl}}(x)+\delta \phi (x)$ $\phi (x)=\phi _{\text{cl}}(x)+\delta \phi (x)$ cl ( $\phi (x)=\phi _{\text{cl}}(x)+\delta \phi (x)$ ) + $\phi (x)=\phi _{\text{cl}}(x)+\delta \phi (x)$ ( $\phi (x)=\phi _{\text{cl}}(x)+\delta \phi (x)$ x $\phi (x)=\phi _{\text{cl}}(x)+\delta \phi (x)$ ) \ $displaystyle \phi$ ( x ) = \ $phi$ _ { \ $text$ { $cl$ } + \ $phi$ _ { \ text { cl （ $x$ ) \ $phi$ ( x ) $\phi (x)=\phi _{\text{cl}}(x)+\delta \phi (x)$ 의^[5]^[6] 주위에 파티션 함수의 확장을 고려함으로써 작용에 대한 원루프 근사치를 구할 수 있다.

\Displaystyle \Gamma [\phi _{\text{cl}}]=S[\phi _{\text{cl}}+{\frac {i}{2}}{\text{Tr}}{\bigg [ } \ ln \ frac \ phi ( x ) \ phi ( y ) } { \ bigg } _ { \ phi = \ phi _ { \ text { cl } { \ \ bigg } + \ cdots }

대칭

고전 $S[\phi ]$ S $S[\phi ]$ [ $]$ \ $displaystyle$ S [ \ $phi ]$ 의 $S[\phi ]$ 대칭은 양자 유효 작용 $\Gamma [\phi ]$ [ $]$ \ $displaystyle$ \ $Gamma$ [ \ $phi$ $\Gamma [\phi ]$ 의 대칭이 아닙니다. 고전 작용이 기능 $F[x,\phi ]$ [ $F[x,\phi ]$ , $]$ 에 따라 연속 대칭을 갖는 경우.

\displaystyle \phi(x)\rightarrow \phi(x)+\epsilon F[x,\phi],

그리고 이것은 직접적으로 제약을 가한다.

0=\int d^{4}x\rangle F[x,\phi }}{\frac \Gamma [\phi ]{\frac \Gamma [\phi ]}{\frac \phi (x)}

이 정체성은 슬라브노프-테일러 정체성의 한 예이다.대칭 변환에서 유효 작용이 불변하다는 요구사항과 동일하다.

\displaystyle \phi (x)\rightarrow \phi (x)+\epsilon \langle F[x,\phi ]\rangle _{J_{\phi }}.}

이 대칭은 선형 대칭의 중요한 클래스에 대한 원래의 대칭과 동일하다.

F[x,\phi]=a(x)+\int d^{4}y\b(x,y)\phi(y)

비선형 함수의 경우 비선형 함수의 평균이 평균 함수와 동일하지 않기 때문에 두 대칭은 일반적으로 다르다.

볼록함

섭동 이론을 통해 획득된 겉보기

V_{0}(\phi )

V_{0}(\phi )

0 (

{\

) \

displaystyle

V _ {

0

}

V(\phi )

( \

phi

)

는

V_{0}(\phi )

두 가지 차이가 있는 영역에서 점선을 통해 표시되는 진정한

V(\phi )

V (

V(\phi )

)로 보정해야 합니다.

$(\$ 의 ${\mathcal {V}}_{4}$ 시공간에서 유효전위는 V $V(\phi )=-\Gamma [\phi ]/{\mathcal {V}}_{4}$ is) $=$ - $V(\phi )=-\Gamma [\phi ]/{\mathcal {V}}_{4}$ [ $V(\phi )=-\Gamma [\phi ]/{\mathcal {V}}_{4}$ / $(\$ $displaystyle$ V $(\phi$ )=- $Gamma [\phi]/{\mathcal {V}_{4$ 로 정의된다.디스플레이 $H.$ $)({displaystyle \phi (x)}$ 는 $\phi (x)$ $\langle \Omega |{\hat {\phi }}|\Omega \rangle =\phi (x)$ = $\langle \Omega |{\hat {\phi }}|\Omega \rangle =\phi (x)$ ^ ^ $\langle \Omega |{\hat {\phi }}|\Omega \rangle =\phi (x)$ ^ $^$ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ $|\Omega \rangle$ ^ ^ $^$ $^\\\\displaystyle$ $\ope$ \ $Omega$ \ $rangle$ $\langle \Omega |H|\Omega \rangle$ $}$ 상태 $\langle \Omega |H|\Omega \rangle$ $|\Omega \rangle$ $|\Omega \rangle$ 에 대한 $\langle \Omega |H|\Omega \rangle$ $\langle \Omega |H|\Omega \rangle$ 의 최소 기대치를 제공합니다. $}$ \ $Omega$ \rangle $=\phi$ (x $\langle \Omega |{\hat {\phi }}|\Omega \rangle =\phi (x)$ ^[7] 각각 특정 소스 전류에 해당하는 여러 개의 다른 상태가 동일한 기대값을 초래할 수 있으므로 여러 상태에 대한 이 정의가 필요합니다 $.$ 유효전위는 반드시 $V''(\phi )\geq 0$ V $V''(\phi )\geq 0$ ( $V''(\phi )\geq 0$ ) $V''(\phi )\geq 0$ 0 \ $display$ V " \ $phi$ ) \ $geq$ 0 $V''(\phi )\geq 0$ ^[8]인 것을 알 수 있다.

유효 전위를 섭동적으로 계산하면 2개의 국소 최소값을 갖는 전위와 같이 볼록하지 않은 결과가 나올 수 있다.그러나, 실제 유효 전위는 여전히 볼록하며, 겉으로 보이는 유효 전위가 볼록하지 않은 곳에서 대략적으로 선형으로 변한다.이 모순은 진공이 불안정한 상황을 다루고 있을 때 발생하는 반면 섭동 이론은 진공이 안정적이라고 가정한다.예를 들어, 2개의 로컬 최소값이 $\phi _{1}$ 외관상 $V_{0}(\phi )$ V $V_{0}(\phi )$ 0 ( $V_{0}(\phi )$ )(\ $displaystyle V_$ ${$ 0 $\phi _{1}$ $phi$ $)$ 에 $|\Omega _{1}\rangle$ 이 $V_{0}(\phi )$ $\phi _{1}$ $(\$ $displaystyle$ \ $phi$ _ ${$ $1$ }) 및 $(\$ $displaystyle \phi$ $\phi _{2}$ _ ${2$ $}})$ 인 $\phi _{2}$ $|\Omega _{1}\rangle$ 것으로 합니다 $.$ $|\Omega _{2}\rangle$ 2 $|\Omega _{2}\rangle$ {\ \ $displaystyle$ \ $Omega _$ ${$ 2} \ $|\Omega _{2}\rangle$ rangle $|\Omega _{2}\rangle$ } 。다음으로 $V_{0}(\phi )$ $V_{0}(\phi )$ 의 비볼록 영역( $)$ )의 $\phi$ 의 $\phi$ {\({ $displaystyle V_{$ $0}(\phi)}$ 을 $\phi$ $V_{0}(\phi )$ $\lambda \in [0,1]$ (를 $)$ $\lambda \in [0,1]$ 과 같이 취득할 수 있습니다 $\lambda \in [0,1]$

\displaystyle \Omega \rangle \propto \sqrt \lambda } \Omega _{1}\rangle +{\sqrt {1-\lambda}}} \Omega _{2}\rangle .}

단, 이 상태의 에너지 밀도는 $\lambda V_{0}(\phi _{1})+(1-\lambda )V_{0}(\phi _{2})<V_{0}(\phi )$ $\lambda V_{0}(\phi _{1})+(1-\lambda )V_{0}(\phi _{2})<V_{0}(\phi )$ 0 ( $\lambda V_{0}(\phi _{1})+(1-\lambda )V_{0}(\phi _{2})<V_{0}(\phi )$ 1 $\lambda V_{0}(\phi _{1})+(1-\lambda )V_{0}(\phi _{2})<V_{0}(\phi )$ ) $\lambda V_{0}(\phi _{1})+(1-\lambda )V_{0}(\phi _{2})<V_{0}(\phi )$ + ( $\lambda V_{0}(\phi _{1})+(1-\lambda )V_{0}(\phi _{2})<V_{0}(\phi )$ - $\lambda V_{0}(\phi _{1})+(1-\lambda )V_{0}(\phi _{2})<V_{0}(\phi )$ ) $\lambda V_{0}(\phi _{1})+(1-\lambda )V_{0}(\phi _{2})<V_{0}(\phi )$ ( $\lambda V_{0}(\phi _{1})+(1-\lambda )V_{0}(\phi _{2})<V_{0}(\phi )$ 2 $\lambda V_{0}(\phi _{1})+(1-\lambda )V_{0}(\phi _{2})<V_{0}(\phi )$ ) < $\lambda V_{0}(\phi _{1})+(1-\lambda )V_{0}(\phi _{2})<V_{0}(\phi )$ ( $\lambda V_{0}(\phi _{1})+(1-\lambda )V_{0}(\phi _{2})<V_{0}(\phi )$ ) \ $display$ style $\lambda V$ _ { $0$ } ( \ $phi _ {$ 1 $}$ + ( 1 - \ $lambda$ ) $V _$ 0 （ $phi _$ { 2 $）$ $<$ $V_{0}(\phi )$ ${0$ }(\ $V_{0}(\phi )$ $)$ 는 $\lambda V_{0}(\phi _{1})+(1-\lambda )V_{0}(\phi _{2})<V_{0}(\phi )$ V 0 $V_{0}(\phi )$ $))$ 을 의미하며, density({displaystyle $\phi$ $V_{0}(phi)}$ 은 $V_{0}(\phi )$ (는) $\phi$ 밀도를 최소화하지 못하기 때문에 ${\(\displaystyle$ \phi $)$ 에서 $\phi$ 올바른 유효 전위가 될 수 없습니다. $V(\phi )$ 진정한 $V(\phi )$ V ( $V(\phi )$ ) ( \ $displaystyle$ V ( \ $phi$ )는 $V(\phi )$ 볼록함을 회복하는 이 선형구조와 같거나 낮습니다.

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레퍼런스

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^ DeWitt, B.; DeWitt, C. (1987). Relativité, groupes et topologie = Relativity, groups and topology : lectures delivered at Les Houches during the 1963 session of the Summer School of Theoretical Physics, University of Grenoble. Gordon and Breach. ISBN 0677100809.
^ Jona-Lasinio, G. (31 August 1964). "Relativistic Field Theories with Symmetry-Breaking Solutions". Il Nuovo Cimento. 34 (6): 1790–1795. doi:10.1007/BF02750573. Retrieved 2021-09-06.
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^ Weinberg, S. (1995). "16". The Quantum Theory of Fields Volume 2. Vol. 2. Cambridge University Press. p. 72-74. ISBN 9780521670548.
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추가 정보

Das, A. : 필드 이론: A Path Integrential 어프로치, World Scientific Publishing 2006
Schwartz, M.D.: 양자장 이론과 표준모델, 캠브리지 대학 출판부 2014
톰스, 디제이:The Schwinger Action Principle and Effective Action, 캠브리지 대학 출판부 2007
와인버그, S:양자장론, 제1권Ⅱ, 1996년 케임브리지 대학교 출판부

[1] Weinberg, S.; Goldstone, J. (August 1962). "Broken Symmetries". Phys. Rev. 127 (3): 965–970. doi:10.1103/PhysRev.127.965. Retrieved 2021-09-06.

[2] DeWitt, B.; DeWitt, C. (1987). Relativité, groupes et topologie = Relativity, groups and topology : lectures delivered at Les Houches during the 1963 session of the Summer School of Theoretical Physics, University of Grenoble. Gordon and Breach. ISBN 0677100809.

[3] Jona-Lasinio, G. (31 August 1964). "Relativistic Field Theories with Symmetry-Breaking Solutions". Il Nuovo Cimento. 34 (6): 1790–1795. doi:10.1007/BF02750573. Retrieved 2021-09-06.

[4] Zinn-Justin, J. (1996). "6". Quantum Field Theory and Critical Phenomena. Oxford: Oxford University Press. p. 119-122. ISBN 978-0198509233.

[5] Kleinert, H. (2016). "22" (PDF). Particles and Quantum Fields. World Scientific Publishing. p. 1257. ISBN 9789814740920.

[6] Zee, A. (2010). Quantum Field Theory in a Nutshell (2 ed.). Princeton University Press. p. 239-240. ISBN 9780691140346.

[7] Weinberg, S. (1995). "16". The Quantum Theory of Fields Volume 2. Vol. 2. Cambridge University Press. p. 72-74. ISBN 9780521670548.

[8] Peskin, M.E.; Schroeder, D.V. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press. p. 368-369. ISBN 9780201503975.

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