5비트 오류 수정 코드

5비트 오류 수정 코드는 임의의 단일 큐비트 ^[1]오류로부터 논리 큐비트를 보호할 수 있는 최소 양자 오류 수정 코드입니다.이 코드에서는 5개의 물리 큐비트를 사용하여 논리 ^[2]큐비트를 부호화합니다.$(Displaystyle$ X$)$와 Z$(Displaystyle$ Z$)$가 Pauli $매트릭스$이고$$I($Style$$$I)에서 이 코드의 생성기는${\displaystyle }$X ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ X${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle Z}$ X X X X X X ${\displaystyle X}$ $L입니다.$$IXZZX, XIXZZ, ZXIXZ\rangle$ 논리연산자는 $=$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$X X X X$({x$}=$XXXXXX$$})$ 및 $=$ ${\displaystyle \mathrm{ZZ}}$Z Z Z$({$z$\}\backslash$^[3]$style$ {Z$}ZZZ입니다.$스태빌라이저 측정 결과를 에러의 종류와 위치에 매핑하는 룩업 테이블은 양자컴퓨터의 제어시스템에 오류를 ^[4]수정하기에 충분한 정보를 제공한다.

측정값

스태빌라이저 측정은 물리적 큐비트의 ^[5]스태빌라이저를 측정하는 패리티 측정입니다.예를 들어 첫 번째 스태빌라이저(${\displaystyle X}$ Z ${\displaystyle X}$ $\displaystyle XZZX$)를 측정하려면$I)$의 패리티 측정은 첫 번째 큐비트의 X$(디스플레이$ 스타일$$ X$),$ $두{\displaystyle }$ 번째 큐비트의$$Z($디스플레이$ $스타일$Z), $세{\displaystyle }$ 번째 큐비트의 Z$(디스플레이$ $스타일$ Z$),$ $네{\displaystyle }$ 번째 큐비트의$$ X$(디스플레이 스타일$ X$),$ $다섯{\displaystyle }$ 번째 큐비트의 I(디스플레이 $스타일$ I$)$의 패리티 측정을 수행합니다.4개의 안정기가 있기 때문에 4개의 안치아가 측정됩니다.위의 이미지에서 처음 4개의 큐비트는 안키야입니다.안키야스의 결과 비트는 발생한 오류 유형과 위치를 인코딩하는 증후군이다.

논리 큐비트는 Z ${\$ {\$displaystyle {Z$에서 패리티 측정을 실행하여 계산 기준으로 측정할 수 있습니다.측정된 ancilla가 0$(\$$displaystyle 0)$인 경우 논리 큐비트는 0 ${\displaystyle {L\mathrm{}}_{}}$ ${\$ {\$rm {L}\rangle$ $\}$입니다.측정된 ancilla가 $(\displaystyle$1 b$)$인 경우,${\displaystyle 1{\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {L\mathrm{}}_{}}$ $†$ { $displaystyle$1 _ { \$rm$ { L$$} } \ $rangle$ $\}$^[6] 입니다.

오류 정정

발생할 수 있는 모든 단일 큐비트 오류와 수정 방법을 계산할 수 있습니다.이것은 스태빌라이저로 ^[4]이동하는 오류를 계산함으로써 이루어집니다.예를 들어 첫 번째 쿼트에 X$({displaystyle$X}) $오류$가 있고 다른 쿼트에 오류가 없는 경우(${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$I \ $displaystyle X_{1$} =$X$).$III)$ 첫 번째 안정기와${\displaystyle \mathrm{일치}}$합니다 [${\displaystyle \mathrm{XIII},}$ ${\displaystyle \mathrm{XZ}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mathrm{XI}]}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 0}${$displaystyle [X$]$III,XZXI]=0$즉, 첫 번째 큐비트에서 X 오류가 발생하면 첫 번째 ancilla qubit는 0이 됩니다.두 번째 ancilla qubit${\displaystyle }$: [ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$、 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ Z ${\displaystyle Z}$ X${\displaystyle ]=}$ ${\displaystyle 0}$\ $displaystyle$[$X$ ]$III,IXZZX]=0$ 세 번째$:{\displaystyle }$ [${\displaystyle \mathrm{XIIII},}$ ${\displaystyle \mathrm{XIXZZ}]}$ ${\displaystyle =}$ (X) displaystyle $[X$]$III, XIXZ]=0}$ 및$$ 네${\displaystyle }$번째 [${\displaystyle \mathrm{XIII},}$ ${\displaystyle \mathrm{ZXIXZ}]0}$0 ($xisplaystyle [X$])$III,ZXIXZ]\neq$ 0$\}.$ 따라서 첫 번째 쿼트에서 X 오류가 발생하면 X $({$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $X_{1$의 오른쪽에 있는 0001$({$$displaystyle$ 0001$\})$ 신드롬이 됩니다.다른 모든 오류가 테이블을 채웁니다.

${\displaystyle X_{1}}$	0001	${\displaystyle Z_{1}}$	1010	${\displaystyle Y_{1}}$	1011
${\displaystyle X_{2}}$	1000	${\displaystyle Z_{2}}$	0101	${\displaystyle Y_{2}}$	1101
${\displaystyle X_{3}}$	1100	${\displaystyle Z_{3}}$	0010	${\displaystyle Y_{3}}$	1110
${\displaystyle X_{4}}$	0110	${\displaystyle Z_{4}}$	1001	${\displaystyle Y_{4}}$	1111
${\displaystyle X_{5}}$	0011	${\displaystyle Z_{5}}$	0100	${\displaystyle Y_{5}}$	0111

오류를 수정하기 위해 신드롬에 따라 물리 큐비트에 대해 동일한 연산을 수행합니다.신드롬이 ${\displaystyle 0001}${\$displaystyle$ 0001$\}$인 경우$$X {\$displaystyle$ X$}$ 게이트가 첫 번째 큐비트에 적용되어 오류를 되돌립니다.

부호화

오류 정정 양자 계산을 실행하는 첫 번째 단계는 물리적 큐비트를 논리 코드 워드로 변환하여 컴퓨터의 초기 상태를 인코딩하는 것입니다.5 큐비트 코드의 논리 코드 워드는

$({displaystyle 0_{\rm {L}}\rangle {1}{4}) [00000\rangle + 10010\rangle + 0100\rangle + 010\rangle - 1101\rangle - 001\rangle - 111000\rangle - 111\rangle - 111$

$display$$le$+ $01011 \rangle$-$00100 \rangle$- $11001 \rangle$-$00111 \rangle$- $00010 \rangle$-$11100 \rangle$- $00001 \rangle - 10011 \rangle$-$01000 \rangle$+$11010 \rangle$ ,

Stabilizer 측정 후 Z$$¯(\$displaystyle {Z})$ $측정$을 사용하여 5개의 물리적 큐비트를 논리 큐비트로 ^[7]인코딩할 수 있습니다.${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ L $†$ {\$display 0_{\rm {L}}\rangle$ $\}$을 준비하려면 스태빌라이저 측정을 한 후 에러 수정을 실시합니다.에러 정정 후, 논리 상태가 논리 코드 워드가 되는 것을 보증한다.Z ${\$ （ { $display style$ { $Z$} ） $z$ ${\displaystyle {の\mathrm{}}_{}}$ anncilla $0{\displaystyle \mathrm{}}$ 0$$（ \ $displaystyle 0$$）$ 、 0 L $⟩$ （ \ $rm${ $L$} \ $rangle$ 。 1 ${\$ { $displaystyle$1 \ $rangle$인 경우 X$$ style { \ $display$ style { $X}$$$} ${\displaystyle {\}}_{}}$를 $적용$하면 L로 ${\displaystyle {변환}_{}}$됩니다.$tyle 0_{\rm {L}}\rangle$ 입니다.

레퍼런스