부드러움

수학적 분석에서, 함수의 부드러움은 함수가 어떤 영역에 걸쳐 가지고 있는 연속 파생상품의 수로 측정한 속성이다.^[1] 함수는 어느 곳에서나 (연속적으로) 다르면 최소한 매끄러운 것으로 간주될 수 있다.^[2] 다른 쪽 끝에는, 그 영역 내의 모든 주문의 파생상품도 보유할 수 있는데, 이 경우 무한히 다른 것으로 알려져 있으며, C-infinity 함수($또는{\displaystyle {}^{}}$ C$∞{\$라고 한다.^[3]

차별성 클래스

차별성 등급은 파생상품의 특성에 따라 함수를 분류하는 것이다. 함수에 대해 존재하는 파생상품의 최고 순서에 대한 척도다.

실제 라인에 있는 오픈 세트와 실제 값을 가진 세트에서 정의된 함수 f를 고려한다. k를 음이 아닌 정수가 되게 하라. 함수 f는 파생상품 f f, f ..., ..., f가^(k) 존재하며 연속적인 경우 (차별성) C등급이라고^k 한다. 함수 f는 모든 주문의 파생상품이 있는 경우 무한히 다르고, 매끄러우며, 또는^∞ C등급이라고 한다.^[4] f함수는 f가 매끄러우면 C등급^ω, 즉 분석적이라고 하며, 테일러 시리즈가 그 영역의 어느 지점을 중심으로 확장되는 것이 그 지점의 일부 근방의 함수로 수렴되는 경우라고 한다. 따라서^ω C는 C에^∞ 엄격히 포함되어 있다. 범프 함수는 C에서는^∞ 함수의 예지만 C에서는^ω 그렇지 않다.

다르게 말하면, 등급⁰ C는 모든 연속적인 기능으로 구성된다. 등급 C는¹ 파생상품이 연속적인 모든 다른 기능들로 구성된다. 그러한 기능들을 지속적으로 다른 기능이라고 부른다. 따라서¹ C함수는 정확히 파생상품이 존재하고 등급 C인⁰ 함수다. 일반적으로 등급 C는^k C를⁰ 모든 연속함수의 집합으로 선언하고, 어떤^k 양의 정수 k를 파생상품이 C에^k−1 있는 모든 상이한 함수의 집합으로 선언함으로써 재귀적으로 정의할 수 있다. 특히 C는^k k > 0마다 C에^k−1 포함되어 있으며, 이 격납이 엄격함을 보여주는 예도 있다(C^k ⊊ C^k−1). 무한히 다른 함수의 C등급은^∞ k등급이 음이 아닌 정수에 걸쳐 변화함에 따라 C등급의^k 교차점이다.

예

함수

연속형이지만 x = 0에서는 다를 수 없기 때문에 C등급이지만⁰¹ C등급은 아니다.

함수

파생적으로 차별화된다.

${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle }$1 / ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \cos(1/x)}$이(가) x → 0으로$$ 진동하기 $때문$에 g ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle$ g$'(x)}$은 0에서 연속되지 않는다. 따라서 $g{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle g(x)}$은(는) 다를 수 있지만 클래스¹ C의 것은 아니다$$. Moreover, if one takes ${\displaystyle g(x)=x^{4/3}\sin(1/x)}$ (x ≠ 0) in this example, it can be used to show that the derivative function of a differentiable function can be unbounded on a compact set and, therefore, that a differentiable function on a compact set may not be locally Lipschitz cont무성의한

기능

여기서 k는 모든 x에서 연속적이고 k 시간은 다를 수 있다. 그러나 x = 0에서 그들은 (k + 1)배 차이가 나지 않기 때문에 C 등급이지만^k j > k 등급은 아니다^j.

지수함수는 분석적이며, 따라서 등급 C에^ω 해당된다. 삼각함수 또한 정의되는 곳마다 분석적이다.

범프 기능

등급 C와^∞ 마찬가지로 부드럽지만 x = ±1에서 분석되지 않으므로 등급 C가^ω 아니다. f함수는 콤팩트한 지지대로 매끄러운 기능의 예다.

다변량 차이성 클래스

${\displaystyle 함수\mathbb{}}$ $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$→ R ${\$$U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ defined on an open set ${\displaystyle U}$ of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ is said^[5] to be of class ${\displaystyle C^{k}}$ on ${\displaystyle U}$, for a positive integer ${\displaystyle k}$, if all partial derivatives

exist and are continuous, for every ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$ non-negative integers, such that ${\displaystyle \alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}\leq k}$, and every ${$$\displaystyle (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\in U}$. Equivalently, ${\displaystyle f}$ is of class ${\displaystyle C^{k}}$ on ${\displaystyle U}$ if the ${\displaystyle k}$-th order Fréchet derivative of ${\displaystyle f}$ exists and is continuous at every point of ${\displaystyle U}$. The functi$on{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(는) $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$에 연속적인 경우$$ $클래스{\displaystyle }$ C ${\displaystyle$ $C$$}$ 또는$$ ${\displaystyle {C\mathrm{}}^{}}$ 0 ${\$ C$^{0}}$인 것으로$$ 알려져 있다$.$

함수 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {}^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ m ${\$$U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$, defined on an open set ${\displaystyle U}$ of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, is said to be of class ${\displaystyle C^{k}}$ on ${\displaystyle U}$, for a positive integer ${\displaystyle k}$, if all of its components

are of class ${\displaystyle C^{k}}$, where ${\displaystyle \pi _{i}}$ are the natural projections${\displaystyle \pi _{i}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }$ defined by ${\displaystyle \pi _{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=x_{i}}$. $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$에서 연속성이거나 모든 구성 요소 ${\displaystyle f_{}}$ i ${\$가 연속적인 경우$$ ${\displaystyle {클래스\mathrm{}}^{}}$ C$$${\$ C$^{0}$라고 $한다{\displaystyle {}^{}}$$.$

C^k 함수의 공간

D를 실제 라인의 개방된 하위 집합이 되게 하라. D에 정의된 모든 C^k 실제값 함수의 집합은 프레셰트 벡터 공간이며, 계산 가능한 세미노름 계열이 있다.

여기서 K는 조합이 D이고 m = 0, 1, ..., k인 콤팩트 세트의 증가 순서에 따라 변화한다.

D에 대한 C함수의^∞ 집합도 프리셰트 공간을 형성한다. m이 모든 음수가 아닌 정수 값에 걸쳐 범위를 지정할 수 있다는 점을 제외하고, 하나는 위와 동일한 세미놈을 사용한다.

위의 공간은 특정 주문의 파생상품을 갖는 기능이 필요한 애플리케이션에서 자연스럽게 발생하지만, 특히 부분 미분방정식의 연구에서는 소볼레브 공간과 함께 작업하는 것이 더 생산적일 수 있다.

파라메트릭 연속성

파라미터 연속성과 기하 연속성(Gⁿ)이라는 용어는 파라미터가 곡선을 추적하는 속도 제한을 제거함으로써 곡선의 부드러움을 측정할 수 있다는 것을 보여주기 위해 Brian Barsky가 도입했다.^[6][7][8]

파라메트릭 연속성은 파라메트릭 곡선에 적용되는 개념으로, 곡선을 따라 거리를 두고 파라미터 값의 부드러움을 설명한다.

정의

A(파라메트릭)곡선 s:[0,1]→ Rn{\displaystyle s:[0,1]\to \mathbb{R}^{n}}Ck, 만약 dk 신규 dt k{\displaystyle \textstyle{\frac{d^{k}s}{dt^{k}}}}, 어디서 end-points에서 파생 상품 0[0,1]{\displaystyle[0,1]}, 1∈[0,1]{년에 대한 계속된 존재하며 클래스의 것으로 알려져 있다.d$isplaystyle$ 0$,1\in$ [0$,1]}$은(는) 단측 파생상품으로 간주된다$$(즉, 오른쪽에서$0{\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystyle$ 0$$}, $왼쪽$에서$$1 {\$displaystyle$ 1$}).$

이 개념의 실용적 적용으로서, 시간의 매개변수를 가진 물체의 움직임을 기술하는 곡선은 C 연속성을 가져야¹ 하며, 그 첫 번째 파생상품은 유한 가속도를 가지기 위해 서로 다를 수 있다. 필름을 만드는 동안 카메라의 경로와 같은 부드러운 움직임을 위해서는 파라메트릭 연속성의 높은 순서가 필요하다.

연속성 순서

파라메트릭 연속성의 다양한 순서는 다음과 같이 설명할 수 있다.^[9]

• C⁰: zerot 파생상품은 연속형(곡선은 연속형)
• C¹: 제로스와 첫 번째 파생상품은 연속적이다.
• C²: zeroth, 첫 번째 및 두 번째 파생상품은 연속적이다.
• Cⁿ: 0번째부터 n번째까지의 파생상품은 연속적이다.

기하 연속성

기하학적 연속성 또는 기하학적 연속성의 개념은 라이프니즈, 케플러, 폰셀레와 같은 수학자들에 의해 원뿔 부분(및 관련 형상)에 주로 적용되었다. 그 개념은 대수보다는 기하학을 통해 파라메트릭 함수를 통해 표현된 연속성의 개념을 설명하려는 초기 시도였다.^[10]

기하학적 연속성의 이면에 있는 기본적인 생각은 다섯 개의 원뿔 부분이 실제로 같은 모양의 다섯 가지 다른 버전이라는 것이었다. 타원은 편심률이 0에 가까워질 때 원을 그리거나, 포물선에 가까워질 때 포물선을 그리며, 하이퍼볼라는 편심도가 한 쪽으로 떨어질 때 포물선을 그리며 교차하는 경향이 있다. 따라서 원뿔 부분 사이에는 연속성이 있었다. 이러한 생각들은 연속성의 다른 개념들로 이어졌다. 예를 들어 원과 직선이 같은 모양의 두 가지 표현이라면 아마도 선은 무한한 반지름을 가진 원이라고 생각할 수 있을 것이다. 그러려면 $x{\displaystyle }$ =${\displaystyle \mathrm{}}$∞ ${\displaystyle x=\inflt }$을(를) 원 위의 점으로$$ 하고, x${\displaystyle }$= +$∞$ {\$displaystyle x=+\inft }$과 x${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle x=\neg \inft$}을(를$$)로 하여 선을 닫아야 할 것이다. 그러한 아이디어는 함수 연속성에 대한 현대적이고 대수적으로 정의된 아이디어와 $∞{\displaystyle \infit }$을(를) 만드는 데 유용했다($$자세한 내용은 프로젝트적으로 확장된 실제 라인 참조).^[10]

곡선과 표면의 부드러움

곡선이나 표면은 Gⁿ 연속성을 가지며, n은 평활성의 증가 척도가 된다. 곡선에서 점의 양쪽에 있는 세그먼트를 고려하십시오.

• G⁰: 곡선이 결합점에서 닿는다.
• G¹: 또한 곡선은 결합점에서 접선 방향을 공유한다.
• G²: 곡선은 결합점에서 곡률의 공통 중심도 공유한다.

일반적으로 Gⁿ 연속성은 곡선이 Cⁿ(모수) 연속성을 갖도록 재평가될 수 있는 경우에 존재한다.^[11][12] 곡선의 재포장치는 원곡선과 기하학적으로 동일하며, 매개변수만 영향을 받는다.

동등하게, 두 벡터함수 f(t)와 g(t)는 scalar k > 0(즉, 두 벡터의 방향이 동일하지만 반드시 크기가 아닐 경우)에 대해⁽ⁿ⁾ f(t)와 f⁽ⁿ⁾(t) ≡) ≡ kg⁽ⁿ⁾(t)가 G 연속성을ⁿ 가진다.

곡선은 G¹ 연속성이 매끄럽게 나타나도록 요구하는 것이 분명할 수 있지만, 건축이나 스포츠카 디자인에서 열망하는 것과 같은 좋은 미학을 위해서는 더 높은 수준의 기하 연속성이 요구된다. 예를 들어, 차체의 반사는 신체가² G 연속성을 가지지 않는 한 매끄럽게 보이지 않을 것이다.

둥근 사각형(네 모서리에 90도 원형 호가 있음)은 G¹ 연속성을 가지지만 G 연속성을² 가지지 않는다. 둥근 정육면체도 마찬가지인데, 모서리에 구의 옥타트가 있고 가장자리를 따라 4분의 1 실린이 있다. G² 연속성이 있는 편집 가능한 곡선이 필요한 경우, 일반적으로 입방 스플라인을 선택한다. 이러한 곡선은 산업 설계에서 자주 사용된다.

조각별로 정의된 곡선과 표면의 부드러움

이 섹션은 연결 곡선 정리와의 확장이 필요하다. 덧셈으로 도와줘도 된다. (2014년 8월)

기타개념

분석성과의 관계

모든 분석 기능은 분석적 기능인 세트에서 "매끄러움"(즉, 모든 파생상품이 연속적으로 존재함)이지만, 범프 기능(위에서 언급함)과 같은 예는 실제의 기능에 대해 정반대되는 것이 아니라는 것을 보여준다: 분석적이지 않은 부드러운 실제 기능이 존재한다. 매끄럽지만 어느 지점에서나 분석적이지 않은 기능의 간단한 예는 푸리에 시리즈를 통해 만들 수 있으며, 또 다른 예는 파비우스 함수다. 그러한 기능이 규칙보다는 예외로 보일 수 있지만, 분석 기능이 매끄러운 기능들 사이에 매우 얇게 흩어져 있다는 것이 밝혀진다; 더 엄격하게, 분석 기능은 매끄러운 기능의 미미한 부분집합을 형성한다. 더욱이, 실선의 모든 오픈 서브셋 A에 대해, A와 그 어느^{[citation needed]} 곳에서도 분석되는 매끄러운 기능이 존재한다.

실선의 초월수의 편재성과 상황을 비교하는 것이 유용하다. 실제 라인과 부드러운 기능의 집합 둘 다, 우리가 처음에 생각해 낸 예들(알지브라질/합리적인 숫자와 분석 기능)은 대다수의 경우보다 훨씬 더 잘 행동한다: 초월적 숫자와 원거리 분석 기능이 완전한 척도를 가지고 있다(그들의 보완은 미약하다).

이렇게 기술된 상황은 복잡하게 다른 기능들과 현저한 대조를 이룬다. 복잡한 기능이 오픈 세트에 단 한 번만 차별화된다면, 그것은 그 세트에서^{[citation needed]} 무한히 차별화 될 뿐만 아니라 분석적이다.

원활한 통합 파티션

주어진 폐쇄적인 지원을 받는 부드러운 기능은 단결의 매끄러운 칸막이의 구축에 사용된다(단일화와 위상 용어집에서의 칸막이를 참조). 이는 예를 들어 리만족 지표가 지역적 존재로부터 글로벌하게 정의될 수 있다는 것을 보여주기 위해 매끄러운 다지관의 연구에 필수적이다. 간단한 경우는 실제 라인의 범프 함수, 즉 0 값을 간격 [a,b] 바깥으로 가져가는 매끄러운 함수 f의 경우를 들 수 있다.

선상에 여러 겹치는 간격을 부여하면, 범프 함수는 각각, 그리고 반무한 간격( -${\displaystyle \mathrm{\infty ,}}$ c${\displaystyle ],}$ ${\displaystyle \mathrm{반무한}}$ 간격$(-\$표시 $스타일(-\infit,c)$ ${\displaystyle \mathrm{및<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; (-\backslash infty\; ,c]\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/41438072d1ed991929e008e55b7e45d1a721af42"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:7.724ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="266">}}{\displaystyle }$[ d${\displaystyle ,}$+ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\표시$ 스타일 $[d,+\infit$)을 구성하여$$, 함수의 합이 항상 1로 함수의 합계는 항상 1이다.

방금 말한 바와 같이, 통합의 칸막이는 홀로모르픽 기능에는 적용되지 않는다; 존재와 분석적 지속에 대한 그들의 다른 행동은 피복 이론의 근원 중 하나이다. 대조적으로, 부드러운 기능의 집합은 많은 위상학적 정보를 담고 있지 않은 경향이 있다.

매니폴드 위와 사이의 부드러운 기능

Given a smooth manifold ${\displaystyle M}$, of dimension ${\displaystyle m,}$ and an atlas ${\displaystyle {\mathfrak {U}}=\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\}_{\alpha },}$ then a map ${\displaystyle f:$$M\to \mathbb {R} }$ is smooth on ${\displaystyle M}$ if for all ${\displaystyle p\in M}$ there exists a chart ${\displaystyle (U,\phi )\in {\mathfrak {U}},}$ such that ${\displaystyle p\in U,}$ and ${\displaystyle f\circ \phi ^{-1}:\phi (U)\to \mathbb {$$R}$}}은(는) ${\displaystyle {}^{}}$ m ${\$^{$m}$의 $\varphi {\displaystyle (p}$) ${\displaystyle \mathb {R}}$ 부근부터 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$까지 매끄러운 기능이다$$($$주문까지의 부분파생물은 모두 연속). 차트 간 전환 기능의 부드러움 요구사항이 f ${\displaystyle f}$이(가) $한{\displaystyle }$ 차트의$$ p ${\displaystyle$ p$} 근처$에 있을 $경우{\displaystyle }$ 다른 차트의$$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ 근처에서 부드러움을 확인할 수 있기 때문에$$,${\displaystyle }p{\displaystyle }$ ,$${\displaystystyle $p}$이(가) 포함된 아틀라스의 차트와 관련하여 부드러움을 확인할 수 있다. 도표를 작성하다

${\displaystyle F}$: ${\displaystyle M}$→ N ${\displaystyle F:$$M\to N}$ is a map from ${\displaystyle M}$ to an ${\displaystyle n}$-dimensional manifold ${\displaystyle N}$, then ${\displaystyle F}$ is smooth if, for every ${\displaystyle p\in M,}$ there is a chart ${\displaystyle (U,\phi )}$ containing ${\displaystyle p,}$ and a chart $$${\displaystyle (V,\psi )}$ containing ${\displaystyle F(p)}$ such that ${\displaystyle F(U)\subset V,}$ and ${\displaystyle \psi \circ F\circ \phi ^{-1}:\phi (U)\to \psi (V)}$ is a smooth function from ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.$$}$

다지관 사이의 매끄러운 지도는 접선 공간 ${\displaystyle \mathrm{사이}}$에 선형 지도를 유도한다: $F{\displaystyle }$: ${\displaystyle M}$→ N ${\displaystyle F:$$M\to N}$각 지점에서 푸시포워드(또는 차동) 맵은 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$의 접선 벡터에 접선 벡터를 F$$(${\displaystyle p}$ ${\displaystyle F(p)}$ : $F{\displaystyle {}_{}}$$:$ ,${\displaystyle p_{}}$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ M${\displaystyle }$→ T ${\displaystyle {F(p)}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystystyle F_{*,p:$$T_{p}M\to T_{F(p)}N,}$ 및$$ 접선 번들의 수준에서 푸시포워드는 벡터 번들 동형상이다. ${\displaystyle F_{*}:$$TM\to TN.}$ 푸시 포워드의 이중은$$ 풀백으로, $이{\displaystyle }$ 풀백은 N ${\displaystyle N}$의 탐촉자를 $M{\displaystyle }$, ${\displaystyle M,}$ $및$ k ${\displaystyle k}$ -forms$$ $to{\displaystyle }$ k ${\displaystystyle k}$ -forms$$: ${\displaystyle$$\Oomega$^{$k}(N)\to \Oomega ^{k}(M)}$ 이렇게$$ 하여 다지관 사이의 원활한 기능은 벡터장, 미분형 등 로컬 데이터를 하나의 다지관에서 다른 다지관 또는 통합과 같은 계산이 잘 이해되는 유클리드 공간으로 전송할 수 있다.

부드러운 기능을 따라 사전 이미지와 푸시는 일반적으로 추가적인 가정 없이 다지관이 아니다. 정규 지점의 사전 이미지(즉, 프리이미지에서 미분차가 사라지지 않는 경우)는 다지관이다. 이것이 프리이미지 정리다. 마찬가지로 임베딩을 따라 앞으로 밀고 나가는 것은 다지관이다.^[13]

매니폴드 서브셋 사이의 부드러운 기능

다지관의 임의 하위 집합에 대한 평활 지도의 해당 개념이 있다. $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to$ Y$}$이(가) 다지관 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle$ X$\subseteq M}$ 및 $Y$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaysty Y\subseteq N}$의 하위 집합인 함수인 경우. ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $x{\displaystyle }$$display$ X {\$displaystyle x\$$in{\displaystyle }$ X}에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ x ${\displaystyle \in }$ U ${\displaystyle x\in U}$이(가) ${\displaystyle \mathrm{있는}}$ 오픈 세트 U open$$ M {\${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $U\$subseteq $M}$이(가) 있고, $f{\displaystyle }$: U →$$ $displaystysty F:$$모든{\displaystyle }$ $p{\displaystyle }$$$${\displaystyle \mathrm{to}}$ U$$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle }$. ${\displaystyle F($$p)=f$$(p$$)}$에 대해 F(p ) = f$)}$이(가) $되도록$ U\to $N}$

참고 항목

• 불연속성
• 하다마드 보조정리
• 비분석적 매끄러운 함수 – 매끄럽지만 분석적이지 않은 수학적 함수
• 준분석함수
• 특이성(수학) – 함수, 곡선 또는 다른 수학적 물체가 규칙적으로 작동하지 않는 지점
• 점성 – 파동 유사 함수에서 두 점 사이의 호 길이 및 직선 거리 비율
• 매끄러운 계획
• 평활수 – 소수만 있는 정수(숫자 이론)
• 스무딩
• 스플라인 – 수학적 함수

참조