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양자역학
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial t}{\psi(t)\rangele ={\hat {H} \psi(t)\rangele }}$ 슈뢰딩거 방정식
소개 용어집 역사
배경 고전역학 구양자론 브라-켓 표기법 해밀턴어 간섭
기초 상보성 탈착성 얽힘 에너지 레벨 측정 비균등성 양자수 주 중첩 대칭 튜닝링 불확실성 파동함수 무너지다
실험 벨의 부등식 다비슨-제르머 더블 슬릿 엘리추르 바이드만 프랑크-헤르츠 레게트-가그 부등식 마하-젠더 포퍼 양자 지우개 지연선택 슈뢰딩거의 고양이 스턴-제라흐 휠러의 지연 선택
공식화 개요 하이젠베르크 상호작용 매트릭스 위상공간 슈뢰딩거 누적 이력(경로 적분)
방정식 디락 클라인-고든 파울리 뤼드베르크 슈뢰딩거
해석 개요 베이시안 일관된 이력 코펜하겐 드 브로글리-봄 앙상블 숨겨진 변수 국부적 다세계 객관적 붕괴 양자 논리 관계성 트랜잭션
고급 주제 상대론적 양자역학 양자장 이론 양자정보과학 양자 컴퓨팅 양자 혼돈 밀도 행렬 산란 이론 양자통계역학 양자기계학습
과학자들 아하로노프 벨 베테 블랙켓 블로흐 봄 보어 태어난 보스 드 브로글리 콤프턴 디락 다비송 데비예 에렌페스트 아인슈타인 에버렛 포크 페르미 파인만 글라우버 구츠윌러 하이젠베르크 힐베르트 조던 크레이머스 파울리 양고기 란다우 라우에 모즐리 밀리칸 오네스 플랑크 라비 라만 뤼드베르크 슈뢰딩거 시몬스 소머펠트 폰 노이만 바일 빈 위그너 지만 질링거
v t

양자역학에서 상호작용 그림(폴 디라크의 뒤를 이어 디락 그림이라고도 함)은 슈뢰딩거 그림과 하이젠베르크 그림 사이의 중간 표현이다. 다른 두 그림에서 상태 벡터 또는 연산자는 시간 의존성을 가지고 있는 반면, 상호작용 그림에서는 둘 다 관측 가능성의 시간 의존성의 일부를 가지고 있다.^[1] 교호작용 그림은 교호작용에 의한 파동함수와 관측가능성의 변화를 다루는 데 유용하다. 대부분의 현장 이론적 계산은^[2] 자유 입자 문제에 알 수 없는 일부 상호작용 부분에 대한 해결책으로 다체 슈뢰딩거 방정식에 대한 해결책을 구성하기 때문에 상호작용 표현을 사용한다.

서로 다른 시간에 작용하는 연산자를 포함하는 방정식은 상호 작용 그림에서 유지되며 슈뢰딩거 또는 하이젠베르크 그림에서 반드시 유지되는 것은 아니다. 시간에 의존하는 단일 변환은 한 그림의 연산자와 다른 그림의 유사한 연산자를 연관시키기 때문이다.

상호작용 사진은 해밀턴과 주 벡터에 적용된 특수한 단일 변형 사례다.

정의

상호작용 그림의 연산자와 상태 벡터는 슈뢰딩거 그림의 동일한 연산자와 상태 벡터에 대한 기준 변경(단일 변환)에 의해 관련된다.

상호 작용 그림으로 전환하기 위해 슈뢰딩거 그림 해밀턴을 두 부분으로 나눈다.

가능한 모든 부품 선택은 유효한 상호작용 그림을 산출할 수 있다. 그러나 상호작용 그림이 문제 분석을 단순화하는 데 유용하기 위해 H가_0,S 잘 이해되고 정확하게 해결될 수 있도록 일반적으로 부품을 선택할 것이다. 반면 H는_1,S 이 시스템에 대해 분석하기 어려운 동요를 포함한다.

해밀턴계가 명시적 시간 의존성을 가지고 있다면(예를 들어 양자계가 시간에 따라 달라지는 적용된 외부 전기장과 상호작용을 하는 경우), 일반적으로_1,S H와 명시적으로 시간에 의존하는 항을 포함하는 것이 유리할 것이며, H는_0,S 시간 의존성을 유지하게 된다. 우리는 이것이 사실이라고 가정하여 진행한다. H가_0,S 시간에 의존하는 것이 타당하다고 판단되는 컨텍스트가 있다면 $e{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$± i ${\displaystyle {{H\mathrm{}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {0{}_{}}^{}}$, ${\displaystyle {S_{}}^{}}$ ${\displaystyle {t_{}}^{}}$ /${\displaystyle {\hslash }^{}}$ ${\$를 교체하여 진행할 수 있다.$S}}}t/\hbar }}$이(가) 아래 정의에서 해당 시간 진화 연산자에 의해$$.

상태 벡터

Let ${\displaystyle \psi _{\text{S}}(t)\rangle =\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{\text{S}}t/\hbar } \psi (0)\rangle }$ be the time-dependent state vector in the Schrödinger picture. ${\displaystyle 상호{}_{}}$ 작용 그림의 상태 벡터, , ${\displaystyle I_{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \psi _{\text{$$I}(t)\rangele }$은$($는) 시간 의존적인 추가적인 단일 변환으로 정의된다.^[3]

연산자

교호작용 그림의 연산자는 다음과 같이 정의된다.

A_S(t)는 일반적으로 t에 의존하지 않으며 A로만_S 다시 쓸 수 있다는 점에 유의하십시오. 예를 들어, 적용 외부 시간 변광성 전기장에 대한 의존성 때문에, 사업시행자의 "불확실한 시간 의존성"이 있는 경우에만 의존한다.

해밀턴 연산자

연산자 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 경우 상호 작용 그림과 슈뢰딩거 그림이 일치한다.

${\displaystyle H_{0,{\text}I}}}(t)=\mathrm {e}^{\mathrm {i}H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }H_{0,{\text{S}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }=H_{0,{\text{S}}.}$

이는 사업자들이 각자 다른 기능을 가지고 출퇴근한다는 사실을 통해 쉽게 알 수 있다. 그러면 이 특정 연산자를 애매함 없이$$ $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$라고 부를 수 있다.

${\displaystyle {섭동}_{}}$ 해밀턴 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$I ${\$$I$ 그러나,

${\displaystyle H_{1,{\text{I}}}(t)=\mathrm {e}^{\mathrm {i}H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }H_{1,{\text{S}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }}}$

여기서상호작용-그림1,S섭동 해밀턴은[H, H0,S])0이아닌 한 시간에 의존하는해밀턴인이 된다.

시간에 의존하는 해밀턴 H_0,S(t)의 상호작용 그림도 얻을 수 있지만, H_0,S(t)에 의해 생성되는 진화를 위해 지수들을 단일 전파기로 대체하거나, 또는 시간 순서가 정해진 지수 적분으로 더 명시적으로 대체할 필요가 있다.

밀도 행렬

밀도 행렬은 다른 연산자와 동일한 방식으로 상호작용 그림으로 변환하는 것을 보여줄 수 있다. 특히 ρ과_I ρ을_S 교호작용 그림의 밀도 행렬과 슈뢰딩거 그림의 밀도 행렬로 각각 두도록 한다. 물리적 상태 ψ에_n 있을 확률 p가_n 있다면,

${\displaystyle \rho _{\text{I}}(t)=\sum _{n}p_{n}(t) \psi _{n,{\text{I}}}(t)\랑글 \langle \langle \psi _{n,{\text{I}}}(t) =\sum _{n}(t)\mathrm {e} ^{\mathrm {i}H_{0,{\text}S}}}t/\hbar } \psi _{n,{\text{S}(t)\angle \langle \psi _{n,{\text{S}}(t) \mathrm {e} ^{-\mathrmartrm {i}H_{0,{\text{\text}S}}}t/\hbar }=\mathrm {e}^{\mathrm {i}H_{0,{\text{}S}}}t/\hbar }\rho _{\text{S}(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i}H_{\text}S}}}t/\hbar }}$

시간 진화

국가의 시간 진화

슈뢰딩거 방정식을 상호작용 그림으로 변환하면

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {d}{\mathrm {d} t} \mathrm_{\text}}} \property_{\text}I}}(t)\rangele =H_{1,{\text{I}}(t) \psi _{\text{I}}(t)\랑글,}$

상호작용 그림에서 양자 상태는 상호작용 그림에서 표현된 해밀턴의 상호작용 부분에 의해 진화된다는 것을 명시한다.^[4] Fetter와 Walecka에 증거가 주어진다.^[5]

연산자의 시간 진화

만약 연산자_S A가 시간 독립적이라면(즉, "상기적인 시간 의존성"을 가지고 있지 않다면, A(t)에_I 대한 해당 시간 진화는 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {d}{\mathrm {d}{\mathrm {d} t}A_{\text}I}}(t)=[A_{\text{I}}(t),H_{0,{\text{S}}}}$

상호작용 그림에서 연산자는 해밀턴 H' = H와₀ 함께 하이젠베르크 그림의 연산자처럼 시간에 따라 진화한다.

밀도 행렬의 시간진화

상호작용 그림에서 밀도 행렬의 진화는

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {d}{\mathrm {d}{\mathrm {d} t}\rho _{\text}I}}(t)=[H_{1,{\text{I}}(t),\rho _{\text{I}}(t),}$

교호작용 그림의 슈뢰딩거 방정식과 일관성을 유지한다.

기대값

일반 연산자 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A$의 경우 상호 작용 그림의 기대값은

${\displaystyle \langle A_{\text{I}}(t)\angle =\langle \psi _{\text{I}}(t) A_{\text{I}}(t) \psi _{\text{I}}(t)\angle =\langle \psi _{\text{S}(t) e^{-iH_{0,{\text}S}}}t}e^{iH_{0,{\text{S}}}}\,A_{\text{S}\,e^{-iH_{0,{\text{S}}}t}e^{iH_{0,{\text{S}}}} \psi _{\text{S}(t)\angle =\langle A_{\text{S}(t)\angle .}$

기대값에 대한 밀도 매트릭스 식을 사용하여

${\displaystyle \langle A_{\text{I}}(t)\rangele =\operatorname {Tr} {\big (}\rho _{\text{I}(t)\,A_{\text{I}}(t){\big )}.}$

슈윙거-토모나가 방정식

상호작용 표현이라는 용어는 Schwinger에^[6][7] 의해 발명되었다. 이 새로운 혼합 표현에서 상태 벡터는 더 이상 일반적으로 일정하지 않지만, 필드 사이에 결합이 없다면 일정하다. 표현의 변화는 바로 토모나가-슈윙거 방정식으로 이어진다.^[8]

${\displaystyle ihc{\frac {\partial \psi [\sigma ]}{\partial \sigma (x)}}}={\hat {H}(x)\psi(\sigma )}$

${\displaystyle {\hat{H}(x)={\text{-}{\frac {1}{c}j_{\mu }(x)A^{\mu }(x)}}$

여기서 이 경우의 해밀턴인은 QED 상호작용 해밀턴이지만 일반적인 상호작용일 수도 있고, $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma}$은 점 x ${\displaystyle x}$을 통과하는 표면과 같은 공간이다$.$ 파생상품은 $공식적$으로 x ${\displaystyle x}$이(가) 고정되어 있는 해당 표면에 대한 변동을 나타낸다. 이 방정식의 정확한 수학적 형식적 해석을 내리기는 어렵다. ^[9]

이러한 접근방식은 파인만 다이어그램의 적분 및 입자 접근방식에 반대되는 미분 및 현장 접근방식으로 Schwinger에 의해 불린다.^[10]

핵심 개념은 상호작용에 작은 결합 상수(즉, 미세구조 상수 순서의 전자석의 경우)가 있는 경우 연속적인 섭동 항은 연결 상수의 힘이 되고 따라서 크기가 작아진다는 것이다.^[11]

사용하다

상호 작용 그림의 목적은₀ H로 인한 모든 시간 의존도를 운영자에게 분산시켜 그들이 자유롭게 진화할 수 있도록 하고, 오직 H만이_1,I 국가 벡터의 시간 진화를 제어하도록 하는 것이다.

이 때 작은 상호 작용이라는 용어 H1,S, 이미 해결된 시스템, H0,S의 Hamiltonian에 편입될 것의 영향을 고려한 상호 작용 묘사가 편리하다.그 상호 작용 묘사를 살려, 한 H1,I,[12]의 효과:355ff 예를 찾으려고 합니다. 페르미의 황금 rule,[12]의 어원에:time-dependent 섭동 이론 359–363이나 다이슨 series[12]:355–357 양자 분야에서톤을 사용할 수 있헤리: 1947년, 신이치로 도모나가와 줄리안 슈윙거는 공변 섭동 이론이 상호작용 그림에서 우아하게 공식화될 수 있다는 것을 높이 평가했는데, 왜냐하면 필드 운영자들은 상호작용의 존재에서도 자유 분야로서 시간 내에 진화할 수 있고, 현재는 그러한 다이슨 시리즈에서 섭동적으로 취급되기 때문이다.

모든 그림의 진화 요약 비교

H가_0,S 자유 해밀턴인 해밀턴 H를_S 위해

진화	그림 ( v t )
다음 중 하나:	하이젠베르크	상호작용	슈뢰딩거
케트 주	상수의	${\displaystyle \psi _{\rm {I}(t)\랑글 =e^{iH_{0,\mathrm {S}}~t/\hbar } \psi _{\rm {S}(t)\rangle }$	${\displaystyle \psi _{\rm {S}(t)\rangle =e^{-iH_{\rm {S}~t/\hbar } \psi _{\rm {S}}\rm {S}(0)\rangele }$
관측가능	${\displaystyle A_{\rm {H}(t)=e^{iH_{\rm {S}/\hbar }A_{\rm {S}e^{-iH_{\rm {S}/\hbar }}}}}}}}$	${\displaystyle A_{\rm {I}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S}}}~t/\hbar }A_{\rm {S}e^{-iH_{0,\mathrm {S}}}}~t/\hbar }}}}}}}$	상수의
밀도 행렬	상수의	${\displaystyle \rho _{\rm {I}(t)=e^{iH_{0,\matrm {S} }~t/\hbar }\rho_{\rm {S}e^{-iH_{0,\matrmatrm {S}{S}}/hbar}}}}}}}}}$	${\displaystyle \rho_{\rm{S}}=e^{-iH_{\rm {S}~t/\hbar }\rho_{\rm {s}e^{iH_{\rm {{S}/\hbar }}}}}}}$

참조

추가 읽기

• L.D. Landau; E.M. Lifshitz (1977). Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory. 3 (3rd ed.). Pergamon Press. ISBN 978-0-08-020940-1.
• Townsend, John S. (2000). A Modern Approach to Quantum Mechanics (2nd ed.). Sausalito, California: University Science Books. ISBN 1-891389-13-0.

참고 항목

• 브라-켓 표기법
• 슈뢰딩거 방정식
• 하그의 정리