양자 논리

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양자역학
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial t}{\psi(t)\rangele ={\hat {H} \psi(t)\rangele }}$ 슈뢰딩거 방정식
소개 용어집 역사
배경 고전역학 구양자론 브라-켓 표기법 해밀턴어 간섭
기초 상보성 탈착성 얽힘 에너지 레벨 측정 비균등성 양자수 주 중첩 대칭 튜닝링 불확실성 파동함수 무너지다
실험 벨의 부등식 다비슨-제르머 더블 슬릿 엘리추르 바이드만 프랑크-헤르츠 레게트-가그 부등식 마하-젠더 포퍼 양자 지우개 지연선택 슈뢰딩거의 고양이 스턴-제라흐 휠러의 지연 선택
공식화 개요 하이젠베르크 상호작용 매트릭스 위상공간 슈뢰딩거 누적 이력(경로 적분)
방정식 디락 클라인-고든 파울리 뤼드베르크 슈뢰딩거
해석 개요 베이시안 일관된 이력 코펜하겐 드 브로글리-봄 앙상블 숨겨진 변수 국부적 다세계 객관적 붕괴 양자 논리 관계성 트랜잭션
고급 주제 상대론적 양자역학 양자장 이론 양자정보과학 양자 컴퓨팅 양자 혼돈 밀도 행렬 산란 이론 양자통계역학 양자기계학습
과학자들 아하로노프 벨 베테 블랙켓 블로흐 봄 보어 태어난 보스 드 브로글리 콤프턴 디락 다비송 데비예 에렌페스트 아인슈타인 에버렛 포크 페르미 파인만 글라우버 구츠윌러 하이젠베르크 힐베르트 조던 크레이머스 파울리 양고기 란다우 라우에 모즐리 밀리칸 오네스 플랑크 라비 라만 뤼드베르크 슈뢰딩거 시몬스 소머펠트 폰 노이만 바일 빈 위그너 지만 질링거
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양자역학에서 양자논리는 양자이론의 원리를 고려한 명제에 대한 추론 규칙의 집합이다. 이 연구 영역과 명칭은 1936년 개럿 비르코프와 존 폰 노이만이 발표한 논문에서^[1] 유래되었는데, 그는 고전 논리의 명백한 불일치와 포지션과 모멘텀과 같은 양자역학의 상호 보완 변수 측정에 관한 사실들을 조화시키려고 시도하고 있었다.

양자논리는 명제논리의 변형된 버전 또는 비확정적이고 비관련적인 다가치 논리로서 공식화될 수 있다.^{[2][3][4][5][6]}

양자 논리는 일반적으로 명제적 추론을 위한 올바른 논리로 제안되어 왔는데, 특히 철학자 힐라리 푸트남(Hilary Putnam)에 의해, 적어도 그의 경력의 한 지점에서 제안되었다. 이 논문은 퍼트남이 1968년 펴낸 논문 '논리가 경험적일까'에서 명제적 논리 규칙의 인식론적 지위를 분석한 중요한 요소였다. 푸트남은 양자 측정에 관련된 이상 징후가 물리학자인 데이비드 핀켈슈타인에게 물리학 자체의 논리에서 기인한다는 생각을 돌렸다. 그러나 이 생각은 한동안 존재해 왔고, 몇 년 전에 조지 맥키의 집단 표현과 대칭에 관한 연구로 되살아났다.

그러나 양자논리에 관한 보다 일반적인 견해는 양자논리가 관측가능성, 시스템 준비 필터 및 상태와 관련된 형식주의를 제공한다는 것이다.^{[citation needed]} 이러한 관점에서 양자 논리 접근법은 양자역학에 대한 C*-알지브라질 접근법과 더 밀접하게 유사하다. 그렇다면 연역논리의 체계와 양자논리의 형식주의와의 유사성은 근본적인 철학적 중요성의 사실이라기 보다는 호기심으로 더 간주될 수 있다. 양자논리의 구조에 대한 보다 현대적인 접근방식은 그것이 고전적 로직의 도표라고 가정하는 것이다(David Edwards 참조).

양자역학을 기술하기 위한 양자논리의 필요성에 의문이 제기되었다.^[7] 양자역학의 명백한 역설적 성격을 다루기 위한 대안적 논리적 접근법으로는 코헨-스피커 정리의^[8] 형식주의에서 소개된 부분적 부울 알헤브라의 사용과 양자 문맥성에 관한 연구에서 더 자세히 탐구된 것이 포함된다.^[9]

고전적 논리와의 차이점

양자논리는 고전논리와 명확하게 구별되는 몇 가지 특성을 가지고 있는데, 가장 두드러지게 명제논리의 분배 법칙의 실패는 다음과 같다.^[10]

p 및 (q 또는 r) = (p 및 q) 또는 (p 및 r)

여기서 기호 p, q, r은 명제 변수다. 분배 법칙이 실패하는 이유를 설명하기 위해, 한 줄로 움직이는 입자와 (축소된 플랑크의 상수가 1)인 일부 단위 시스템을 사용하는 것을 고려한다^{[Note 1]}.

p = "입자는 [0, +1/6] 구간에 탄력이 있다"

q = "입자 간격 [-1, 1]"

r = "입자가 [1, 3] 간격 내에 있음"

다음을 관찰할 수 있다.

p 및 (q 또는 r) = true

즉, 입자의 운동량이 0에서 +1/6 사이이고, 그 위치는 -1에서 +3 사이라는 것이다. 한편, "p와 q"와 "p와 r"이라는 명제는 불확실성 원리에 의해 허용된 것보다 더 엄격한 위치 및 운동량 동시 값에 대한 제한을 주장하기 때문에 둘 다 거짓이다(각각 허용 최소값 1/2보다 적은 불확실성 1/3을 가진다). 그렇게

(p 및 q) 또는 (p 및 r) = 거짓

그러므로 분배법은 실패한다.

역사와 격자 이론과의 연관성

그의 고전적인 1932년 논문 양자역학에서 존 폰 노이만은 힐버트 공간에 대한 예측은 물리적 관측 가능성의 제안으로 볼 수 있다고 언급했다. 이러한 양자 명제를 조작하는 원리의 집합은 1936년 논문에서 폰 노이만과 비르크호프에 의해 양자 논리라고 불렸다. 조지 맥키는 1963년 저서(양자역학의 수학적 기초라고도 불림)에서 이 명제 시스템에 대한 일련의 공리를 정형화된 격자로 제공하려고 시도했다. Mackey는 이 집합의 요소들을 관찰자가 물리적 시스템의 상태, 즉 어떤 측정에 의해 해결될 수 있는 질문에 대한 잠재적인 예 또는 아니오로 보았다. 게다가, 맥키는 이러한 기본적인 질문의 관점에서 관찰할 수 있는 신체적인 것을 정의했다. 그러나 Mackey의 공리계는 다소 만족스럽지 않다. 왜냐하면 그것은 부분적으로 정렬된 집합이 실제로 분리 가능한 Hilbert 공간의 직교 결합 닫힌 하위 공간 격자로 주어진다고 가정하기 때문이다. 콘스탄틴 피론, 귄터 루드비히 등은 서브 스페이스의 격자에 그러한 명시적인 관계를 요구하지 않는 공리화를 시도했다.

한orthocomplemented 격자의 공리 가장 일반적으로 대수 방정식은 poset과 그 작전으로서 명시되어 있다.[표창 필요한] 로:[11] 따른 격언. 한벌 대신에 괴리를 사용하여(표시로 ∪{\displaystyle \cup})과 부정(표시로 ⊥{\displaystyle ^{\perp}}) 있다.

• ${\displaystyle a=a^{\perp \perp}}$
• ∪{\displaystyle \cup}과 연관적 교환 있다.
• 에는 최대 요소 1{1\displaystyle}, 1)어떤 b{\displaystyle b}에 b∪ b({\displaystyle 1=b\cup b^{\perp}}이다.
• A∪(한 ⊥ ∪ b)⊥){\displaystylea\cup(a^{\perp}\cup b)^{\perp}=a}.

한orthomodular 격자가 위의 공리,으며 덧붙여 거:.

• 그orthomodular 법:1)(한 ⊥ ∪ b⊥)⊥ ∪(한 ∪ b)⊥{\displaystyle 1=(a^{\perp}\cup{\perp}b^)^{\perp}\cup(a\cup b)^{\perp}}그때 a=b{\displaystyle a=b}.

대체 formulations[해명 필요한]연속하는 calculi,[12][13][14]과 tableaux 시스템을 포함한다.[15]

이 기사의 나머지는 판독기 자동 수반 사업자들의 힐베르트 공간에 파장 이론에 친숙하다고 가정한다. 하지만 주요 아이디어는 유한 차원의. 스펙트럼 정리를 사용하여 이해될 수 있다.

관측 가능성의 논리로서의 양자 논리

양자논리의 한 의미론은 양자논리가 양자역학에서 부울 관측가능성의 논리라는 것인데 여기서 관측 가능한 p는 확률 1과 p(측정했을 때)가 참인 양자상태 집합과 연관된다(이것은 관측가능성을 완전히 특징짓는다). 거기서부터.

• ¬p는 p의 직교보완이다(이러한 상태에서는 p(p) = 0을 관측할 확률, P(p) = 0).
• p∧q는 p와 q의 교차점이며,
• p∨q = ¬(¬p∧¬q)은 p와 q의 중첩인 상태를 말한다.

따라서 양자논리의 표현은 고전논리와 유사한 구문을 사용하여 관측가능성을 기술한다. 그러나 고전적 논리와는 달리 위치나 운동량 등 비규약적 관측을 다룰 때 분배법 a ∧ (b ∨ c) = (a b b) ( () c c)는 실패한다. 이는 측정이 시스템에 영향을 미치기 때문에 발생하며, 분리가 유지되는지 여부에 대한 측정이 어느 분리가 참인지를 측정하지 않기 때문이다.

예를 들어 x로 표시된 위치와 p로 표시된 모멘텀을 가진 단순한 1차원 입자를 고려하고 관측 가능 여부를 정의하십시오.

• a — p ≤ 1 (일부 단위)
• b — x < 0
• c — x ≥ 0

이제 위치와 모멘텀은 서로의 푸리에 변환이며, 콤팩트한 지지대를 가진 사각 통합형 비제로 함수의 푸리에 변환은 전체여서 비절연 영점이 없다. 따라서 모멘텀 공간에서 정규화할 수 있고 정확히 x is 0에서 소멸되는 파동 기능은 없다. 따라서 ∧ b와 이와 유사하게 c c는 거짓이므로 ( b b) ∨ (a c)는 거짓이다. 그러나 ∧(b ∨ c)는 a와 같으며 사실일 수도 있다.

좀 더 이해하기 위해 p와₁₂ p는 각각 x < 0과 x ≥ 0으로 입자파 기능을 제한하는 모멘텀a가 되도록 한다(파동 함수는 제한 범위를 벗어난다). > ${\$p$\!\upharpoonright _{>1}$을 p to momenta의 제한으로 두도록 한다.

(한 ∧ b)∨(한∧ c)주들에 p1↾하고, 1=0{\displaystyle p_{1}\!\upharpoonright _{>1}=0}및 p2↾ 1=0{\displaystyle p_{2}\!}는 그러한 주 가능하게 하는 우리가 비록 다르게 p정의(이 들어 있고;또한, ∧ b에 해당합니다\upharpoonright _{>1}=0 해당합니다. p1> = 0 ${\displaystyle p_{1} \!\upharpoonright _{>1}=0}$ 및 ${\displaystyle \mathrm{p}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= 0 ${\displaystyle p_{2}=0}$ $$. 운전자로서, p)p1+p2{\displaystyle p=p_{1}+p_{2}}, 0이 아닌 p1↾ 1{\displaystyle p_{1}\!\upharpoonright _{>1}}및 p2↾ 1{\displaystyle p_{2}\!\upharpoonright _{>1}}↾를 0p를 생산하기 위해;1{\displaystyle p\와 같이 방해할 수 있다.!\upharpoonri$ght _{>$1}1$.$$이러한$ 간섭은 양자논리와 양자역학의 풍요로움에 열쇠가 된다.

고전적 시스템의 명제 격자

이른바 해밀턴식 고전역학 공식은 주, 관측, 역학이라는 세 가지 성분을 가지고 있다. R에서³ 단일 입자가 움직이는 가장 간단한 경우, 상태 공간은 위치 모멘텀 공간 R이다⁶. 우리는 단지 여기서 관측할 수 있는 것이 주 공간에서 어떤 실제 가치 함수 f라는 것을 주목할 것이다. 관측 가능성의 예로는 입자의 위치, 운동량 또는 에너지가 있다. 고전적인 시스템의 경우, 특정 시스템 상태 x에 대한 f의 값인 f(x) 값은 f의 측정 과정을 통해 얻는다. 고전적 시스템에 관한 제안은 양식의 기본 진술에서 도출된다.

"f의 측정은 일부 실수 a, b에 대해 [a, b] 구간에 값을 산출한다."

고전적 시스템에서 명제의 이러한 특성화로부터 해당 논리가 국가 공간의 일부 하위 집합의 부울 대수학 논리와 동일하다는 것은 쉽게 뒤따른다. 이 맥락에서 논리적으로 우리는 드 모건의 법칙과 같이 정해진 운영과 주문 관계에 관련된 규칙들을 의미한다. 이것들은 고전적인 명제 논리학에서 부울 결막과 물질적 함의와 관련된 규칙과 유사하다. 기술적 이유로, 우리는 또한 주 공간의 하위 집합의 대수학이 모든 보렐 집합의 대수라고 가정할 것이다. 명제 집합은 세트의 자연순서에 의해 순서가 정해지고 보완작전이 있다. 관측 가능성의 측면에서 명제 {f f a}의 보완은 {f < a}이다.

우리는 이러한 발언을 다음과 같이 요약한다. 고전적 시스템의 제안 시스템은 직교합성 연산이 구별되는 격자형이다. 만남과 결합의 격자 연산은 각각 설정된 교차로와 세트 유니언이다. 직교완성 연산은 보수가 설정된다. 더욱이 이 격자는 격자 원소의 모든 시퀀스 {E_i}_i이(가) 최소 상한을 가지며, 특히 설정-이론적 결합을 갖는다는 점에서 순차적으로 완성된다.

${\displaystyle \operatorname {LUB}(\{E_{i}\}\}=\빅컵 _{i=1}^{\infit }E_{i}).}$

양자역학 시스템의 명제 격자

폰 노이만이 제시한 양자역학의 힐베르트 공간 제형에서 물리적 관측 가능은 힐베르트 공간 H의 일부(아마도 무한) 조밀하게 정의된 자기 적응 연산자 A에 의해 표현된다. A는 스펙트럼 분해를 가지고 있는데, 이는 R의 보렐 하위 집합에 정의된 투영 값 측정치 E이다. 특히 R의 경계 보렐 함수 f에 대해서는 연산자에 대해 다음과 같이 f를 확장할 수 있다.

${\displaystyle f(A)=\int _{\mathb {R} }f(\lambda )\,d\operatorname {E}(\lambda).}$

f가 구간[a, b]의 지표 함수인 경우, 연산자 f(A)는 자기 적응형 투영법이며, 고전 명제의 양자 아날로그로 해석할 수 있다.

• A의 측정은 [a, b] 구간에 값을 산출한다.

이는 고전역학에서 명제들의 직교성화 격자에 대해 다음과 같은 양자역학적 교체를 시사한다. 이것은 본질적으로 맥키의 Axiom VII:

• 양자역학계 제안의 직교배열 격자 Q는 V의 직교보완이 V인^⊥ 복합 힐버트 공간 H의 닫힌 서브스페이스의 격자다.

Q도 순차적으로 완료된다. Q 요소의 모든 쌍 분리 시퀀스{V_i}_i는 최소 상한값을 갖는다. 여기서 W와₁ W의₂ 분리란 W가₂ W의₁^⊥ 하위공간이라는 것을 의미한다. {V_i}_i의 최소 상한은 닫힌 내부 직접 합입니다.

따라서 우리는 힐버트 공간 H에 대한 자기 적응형 투영으로 Q의 요소를 확인한다.

Q의 구조는 즉시 고전적 명제 시스템의 부분 순서 구조와의 차이를 가리킨다. 고전적인 사례에서, 명제 p에 주어진, 방정식은

$(\displaystyle I=p\vee q}$

${\displaystyle 0=p\put q}$

정확히 하나의 해결책, 즉 p의 설정-방사성 보완책을 가지고 있다. 이 방정식에서 나는 동일한 참인 원자 명제를 언급하고 0은 동일한 거짓인 원자 명제를 언급한다. 투영 격자의 경우 위의 방정식에 대해 무한히 많은 해법이 있다(모든 닫힌 대수학적 p보완이 이를 해결하며, 직교할 필요는 없다).

이러한 예비 발언을 한 후, 우리는 모든 것을 되돌리고 투영 격자 프레임워크 내에서 관측 가능을 정의하려고 시도하며, 이 정의를 사용하여 자체 승인 연산자와 관측 가능성의 일치성을 확립한다. 관측 가능한 Mackey는 R에서 Q까지의 보렐 하위 집합의 직교 증식 격자에서 계산적으로 첨가된 동형성이다. 매핑 φ이 카운트할 수 있는 가법적 동형상이라고 말하는 것은 R의 쌍으로 분리된 보렐 하위 집합의 모든 시퀀스 {S_i}_i에 대해 {su(S_i)}_i은 쌍으로 직교 투영됨을 의미한다.

${\displaystyle \varphi \left(\빅컵 _{i=1}^{\inflt }{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\varphi(S_{i}).}$

효과적으로, 그렇다면, Mackey 관찰 가능은 R에 대한 투영 값 측정이다.

정리. Mackey 관측 가능성과 H에 대해 밀도 있게 정의된 자기 적응 연산자 사이에는 주관적인 서신이 있다.

이것은 스펙트럼 측정의 관점에서 기술된 스펙트럼 정리의 내용이다.

통계구조

총에서 발사된 총알의 속도를 측정할 수 있는 장치가 있는 포렌식 연구소를 상상해 보십시오. 온도, 습도, 압력 등의 세심하게 제어된 조건에서 동일한 포를 반복적으로 발사하고 속도 측정을 한다. 이것은 어느 정도 속도의 분배를 만들어 낸다. 각 개별 측정에서 정확히 동일한 값을 얻는 것은 아니지만 각 측정 군집에 대해 동일한 속도 분포를 실험에서 얻을 수 있을 것으로 예상한다. 특히 {a ≤ 속도 ≤ b}과 같은 명제에 확률 분포를 할당할 것으로 기대할 수 있다. 이는 자연스럽게 통제된 준비 조건 하에서 고전적 시스템의 측정이 상태 공간의 확률 측정에 의해 설명될 수 있다는 것을 제안하게 된다. 이와 동일한 통계 구조가 양자역학에서도 존재한다.

양자 확률 측정은 P(0)=0, P(I)=1, {E_i}_i이(가) Q의 쌍방향 직교 요소의 시퀀스인 경우, [0.1]의 값을 갖는 Q에 정의된 함수 P이다.

${\displaystyle \operatorname {P} \!\왼쪽(\sum _{i=1}^{{i}\right)=\sum _{i=1}^{i=1}{\infty }\operatorname {P}(E_{i}).}$

다음과 같은 대단히 비교가 안 되는 정리는 앤드류 글리슨 덕분이다.

정리. Q가 적어도 3의 복잡한 치수의 분리 가능한 힐버트 공간이라고 가정하자. Q의 모든 양자 확률 측정값 P에 대해 다음과 같은 고유한 추적 등급 연산자 S가 존재한다.

${\displaystyle \operatorname {P}(E)=\operatorname {Tr}(SE)}$

Q의 모든 자기 부착 투영 E에 대하여.

연산자 S는 반드시 음성이 아니며(즉 모든 고유값은 음성이 아님) 추적 1이다. 이런 연산자를 흔히 밀도 연산자라고 부른다.

물리학자들은 일반적으로 밀도 연산자를 어떤 정형근거에 상대적인 (아마도 무한한) 밀도 행렬로 표현되는 것으로 간주한다.

양자 시스템 통계에 대한 자세한 내용은 양자 통계 역학을 참조하십시오.

자동형성

Q의 자동형성은 Q의 정형화된 구조를 보존하는 생체적 매핑 α:Q → Q이다.

${\displaystyle \alpha \!\left(\sum _{i=1}^{{i}\right)=\sum _{i=1}^{\inft }\alpha(E_{i})}}}$

쌍방향 직교 자기장점 투영의 모든 시퀀스 {E_i}_i에 대해. 이 속성은 α의 단조성을 내포한다는 점에 유의한다. P가 Q에 대한 양자 확률 측정값이라면 E → α(E)도 Q에 대한 양자 확률 측정값이다. 위에서 인용한 Gleason 정리 양자 확률 측정의 특성에 의해, 어떤 자동형성 α는 다음과 같은 공식으로 밀도 연산자에 대한 지도화 α*를 유도한다.

${\displaystyle \operatorname {Tr}(\alpha ^{*(S)E)=\operatorname {Tr}(S\alpha(E))}$

지도 α*는 비주사적이며 밀도 연산자의 볼록한 조합을 보존한다. 이 말은

${\displaystyle \alpha ^{*}(r_{1}S_{1}+r_{2)}S_{2}=r_{1}\알파 ^{*}(S_{1})+r_{2}\알파 ^{*}(S_{2})\쿼드 }$

1 = r₁ + r₂ 및 r일₁ 때마다 r은₂ 음이 아닌 실수다. 이제 우리는 Richard V. Kadison의 정리를 사용한다.

정리. β는 밀도 연산자에서 볼록한 밀도 연산자까지의 비주체적 지도라고 가정해 보자. 그리고 힐버트 공간에는 선형 또는 결합 선형의 연산자 U가 있으며, 내부 제품을 보존하고 다음과 같은 것이 있다.

$\displaystyle \beta(S)=USU^{*}}$

모든 밀도 측정 시스템 S. 첫번째 사례에서 우리는 U가 단일하다고 말하고, 두번째 사례에서 U는 반독재라고 말한다.^{[clarification needed]}

비고. 이 노트는 기술적 정확성만을 위해 포함되며, 대부분의 독자들은 상관하지 않는다. 위에서 인용한 결과는 카디슨의 논문에 직접 명시되어 있지 않지만, 먼저 β가 추적 등급 운영자의 지도를 보존하는 양의 추적까지 확장된다는 점에 주목한 다음 이중성을 적용하고 최종적으로 카디슨의 논문의 결과를 적용함으로써 그것까지 축소할 수 있다.

연산자 U는 매우 독특하지 않다; 만약 r이 계량 1의 복잡한 스칼라라면, r U는 만약 U가 같다면 단일 또는 반독성일 것이다. 그리고 동일한 자동모형을 구현할 것이다. 사실, 이것이 가능한 유일한 애매모호함이다.

Q의 자동화가 계수 1의 스칼라에 의한 단일 또는 반 단일 운영자 모듈로 곱셈에 대한 편향적 대응이라는 것을 따른다. 더욱이, 우리는 두 가지 동등한 방법으로 자동화를 볼 수 있다: 상태(밀도 연산자로 표현됨)에서 운용하는 것과 Q에서 운용하는 것으로.

비상대적 역학

비상대적 물리적 시스템에서는 글로벌 시간 매개변수가 존재하기 때문에 시간 진화를 언급하는 데 모호함이 없다. 더욱이, 고립된 양자 시스템은 결정론적 방식으로 진화한다: 만약 시스템이 시간 t > 시간 t에 상태 S에 있다면, 시스템은 상태 F_s,t(S)에 있다. 게다가, 우리는 추측한다.

• 의존성은 되돌릴 수 있다: 연산자 F는_s,t 비주사적이다.
• 의존도는 동질적이다: F_s,t = F_{s − t,0}.
• 의존성은 다음을 보존하는 볼록하다. 즉, 각 F_s,t(S)는 볼록성을 보존하고 있다.
• 의존도는 약하게 지속된다. t → T → Tr_s,t(F(S) E)가 부여한 맵핑 R→ R은 Q의 모든 E에 대해 연속적이다.

카디슨의 정리로는, 다음과 같은 1-모수적 또는 반-통일적 연산자 {U_t}_t 가문이 있다.

${\displaystyle \operatorname {F} _{s,t}(S)=U_{s-t}SU_{s-t}^{*}}}}$

실은.

정리. 위의 가정에는 위 방정식이 유지되는 강력한 연속 1-모수 연산자 그룹 {U_t}_t이(가) 있다.

카디손의 정리로부터 나온 고유성에서 쉽게 따라온다는 점에 유의한다.

${\displaystyle U_{t+s}=\sigma(t,s)U_{t}U_{s}}}}$

여기서, σ(t,s)은 계수 1을 가진다. 이제 반독재 광장은 단일병합체여서 모든 U는_t 단일병합체다. 나머지 논쟁은 ((t,s)을 1로 선택할 수 있다는 것을 보여준다(계수_t 1의 스칼라로 각 U를 수정함).

순수 상태

통계 상태 S와₁ S의₂ 볼록 결합은 S = p S₁₁ +p₂ S 형식의₂ 상태인데 여기서 p₁, p는₂ 음이 아니며 p₂ + p =1이다₁. 준비 시 사용된 실험실 조건에 의해 명시된 시스템의 통계적 상태를 고려할 때, 볼록 결합 S는 결과 확률 p₁, p와₂ S₁ 또는₂ S로 준비된 결과 선택 시스템에 따라 편향된 동전을 던져 다음과 같은 방법으로 형성된 상태로 간주할 수 있다.

밀도 연산자는 볼록한 세트를 형성한다. 밀도 연산자의 볼록한 집합은 극한점을 가지고 있다; 이것들은 1차원 공간에 투영함으로써 주어지는 밀도 연산자들이다. 어떤 극한 지점이 그러한 투영인지 확인하려면 스펙트럼 정리 S는 대각 행렬로 나타낼 수 있다. S는 음이 아니므로 모든 입력은 음이 아니며 S는 추적 1을 가지므로 대각선 입력은 최대 1을 더해야 한다. 만약 대각 행렬이 0이 아닌 두 개 이상의 진입을 가지고 있다면, 우리는 그것을 다른 밀도 연산자의 볼록한 조합으로 표현할 수 있을 것이 분명하다.

밀도 연산자 집합의 극한점을 순수 상태라고 한다. S가 노르말 1의 벡터 ψ에 의해 생성된 1차원 공간에 투영된 경우

${\displaystyle \operatorname {Tr}(SE)=\langle E\psi \psi \angle }$

Q의 모든 E에 대해. 물리학 전문용어에서는,

${\displaystyle S= \psi \랑글 \langle \psi ,}$

여기서 ψ은 표준 1을 가지고 있다.

${\displaystyle \operatorname {Tr}(SE)=\langle \psi E \psi \angle .}$

따라서 순수한 상태는 힐베르트 공간 H에서 광선과 동일시될 수 있다.

측정 프로세스

밀도 연산자 S에 의해 주어진 어떤 통계 상태에 있는 격자 Q를 가진 양자 기계 시스템을 고려한다. 이것은 본질적으로 반복 가능한 실험실 준비 과정에 의해 지정된 시스템의 합주를 의미한다. 명제 E의 진리 값을 결정하기 위한 측정 군집의 결과는 고전적인 사례에서와 마찬가지로 진리 값 T와 F의 확률 분포다. 확률은 T의 경우 p, q = F의 경우 1 - p라고 가정하십시오. 이전 섹션 p = Tr(S E) 및 q = Tr(S)(I - E)까지.

아마도 고전적 시스템과 양자 시스템 사이의 가장 근본적인 차이는 다음과 같다: 측정 직후 E를 결정하기 위해 어떤 프로세스를 사용하든 상관없이 시스템은 두 가지 통계 상태 중 하나에 속하게 될 것이다.

• 측정 결과가 T인 경우

${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {Tr}(ES)}ESESE.}$

• 측정 결과가 F인 경우

${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {Tr}(((I-E)S)}}}(I-E)S(I-E)}).}$

(우리는 분모가 0일 수도 있는 퇴보적인 경우의 취급은 독자에게 맡긴다.) 우리는 이제 상대 주파수 p와 q를 이용하여 이 두 앙상블의 볼록한 조합을 형성한다. 따라서 상태 S에서 통계적 앙상블에 적용되는 측정 프로세스가 통계적 상태에서 또 다른 앙상블을 산출한다는 결과를 얻는다.

${\displaystyle \operatorname {M} _{E}(S)=ESE+(I-E)S(I-E)S.}$

우리는 순수한 앙상블이 측정 후에 혼합된 앙상블이 되는 것을 본다. 위에서 설명한 바와 같이 측정은 양자 연산의 특수한 경우다.

제한 사항

명제적 논리학에서 도출된 양자논리는 가역적 양자과정 이론에 만족스러운 기초를 제공한다. 그러한 프로세스의 예로는 시간 매개변수의 변화 또는 특수 상대성 변환과 같은 두 가지 기준 프레임과 관련된 공분산 변환이 있다. 양자 논리 또한 밀도 행렬에 대한 만족스러운 이해를 제공한다. 양자논리는 양자체계의 상태에 대한 예-무의 질문에 대답하는 것에 해당하는 측정과정의 일부 종류를 설명하기 위해 확장될 수 있다. 그러나 보다 일반적인 종류의 측정 작업(양자 연산)을 위해서는 보다 완전한 필터링 프로세스 이론이 필요하다. 그러한 양자 필터링 이론은 1970년대 후반과^[16][17] 1980년대에 벨라브킨에 의해 개발되었다(Bouten et al. 참조).^[18] 유사한 접근방식은 일관된 형식주의에 의해 제공된다. 한편, 다액의 가치 논리로부터 도출된 양자 로직은 그 적용 범위를 되돌릴 수 없는 양자 프로세스나 '개방형' 양자 시스템으로 확장한다.

어쨌든 이러한 양자논리 형식주의는 초지형(페르미장을 다루는데 필요한 것)과 비확정 기하학(끈 이론과 양자 중력 이론에서 필요한 것)을 다루기 위해서는 일반화되어야 한다. 이 두 이론 모두 "통합" 또는 "추적"이 있는 부분 대수학을 사용한다. 부분대수의 원소는 관측할 수 없다. 대신 "추적"은 산란 진폭을 발생시키는 "녹색 함수"를 산출한다. 따라서 국부 S-매트릭스 이론을 얻는다(D 참조). 에드워즈).

2004년에 Prakash Panangaden은 원래 구조적 증명 이론에 사용하기 위해 개발된 깊은 추론 논리인 System BV를 사용하여 양자 인과 진화의 운동학을 포착하는 방법을 기술했다.^[19] 알레시오 굴리엘미, 루츠 스트라드버거, 리차드 블루트 등도 이 지역에서 일을 해냈다.^[20]

비판

양자논리의 접근은 일반적으로 성공적이지 못한 것으로 보여 왔다. 양자논리가 진리값(전환입장 반대)에 적용된다는 것은 확연한 것과는 거리가 멀며, 그러한 적용을 하려면 관행적인 2가치의 논리의 지지구조 안에서 이루어져야 한다. 과학의 저명한 철학자 팀 모들린은 "양자논리의 말은 너무 채찍질당하고 채찍질당하고 눅눅해졌고, 너무 완전히 죽어서...문제는 그 말이 다시 일어설 것인가가 아니라, 그것은 어떻게 애초에 이 말이 여기에 왔는가 하는 것이다. 양자논리의 이야기는 유망한 생각이 나빠진 것이 아니라, 오히려 나쁜 생각을 끊임없이 추구한 것에 대한 이야기라고 말했다. 양자역학의 전체 수학적 복합구조는 완벽하게 잘 설명되어 있으며 고전적 논리를 이용하여 명확하고 이해된다. 양자역학을 가진 해석적 장애물들은 다루어져야 하지만, 고전적 논리를 무시함으로써 그 어떤 장애물도 다루거나 심지어 개선될 수 없다.^[7]

참고 항목

메모들

참조

추가 읽기

• S. 아우양, 양자장 이론은 어떻게 가능한가? 옥스퍼드 대학 출판부, 1995.
• F. Bayen, M. Flato, C. 프론스달, A. 리흐네로비치, D. 스턴하이머, 변형 이론과 정량화 I, II, Ann. 물리적(N.Y.), 111(1978) 페이지 61–110, 111–151.
• G. Birkhoff와 J. von Neumann, *양자역학의 논리, 수학의 연보, 제37권, 페이지 823–843, 1936.
• D. Cohen, Hilbert Space and Quantum Logic 소개, Springer-Verlag, 1989. 이것은 철저하지만 초급적이고 잘 설명되어 있는 도입부로, 고급 학부생들에게 적합하다.
• M.L. Dalla Chiara. R. Giuntini, G. Sergioli, "양자 연산 및 양자 계산 로직에서의 가능성" 컴퓨터 과학의 수학 구조, ISSN 0960-1295, Vol.24, 3호, 캠브리지 대학 출판부(2014).
• 데이비드 에드워즈, The Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Synthetse, 제42권, No.11/1979년 9월, 페이지 1-70
• D. Edwards, 양자장 이론의 수학적 기초: 페르미온, 게이지 필드, 초대칭, 제1부: 격자장 이론, 국제 이론 J. 물리, 제20권, 제7호(1981).
• D. 핀켈슈타인, 물질, 공간과 논리, 보스턴 과학철학 Vol. 1969년 V
• A. Gleason, Measures on Closed Subspaces of a Hilbert Space, Journal of Mathematics, 1957. Glind of Mathematics and Mechanics, 1957. G
• 알헤브라스 연산자의 등각류, R. Kadison, 1951년 325–338, Vol. 54, 페이지 325–338,
• G. Ludwig, 1983년 Springer-Verlag, Quantum Mechanics Foundations of Quantum Mechanics.
• G. Mackey, W. A. Benjamin, 1963년(도버 2004년 논문 재인쇄)
• J. 폰 노이만, 프린스턴 대학 출판부의 양자역학의 수학 재단, 1955. 페이퍼백 형태로 재인쇄되었다.
• 프린스턴 대학 출판부의 R. 옴네스, 양자역학 이해, 1999. 양자역학의 논리적이고 철학적인 문제에 대한 극히 명쾌한 논의로, 주제의 역사에 세심한 주의를 기울인다. 또한 일관된 이력에 대해 논한다.
• N. 파파니콜라우, 양자 시스템에 대한 공식적인 추론: 개요, ACM SIGACT 뉴스, 36(3), 페이지 51–66, 2005.
• 1976년 W. A. 벤자민, 양자물리학의 재단 C. 피론.
• H. Putnam, 논리가 경험적인가?, 과학철학의 보스톤학. 1969년 V
• H. Weyl, Theory of Groups and Quantum Mechanics, Dover Publishes, 1950.

외부 링크

무료 사전인 Wiktionary에서 양자 논리를 찾아보십시오.

• 양자 논리(nLab)
• Wilce, Alexander. "Quantum Logic and Probability Theory". In Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• "Quantum Logic in Historical and Philosophical Perspective". Internet Encyclopedia of Philosophy.
• 메타마트의 양자 로직 탐색기