k·p 섭동설

전자 구조 방법
발란스 본드 이론
콜슨-피셔 이론 일반화 발란스 본드 모던발란스 본드
분자 궤도 이론
하트리-포크 방식 반감기 양자화학법 뫼르-플레셋 섭동 이론 구성 상호 작용 커플링 클러스터 다중 구성 자체 일관성 필드 양자화학복합법 퀀텀 몬테 카를로
밀도함수이론
시간 의존적 밀도 기능 이론 토마스-페르미 모델 궤도무밀도기능이론
전자 밴드 구조
거의 자유 전자 모델 타이트 바인딩 머핀틴 근사치 k·p 섭동설 빈 격자 근사치
v t

고체물리학에서 k·p 섭동 이론은 결정체 고체의 밴드 구조(특히 유효 질량)와 광학적 특성을 계산하기 위한 근사치 반감기 접근법이다.^[1][2][3] "k dot p"라고 발음하며, "k·p 방법"이라고도 한다. 이 이론은 루팅거-쿤 모델(호아킨 마즈닥 루팅거 이후와 월터 콘)과 케인 모델(에반 오 케인 이후)의 틀에 구체적으로 적용되어 왔다.

배경 및 파생

Bloch의 정리 및 파동 벡터

양자역학(단일 전자 근사치에서)에 따르면, 고체의 준자유 전자는 다음과 같은 고정식 슈뢰딩거 방정식의 고유체인 파동특성으로 특징지어진다.

${\displaystyle \왼쪽({\frac {p^{2}}:{2m}+V\오른쪽)\psi =E\psi }$

여기서 p는 양자-기계 운동 연산자, V는 전위, m은 전자의 진공 질량이다.(이 방정식은 스핀-오빗 효과를 무시한다. 아래 참조)

결정체 고형에서 V는 결정 격자와 동일한 주기성을 갖는 주기적인 기능이다. Bloch의 정리는 이 미분 방정식의 해법이 다음과 같이 쓰여질 수 있다는 것을 증명한다.

${\displaystyle \n,\mathbf {k}(\mathbf {x} )=e^{i}\mathbf {k} \cdot \mathbf {x}u_{n,\mathbf {k}(\mathbf {x} )}$

여기서 k는 벡터(파형 벡터라고 함), n은 이산지수(밴드 인덱스라고 함), u는_n,k 결정 격자와 주기가 같은 함수다.

어떤 주어진 n에 대해서도, 관련 상태를 대역이라고 한다. 각 대역에서, 주파수 벡터 k와 밴드 분산이라고 불리는 상태 E의_n,k 에너지 사이에 관계가 있을 것이다. 이 산포를 계산하는 것은 k·p 섭동 이론의 일차적 응용 중 하나이다.

섭동 이론

주기함수 u는_n,k 다음과 같은 슈뢰딩거형 방정식을 만족한다(단순히, 블로흐형 파동함수를 갖는 슈뢰딩거 방정식의 직접 확장).^[1]

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }=E_{n,\mathbf {k}}{u_{n,\mathbf {k}}}}}}}}}}}}}}"$

해밀턴인이 있는 곳

${\displaystyle H_{\mathbf{k}}={\frac {p^{2}}:}+{\frac {p}{k}\cdot \mathbf {p}{{m}}}}{\frac {\hbar^{2}m^{2m+V}$

k는 역 길이의 치수를 가진 3개의 실제 숫자로 구성된 벡터인 반면 p는 연산자의 벡터로서, 명시적으로 말하면,

${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} =k_{x}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}})+k_{y}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}})+k_{z}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}})}$

어쨌든 우리는 이 해밀턴어를 두 용어의 합으로 쓴다.

${\displaystyle H=H_{0}+H_{\mathbf {k}},\;;H_{0}={\frac {p^{2}}:{2m}+V,\;\;H_{\mathbf {k}}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}:{2m}+{\frac {\hbar \hbar \k} \cdot \mathbf {p}{m}}}}}}}}$

이 표현이 동요 이론의 근거다. "침투되지 않은 해밀턴어"는₀ H로, 사실상 k = 0(즉 감마점에서)의 정확한 해밀턴어와 동일하다. "Pertation"은 H ${\displaystyle {k\mathbf{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }_{}^{}}$ ${\$의 용어다$.$ 결과를 분석하는 것을 k·p에 비례하는 용어로 'k·p 섭동 이론'이라고 한다. 이 분석의 결과는 에너지와 파장 기능 측면에서 k = 0의 E와_n,k u를_n,k 나타내는 표현이다.

"Perturvation" 용어 $H{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {k\mathbf{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }_{}^{}}$ ${\$은(는) k가 0에 가까워질수록 점차 작아진다는$$ 점에 유의하십시오. 따라서 k·p 섭동 이론은 k의 작은 값에 대해 가장 정확하다. 그러나 섭동적 팽창에 충분한 용어가 포함된다면, 그 이론은 사실 브릴루인 영역 전체의 k의 어떤 가치에 대해서도 합리적으로 정확할 수 있다.

비감소 밴드에 대한 식

비디제너레이션 밴드(즉, 다른 밴드와는 다른 에너지를 k = 0에서 k = 0으로 하고, 회전-오비트 커플링이 없는 밴드)의 경우, k/p 섭동 이론의 결과는 (최저 비경쟁 순서로)이다.^[1]

${\displaystyle u_{n,\mathbf {k} }=u_{n,0}+{\frac {\hbar }{m}}\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle u_{n,0} \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} u_{n',0}\rangle }{E_{n,0}-E_{n',0}}}u_{n',0}}$

${\displaystyle E_{n,\mathbf {k} }=E_{n,0}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar ^{2}}{m^{2}}}\sum _{n'\neq n}{\frac { \langle u_{n,0} \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} u_{n',0}\rangle ^{2}}{E_{n,0}-E_{n',0}}}}$

k는 (더 복잡한 선형 연산자의 벡터가 아니라) 실수의 벡터이기 때문에, 이들 식에서 행렬 요소는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle \langle u_{n,0} \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} u_{n',0}\mathbf {k} \cdot \langle u_{n,0} \mathbf {n' u_,0}$

따라서 E와_n,0 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {n,}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\displaystyle p{}_{}\mathbf{}}$ ${\displaystyle {u{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {\prime ,}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ⟩, 0 $⟩$ {\$displaystyle \langle u_{n,0} \mathbf {p} u_{n',0}\rangele }$와 같은 몇 가지 알 수 없는 매개변수만 사용하여 임의의 k에서 에너지를 계산할 수 있다$.$ 후자는 전이 매트릭스 원소와 밀접하게 연관되어 있다. 이러한 매개변수는 일반적으로 실험 데이터에서 유추된다.

실제로 n에 대한 합은 (분모 때문에) 가장 중요한 경향이 있기 때문에 가장 가까운 한 개 또는 두 개 대역만 포함하는 경우가 많다. 그러나, 특히 더 큰 k에서 정확도를 향상시키기 위해, 위에 쓰여진 것보다 동요 팽창에 더 많은 용어뿐만 아니라 더 많은 대역들이 포함되어야 한다.

유효질량

에너지 분산 관계에 대해 위의 표현을 사용하면 반도체 전도 대역의 유효 질량에 대한 단순화된 표현을 찾을 수 있다.^[3] 전도 대역의 경우 분산 관계를 대략적으로 추정하려면 에너지 E를_n0 최소 전도 대역 에너지 E로_c0 간주하고 분모의 에너지 차이가 가장 작은 발란스 대역 최대치에 가까운 에너지만을 합계에 포함시킨다. (이 용어들은 합계에 가장 큰 기여를 한다.) 그러면 이 분모는 밴드 갭_g E와 근사하게 계산되어 에너지 표현으로 이어진다.

${\displaystyle E_{c}({\boldsymbol{k}})\관련 E_{c0}+{\frac {(\hbar k)^{2}}:{{2m}+{\frac {\hbar ^{2}}:{{{{{}}}}}}}}{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}E_{g}m^{2}}:}\sum _{n}{\langle u_{c,0} \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} u_{n,0}\angle ^{2}}}$

방향 ℓ에서의 유효 질량은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {1}{{m}_{\ell }}}={{1} \over {\hbar ^{2}}}\sum _{m}\cdot {{\partial ^{2}E_{c}({\boldsymbol {k}})} \over {\partial k_{\ell }\partial k_{m}}}\approx {\frac {1}{m}}+{\frac {2}{E_{g}m^{2}}}\sum _{m,\ n}{\langle u_{c,0} p_{\ell } u_{n,0}\rangle }{\langle u_{n,0} p_{m} u_{c,0}\rangle }}$

매트릭스 원소의 세부사항을 무시한 채, 가장 작은 밴드갭에 따라 유효 질량이 달라지고 그 간격이 0으로 갈수록 0으로 가는 것이 주요 결과다.^[3] 직접 갭 반도체의 매트릭스 요소에 대한 유용한 근사치는 다음과 같다.^[4]

${\displaystyle {\frac {2}{E_{g}m^{2}}}\sum _{m,\ n}{ \langle u_{c,0} p_{\ell } u_{n,0}\rangle }{ \langle u_{c,0} p_{m} u_{n,0}\rangle }\approx 20\mathrm {eV} {\frac {1}{mE_{g}}\,}$

대부분의 그룹 IV, III-V 및 II-VI 반도체에 약 15% 또는 그 이상에 적용된다.^[5]

이러한 단순한 근사치와는 대조적으로, 발란스 밴드 에너지의 경우 스핀-오비트 상호작용(아래 참조)이 도입되어야 하며, 더 많은 밴드를 개별적으로 고려해야 한다. 계산은 유와 카르도나로 제공된다.^[6] 발랑스 밴드에서 이동통신사는 구멍이다. 하나는 무거운 것과 가벼운 두 종류의 구멍이 있다는 것을 발견하는데, 이등방성 질량을 가지고 있다.

스핀-회전 교호작용이 있는 k/p 모델

스핀-오빗 상호작용을 포함하여, u에 대한 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.^[2]

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }=E_{n,\mathbf {k}}{u_{n,\mathbf {k}}}}}}}}}}}}}}"$

어디에^[7]

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar }{m}}\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} +{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+V+{\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2}}}(\nabla V\times (\mathbf {p} +\hbar \mathbf {k} ))\cdot {\vec {\sigma }}}$

여기서 $\sigma {\displaystyle \stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$= (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$, ${\displaystyle {\sigma }_{}}$ y${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$) ${\displaystyle {\vec {\sigma }}}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})$는 세 개의 Pauli 행렬로 구성된 벡터다. 이 해밀턴인은 위와 같은 종류의 섭동 이론 분석을 받을 수 있다.

변질된 경우의 계산

퇴행되거나 거의 퇴행되는 대역, 특히 갈륨 비소와 같은 특정 물질의 발란스 밴드에 대해서는 퇴행 섭동 이론의 방법에 의해 방정식을 분석할 수 있다.^[1][2] 이 유형의 모델에는 "루팅거-쿤 모델"("Kohn-Luttinger 모델")^[8]과 "케인 모델"이 포함된다.^[7]

일반적으로 효과적인 해밀턴 $H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {e\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}}$ ${\$ H$^{\rm {eff}}$이(가) 도입되며$$, 첫 번째 순서에서는 매트릭스 요소를 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle H_{\mathbf {k} ,mn}^{\rm {eff}}=\langle u_{m,0} H_{0} u_{n,0}\rangle +\mathbf {k} \cdot \langle u_{m,0} \nabla _{\mathbf {k} }H_{\mathbf {k} }' u_{n,0}\rangle }$

이를 해결한 후 파동 기능과 에너지 밴드를 얻는다.

참고 항목

참고 및 참조