르베그-스티엘트제스 통합

측정이론적 분석과 수학의 관련 분야에서는 르베그-스티엘트제스 통합이 리만-스티엘트제스 통합과 르베그 통합을 일반화하여 보다 일반적인 측정이론적 틀에서 전자의 많은 장점을 보존한다. 르베그-스티엘트제스 적분은 르베그-스티엘트제스 측도라고 알려진 조치와 관련하여 일반적인 르베그 적분이며, 실제 라인의 경계 변동 기능과 관련이 있을 수 있다. 르베그-스티엘트제스 척도는 정기적인 보렐 척도로, 반대로 실제 라인에 있는 모든 보렐 척도는 이와 같은 것이다.

헨리 레온 레베게스와 토마스 조안스틸레제스의 이름을 딴 르베그-스티엘트제스 통합은 요한 라돈의 뒤를 이어 르베그-라돈 통합 또는 라돈 통합으로도 알려져 있다. 그들은 확률적 과정과 확률적 과정, 그리고 잠재적 이론을 포함한 분석의 특정 분야에서 공통적인 적용을 발견한다.

정의

르베그-스티엘트제스 일체형

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)}$

is defined when ${\displaystyle f:\left[a,b\right]\rightarrow \mathbb {R} }$ is Borel-measurable and bounded and ${\displaystyle g:\left[a,b\right]\rightarrow \mathbb {R} }$ is of bounded variation in [a, b] and right-continuous, or when f is non-negative and g is monotone and right-연속의 시작하려면 f가 음성이 아니며 g가 단조로운 비감소 및 우측 연속이라고 가정한다. w(s, t) = g(t) - g(s) 및 w({a}) = 0(대안적으로 g 왼쪽-연속, w(s,t) = g(t) - g(s) 및 w({b} = 0)을 정의하십시오.

카라테오도리의 확장 정리에 의해 [a, b]에 고유한 보렐 측정 μ가_g 있는데, 이 측정 μ는 매 간격 I에서 w와 일치한다. 측정 μ는_g 다음과 같이 주어진 외부 측정치(사실상 미터법 외부 측정치)에서 발생한다.

${\displaystyle \mu_{g}(E)=\inf \left\{{i}\sum _{i}\{g}(I_{i})\\\ E\subset \bigcup _{i}I_{i}\오른쪽\}}$

모든 E 커버링에 대해 반개방 구간을 카운트다운할 수 있는 최소값 이 조치를 g와 연관된 Lebesgue-Stieltjes 측정이라고 부르기도^[1] 한다.

르베그-스티엘트제스 일체형

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)}$

일반적인 방법으로 측정 μ에_g 대해 f의 르베그 적분으로 정의된다. g가 증가하지 않는 경우, 정의

${\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dg(x):=-\int_{a}^{b}f(x)\,ddg(x),}$

선행구조에 의해 정의되는 후자의 적분

g가 경계가 있는 변동이고 f가 경계가 되는 경우 쓰기가 가능하다.

${\displaystyle dg(x)=dg_{1}(x)-dg_{2}(x)}$

여기서 g₁(x) = Vg는 ^x
_a [a, x], g₂(x) = g₁(x) - g(x) 구간에서 g의 총 변동이다. g와₁ g 모두₂ 단조로운 비감소다. 이제 g와 관련하여 통합된 Lebesgue-Stieltjes는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int_{a}^{b}f(x)\,dg_{1}(x)-\int_{a}^{b}f(x)\,dg_{2}(x),}$

여기서 후자의 두 통합은 앞의 구조에 의해 잘 정의된다.

다니엘 적분

대안적 접근법(Huitt & Stromberg 1965)은 레베그-스티엘트제스 일체형을 일반적인 리만-스티엘트제스 적분을 확장하는 다니엘 적분으로 정의하는 것이다. g를 [a, b]에서 감소하지 않는 우측 연속 함수가 되게 하고 I(f )를 리만-스티엘트제스 적분으로 정의한다.

${\displaystyle I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)}$

모든 연속 기능에 대해 f. 기능 I는 [a, b]에 라돈 측정을 정의한다. 그런 다음 이 기능을 설정하여 모든 비음성 함수의 등급으로 확장할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {I}}(h)&=\sup \left\{I(f)\ :\ f\in C[a,b],0\leq f\leq h\right\}\\{\overline {\overline {I}}}(h)&=\inf \left\{I(f)\ :\ f\in C[a,b],h\leq f\right\}.\end{정렬}}}$

Borel 측정 가능한 함수의 경우

${\displaystyle {\overline {I}(h)={\overline {\overline {I}(h),}$

그리고 그 정체성의 어느 한쪽은 르베그-스티엘트제스를 h의 일체형으로 정의한다. 외부 측정 μ는_g 다음을 통해 정의된다.

${\displaystyle \mu _{g}(A)={\overline {I}}(\chi _{A})}$

여기서 χ은_A A의 지표 기능이다.

경계 변동의 통합자는 양극 변수와 음극 변형으로 분해하여 위와 같이 처리한다.

예

γ : [a, b] → R이² 평면에서 정류 가능한 곡선이고 ρ : R² → [0, ∞)이 Borel 측정 가능하다고 가정한다. 그러면 ρ에 의해 가중치가 부여된 유클리드 측정기준에 대해 γ의 길이를 정의할 수 있다.

$\displaystyle \int _{a}^{b}\rho (\flo (t)\,d\ell (t),}$

여기서 $\ell {\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \ell (t)}$은(는) γ을 [a, t]로 제한한 길이입니다. 이것을 γ의 ρ길이라고 부르기도 한다. 이 개념은 다양한 용도에 꽤 유용하다. 예를 들어, 진흙 지형에서 사람이 움직일 수 있는 속도는 진흙이 얼마나 깊은지에 따라 달라질 수 있다. ρ(z)가 z 또는 그 근방에서 보행 속도의 역치를 나타내는 경우, γ의 ρ-길이 는 γ을 횡단하는 데 걸리는 시간이다. 극단적 길이의 개념은 이 ρ 길이의 곡선의 개념을 사용하며, 정합성 매핑 연구에 유용하다.

부품별 통합

함수 f는 오른손과 왼손이 f(a+)와 f(a-)를 제한하고 함수가 평균값을 갖는 경우 a 지점에서 "정규"라고 한다.

${\displaystyle f(a)={\frac {f(a-)+f(a+)}{2}}.}$

유한 변동의 U와 V의 두 가지 기능을 고려할 때, 각 지점에서 U 또는 V 중 적어도 하나가 연속적이거나 U와 V가 둘 다 정규적인 경우, Lebesgue-Stieltjes 일체형 부품 공식에 의한 통합은 다음을 유지한다.^[2]

${\displaystyle \int _{a}^{b}U\,dV+\int _{a}V\,dU=U(b+)V(--)V(a-),\qquad -\infully <a<b>.}$

Here the relevant Lebesgue–Stieltjes measures are associated with the right-continuous versions of the functions U and V; that is, to ${\textstyle {\tilde {U}}(x)=\lim _{t\to x^{+}}U(t)}$ and similarly ${\displaystyle {\tilde {V}}(x).$$}$ U와 V가 이 무한 구간에서 유한한 변동을 보인다면 경계 구간(a, b)을 무한 구간(-∞, b), (a, ∞) 또는 (-∞, ∞)으로 대체할 수 있다. 복합값 함수도 사용할 수 있다.

확률 미적분학 이론에서 중요한 대안 결과는 다음과 같다. 유한 변동의 U와 V 두 가지 기능을 부여하면, 두 기능 모두 우측 연속이고 좌측 한계(이 기능들은 cadlag 함수)가 있다.

${\displaystyle U(t)V(t)=U(0)V(0)V(0)+\int _{0,t)\,dV(s-)+\int _{0,t]V(s-)\,dU(s)+\sum _{u\in(0,t)}\Delta U_{u}\Delta V_{u}}}$

여기서 ΔU_t = U(t) - U(t-). 이 결과는 Itô의 보조마법의 전조로 볼 수 있으며, 확률적 통합의 일반 이론에 유용하다. 최종 용어는 ΔU(t)ΔV(t) = d[U, V]로 U와 V의 2차 공분산으로부터 발생한다(이전의 결과는 스트라토노비치 적분과 관련된 결과로 볼 수 있다).

관련개념

르베그 통합

g(x) = 모든 실제 x에 대한 x일 때, μ는_g 르베그 측정값이고, g에 대한 f의 르베그-스티엘트제스 적분은 f의 르베그 적분과 동등하다.

리만-스티엘트제스 통합 및 확률론

여기서 f는 실제 변수의 연속적인 실제 가치 함수이고 v는 감소하지 않는 실제 함수인 경우, 르베그-스티엘트제스 적분은 리만-스티엘트제스 적분과 동등하며, 이 경우 우리는 종종 글을 쓴다.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,reason(x)}$

레베그-스티엘트제스의 적분인 경우 측정 μ를_v 암묵적으로 유지한다. 이는 v가 실제 값 랜덤 변수 X의 누적 분포 함수일 때 특히 확률 이론에서 일반적이다.

${\displaystyle \int _{-\nf(x)\,dv(x)=\mathrm {E}[f(X)].}$

(이러한 사례에 대한 자세한 내용은 Riemann-Stieltjes 통합에 대한 기사를 참조하십시오.

메모들

참조

• Halmos, Paul R. (1974), Measure Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90088-9
• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and abstract analysis, Springer-Verlag.
• Saks, Stanislaw (1937) 적분론.
• 샤일로프, G. E., 구레비치, B. L., 1978. 통합, 측정 및 파생 모델: 통합된 접근방식, Richard A. 실버맨, 트랜스. 도버 퍼블리셔스. ISBN 0-486-63519-8