오일러 대체

오일러 대체는 폼의 통합을 평가하는 방법이다.

\int R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c})\,dx,

여기서 $R$ $R$ 은 x ${\displaystyle x$ $}$ 및 $x$ ${\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$ ${\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$ + ${\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$ + $c의 합리적$ 인 함수인데 $R$ $,$ 이 경우 $iler$ 의 대체물을 사용하여 통합 기능을 합리적인 함수로 변경할 수 있다 ${\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$ ^[1]

오일러의 첫 번째 대체

오일러의 첫 번째 치환법은 $a>0$ > $a>0$ $a>0$ 일 때 사용된다 $a>0$ 우리는 치환한다.

{\sqrt {ax^{2}+bx+c}=\pm x{\sqrt {a}+t

x

x

에 대한 결과 표현식을 해결하십시오

x

x={\frac {c-t^{2}}{\pm 2t{\sqrt {a}}-b}}

=

x={\frac {c-t^{2}}{\pm 2t{\sqrt {a}}-b}}

-

x={\frac {c-t^{2}}{\pm 2t{\sqrt {a}}-b}}

x={\frac {c-t^{2}}{\pm 2t{\sqrt {a}}-b}}

± 2

x={\frac {c-t^{2}}{\pm 2t{\sqrt {a}}-b}}

a

x={\frac {c-t^{2}}{\pm 2t{\sqrt {a}}-b}}

-

x={\frac {c-t^{2}}{\pm 2t{\sqrt {a}}-b}}

{\

x

={\frac {c-t^{2}}:00pm 2t{a}-b}}

및

x={\frac {c-t^{2}}{\pm 2t{\sqrt {a}}-b}}

d

x

{\

displaystytydx

}

용어는

dx

t

에서 합리적으로 표현 가능함.

이 대체에서는 양수 부호 또는 음수 부호를 선택할 수 있다.

오일러의 2차 대체

$c>0$ > 0 ${\displaystyle c>0$ 우리는

{\sqrt {ax^{2}+bx+c}=xt\pm {\sqrt {c}.

위와

x

하게

x

x

{\

displaystyle x}

에 대해 해결하여

x={\fm 2t{\pm 2t{\sqrt{c}-b}{a-t^{2}}.

다시, 양수 또는 음수 중 하나를 선택할 수 있다.

오일러의 세 번째 대체

If the polynomial $ax^{2}+bx+c$ has real roots $\alpha$ and $\beta$ , we may choose ${\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a(x-\alpha )(x-\beta )}}=(x-\alpha )t}$ . 이는 x = $x={\frac {a\beta -\alpha t^{2}}{a-t^{2}}},$ - $x={\frac {a\beta -\alpha t^{2}}{a-t^{2}}},$ t $x={\frac {a\beta -\alpha t^{2}}{a-t^{2}}},$ $x={\frac {a\beta -\alpha t^{2}}{a-t^{2}}},$ - $x={\frac {a\beta -\alpha t^{2}}{a-t^{2}}},$ 2 , ${\displaystyle$ x $={\frac$ { $a\beta$ - $\alpha$ $t$ $^{2}}:{$ $a-t$ $^{2}}}}},$ 앞의 경우와 $x={\frac {a\beta -\alpha t^{2}}{a-t^{2}}},$ 같이 전체 통합과 합리적으로 표현하면 $t$

작업한 예

오일러의 첫 번째 대체 예

하나

일체형 $\int \!{\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+c}}}$ $\int \!{\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+c}}}$ $\int \!{\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+c}}}$ x $\int \!{\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+c}}}$ + c ${\$ {\ $x}{\sqrt{$ x ${\textstyle {\sqrt {x^{2}+c}}=-x+t}$ $2$ }+ $c}}}}}}{\$ data ${\textstyle {\sqrt {x^{2}+c}}=-x+t}$ }}}{\ $textstyle$ }}=-x $+t$ 를 설정하면 된다 $\int \!{\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+c}}}$ .

x={\frac {t^{2}-c}{2t}\c}\dt}\frac \dt}\dt}\dt

{\sqrt {x^{2}+c}=-{\frac {t^{2}-c}{2t}+t={\frac {t^{2}+c}{2t}}}}}

이에 따라 다음 사항을 얻는다.

\int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}+c}}}=\int {\frac {\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}{\frac {t^{2}+c}{2t}}}\,\ dt=\int {\frac {dt}{t}}=\ln  t +C=\ln \left x+{\sqrt {x^{2}+c}}\right +C

사례 $c=\pm 1$ = $c=\pm 1$ ± $c=\pm 1$ $c=\pm 1$ 에 $c = \pm 1$ 공식이 표시됨

{\begin{aligned}\int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+1}}}&=\operatorname {arsinh} (x)+C\\[6pt]\int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}-1}}}&=\operatorname {arcosh} (x)+C\qquad (x>1)\end{aligned}}

두 개

의 값 찾기

\int{\frac {1}{x{\sqrt{x^{2}+4x-4}dx,

오일러의 첫

{\textstyle {\sqrt {x^{2}+4x-4}}={\sqrt {1}}x+t=x+t}

치환법을 사용하여

t

t

t

을(를) 찾을 수 있다

{\textstyle {\sqrt {x^{2}+4x-4}}={\sqrt {1}}x+t=x+t}

x 2

{\textstyle {\sqrt {x^{2}+4x-4}}={\sqrt {1}}x+t=x+t}

+

{\textstyle {\sqrt {x^{2}+4x-4}}={\sqrt {1}}x+t=x+t}

{\textstyle {\sqrt {x^{2}+4x-4}}={\sqrt {1}}x+t=x+t}

- 4

{\textstyle {\sqrt {x^{2}+4x-4}}={\sqrt {1}}x+t=x+t}

=

{\textstyle {\sqrt {x^{2}+4x-4}}={\sqrt {1}}x+t=x+t}

=

{\textstyle {\sqrt {x^{2}+4x-4}}={\sqrt {1}}x+t=x+t}

=

{\textstyle {\sqrt {x^{2}+4x-4}}={\sqrt {1}}x+t=x+t}

+

{\textstyle {\sqrt {x^{2}+4x-4}}={\sqrt {1}}x+t=x+t}

{\textstyle {\\sqrt {x^{2}+4x-4}={\sqrt{1}x+t=x+t}.

방정식의 양쪽을 제곱하면

x^{2}+4x-4=x^{2}+2xt+t^{2}

x^{2}

x^{2}+4x-4=x^{2}+2xt+t^{2}

+

x^{2}+4x-4=x^{2}+2xt+t^{2}

= x

x^{2}+4x-4=x^{2}+2xt+t^{2}

+ 2 +

x^{2}+4x-4=x^{2}+2xt+t^{2}

+

x^{2}+4x-4=x^{2}+2xt+t^{2}

x^{2}+4x-4=x^{2}+2xt+t^{2}

{\

x

^{2}+4x-4=x^{2}+2xt+t^{2}}

개의

x^{2}

항이 취소되며

x^{2}+4x-4=x^{2}+2xt+t^{2}

여기서 x

x^{2}

{\

x

^{2

}}개의

x^{2}

항이 취소된다.

x

x

수익률에

x

대한 해결

x={\frac {t^{2}+4}{4-2t}.

여기서 $d$ $x$ $dx$ 과 $dx$ d $t$ $dt$ 은 $dt$ (는 $)$ $dx={\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}dt.$ $dx={\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}dt.$ = $dx={\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}dt.$ - $dx={\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}dt.$ $dx={\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}dt.$ + 8 $dx={\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}dt.$ + 8 $dx={\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}dt.$ $dx={\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}dt.$ - $dx={\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}dt.$ $dx={\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}dt.$ $dx={\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}dt.$ 2 $dx={\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}dt.$ $dx={\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}dt.$ . ${\displaysty dx={\prac {-2t^{2}+8}{4-2t)^{2$ }d}d}d} $dt$ . $}$

그러므로,

{\begin{aligned}\int {\frac {dx}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}&=\int {\frac {\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}{\left({\frac {t^{2}+4}{4-2t}}\right)\left({\frac {-t^{2}+4t+4}{4-2t}}\right)}}dt&&t={\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x\\[6pt]&=2\int {\frac {dt}{t^{2}+4}}=\tan ^{-1}\left({\frac {t}{2}}\right)+C\\[6pt]&=\tan ^{-1}\왼쪽({\frac {{\sqrt{x^{2}+4x-4}-x}{2}}\오른쪽)++++++C\end{aigned}

오일러의 두 번째 대체 예

적분에서

\int \!{\frac {dx}{x{\sqrt{-x^{2}+x+2}},},

두 번째 치환과

{\sqrt {-x^{2}+x+2}}=xt+{\sqrt {2}}

-

{\sqrt {-x^{2}+x+2}}=xt+{\sqrt {2}}

x

{\sqrt {-x^{2}+x+2}}=xt+{\sqrt {2}}

+

{\sqrt {-x^{2}+x+2}}=xt+{\sqrt {2}}

+ 2

{\sqrt {-x^{2}+x+2}}=xt+{\sqrt {2}}

= x

{\sqrt {-x^{2}+x+2}}=xt+{\sqrt {2}}

+

{\sqrt {-x^{2}+x+2}}=xt+{\sqrt {2}}

{\

그러므로

x={1-2{\sqrt{2}}t}{t^{2}+1}}\qqquadd dx={\frac {2}{\sqrt{2}-2t-2}{\sqrt{2}}:}{(t^{2}+1)^{2}^{2}{2}^{2}^{2}^{2}^{2}^{2}{2}^{2}{2}^{2}^{2}}}^{2}}}^{2}^{2}}^{2}}}}dt,

그리고

{\sqrt {-x^{2}+x+2}}={\frac {1-2{\sqrt {2}}t}{t^{2}+1}}t+{\sqrt {2}}={\frac {-{\sqrt {2}}t^{2}+t+{\sqrt {2}}}{t^{2}+1}}

이에 따라 다음 사항을 얻는다.

{\frac{dx}{x}{x^{-x^{2}+x+2}}:}\frac {\frac {2}{{\sqrt{2}}:}{2}-2t-2}{\sqrt{}}}{t^{dx}+1)^{{2}2}2}2}^{{{{{{dx2}2}2}2}2}2}2}2}2}2}2}^2}^2}^{dx}^{dx2}^{dx2}}}}{{\frac{1-2{\sqrt{2}}t}{t^{2}+1}}{\frac{-{\sqrt{2}}t^{2}+t+{\sqrt{2}}}{t^{2}+1}}}}dt\\[6pt]&,=\int\!{\frac{-2}{-2{\sqrt{2}}t+1}}dt={\frac{1}{\sqrt{2}}}\int{\frac{-2{\sqrt{2}}}{-2{\sqrt{2}}t+1}}dt\\[6pt]&, ={\frac{1}{\sqrt{2}}}\ln \left 2{\sqrt{2}}t-1\right +C\\[4pt]&, ={\frac{\sqrt{2}}{2}}\ln \left 2{\sqrt{2}}{\frac{{.\sqrt{-x^{2}}+x+2}}-{\sqrt{2}}:{x}-1\오른쪽 +C\end{정렬}}}

오일러의 세 번째 대체 예

평가하기 위해

\int \!{\frac {x^{2}}{\\sqrt {-x^{2}+3x-2}\dx,

세

{\textstyle {\sqrt {-(x-2)(x-1)}}=(x-2)t}

대체 및 세트 -

{\textstyle {\sqrt {-(x-2)(x-1)}}=(x-2)t}

(

{\textstyle {\sqrt {-(x-2)(x-1)}}=(x-2)t}

-

{\textstyle {\sqrt {-(x-2)(x-1)}}=(x-2)t}

)

{\textstyle {\sqrt {-(x-2)(x-1)}}=(x-2)t}

( x

{\textstyle {\sqrt {-(x-2)(x-1)}}=(x-2)t}

- 1

{\textstyle {\sqrt {-(x-2)(x-1)}}=(x-2)t}

)

{\textstyle {\sqrt {-(x-2)(x-1)}}=(x-2)t}

=

{\textstyle {\sqrt {-(x-2)(x-1)}}=(x-2)t}

(

{\textstyle {\sqrt {-(x-2)(x-1)}}=(x-2)t}

-

{\textstyle {\sqrt {-(x-2)(x-1)}}=(x-2)t}

) t

{\textstyle {\sqrt {-(x-2)(x-1)}}=(x-2)t}

을(를) 사용할 수 있다

{\textstyle {\sqrt {-(x-2)(x-1)}}=(x-2)t}

그러므로

x={\frac {-2t^{2}-1}{-t^{2}}\qquad \dx={\frac {2t}{(-t^{2}-1)^{2}}\\dt,

그리고

{\sqrt{-x^{2}+3x-2}}=(x-2)t={\frac {t}{-t^{2}-1.}}

\int {\frac {x^{2}}{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}}\ dx=\int {\frac {\left({\frac {-2t^{2}-1}{-t^{2}-1}}\right)^{2}{\frac {2t}{(-t^{2}-1)^{2}}}}{\frac {t}{-t^{2}-1}}}\ dt=\int {\frac {2(-2t^{2}-1)^{2}}{(-t^{2}-1)^{3}}}\ dt.

우리가 알 수 있듯이 이것은 부분분수를 사용하여 해결할 수 있는 합리적인 기능이다.

일반화

오일러의 대체는 상상의 숫자를 사용할 수 있게 함으로써 일반화할 수 있다. 예를 들어, ${\textstyle \int {\frac {dx}{\sqrt {-x^{2}+c}}}}$ $∫$ d ${\textstyle \int {\frac {dx}{\sqrt {-x^{2}+c}}}}$ - $2$ + c ${\textstyle \int {\frac {dx}{\sqrt {-x^{2}+c}}}}$ {- $x^{2}+c}}}}$ 에서 대체 ${\textstyle {\sqrt {-x^{2}+c}}=\pm ix+t}$ - ${\textstyle {\sqrt {-x^{2}+c}}=\pm ix+t}$ 2 ${\textstyle {\sqrt {-x^{2}+c}}=\pm ix+t}$ + ${\textstyle {\sqrt {-x^{2}+c}}=\pm ix+t}$ = ${\textstyle {\sqrt {-x^{2}+c}}=\pm ix+t}$ ± ${\textstyle {\sqrt {-x^{2}+c}}=\pm ix+t}$ ${\textstyle {\sqrt {-x^{2}+c}}=\pm ix+t}$ + ${\textstyle {\sqrt {-x^{2}+c}}=\pm ix+t}$ ${\sqrt {-x^{2}+c}=\pm ix+t}$ 를 사용할 수 있다 ${\textstyle {\sqrt {-x^{2}+c}}=\pm ix+t}$ ${\textstyle \int {\frac {dx}{\sqrt {-x^{2}+c}}}}$ 복잡한 숫자에 대한 확장은 2차 계수에 관계 없이 모든 유형의 오일러 치환법을 사용할 수 있게 해준다.

오일러의 대체는 더 큰 종류의 기능으로 일반화될 수 있다. 양식의 통합 고려

\int R_{1}\왼쪽(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}\오른쪽)\\\\log \left(R_{2}\x^{2}+bx+c}\오른쪽)\,dx,

여기서

R_{1}

R_{1}

{\

및

R_{1}

R_{2}

R_{2}

{\

{

2

}}은

{\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}

x

{\

displaystyle

x}

와

x

{\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}

{\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}

+

{\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}

+

{\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}

의

합리적

인 기능이다

R_{2}

{\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}

이 적분은

{\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a}}+xt}

{\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a}}+xt}

+

{\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a}}+xt}

{\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a}}+xt}

+

{\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a}}+xt}

=

{\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a}}+xt}

+

{\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a}}+xt}

{\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a}}+xt}

{\textstyle {\sqrt{2}+bx+c}={\sqrt {a}+xt}

을(를) 다른 적분으로 대체하여

{\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a}}+xt}

변환할 수 있다.

\int{\tilde {R}_{1}(t)\log {\big(}{\tilde {R}}_{2}(t){\big )}\,dt,

여기서

{\tilde {R}}_{1}(t)

~

{\tilde {R}}_{1}(t)

(

{\tilde {R}}_{1}(t)

)

{\tile {R}_{1}(t)

{\tilde {R}}_{2}(t)

R

{\tilde {R}}_{1}(t)

{\tilde {R}}_{2}(t)

~

{\tilde {R}}_{2}(t)

{\tilde {R}}_{2}(t)

{\tilde {R}}_{2}(t)

{\displaystyle {\tilde {R}_{2}(t)

는 이제

t

{\displaystyt}

의 단순히 합리적인 함수일

{\tilde {R}}_{2}(t)

뿐이다

t

원칙적으로 인수분할 수 있으며, 이 분해는 용어로 사용할 수 있다.희석함수의 사용을 통해 분석적으로 Egrated.^[2]

참고 항목

참조

^ N. 피스크노프, 디페렌시아알 자 인테그라랄바투스 쾨르게메텔 테흐닐리스테일레 ö페이스유틸레. 비이, 타이엔다투드 트룩 키르야스투스 발구스, 탈린(1965) 참고: 오일러 대체물은 대부분의 러시아 미적분학 교과서에서 찾을 수 있다.
^ Zwillinger, Daniel. The Handbook of Integration. 1992: Jones and Bartlett. pp. 145–146. ISBN 978-0867202939.CS1 maint: 위치(링크)

이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유 앨라이크 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 오일러스의 PlanetMath 통합 대체 자료가 통합되어 있다.

[1] N. 피스크노프, 디페렌시아알 자 인테그라랄바투스 쾨르게메텔 테흐닐리스테일레 ö페이스유틸레. 비이, 타이엔다투드 트룩 키르야스투스 발구스, 탈린(1965) 참고: 오일러 대체물은 대부분의 러시아 미적분학 교과서에서 찾을 수 있다.

[2] Zwillinger, Daniel. The Handbook of Integration. 1992: Jones and Bartlett. pp. 145–146. ISBN 978-0867202939.CS1 maint: 위치(링크)

[1]

[2]

v t 통합
통합 유형	리만 적분 르베그 적분 버킬 적분 보크너 일체형 다니엘 적분 다르부 적분 Henstock-Kurzweil 적분 하르 적분 헬링거 적분 킨친 적분 콜모고로프 적분 르베그-스티엘트제스 일체형 페티스 적분 피페퍼 적분 리만-스티엘트제스 일체형 규제 적분
통합 기법	대체 삼각법 오일러 위어스트라스 부품별 부분분수 오일러의 공식 역함수 순서변경 환원식 파라메트릭 파생상품 적분 기호 아래의 차별화 라플라스 변환 등고선 통합 라플레이스의 방법 수치적 통합 심슨의 법칙 사다리꼴 법칙 리스치 알고리즘
부적절한 통합	가우스 적분 디리클레 적분 페르미-디락 적분 완성의 미완성의 보스-아인슈타인 적분 프룰라니 적분 양자장 이론의 공통 통합
확률적 통합	Itô 적분 루소-발루아 적분 스트라토노비치 적분 스코로크호드 적분
잡다한	바젤 문제 오일러-마클라우린 공식 가브리엘 혼 통합 비 22/7이 π을 초과한다는 증거 볼륨 세탁기 조개껍질

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