다니엘 적분

수학에서 다니엘 적분(Daniel integrated)은 전형적으로 학생들이 처음 소개되는 리만 적분(Riemann integrated)과 같은 더 많은 초등 버전의 개념을 일반화하는 통합의 한 유형이다. 르베그 적분(Lebesgue integrated)의 전통적인 공식화에서 가장 큰 어려움 중 하나는 적분(integral)에 대한 유용한 결과를 얻기 전에 실행 가능한 측정 이론의 초기 개발이 필요하다는 것이다. 그러나 이러한 결핍에 시달리지 않는 퍼시 J. 대니얼(1918년)이 개발한 대안적 접근법이 이용가능하며, 특히 적분이 고차원적 공간으로 일반화되고 슈틸트제스 적분과 같은 추가 일반화가 진행됨에 따라 전통적 제형에 비해 몇 가지 유의미한 이점이 있다. 그 기본 사상은 본질적인 것의 공리화를 포함한다.

공리

우리는 이 두 가지 공리를 만족하는 일부 세트 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X$에 대해 정의된 경계된 실제 함수(기본 함수라고 함)의 H$${\$displaystyle H}$ 패밀리를 선택하는 것으로 시작한다.

• ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$은 덧셈과 스칼라 곱셈의 일반적인 연산을 갖는 선형 공간이다$$.
• ${\displaystyle \mathrm{함수}}$ $h{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle h(x)}$이$($가) $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$에 있으면$$ 절대값 ${\displaystyle h}$( ${\displaystyle x}$) $displaystyle h(x) }$도(가) 입니다$.$

또한 H의 모든 함수 h에는 실수 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle Ih$가 할당되며, 이를 h의 기본 적분으로 불리며 다음과 같은 세 가지 공리를 만족한다.

선형성

h와 k가 모두 H에 있고 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha$}과$$ $\beta {\displaystyle }${\$displaystyle \beta$${\displaystyle }$}이$$(가) 두 개의 실제 숫자인 $경우{\displaystyle }$I${\displaystyle (\alpha }$ ${\displaystyle h}$ + ${\displaystyle \beta }$k ) = ${\displaystyle \alpha }$I ${\displaystyle h}$ + ${\displaystyle \beta }$ I ${\displaystyle k}$ ${\displaystystyle$ I$(\alpha$ h$+\beta$ k$)=\alpha Ih+\beta Ik$

비네거티

$h{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle h(x)\geq 0$인 경우, ${\displaystyle \mathrm{I}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \ge }$ 0$${\$displaystyle Ih\geq$ 0$\}.$

연속성

If ${\displaystyle h_{n}}$ is a nonincreasing sequence (i.e. ${\displaystyle h_{1}\geq \cdots \geq h_{k}\geq \cdots }$) of functions in ${\displaystyle H}$ that converges to 0 for all ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle X}$, then ${\displaystyle Ih_{n}\to 0}$$$.

또는 (더 일반적으로)

If ${\displaystyle h_{n}}$ is an increasing sequence (i.e. ${\displaystyle h_{1}\leq \cdots \leq h_{k}\leq \cdots }$) of functions in ${\displaystyle H}$ that converges to h for all ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle X}$, then ${\displaystyle Ih_{n}\to Ih$$}$.

즉, 기본 함수의 공간에 걸쳐$$ 연속적인 비 음의 선형 $함수{\displaystyle }$ I ${\displaystyle$ I$}$을 정의한다.

이러한 기본 기능과 그 기본 통합은 이러한 공리를 만족시키는 이러한 기능에 대한 통합의 정의 및 기능 집합일 수 있다. 모든 단계 기능의 제품군은 위의 기본 기능에 대한 공리를 분명히 만족한다. 스텝 함수 계열의 기본 적분을 스텝 함수 아래의 (서명된) 영역으로 정의하면 기본 적분에 대해 주어진 공리를 명백히 만족한다. 기본 함수로 단계 함수를 사용하여 아래에 설명된 다니엘 적분 구조를 적용하면 르베그 적분과 동등한 적분 정의가 생성된다. 모든 연속적인 기능의 패밀리를 기본 함수로 사용하고 전통적인 리만 적분을 기본 적분으로 사용하는 것도 가능하지만, 이것은 또한 르베그 정의와 동등한 적분을 산출할 것이다. 동일한 작업을 수행하지만 리만-스티엘트제스 적분을 사용하는 것은 경계 변동의 적절한 기능과 함께 르베그-스티엘트제스 적분과 동등한 적분을 정의한다.

측정치 0의 집합은 다음과 같이 기본적인 기능 측면에서 정의할 수 있다. 조치 0X{X\displaystyle}의 하위 집합 A집합 Z{Z\displaystyle}집합이다. 어떤ϵ하는 경우;0{\displaystyle \epsilon>0}, 비음의 초등 함수의nondecreasing 순서 h p()){\displaystyle h_{p}())}H에 p<>h 그런 존재하고, ε{\displaystyle Ih_{p}&l.t;\varepsil$}$ 및 $\underset{}{supp}$ p $\mathrm{h}$ (${}_{}$x$$) $\ge$ 1 ${\textstyle \sup _{p}h_{p}(x)\geq 1}($$Z$ ${\displaystyle Z$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$과(와$)$ 비교한 보수가 측정값 0의 집합인 경우 집합은 완전 측정값 집합이라고 한다. 우리는 만약 어떤 부동산이 전체 측정치의 모든 지점(또는 측정값 0을 제외한 모든 곳에서 동등하게)을 보유한다면, 그것은 거의 모든 곳에서 보유된다고 말한다.

정의

비록 최종 결과는 동일하지만, 다른 저자들은 본질적인 것을 다르게 구성한다. 일반적인 접근방식은 우리가 선택한 기본 기능인 $L{\displaystyle {}^{}}$+ ${\$ 등급 L + {\displaystyle L^{n}을 정의하는 것으로 시작하는 것인데$,$ 이 등급은 통합 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle {집합}_{}}$과 같이 초등$$ 기능의 비감소 $시퀀스{\displaystyle {}_{}}$ h ${\\$의 한계에 해당하는 모든 기능의 계열이다.${\displaystyle h_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$가 경계로 되어 있다. $L{\displaystyle {}^{}}$+ ${\$의 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 적분은 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle If=\lim _{n\to \infit }Ih_{n}}$

적분 정의가 잘 정의되어 있음을 알 수 있다. 즉, 시퀀스 ${\displaystyle h_{}}$ n ${\$의 선택에 따라 달라지지 않는다$.$

그러나 $L{\displaystyle {}^{}}$+ ${\$ 등급은 일반적으로 음수에 의한 뺄셈과 스칼라 곱셈에 의해 닫히지 않으며$$, 이러한 속성으로 $L$ ${\displaystyle L}$의 더 넓은 등급의 함수를 정의하여 더 확장시킬 필요가 있다.

로이든이 이 책에서 설명한 다니엘의 (1918) 방법은 일반 함수 ${\displaystyle \pi}$의 상위 적분을 다음과 같이 정의한 것에 해당한다.

${\displaystyle I^{+}\phi =\inf _{f}If}$

where the infimum is taken over all ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle L^{+}}$ with ${\displaystyle f\geq \phi }$. The lower integral is defined in a similar fashion or shortly as ${\displaystyle I^{-}\phi =-I^{+}(-\phi )}$. Finally ${\displaystyle L}$ consists of tho상위 및 하위 통합이 유한하고 일치하는 함수

${\displaystyle \int _{X}\phi (x)dx=I^{+}\phi =I^{-}\phi .}$

프레데릭 리에스의 발견에 바탕을 둔 대안적인 루트는 실로프와 구레비치의 책과 수학 백과사전 기사에서 취해진다. 여기서 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$은(는) $L{\displaystyle {}^{}}$+ 등급의$$ 일부 $함수{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$ 및 $g$ ${\displaystyle g}$에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ f${\displaystyle }$-${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \phi =f-g$의 차이로서 전체 측정 집합(앞 섹션에서 정의됨)에 나타낼 수 있는 함수$functions$ (${\displaystyle x}$ $){\displaystystyledisplaystypyled)$ \paystyleasestyone \p) \$pylease$ styone \pytype \p${\displaystyle$ L$^\{+\}\}.$ 그러면 함수 $\varphi {\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$ )${\displaystyle \phi (x)}$의 적분은 다음과 같이 정의할 수 있다$$.

${\displaystyle \int _{X}\phi (x)dx=If-Ig\,}$

다시 말해, 이 적분은 잘 정의되어 있다는 것을 보여줄 수 있다. 즉, $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$을(를) $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 및 $g$ ${\displaystyle g$로 분해하는 것에 의존하지 않는다. 이것은 원래의 다니엘 적분과 동등한 것으로 판명되었다.

특성.

레베게의 지배적인 융합 정리, 리에츠-피셔 정리, 파투의 보조정리, 푸비니의 정리 등 레베게의 전통적 적분 이론에 있는 거의 모든 중요한 정리들도 이 구성을 이용하여 쉽게 증명될 수 있을 것이다. 그것의 성질은 전통적인 르베그 적분과 동일하다.

측정

세트와 기능 사이의 자연적인 일치성 때문에, 대니엘 적분을 이용하여 측량 이론을 구성하는 것도 가능하다. 일부 집합의 특성$$ 함수 ${\displaystyle \chi }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \chi (x)}$을(를) 취하면 그 적분을 집합의 척도로 취할 수 있다. 다니엘 적분에 기초한 이 측정의 정의는 전통적인 르베그 측도와 동등한 것으로 보일 수 있다.

기존 제형에 비해 장점

이 일반적인 적분 구성 방법은 레베게의 전통적인 방법, 특히 기능 분석 분야에서 몇 가지 장점이 있다. 르베그와 다니엘 구조는 위에서 지적한 바와 같이, 일반적인 유한 가치 스텝 함수를 기본 함수로 선택한다면 동등하다. 그러나, 일체형의 정의를 좀 더 복잡한 영역으로 확대하려고 할 때(예: 선형 기능의 적분을 정의하려고 시도할 때), 대니엘 접근방식으로 완화되는 르베게그 건설을 이용하여 실질적인 어려움에 부딪친다.

폴란드의 수학자 얀 미쿠신스키는 절대 수렴 시리즈라는 개념을 이용하여 대안과 보다 자연스러운 대니엘 통합의 공식화를 이루었다. 그의 공식은 보치너 적분(Bochner 적분(Banach 공간에서 값을 취하는 매핑을 위한 르베그 적분)을 위해 작동한다. 미쿠신스키의 보조정리기는 null 세트는 언급하지 않고 적분을 정의할 수 있다. 그는 또한 대니얼 통합을 이용한 복수의 보치너 통합에 대한 변수 정리, 보치너 통합에 대한 푸비니의 정리 변화를 증명했다. 아스플룬드와 번가트가 쓴 이 책은 실제 가치 있는 기능에 대한 이 접근방식에 대한 명쾌한 처리를 담고 있다. 대니엘-미쿠신스키 접근법을 이용한 추상적인 라돈-니코디엠 정리의 증명도 제공한다.

참고 항목

• 르베그 적분
• 리만 적분
• 르베그-스티엘트제스 통합

참조

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