복소수를 사용하여 적분 평가
적분학 에서 복소수 에 대한 오일러 공식 은 삼각함수 를 포함하는 적분 을 평가하는 데 사용될 수 있습니다. 오일러 공식을 사용하면 임의의 삼각 함수를 복소 지수 함수, 즉 {\ displaystyle ^{ix}} 및 e {\ displaystyle e^{-ix}} 이 기법은 종종 삼각함수 항등식이나 부품에 의한 적분을 사용하는 것보다 더 간단하고 빠르며, 삼각함수를 포함하는 모든 유리식 을 적분하기에 충분히 강력합니다.[1]
오일러 공식 오일러 공식은 다음과 같습니다.
e i x = 코스 x + i 죄악 x . {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\,\sin x.} x {\ displaystyle -x } {\ }
e − i x = 코스 x − i 죄악 x {\displaystyle e^{-ix}=\cos x-i\,\sin x} 왜냐하면 코사인은 짝수함수이고 사인은 홀수이기 때문입니다. 이 두 방정식은 사인과 코사인에 대해 풀 수 있습니다.
코스 x = e i x + e − i x 2 그리고. 죄악 x = e i x − e − i x 2 i . {\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\quad {\text{and}}\quad \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}} 예 첫번째 예 적분을 고려합니다.
∫ 코스 2 x d x . {\displaystyle \int \cos ^{2}x\, dx.} 이 적분에 대한 표준 접근법은 적분을 단순화하기 위해 반각 공식 을 사용하는 것입니다. 대신 오일러 항등식을 사용할 수 있습니다.
∫ 코스 2 x d x = ∫ ( e i x + e − i x 2 ) 2 d x = 1 4 ∫ ( e 2 i x + 2 + e − 2 i x ) d x {\displaystyle {\begin{aligned}\int \cos ^{2}x\, dx\,&=\,\int \left ({\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\right)^{2} dx\[6pt]&=\,{\frac {1}{4}\int \left(e^{2ix}+2+e^{-2ix}\right) dx\end{aligned}} 이때 e e cos 2x 라는 공식을 사용하여 실수로 다시 바꾸는 것이 가능할 것입니다. 또는 복소 지수를 적분하여 끝까지 삼각 함수로 다시 변경하지 않을 수 있습니다.
1 4 ∫ ( e 2 i x + 2 + e − 2 i x ) d x = 1 4 ( e 2 i x 2 i + 2 x − e − 2 i x 2 i ) + C = 1 4 ( 2 x + 죄악 2 x ) + C . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{4}}\int \left(e^{2ix}+2+e^{-2ix}\right)dx&={\frac {1}{4}}\left({\frac {e^{2ix}}{2i}}+2x-{\frac {e^{-2ix}}{2i}}\right) +C\\[6pt]&={\frac {1}{4}}\left(2x+\sin 2x\right)+C. \end{align}}} 두번째 예 적분을 고려합니다.
∫ 죄악 2 x 코스 4 x d x . {\displaystyle \int \sin ^{2}x\cos 4x\, dx.} 이 적분은 삼각형 항등식을 사용하여 푸는 것은 매우 지루하지만 오일러 항등식을 사용하면 상대적으로 고통이 없습니다.
∫ 죄악 2 x 코스 4 x d x = ∫ ( e i x − e − i x 2 i ) 2 ( e 4 i x + e − 4 i x 2 ) d x = − 1 8 ∫ ( e 2 i x − 2 + e − 2 i x ) ( e 4 i x + e − 4 i x ) d x = − 1 8 ∫ ( e 6 i x − 2 e 4 i x + e 2 i x + e − 2 i x − 2 e − 4 i x + e − 6 i x ) d x . {\displaystyle {\begin{aligned}\int \sin ^{2}x\cos 4x\,dx&=\int \left({\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\right)^{2}\left({\frac {e^{4ix}+e^{-4ix}}{2}}\right)dx\\[6pt]&=-{\frac {1}{8}}\int \left(e^{2ix}-2+e^{-2ix}\right)\left(e^{4ix}+e^{-4ix}\right)dx\\[6pt]&=-{\frac {1}{8}}\int \left(e^{6ix}-2e^{4ix}+e^{2ix}+e^{-2ix}-2e^{-4ix}+e^{-6ix}\right)dx. \end{align}}} 이 시점에서 우리는 직접 적분할 수도 있고, 먼저 적분을 2 cos 6x - 4 cos 4x + 2 cos 2x로 변경하고 거기서 계속할 수도 있습니다. 두 방법 모두 다음을 제공합니다.
∫ 죄악 2 x 코스 4 x d x = − 1 24 죄악 6 x + 1 8 죄악 4 x − 1 8 죄악 2 x + C . {\displaystyle \int \sin ^{2}x\cos 4x\,dx=-{\frac {1}{24}}\sin 6x+{\frac {1}{8}}\sin 4x-{\frac {1}{8}}\sin 2x+C.} 실제 부품 사용하기 오일러의 항등식 외에도 복잡한 표현의 실수 부분 을 현명하게 활용하는 것이 도움이 될 수 있습니다. 예를 들어, 적분을 고려합니다.
∫ e x 코스 x d x . {\displaystyle \inte^{x}\cos x\, dx.} cos x e ix
∫ e x 코스 x d x = 레 ∫ e x e i x d x . {\displaystyle \inte^{x}\cos x\, dx=\operatorname {Re} \inte^{x}e^{ix}\, dx.} 오른쪽의 적분은 쉽게 평가할 수 있습니다.
∫ e x e i x d x = ∫ e ( 1 + i ) x d x = e ( 1 + i ) x 1 + i + C . {\displaystyle \int e^{x}e^{ix}\,dx=\int e^{(1+i)x}\,dx={\frac {e^{(1+i)x}}{1+i}}+C.} 따라서:
∫ e x 코스 x d x = 레 ( e ( 1 + i ) x 1 + i ) + C = e x 레 ( e i x 1 + i ) + C = e x 레 ( e i x ( 1 − i ) 2 ) + C = e x 코스 x + 죄악 x 2 + C . {\displaystyle {\begin{aligned}\inte^{x}\cos x\, dx&=\operatorname {Re} \left ({\frac {e^{(1+i)x}}{1+i}}\right) +C\\[6pt]&=e^{x}\operatorname {Re} \left({\frac {e^{ix}}{1+i}}\right) +C\\[6pt]&=e^{x}\operatorname {Re} \left({\frac {e^{ix}(1-i)}{2}}\right) +C\\[6pt]&=e^{x}{\frac {\cos x+\sin x}{2}}+C. \end{align}}} 분수 일반적으로 이 기법은 삼각함수를 포함하는 분수를 평가하는 데 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 적분을 고려합니다.
∫ 1 + 코스 2 x 코스 x + 코스 3 x d x . {\displaystyle \int {\frac {1+\cos ^{2}x}{\cos x+\cos 3x}}\, dx.} 오일러의 항등식을 이용하면 이 적분은
1 2 ∫ 6 + e 2 i x + e − 2 i x e i x + e − i x + e 3 i x + e − 3 i x d x . {\displaystyle {\frac {1}{2}}\int {\frac {6+e^{2ix}+e^{-2ix}}{e^{ix}+e^{-ix}+e^{3ix}+e^{-3ix}}}\,dx.} 이제 u x 유리함수 의 적분이 됩니다.
− i 2 ∫ 1 + 6 u 2 + u 4 1 + u 2 + u 4 + u 6 d u . {\displaystyle -{\frac {i}{2}}\int {\frac {1+6u^{2}+u^{4}}{1+u^{2}+u^{4}+u^{6 }}}\,du.} 하나는 부분 분율 분해 를 사용하여 진행할 수 있습니다.
참고 항목 참고문헌
대입하면 다음과 같은 식을 얻을
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \cos ^{2}x\,dx\,&=\,\int \left({\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\right)^{2}dx\\[6pt]&=\,{\frac {1}{4}}\int \left(e^{2ix}+2+e^{-2ix}\right)dx\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/477bcd8b7e0424bbab7594999c9a5157a119d1f4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{4}}\int \left(e^{2ix}+2+e^{-2ix}\right)dx&={\frac {1}{4}}\left({\frac {e^{2ix}}{2i}}+2x-{\frac {e^{-2ix}}{2i}}\right)+C\\[6pt]&={\frac {1}{4}}\left(2x+\sin 2x\right)+C.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/094b4102f3fcb40250e8417ebff895de2aed2b46)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \sin ^{2}x\cos 4x\,dx&=\int \left({\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\right)^{2}\left({\frac {e^{4ix}+e^{-4ix}}{2}}\right)dx\\[6pt]&=-{\frac {1}{8}}\int \left(e^{2ix}-2+e^{-2ix}\right)\left(e^{4ix}+e^{-4ix}\right)dx\\[6pt]&=-{\frac {1}{8}}\int \left(e^{6ix}-2e^{4ix}+e^{2ix}+e^{-2ix}-2e^{-4ix}+e^{-6ix}\right)dx.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/803fea23145359a202cb5de0ea639ddbfbc77b0f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int e^{x}\cos x\,dx&=\operatorname {Re} \left({\frac {e^{(1+i)x}}{1+i}}\right)+C\\[6pt]&=e^{x}\operatorname {Re} \left({\frac {e^{ix}}{1+i}}\right)+C\\[6pt]&=e^{x}\operatorname {Re} \left({\frac {e^{ix}(1-i)}{2}}\right)+C\\[6pt]&=e^{x}{\frac {\cos x+\sin x}{2}}+C.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65e9c7fbcba2dfcd2ca6dab6894ec6bb9e21f128)
