셸 통합

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v t

쉘 통합(적분 미적분의 쉘 방식)은 혁명의 축에 수직인 축을 따라 통합할 때 회전 고체의 부피를 계산하는 방법이다. 이는 혁명의 축에 평행하게 축을 따라 통합되는 디스크 통합과는 대조적이다.

정의

셸 방법은 다음과 같다. y축을 중심으로 xy 평면의 단면을 회전시켜 얻은 3차원의 볼륨을 고려한다. 단면이 [a, b] 간격의 양의 함수 f(x) 그래프에 의해 정의된다고 가정합시다. 볼륨의 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}pi(x)\,dx}$

함수가 y 좌표이고 회전 축이 x 축이면 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}yf(y)\,dy}$

함수가 선 x = h를 중심으로 회전하는 경우 공식은 다음과 같이 된다.^[1]

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(x-h)f(x)\,dx,&{\text{if}}\ h\leq a<b\\\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(h-x)f(x)\,dx,&{\text{if}}\ a<b\leq h,\end{cases}}}$

그리고 y = k 주위의 회전은

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(y-k)f(y)\,dy,&{\text{if}}\ k\leq a<b\\\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(k-y)f(y)\,dy,&{\text{if}}\ a<b\leq k.\end{case}}}$

이 공식은 극좌표에서 이중 적분을 계산하여 도출한다.

예

[1, 2] 구간에 대한 단면이 다음과 같이 정의되는 볼륨을 고려하십시오.

${\displaystyle y=(x-1)^{2}(x-2)^{2}}$

디스크 통합의 경우, 우리는 x 주어진 y에 대해 해결해야 할 것이며 볼륨이 중간에서 비어있기 때문에 우리는 내부 고체와 외부 고체를 정의한 두 가지 기능을 찾을 것이다. 이 두 기능을 디스크 방법과 통합한 후에 우리는 원하는 볼륨을 산출하기 위해 그것들을 뺄 것이다.

셸 방식으로는 다음 공식만 있으면 된다.

${\displaystyle 2\pi \int _{1}^{2}x(x-1)^{2}(x-2)^{2}\,dx}$

다항식을 확장함으로써 적분은 매우 단순해진다. 결국 우리는 볼륨이 π/10입방 단위.

참고 항목

• 솔리드 오브 레볼루션
• 디스크 통합

참조

• Weisstein, Eric W. "Method of Shells". MathWorld.
• 프랭크 에이어스, 엘리엇 멘델슨. Schaum의 개요: 미적분학. McGraw-Hill Professional 2008, ISBN 978-0-0-07-150861-2. 페이지 244–248(온라인 카피, 페이지 244, Google 북스)