선형 다단계 방법

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일반 미분방정식의 수치해결에는 선형 다단계 방법이 사용된다.개념적으로 수치적 방법은 초기 지점에서 시작한 다음, 다음 해결점을 찾기 위해 시간적으로 짧게 한 걸음 전진한다.그 과정은 솔루션을 설계하기 위한 후속 단계를 계속한다.단단계 방법(예: 오일러 방법)은 현재 값을 결정하기 위한 이전 포인트와 파생 포인트 하나만 가리킨다.룬게-쿠타 등의 방법은 일부 중간 단계(예: 반 단계)를 취하여 더 높은 주문 방법을 얻지만, 두 번째 단계를 밟기 전에 이전의 모든 정보를 폐기한다.멀티스테프 방식은 정보를 폐기하지 않고 이전 단계의 정보를 유지하고 사용함으로써 효율성을 얻으려고 시도한다.따라서 다중 단계 방법은 몇 가지 이전 포인트와 파생상품 가치를 가리킨다.선형 다단계 방법의 경우 이전 포인트와 파생상품 값의 선형 결합을 사용한다.

정의들

일반적인 미분방정식의 수치적 방법은 형태 초기값 문제에 대한 근사치 해법

${\displaystyle y'=f(t,y),\display y(t_{0})=y_{0}.}$

${\displaystyle {결과}_{}}$는 이산 시간 $t$ ${\$에서 $y{\displaystyle }$ (${\displaystyle t}$) ${\displaystyle y(t)}$ 값에 대한 근사치 입니다$.$

${\displaystyle y_{i}\관련 y(t_{i})\reason {\text}\where}\reason t_{i}=t_{0}+ih,}$

여기서 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$은 시간 단계(때로는 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \Delta$ t$\})$이고 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$은 정수다$$.

Multistep 메소드는 $이전$$$s {\$displaystyle s}$ 단계의 정보를 사용하여 다음 값을 계산한다.특히 선형 다단계 방법은 ${\displaystyle y_{}}$ $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\$와 $f{\displaystyle (t_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle y_{}}$ $){\displaystyle f(t_{i}},y_{i}}}})$의 선형 조합을 사용하여$$ 원하는 현재 단계에 대한$$ $y{\displaystyle }$ ${\displaysty$ y$}$의 값을 계산한다.따라서, 선형 다단계 방법은 형태의 방법이다.

${\displaystyle{\begin{정렬}&, y_{n+s}+a_{s-1}\cdot y_{n+s-1}+a_{s-2}\cdot y_{n+s-2}+\cdots +a_{0}\cdot y_{n}\\&,\qquad{}=h\cdot \left(b_{s}\cdot f(t_{n+s},y_{n+s})+b_{s-1}\cdot f(t_{}n+s-1 ,y_{n+s-1})+\cdots(f(t_{n},y_{n})\right)\\&amp을 말한다.\Leftrightarrow \sum _{j=0}^{s}a_{j}y_{n+j}=h\sum _ᆭ^ᆮb_ᆯf(t_{n+j},y_{n+j}),\end{정렬}}}$

${\displaystyle s_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a_{s}=1}$인 경우$.$계수 $a{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {\mathrm{s}}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$ $b$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{},}$ … ${\displaystyle {}_{}{s}_{}}$ ${\$이 방법을 결정한다$$.방법 설계자는 계수를 선택하여 적용하기 쉬운 방법을 얻고자 하는 욕구와 실제 솔루션에 대한 좋은 근사치를 얻어야 하는 필요성의 균형을 맞춘다.종종 많은 계수가 방법을 단순화하기 위해 0이 된다.

명시적 방법과 암묵적 방법을 구별할 수 있다.$b{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle b_{s}=0$일 경우 ${\displaystyle {\mathrm{공식}}_{}}$은 y n${\displaystyle {}_{}}$+ s ${\$을(를) 직접 계산할 수 있으므로 방법을 "explicit"이라고 한다$.$If ${\displaystyle b_{s}\neq 0}$ then the method is called "implicit", since the value of ${\displaystyle y_{n+s}}$ depends on the value of ${\displaystyle f(t_{n+s},y_{n+s})}$, and the equation must be solved for ${\displaystyle y_{n+s}}$.뉴턴의 방법과 같은 반복적인 방법은 암묵적 공식을 푸는 데 종종 사용된다.

$때로는{\displaystyle {}_{}}$ y ${\displaystyle n_{}}$+ ${\displaystyle s_{}}$ ${\$의 값을 "예측"하기 위해 명시적인 다중 단계 방법을 사용하기도 한다$.$그 값은 그 값을 "수정"하기 위해 암묵적 공식에 사용된다.결과는 예측 변수-코렉터 방법이다.

예

예를 들어 문제를 고려하십시오.

$[\displaystyle y'=f(t,y)=y,\display y(0)=1]}$

정확한 용액은 $y{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$ ${\$ y$(t)=e^{t}}$ 입니다$.$

원스텝 오일러

간단한 숫자 방법은 오일러의 방법이다.

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}).}$

오일러의 방법은 한 단계의 퇴보적인 경우에 대한 명시적인 다단계 방법으로 볼 수 있다.

문제$$ $y{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle$ $h={\tfrac {1}{2}}:$ step size $h{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\$ $y'=$y}을$($를$)$ 적용한 이 방법은 다음과 같은 결과를 제공한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=y_{0}+hf(t_{0},y_{0})=1+{\tfrac {1}{2}}\cdot 1=1.5,\\y_{2}&=y_{1}+hf(t_{1},y_{1})=1.5+{\tfrac {1}{2}}\cdot 1.5=2.25,\\y_{3}&=y_{2}+hf(t_{2},y_{2})=2.25+{\tfrac {1}{2}}\cdot 2.25=3.375,\\y_{4}&=y_{3}+hf(t_{3},y_{3})=3.375+{\tfrac {1}{2}}\cdot 3.375=5.0625.\end{정렬}}}$

2단계 애덤스-바시포스

오일러의 방법은 1단계 방법이다.간단한 다단계 방법은 2단계 Adams-Bashforth 방법이다.

${\displaystyle y_{n+2}=y_{n+1}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{n+1},y_{n+1}-{\tfrac {1}{1}{1}{2}}hf(t_{n_},y_{n}).}$

이 방법은 $다음{\displaystyle {}_{}}$ $값$인 ${\displaystyle {yn}_{}}$+ ${\displaystyle 2_{}}${\$displaystyle$y_${n+1$}와$$ $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}${\$displaystyle y_{n}{$n$+$2$}}$을 계산하기 위해 yn + ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$2$\}\}.$그러나 초기값 문제는 $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle y_{0}=1}$라는 하나의 값만 제공한다$.$ 이 문제를 해결할 수 있는 한 가지 가능성은 오일러의 방법으로 계산한$$ y ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\${1$}$를 두 번째 값으로 사용하는 것이다.이 선택으로 아담스-바시포스 방법은 다음을 산출한다(4자리수로 반올림).

${\displaystyle{\begin{정렬}y_{2}&, =y_{1}+{\tfrac{3}{2}}hf(t_{1},y_{1})-{\tfrac{1}{2}}hf(t_{0}일 경우 ,y_{0})=1.5+{\tfrac{3}{2}}\cdot{\tfrac{1}{2}}\cdot 1.5-{\tfrac{1}{2}}\cdot{\tfrac{1}{2}}\cdot 1=2.375,\\y_{3}&, =y_{2}+{\tfrac{3}{2}}hf(t_{2},y_{2})-{\tfrac{1}{2}}hf(t_{1},y_{1})=2.375+{\tfrac{3}{2}}\cdot{\tfrac{1}{2}}\cdot 2.375-{\tfr.교류{1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 1.5=3.7812,\\y_{4}&=y_{3}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{3},y_{3})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{2},y_{2})=3.7812+{\tfrac {3}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 3.7812-{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 2.375=6.0234.\end{정렬}}}$

$t{\displaystyle }$= ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$ =${\displaystyle {}_{}}$ 4 = ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle t=$t_${4$}=$2}$의 정확한 해법은 $e{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= 7${\displaystyle .3891}$… ${\displaystyle e^{2}=7.3891\ldots$ $\}$이므로 2단계 아담스-바시포스 방법은 오일러의 방법보다 정확하다.스텝 사이즈가 충분히 작을 경우 항상 그러하다.

다단계 방법의 패밀리

선형 다단계 방법의 세 가지 패밀리가 일반적으로 사용된다.Adams-Bashforth 방법, Adams-Moulton 방법 및 역분화 공식(BDFs)

애덤스-바시포스 방법

아담스-바시포스 방법은 노골적인 방법이다.$계수$는 ${\displaystyle s_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\$$displaystyle$ $a_{s-1}=-1},$ ${\displaystyle {\mathrm{s<img\; alt="a\_\{\{s-1\}\}=-1"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/cc22c088a286bffe2090097dbaf3a9951d855273"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:10.403ex;\; height:2.509ex;"\; papago-attr-id="117">}}_{}}$- $2{\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \cdots }$= ${\displaystyle 0{}_{}}$= ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ = 0 ${\displaystyle a_{s-2}=\cdots$= $a_$${0$$}=0$}=0$},$ b ${\displaystyle j_{}}$는 방법이 s를 가지도록 선택한다$($이 방법은 고유하게 결정).

s = 1, 2, 3, 4, 5를 사용하는 아담스-바시포스 방법은 다음과 같다(Hairer, Nørsett & Wanner 1993, §III.1; Puther 2003, 페이지 103).

${\displaystyle {\begin}y_{n+1}&=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}),\qquad {\text{(이것이 오일러 방법)}}\\y_{n+2}&, =y_ᆰ+h\left({\frac{3}{2}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac{1}{2}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+3}&, =y_ᆴ+h\left(f(t_{n+2},y_{n+2}{\frac{23}{12}})-{\frac{16}{12}}f(t_{n+1},y_{n+1})+{\frac{5}{12}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+4}&, =y_ᆺ+h\left({\frac{55}{24}}f(t_{n+3},y_{n+3})-{\frac{59}{24}}f(t_{n+2},y_{n+2})+{\frac{37}{.24}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {9}{24}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+5}&=y_{n+4}+h\left({\frac {1901}{720}}f(t_{n+4},y_{n+4})-{\frac {2774}{720}}f(t_{n+3},y_{n+3})+{\frac {2616}{720}}f(t_{n+2},y_{n+2})-{\frac {1274}{720}}f(t_{n+1},y_{n+1})+{\frac {251}{720}}f(t_{n},y_{n})\right).\end{정렬}}}$

계수 $b{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$는 다음과 같이 결정할 수 있다$$.다항식 보간법을 사용하여 다음과 같이$$ $도{\displaystyle \mathrm{s}}$ -$$1의 $다항식$ p를 찾으십시오$.$

${\displaystyle p(t_{n+i})=f(t_{n+i},y_{n+i}),\qquad {\text{{}i=0,\ldots ,s-1.}$

다항 보간 수율에 대한 라그랑주 공식

${\displaystyle p(t)=\sum _{j=0}^{s-1}{\frac {(1)^{s-j-1}f(t_{n+j},y_{n+j}}}}{j!(s-j-1)!h^{s-1}}\prod _{i=0 \atop i\neq j}^{s-1}(t-t_{n+i}).}$

다항식 p는 해결해야$$ 할 미분방정식 $y{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle f}$(${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle$ y$'=f(t,y)}$의 우측에 대한 국소적으로 좋은 근사치이므로 대신$$ $y{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle p}$ (${\displaystyle t}$) ${\displaystyle$ y$'=p(t)}$을 고려한다.이 방정식은 정확히 풀 수 있다; 해결책은 p의 정수일 뿐이다.이것은 시간이 걸리는 것을 암시한다.

${\displaystyle y_{n+s}=y_{n+s-1}+\int_{n+s-1}^{t_{n+s:1}}p(t)\,dt.}$

애덤스-바시포스 방법은 p의 공식이 대체될 때 발생한다.계수 $b{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$이(가) 주어지는 것으로 확인됨$$

${\displaystyle b_{s-j-1}={\frac {(-1)^{j}{j!(s-j-1)!}}}\int _{0}^{1}\prod _{i=0 \atop i\neq j}^{s-1(u+i)\,du,\qquad {\text{}{}j=0,\ldots ,s-1의 경우.}$

$f{\displaystyle }$ ( t${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle f(t,$y)}을$(를)$ 보간 p로 대체하면^s 순서 h의 오류가 발생하며, s-step Adams-Bashforth 방법이 실제로 s를 주문하였음을 따른다(Iserles 1996, §2.1).

아담스-바시포스 방법은 존 카우치 애덤스가 프랜시스 바시포스 때문에 모세관 작용을 모델링하는 미분 방정식을 해결하기 위해 고안한 것이다.바쉬포스(1883)는 자신의 이론과 아담스의 수치적 방법(Goldstine 1977)을 발표했다.

애덤스-물턴 방식

The Adams–Moulton methods are similar to the Adams–Bashforth methods in that they also have ${\displaystyle a_{s-1}=-1}$ and ${\displaystyle a_{s-2}=\cdots =a_{0}=0}$. Again the b coefficients are chosen to obtain the highest order possible.그러나 애덤스-몰튼 방법은 암묵적인 방법이다.${\displaystyle b_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle b_{s}=0$ s-step Adams-Moulton $메서드$는${\displaystyle \mathrm{s}}$ +$$1 {\$displaysty s+$1},$$s-step Adams-Bashforth 메서드는 s만 가질 수 있다는 제한을 제거함.

s = 0, 1, 2, 3, 4의 아담스-물튼 방법은 다음과 같다(Hairer, Nørsett & Wanner 1993, §II.1; 쿼터니, Sacco & Saleri 2000).

${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ -${\displaystyle 1_{}}$+ h ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle t_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$, y ${\displaystyle n_{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle y_{n}=y_{n-1}+hf(t_{n},y_{n}),}$ 이것은 후진 오일러 방법이다.

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{\frac {1}{2}}h\left(f(t_{n+1},y_{n+1})+f(t_{n},y_{n})\right),}$ This is the trapezoidal rule

${\displaystyle{\begin{정렬}y_{n+2}&, =y_ᆱ+h\left(f(t_{n+2},y_{n+2}{\frac{5}{12}})+{\frac{8}{12}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac{1}{12}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+3}&, =y_ᆷ+h\left(f(t_{\frac{9}{24}}{n+3},y_{n+3})+{\frac{19}{24}}f(t_{n+2},y_{n+2})-{\frac{5}{24}}f(t_{n+1},y_{n+1})+{\frac{1}{24}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+4}&, =y._{n+3}+h\left({\frac {251}{720}}f(t_{n+4},y_{n+4})+{\frac {646}{720}}f(t_{n+3},y_{n+3})-{\frac {264}{720}}f(t_{n+2},y_{n+2})+{\frac {106}{720}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {19}{720}}f(t_{n},y_{n})\right).\end{정렬}}}$

아담스-물튼 방법의 유래는 아담스-바시포스 방법의 유래와 유사하지만, 보간 다항식은 위의 점 $t{\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle {}_{}\dots ,}$ ${\displaystyle t_{}}$ -${\displaystyle {}_{}}$s ${\$ t $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\$n-s$\}$을 사용할 뿐만 $아니라$ t{$}$도 있다.계수는 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle b_{s-j}={\frac {(-1)^{j}}{j!(s-j)!}}}\int _{0}^{1}\prod _{i=0 \atop i\neq j}^{s}\,du,\qquad {\text{}{}j=0,\ldots,s.}$

애덤스-몰튼 방법은 애덤스-바시포스 방식처럼 오로지 존 카우치 애덤스 덕분이다.Forest Ray Moulton의 이름은 예측자-코렉터 쌍(Moulton 1926), 밀느(1926)가 같은 생각을 가지고 있었기 때문에 아담스-바시포스 방법과 함께 사용될 수 있다는 것을 깨달았기 때문에 이러한 방법들과 연관되게 되었다.아담스는 뉴턴의 방법을 사용하여 암묵적 방정식을 풀었다(Hairer, Nørsett & Wanner 1993, §III.1).

역분화 공식(BDF)

주요기사 : 역분화식

${\displaystyle {\mathrm{BDF}}_{}}$ 방법은 $b{\displaystyle {}_{}}$ -${\displaystyle 1_{}}$= ${\displaystyle \cdots }$= ${\displaystyle \mathrm{b}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$= 0 ${\displaystyle b_{s-1}=\cdots =b_{0}=0}$을(를) 갖는 암묵적 방법이며$$, 이 방법이 순서 s(최대 가능)를 달성하도록 선택한 다른 계수들이다.이러한 방법은 특히 경직된 미분방정식의 해법에 사용된다.

분석

선형 다단계 방법 분석에서 중심 개념과 실제로 미분방정식에 대한 모든 수치적 방법은 수렴, 순서, 안정성이다.

일관성 및 순서

첫 번째 질문은 방법이 일관성이 있는가 하는 것이다: 차이 방정식이다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{s}y_{n+s}+a_{s-1}y_{n+s-1}+a_{s-2}y_{n+s-2}+\cdots +a_{0}y_{n}\\&\qquad {}=h{\bigl (}b_{s}f(t_{n+s},y_{n+s})+b_{s-1}f(t_{n+s-1},y_{n+s-1})+\cdots +b_{0}f(t_{n},y_{n}){\bigr )},\end{aligned}}}$

미분 방정식 $y{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle t}$, y )${\displaystyle$ y$'=f(t,y)}$의 좋은 근사치$$? 보다 정확히 말하면, 국소 절단 오차가 0으로 가면서 스텝 크기 h보다 빠르게 0으로 가는 경우 멀티 스텝 방법이 일치하며, 여기서 국소 절단 오차는 결과 $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$+$$s $사이$의 차이로 정의된다.$splaystyle y_{n+s}$의 모든$$ 이전 값 ${\displaystyle {yn}_{}}$+ ${\displaystyle s_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$이(가) 정확하다고$$ 가정하고, $시간{\displaystyle {}_{}}$ t${\displaystyle n_{}}$ + ${\displaystyle s_{}}${\$displaystystyt t_{n+$s}}}의 정확한 방정식 해법$.$Taylor 시리즈를 사용한 연산에서는 다음과 같은 경우에만 선형 다단계 방법이 일치한다는 것을 보여준다.

${\displaystyle \sum_{k=0}^{s-1}a_{k}-1\cHB\{k}b_{k}=s+\sum _{k=0}^{s-1}k_{k}k}k}.}$

위에서 언급한 모든 방법은 일관된다(Hairer, Nørsett & Wanner 1993, §III.2).

방법이 일관성이 있다면 다음 질문은 숫자 방법을 정의하는 차이 방정식이 미분 방정식과 얼마나 근사하게 일치하느냐 하는 것이다.다단계 방법은 h가 0으로 가면서$$ 국소 오차가 $O{\displaystyle ({}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$) ${\displaystyle O(h^{p+1})$이면 오더 p가 있다고 한다.이는 방법 계수에 대한 다음과 같은 조건에 해당한다.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{s-1}a_{k}=-1\quad {\text{and}}\quad q\sum _{k=0}^{s}k^{q-1}b_{k}=s^{q}+\sum _{k=0}^{s-1}k^{q}a_{k}{\text{ for }}q=1,\ldots ,p.}$

s-step Adams-Bashforth 방법은 s를, s-step Adams-Moulton 방법은 ${\displaystyle \mathrm{s}}$+ 1 ${\displaystyle s+1$}을$($Hairer, Nørsett & Wanner 1993, §II.2)를 갖는다.$$

이러한 조건은 종종 특성 다항식을 사용하여 공식화된다.

${\displaystyle \rho(z)=z^{s}+\sum _{k=0}^{k-1}a_{k}z^{k}\cHB{\text{and}}\cHB(z)=\sum _{k=0}b_{k}z^{k}.}$

이러한 다항식 측면에서, 오더 p를 갖는 방법에 대한 위의 조건은 다음과 같다.

${\displaystyle \rho(\mathrm {e}^{h}-h}-h\ma(\mathrm {e}^{h}=)O(h^{p+1})\quad {\text{as }h\to 0.}$

특히 하나 이상의 순서가 있을 경우 방법이 일치하는데, 이는 $\rho {\displaystyle }$($1$) = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle \rho$(1)=$0$$},$${\displaystyle {}^{}\mathrm{\rho }}$( 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \sigma }$( ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \rho '(1)=\sigma$(1$)}$의 경우다$.$

안정성과 수렴성

1단계 방법의 숫자 해법은 초기 ${\displaystyle {조건\mathrm{}}_{}}$ $y{\displaystyle {}_{}}$ 0 ${\$에 따라 다르지만, s단계 방법의 숫자 해법은 모든 s 시작 값 y $0{\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {\mathrm{y}}_{}}$- 1 ${\$0},$y_{1},\ldots,y_{s-1$ 숫자 해법이 찌르느냐의 관심이다.시작 값의 동요와 관련하여.ε 크기의 시작값의 섭동이 단계 크기 h에 의존하지 않는 K의 일부 값에 대해 그 시간 간격에 걸쳐 숫자 해법이 Kε 이하로 변화하게 하는 경우, 주어진 시간 간격의 특정 미분 방정식에 대해 선형 다단계 방법은 0이 된다.이것은 $미분방정식{\displaystyle {}^{}}$ y${\displaystyle {}^{}=}$ = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle$ y$'=0}$의 조건을 확인하는 것으로 충분하기 때문에 "제로안정성"이라고 불린다($$Süli & Mayers 2003, 페이지 332).

특성 다항식 ρ의 뿌리가 모두 1보다 작거나 같은 계수를 가지고 있고 계량 1의 뿌리가 다항성 1이라면, 우리는 그 근본 조건이 충족된다고 말한다.선형 다단계 방법은 루트 조건이 충족되는 경우에만 제로가 가능하다(Süli & Mayers 2003, 페이지 335).

이제 일관적인 선형 다중 단계 방법이 충분히 부드러운 미분 방정식에 적용되고 시작 값 y ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {\mathrm{y}}_{}}$ -${\displaystyle 1_{}}$ ${\$ 모두$$ $초기{\displaystyle }$ 값 y ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 h${\displaystyle }$→ ${\displaystyle h\to$ 0$}$으로 수렴한다고 가정합시다$.$그런$$ 다음, 방법이 0이 될 경우에만 숫자 $용액$이${\displaystyle \mathrm{h}}$ → 0$${\$displaystyle h\to$ 0$}$으로 정확한 용액으로 수렴한다.이 결과는 게르문트 달퀴스트의 이름을 딴 달퀴스트 등가정리라고 알려져 있다. 이 정리는 유한차법에 대한 릴랙스 등가정리 정리와 정신이 비슷하다.나아가, 방법에 순서 p가 있는 경우, 글로벌 오차(${\displaystyle {}^{}}$ 솔루션과 정해진 시간에 정확한 해결책의 차이)는 O${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}{h}^{}}$ ) ${\$displaystyle $O(h^{p})}$이다($$Süli & Mayers 2003, 페이지 340).

나아가 방법이 수렴되는 경우,${\displaystyle }z{\displaystyle }$ = ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ z$=1$}이$($가) 계수 1의 유일한 뿌리일 경우 그 방법은 강하게 안정되어 있다고 한다.수렴성이고 계수1의 모든 뿌리가 반복되지 않지만 그런 뿌리가 하나 이상 있으면 비교적 안정성이 있다고 한다.1은 방법이 수렴되려면 뿌리가 되어야 한다. 따라서 수렴 방법은 항상 이 두 가지 중 하나이다.

경직 방정식에서 선형 다중 단계 방법의 성능을 평가하려면 선형 시험 방정식 y' = λy를 고려한다.단계 크기 h로 이 미분방정식에 적용된 다단계 방법은 특성 다항식과의 선형 재발 관계를 산출한다.

${\displaystyle \pi(z;h\h\dada )=(1-h\dada \pi_{s}z^{s}+\sum _{k=0}^{k=0}(\c){k}-h_z^{k}=\rh_\rda \dama(z).}$

이 다항식을 다단계의 안정성 다항식이라고 한다.모든 뿌리가 1보다 작은 계수를 가지면 다단계 방법의 수치적 용액은 0으로 수렴되며 다단계 방법은 hλ의 값에 대해 절대적으로 안정적이라고 한다.이 방법은 음의 실제 부분을 가진 모든 hλ에 대해 절대적으로 안정적이면 A-안정적이라고 한다.절대 안정성의 영역은 멀티 스텝 방법이 절대적으로 안정된 모든 hλ의 집합이다(Süli & Mayers 2003, 페이지 347 & 348).자세한 내용은 뻣뻣한 방정식과 다중 단계 방법에 대한 섹션을 참조하십시오.

예

Adams-Bashforth 3단계 방법 고려

${\displaystyle y_{n+3}=y_{n+2}+h\left23 \over 12}f(t_{n+2},y_{n+2})-{4 \over 3}f(t_{n+1},y_{n+1}+1}+{5 \cover 12}f(t_{n}y_}}}y_{n}}})\rig}\rig}오른쪽).}$

한 가지 특성 다항식은 다음과 같다.

${\displaystyle \rho (z)=z^{3}-z^{2}=z^{2}(z-1)\,}$

루트 $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle z=0,1}$이$($가) 있고 위의 조건이 충족된다.$z{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle z=1$}이$($가) 계수 1의 유일한 루트인 만큼 방법은 강하게 안정적이다.

또 다른 특징적인 다항식은

${\displaystyle \fracma (z)={\frac {23}{12}}z^{2}-{\frac {4}{3}z+{\frac {5}{12}}}}}}$

1, 2차 달퀴스트 장벽

이 두 결과는 Germund Dahlquist에 의해 증명되었으며 수렴 순서와 선형 다단계 방법의 A-안정성에 대한 중요한 결합을 나타낸다.첫 번째 달퀴스트 장벽은 달퀴스트(1956년)에서, 두 번째 달퀴스트(1963년)에서 증명되었다.

제1차 달퀴스트 장벽

첫 번째 달퀴스트 장벽은 0-안정적이고 선형적인 q-step 다단계 방법은 q가 홀수일 경우 q + 1보다 크고 q + 2보다 크면 q + 2보다 큰 수렴 순서를 달성할 수 없다고 명시한다.방법이 명시적이면 q보다 큰 명령을 얻을 수 없다(Hairer, Nørsett & Wanner 1993, Thm III.3.5).

제2차 달퀴스트 장벽

두 번째 달퀴스트 장벽은 명시적인 선형 다단계 방법은 A-안정적이지 않다고 명시한다.

참고 항목

• 디지털 에너지 이득

참조

• Bashforth, Francis (1883), An Attempt to test the Theories of Capillary Action by comparing the theoretical and measured forms of drops of fluid. With an explanation of the method of integration employed in constructing the tables which give the theoretical forms of such drops, by J. C. Adams, Cambridge.
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• Süli, Endre; Mayers, David (2003), An Introduction to Numerical Analysis, Cambridge University Press, ISBN 0-521-00794-1.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Adams Method". MathWorld.