양자 불연속성

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양자역학
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial t}{\psi(t)\rangele ={\hat {H} \psi(t)\rangele }}$ 슈뢰딩거 방정식
소개 용어집 역사
배경 고전역학 구양자론 브라-켓 표기법 해밀턴어 간섭
기초 상보성 탈착성 얽힘 에너지 레벨 측정 비균등성 양자수 주 중첩 대칭 튜닝링 불확실성 파동함수 무너지다
실험 벨의 부등식 다비슨-제르머 더블 슬릿 엘리추르 바이드만 프랑크-헤르츠 레게트-가그 부등식 마하-젠더 포퍼 양자 지우개 지연선택 슈뢰딩거의 고양이 스턴-제라흐 휠러의 지연 선택
공식화 개요 하이젠베르크 상호작용 매트릭스 위상공간 슈뢰딩거 누적 이력(경로 적분)
방정식 디락 클라인-고든 파울리 뤼드베르크 슈뢰딩거
해석 개요 베이시안 일관된 이력 코펜하겐 드 브로글리-봄 앙상블 숨겨진 변수 국부적 다세계 객관적 붕괴 양자 논리 관계성 트랜잭션
고급 주제 상대론적 양자역학 양자장 이론 양자정보과학 양자 컴퓨팅 양자 혼돈 밀도 행렬 산란 이론 양자통계역학 양자기계학습
과학자들 아하로노프 벨 베테 블랙켓 블로흐 봄 보어 태어난 보스 드 브로글리 콤프턴 디락 다비송 데비예 에렌페스트 아인슈타인 에버렛 포크 페르미 파인만 글라우버 구츠윌러 하이젠베르크 힐베르트 조던 크레이머스 파울리 양고기 란다우 라우에 모즐리 밀리칸 오네스 플랑크 라비 라만 뤼드베르크 슈뢰딩거 시몬스 소머펠트 폰 노이만 바일 빈 위그너 지만 질링거
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양자 불변성은 물리적 시스템의 설명에 있어 명백하게 필요한 불완전성으로, 양자 물리학의 표준 설명의 특성 중 하나가 되었다. 양자물리학 이전에는 다음과 같이 생각되었다.

(a) 물리적 시스템은 측정 가능한 특성의 모든 값을 고유하게 결정하는 결정 상태를 가지며, 반대로

(b) 상태를 고유하게 결정한 측정 가능한 속성의 값.

양자 불변성은 관측 가능한 측정 결과의 집합에 대한 확률 분포로 정량적으로 특성화할 수 있다. 분포는 시스템 상태에 의해 고유하게 결정되며, 더욱이 양자 역학은 이 확률 분포를 계산하는 방법을 제공한다.

측정에 있어서의 불변성은 양자역학의 혁신이 아니었는데, 그 이유는 일찍이 실험자들에 의해 측정의 오류가 불확실한 결과를 초래할 수 있다는 것이었기 때문이다. 그러나 18세기 후반에 이르러 측정 오차가 잘 이해되었고 더 나은 장비에 의해 감소되거나 통계 오류 모델에 의해 설명될 수 있는 것으로 알려져 있다. 그러나 양자역학에서 불연속성은 오류나 교란과는 전혀 관계가 없는 훨씬 근본적인 성질의 것이다.

측정

양자 불변성의 적절한 설명은 측정 이론을 필요로 한다. 양자역학이 시작된 이래 많은 이론들이 제안되어 왔으며 양자측정은 이론물리학이나 실험물리학 모두에서 활발한 연구영역이 되고 있다.^[1] 아마도 수학 이론의 첫 번째 체계적인 시도는 존 폰 노이만에 의해 개발되었을 것이다. 그가 조사한 측정의 종류는 현재 투영 측정이라고 불린다. 그 이론은 차례로 최근에 개발된 (본 노이만이 독자적으로 마샬 스톤에 의해 개발) 자칭 연산자에 대한 투영 가치 측정 이론과 양자 역학의 힐버트 공간 공식 (본 노이만이 폴 디락에게 제안)에 기초하였다.

이 공식에서 물리적 시스템의 상태는 복잡한 숫자에 걸쳐 힐버트 공간 H에서 길이 1의 벡터에 해당한다. 관측 가능은 H에 있는 자기 적응자(즉, 에르미트어) 연산자 A로 표현된다. H가 유한 치수인 경우 스펙트럼 정리에 의해 A는 고유 벡터의 정사각형 기초를 가진다. 시스템이 상태 ψ인 경우, 측정 직후 시스템이 A의 고유 벡터 e인 상태를 점유하고 관측값 λ은 등식 A e = λ e의 해당 고유값이 된다. 일반적으로 측정은 결정적이지 않을 것이라는 것은 바로 여기서부터이다. 더욱이 양자역학은 초기 시스템 상태가 ψ인 경우 가능한 결과에 대한 확률 분포 Pr을 계산하는 방법을 제공한다. 확률은

${\displaystyle \operatorname {Pr}(\lambda )=\langle \operatorname {E}(\lambda )\psi \mid \psi \angle }$

여기서 E(λ)는 고유값 λ을 가진 A의 고유 벡터 공간에 투영하는 것이다.

예

이 예에서는 자유도의 스핀 정도만을 고려하는 단일 스핀 1/2 입자(전자 등)를 고려한다. 해당 힐버트 공간은 2차원 복합 힐버트 공간 C로², 각 양자 상태는 단위² 벡터에 해당하는 C(상상까지 고유함)이다. 이 경우 상태공간은 오른쪽 그림에서 보듯이 구의 표면으로 기하학적으로 표현할 수 있다.

Pauli spin matrises

${\displaystyle \sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

자음점이며 3개의 좌표 축을 따라 스핀 축에 대응한다.

Pauli 행렬은 모두 고유값 +1, -1을 가지고 있다.

• σ의₁ 경우 이러한 고유값은 고유 벡터에 해당한다.

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}(1,1){\frac {1}{\sqrt {2}}(1,-1)}$

• σ의₃ 경우 고유 벡터에 해당한다.

${\displaystyle (1,0), (0,1)\message }$

따라서 주에서는

${\displaystyle \cHB ={\frac {1}{\sqrt{2}}(1,1),}$

σ은₁ 결정값 +1을 가지는 반면, while의₃ 측정은 확률 1/2로 각각 +1, -1을 산출할 수 있다. 실제로 σ과₁ σ의₃ 측정이 모두 결정값을 갖는 상태는 없다.

위의 난해한 주장에 대해 물어볼 수 있는 다양한 질문들이 있다.

1. 겉보기 불변성은 사실 결정론적으로 해석될 수 있는가, 그러나 현재 이론에서 모델링되지 않은 양에 의존할 수 있는가, 따라서 불완전할 수 있는가? 더 정확히 말하면, 통계적 난해성을 완전히 고전적인 방법으로 설명할 수 있는 숨겨진 변수가 있는가?
2. 난연성은 측정되는 시스템의 교란으로 이해될 수 있는가?

폰 노이만은 질문 1)을 공식화하여, 자신이 제안하고 있는 형식주의를 받아들이면 왜 아니라고 대답해야 하는지에 대한 논거를 제공했다. 그러나 벨에 따르면 폰 노이만의 형식적인 증거는 그의 비공식적인 결론을 정당화하지 못했다.^[2] 1)에 대한 결정적이지만 부분적인 부정적 답변은 실험에 의해 확립되었다: 벨의 불평등이 위반되기 때문에, 그러한 숨겨진 변수는 국부적일 수 없다(벨 실험 참조).

2)에 대한 답은 특히 측정에 교란이 수반되기 때문에 교란을 어떻게 이해하느냐에 달려 있다(그러나 이것은 불확실성 원리와 구별되는 관찰자 효과라는 점에 유의한다). 그럼에도 불구하고 가장 자연스러운 해석에서 답은 역시 '아니오'이다. 이를 확인하려면 σ만을₁ 측정하는 (A)와 상태 ψ에서 스핀 시스템의 σ만₃ 측정하는 (B)의 두 가지 측정 순서를 고려하십시오. (A)의 측정 결과는 모두 +1인 반면, 측정(B)의 통계적 분포는 여전히 +1, -1로 동일한 확률로 나뉜다.

기타 불변의 예

양자 불변성은 또한 확실히 측정된 운동량을 가진 입자의 관점에서 설명될 수 있는데, 입자의 위치를 얼마나 정확하게 지정할 수 있는지에 대한 근본적인 한계가 있어야 한다. 이 양자 불확실성 원리는 다른 변수의 관점에서 표현될 수 있다. 예를 들어, 에너지가 확실히 측정된 입자는 에너지가 얼마나 오래 지속될 것인지에 대한 근본적인 한계가 있다. 양자 불확실성에 관련된 단위는 플랑크 상수(6.62607015×10⁻³⁴ J⋅Hz로^−1[3] 정의)의 순서로 되어 있다.

불완전성과 불완전성

양자 불변성은 시스템 상태가 모든 측정 가능한 특성에 대한 고유한 값 컬렉션을 결정하지 않는다는 주장이다. 실제로 코헨-스피커의 정리에 따르면, 양자역학적 형식주의에서는 주어진 양자 상태의 경우 이러한 각각의 측정 가능한 특성(관찰성)이 결정적으로 (명확한) 값을 갖는 것은 불가능하다. 관측 가능한 값은 시스템 상태에 의해 고유하게 결정되는 확률 분포에 따라 비결정적으로 얻는다. 상태는 측정에 의해 파괴되므로 값 집합을 참조할 때 이 컬렉션에서 각 측정값은 새로 준비된 상태를 사용하여 얻어야 한다.

이러한 미완성은 물리적 시스템에 대한 우리의 설명에서 필수적인 불완전성의 한 종류로 간주될 수 있다. 단, 위에 명시된 불변성은 양자 상태가 아닌 측정 값에만 적용된다는 점에 유의하십시오. 예를 들어 위에서 설명한 스핀 1/2 예에서 in은₁ +1을 산출하는 입자만을 유지하는 필터로서 σ의₁ 측정을 이용하여 ψ 상태에서 시스템을 준비할 수 있다. 폰 노이만( 소위) 체계에 의해 측정 직후 시스템은 확실히 주 state에 있게 된다.

그러나 아인슈타인은 양자 상태가 물리적 시스템에 대한 완전한 설명이 될 수 없다고 믿었고, 일반적으로 생각되는 것은 결코 양자역학을 수용하지 않았다. 실제로 아인슈타인, 보리스 포돌스키, 네이선 로젠은 양자역학이 맞다면 (적어도 특수상대성이성 이후) 실제 세계가 어떻게 작용하는지에 대한 고전적 관점은 더 이상 견제가 불가능하다는 것을 보여주었다. 이 견해에는 다음과 같은 두 가지 생각이 포함되었다.

1. 가치를 확실하게 예측할 수 있는 물리적 시스템의 측정 가능한 속성은 실제로 (현지) 현실의 요소(이것이 EPR에서 사용된 용어였다)이다.
2. 국소 작용의 영향은 한정된 전파 속도를 가진다.

고전적 관점의 이러한 실패는 EPR 사고 실험의 결론 중 하나로서, 현재 흔히 앨리스와 밥이라고 불리는 원격 위치의 두 관찰자가 스핀싱글릿 상태라고 불리는 특수한 상태의 선원에서 준비하여 한 쌍의 전자에서 스핀의 독립적인 측정을 수행하는 것이었다. 일단 앨리스가 x 방향으로 스핀을 측정하면 x 방향으로의 밥의 측정이 확실하게 결정되는 반면, 앨리스의 측정이 바로 직전에야 밥의 결과가 통계적으로 결정된다는 것은 양자 이론의 공식 기구를 이용한 EPR의 결론이었다. 이로부터 x 방향의 스핀 값이 현실의 요소가 아니거나 앨리스 측정의 효과가 무한한 전파 속도를 갖는다는 것을 따른다.

혼합 상태에 대한 불변성

우리는 순수 상태에 있는 양자 시스템에 대한 불변성을 묘사했다. 혼합주는 순수한 상태의 통계적 혼합에 의해 얻어지는 보다 일반적인 종류의 주이다. 혼합 상태의 경우 측정의 확률 분포를 결정하기 위한 "퀀텀 레시피"는 다음과 같이 결정된다.

A를 양자역학 체계의 관찰이 가능하도록 하자. A는 H에 대해 밀도 있게 정의된 자기 적응 연산자에 의해 주어진다. A의 스펙트럼 측정은 조건에 의해 정의된 투영 값 측정이다.

${\displaystyle \operatorname {E} _{A}(U)=\int _{U}\lambda \,d\operatorname {E}(\lambda ),}$

R의 모든 보렐 부분집합 U. 혼합 상태 S를 감안하여 다음과 같이 S에 따른 A의 분포를 소개한다.

${\displaystyle \operatorname {D} _{A}(U)=\operatorname {Tr}(\operatorname {E} _{A}(U)S)).}$

이는 R의 보렐 하위 집합에 정의된 확률 측정값으로, S에서 A를 측정하여 얻은 확률 분포다.

논리적 독립성 및 양자 무작위성

양자 불변성은 종종 우리가 유추하는 존재, 측정하기 전에 개별 양자 시스템에서 일어나는 정보(또는 그것의 결여)로 이해된다. 양자 무작위성은 그 불변성의 통계적 발현으로, 여러 번 반복된 실험의 결과에서 목격할 수 있다. 그러나 양자 불변성과 무작위성의 관계는 미묘하여 다르게 생각할 수 있다.^[4]

고전 물리학에서, 동전 던지기나 주사위 던지기 같은 우연의 실험은 초기 조건에 대한 완벽한 지식이 결과를 완벽하게 예측할 수 있게 해준다는 점에서 결정론적이다. '랜덤'은 처음 던지거나 던질 때 물리적인 정보를 모르는 데서 비롯된다. 정반대로 양자물리학의 경우, 코헨과 스피커의 이론,^[5] 존 벨의 불평등,^[6] 알랭의 측면에 대한 실험적인 증거는 모두 그러한 물리적 정보에서 비롯되지 않는다는 것을 나타낸다.^[7][8]

2008년, Tomasz Paterek et al.은 수학 정보에 대한 설명을 제공했다. 그들은 양자 무작위성이 양자 시스템에 논리적 독립성을 도입하는 입력 설정이 오로지 측정 실험의 결과물임을 입증했다.^[9][10]

논리 독립은 수학 논리학에서 잘 알려진 현상이다. 서로 증명하지도 반증하지도 않는 수학적 명제들(동일한 언어로 된) 사이에 존재하는 무효한 논리적 연결성을 가리킨다.^[11]

파테렉 외 연구진들은 부울 명제의 공식 체계에서 양자 무작위성과 논리적 독립성을 연결하는 연관성을 입증한다. 광자 편광 측정 실험에서 파테렉 등은 예측 가능한 결과와 논리적으로 의존하는 수학적 명제, 무작위 결과 및 논리적으로 독립적인 명제와의 상관관계를 통계로 입증한다.^[12][13]

2020년, Steve Faulkner는 Tomasz Paterek et al의 연구결과에 따라, Matrix Mechanics의 영역에서 Paterrek Boolean 명제들의 논리적 독립성이 무엇을 의미하는지 보여주는 작업에 대해 보고했다. 그는 측정 프로세스가 되돌릴 수 없는 '잃어버린 역사'와 모호성의 침투를 겪는 혼합 상태를 대표하는 진화된 밀도 연산자에서 불변성의 지속성이 어떻게 발생하는지를 보여주었다.^[14]

참고 항목

메모들

참조

• A. 측면, 벨의 불평등 테스트: 어느 때보다 이상적인 네이처 398 189(1999년). [2]
• G. Bergmann, The Logic of Quanta, American Journal of Physics, 1947. 과학철학 리딩에 재인쇄된 에드. H. Feigl과 M. Brodbeck, Applet-Century-Crofts, 1953. 측정, 정확성 및 결정론에 대해 논의한다.
• J.S. 벨, 아인슈타인-폴돌스키-로센 패러독스에 대하여, 물리학 1 195 (1964)
• A. 아인슈타인, B. 포돌스키, 그리고 N. 로젠, 물리적 현실에 대한 양자기계적 묘사가 완전한 것으로 간주될 수 있는가? 체육 47 777조 (1935년) [3]
• G. Mackey, W. A. Benjamin, 1963년(도버 2004년 논문 재인쇄)
• J. 폰 노이만, 프린스턴 대학 출판부의 양자역학의 수학 재단, 1955. 페이퍼백 형태로 재인쇄되었다. 원래 1932년 독일어로 출판되었다.
• 프린스턴 대학 출판부의 R. 옴네스, 양자역학 이해, 1999.

외부 링크

• 양자역학에 관한 일반적인 오해 특히 파트 3 "측정에 관한 오해"를 참조하라.