블랑숑 곡선

수학에서 블랑숑 곡선은 중간점 세분화에 의해 구성할 수 있는 자기 아핀 프랙탈 곡선입니다. 1901년에 다카기 테이지(Teiji Takagi)의 이름을 따서 다카기 곡선(Takagi curve) 또는 다카기와 게오르크 랜드스버그(Georg Landsberg)의 이름을 딴 곡선의 일반화인 다카기-랜즈버그 곡선(Takagi-Landsberg curve)이라고도 합니다. 블랑망게라는 이름은 블랑망게 푸딩과 닮아서 지어졌습니다. 더 일반적인 드 람 곡선의 특별한 경우입니다.

정의.

블랑 변화 함수는 단위 간격에 정의됩니다.

${\displaystyle \operatorname {blanc}(x)=\sum _{n=0}^{\infty}{s(2^{n}x) \over 2^{n}}}$

여기서 $s{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ s$(x)}$는 삼각파이며, $s{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) = $n$ ∈ Z x - n {\displaystyle s(x) =\min _{n\in {\mathbf {Z}}} x - n } 즉, s ( x ) {\displaystyle s(x)}는 x에서 가장 가까운 정수까지의 거리입니다.

다카기-랜즈버그 곡선은 다음과 같이 약간의 일반화입니다.

${\displaystyle T_{w}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x)}$

매개 $변수$ w$${\$displaystyle w}$의 경우$$블랑 변화 곡선은 $w$ = 1$$/ ${\displaystyle 2}$ $displaystyle$ w = 1/2$}$입니다. 값 H = - log 2 ⁡ w {\displaystyle H =-\log _{2}w}를 Hurst 매개 변수라고 합니다.

함수는 모든 실수선으로 확장될 수 있습니다. 위에 주어진 정의를 적용하면 함수가 각 단위 구간에서 반복됨을 보여줍니다.

함수방정식 정의

타카기 곡선의 주기적 버전은 함수 방정식에 대한 고유 유계해 T = T ${\displaystyle w_{}}$ : ${\displaystyle R{}_{}}$→ R ${\displaystyle$T = $T_{w}:\mathbb$ {$R}$\ $to$ \$mathbb {R}$ }$$로 정의할 수도 있습니다.

${\displaystyle T(x)=s(x)+wT(2x).}$

실제로, 블랑 변화 함수 ${\displaystyle {Tw}_{}}$ ${\$는 확실히 유계이며, 다음과 같이 함수 방정식을 풀 수 있습니다.

${\displaystyle T_{w}(x):=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x)=s(x)+\sum _{n=1}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x)}$${\displaystyle =s(x)+w\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n+1}x)=s(x)+wT_{w}(2x).}$

반대로, $T{\displaystyle :}$ ${\displaystyle R}$ → R ${\displaystyle T:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ \가 함수 방정식의 유계해일 때, 임의의 N에 대하여 갖는 등식을 반복하는

${\displaystyle T(x)=\sum _{n=0}^{N}w^{n}s(2^{n}x)+w^{N+1}T(2^{N+1}x)=\sum _{n=0}^{N}w^{n}s(2^{n}x)+o(1),{\text{ for }}N\to \infty ,}$

이때 $T$ = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle w_{}}${\$displaystyle$T = T_${w}}.$ 또한 위 함수식에는 무한히 많은 연속적인 비 bounded 해(예: T w (x ) + c x - log 2 ⁡ w. {\displaystyle T_{w}(x) + c x $^{-\$log _{2}w}가 있습니다.

그래피컬 컨스트럭션

무한합이 처음 몇 항의 유한합으로 근사된다면 블랑망 곡선은 삼각파 함수로 시각적으로 구축될 수 있습니다. 아래 그림에서는 각 단계에서 곡선에 점진적으로 미세한 삼각 함수(빨간색으로 표시)가 추가됩니다.

n = 0	n ≤ 1	n ≤ 2	n ≤ 3

특성.

수렴성과 연속성

The infinite sum defining ${\displaystyle T_{w}(x)}$ converges absolutely for all ${\displaystyle x.}$ Since ${\displaystyle 0\leq s(x)\leq 1/2}$ for all ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty } w^{n}s(2^{n}x) \leq {\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty } w ^{n}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{1- w }}}$

< ${\$$displaystyle$ $w$< 1$.}$ < 1 ${\$$displaystyle$ $w$$}$ 파라미터 $w{\displaystyle }$ ${\$displaystyle w}의 Takagi 곡선은 w < 1}인 경우 단위 간격(또는 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\${$R$$\})$에 정의됩니다 파라미터 $w{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ w$}$의 타카기 함수는 연속입니다. 부분합으로 정의된$$ 함수 $,$ n {\$displaystyle$ T_{$w,n}}$

${\displaystyle T_{w,n}(x)=\sum _{k=0}^{n}w^{k}s(2^{k}x)}$

는 연속적이며 ${\displaystyle {Tw}_{}}$ 방향으로 균일하게 수렴합니다${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle T_{w}:$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left T_{w}(x)-T_{w,n}(x)\right &=\left \sum _{k=n+1}^{\infty }w^{k}s(2^{k}x)\right \\&=\left w^{n+1}\sum _{k=0}^{\infty }w^{k}s(2^{k+n+1}x)\right \\&\leq {\frac { w ^{n+1}}{2}}\cdot {\frac {1}{1- w }}\end{aligned}}}$

< 때모든 $x$에 대하여. {\$displaystyle$ w < 1$.}$ 이 경계는 $n$ → ∞으로 감소합니다. {\displaystyle n\to \infty.} 균일한 극한 정리에 의해 w < 1일 때 Tw {\displaystyle T_{w}는 연속입니다.

• 
  파라미터 w = 2/3
• 
  파라미터 w = 1/2
• 
  파라미터 w = 1/3
• 
  파라미터 w = 1/4
• 
  파라미터 w = 1/8

아첨가성

절대값은 부분가산 함수이므로 $함수$ (${\displaystyle x)}$= ${\displaystyle \underset{}{min}}$ $n$∈ Z x - n {\displaystyle s(x)=\min _{n\in {\mathbf {Z}}} x-n }와 그 확장 s (2k x ) {\displaystyle s(2^{k}x)}; 양의 선형 조합과 부분가산 함수의 점별 한계는 부분가산이므로, Takagi 함수는 매개 변수 $w{\displaystyle }$ ${\displaystyle w}$의 값에 대해 하위 가산입니다$.$

포물선의 특별한 경우

$w$ = ${\displaystyle 1}$/$$4 {\displaystyle w = 1/4}의 경우 포물선을 얻습니다. 중간점 세분화에 의한 포물선 구성은 아르키메데스에 의해 설명되었습니다.

미분가능성

매개 <w < / $,$ {\$displaystyle 0 < w$ < 1 / $2,}$의 경우, 타카기 함수 ${\displaystyle T_{}}$ $w$ ${\displaystyle T_{w}}$는 다이애딕 유리가 아닌 $임의$의 ${\displaystyle x}$ ∈ R ${\displaystyle$x\$in \mathbb$ {R}에서 고전적인 의미로 미분할 수 있습니다. 급수의 부호로 유도하면, 임의의 비다이나딕 $유리$ ${\displaystyle x}$ ∈ $R$에 대하여, \$mathbb${R$},}$에서 ${\displaystyle$x\를 찾을 수 있습니다.

${\displaystyle T_{w}^{\prime }(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(2w)^{n}\,(2b_{n}-1)}$

여기서$$(${\displaystyle b_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$ ∈ ${\displaystyle N^{}}$ ∈ {0, 1 } N${\displaystyle (b_${n$})_{n\in$ \$mathbb${N}}\$in \{0,1\}^{\$mathbb {N}}는 $x$displaystyle x}의 밑 2$확장$에 있는 이진수 시퀀스입니다.

${\displaystyle x=\sum _{n=-k}^{\infty }b_{n}2^{-n-1}\;.}$

마찬가지로, 이진 확장의 비트는 너비 $2{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle n^{}}$으로 확장된 일련의 사각파, Haar 웨이블릿으로 이해할 수 있습니다${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2^{-n}}$ 삼각파의 도함수는 단지 사각파이기 때문에 다음과$$ 같습니다.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}s(x)=\operatorname {sgn}(1/2-(x\!\!\!\mod 1)}$

이러저러한

${\displaystyle T_{w}^{\prime }(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(2w)^{n}\operatorname {sgn}(1/2-(2^{n}x\!\!\!\mod 1)}$

파라미터 < < / 2 ${\displaystyle$ 0 < $w$< $1/$ 2$,}$의 함수 T ${\displaystyle w_{}}$ ${\$는 상수 $1{\displaystyle \mathrm{}}$/ ${\displaystyle (1}$- 2 ${\displaystyle w}$)의 립시츠입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle 1/$ (1 - 2 w$).$$}$ In particular for the special value ${\displaystyle w=1/4}$ one finds, for any non dyadic rational ${\displaystyle x\in [0,1]}$ ${\displaystyle T_{1/4}'(x)=2-4x}$, according with the mentioned ${\displaystyle T_{1/4}(x)=2x(1-x).}$${\displaystyle T_{1/4}(x)=2x(1-x).$$}$

$w$ = $/$2 {\$displaystyle$ w = 1/2}에 대해 블랑 변화 함수 Tw {\displaystyle T_{w}}는 비어 있지 않은 열린 집합에서 제한된 변동입니다. 국소적으로 립시츠가 아니라 준 립시츠입니다. 함수${\displaystyle }$ω (t ) := t$$($log$2 ⁡ t + 1 / 2) {\displaystyle \omega (t) := t ( \log _{2}t + 1/2)}를 연속성 계수로 인정합니다.

푸리에 급수 전개

Takagi-Landsberg 함수는 절대 수렴 푸리에 급수 전개를 허용합니다.

${\displaystyle T_{w}(x)=\sum _{m=0}^{\infty }a_{m}\cos(2\pi mx)}$

${\displaystyle 0_{}}$ = ${\displaystyle 1}$/ 4 (1 - w ) {\displaystyle a_{0} = 1/4 (1 - w)} 및 형식 ≥ 1 {\displaystyle$$m\geq 1} 사용

${\displaystyle a_{m}:=-{\frac {2}{\pi ^{2}m^{2}}}(4w)^{\nu(m)},}$

여기서 $2$ν (m) {\$displaystyle$2^{\n$u(m)}}$는 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$을 나누는$$ 2 ${\displaystyle$ 2$}$의 최대 전력입니다$.$ 실제로 위의 $삼각파{\displaystyle (x}$) ${\displaystyle s(x)}$는 절대 수렴 푸리에 급수 확장을 가지고$$ 있습니다.

${\displaystyle s(x)={\frac {1}{4}}-{\frac {2}{\pi ^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{2}}}\cos {\big (}2\pi (2k+1)x{\big )}.}$

절대 수렴을 통해 ${\displaystyle {Tw}_{}x)}$ ${\displaystyle T_{w}(x)}$에 해당하는 이중 급수의 순서를 바꿀 수 있습니다$.$

${\displaystyle T_{w}(x):=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x)={\frac {1}{4}}\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}-{\frac {2}{\pi ^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {w^{n}}{(2k+1)^{2}}}\cos {\big (}2\pi 2^{n}(2k+1)x{\big )}\,:}$

$m$ = ${\displaystyle {}^{}}$n (2 k + 1 ) {\displaystyle m = 2^{n} (2k + 1)}를 넣으면 T w ( x )에 대한 위의 푸리에 급수가 생성됩니다. {\displaystyle T_{w}(x)}

자기유사성

재귀적 정의를 사용하면 곡선의 자기 대칭의 모노이드를 얻을 수 있습니다. 이 모노이드는 곡선에 작용하는 두 개의 생성기 g와 r에 의해 주어집니다(단위 간격으로 제한됨).

${\displaystyle [g\cdot T_{w}](x)=T_{w}\left(g\cdot x\right)=T_{w}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {x}{2}}+wT_{w}(x)}$

그리고.

${\displaystyle [r\cdot T_{w}](x)=T_{w}(r\cdotx)=T_{w}(1-x)=T_{w}(x)}$

그러면 모노이드의 일반적인 요소는$$γ = ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$1 r$ga$ 2 ${\displaystyle r_{}}$ ⋯ r $ga${\displaystyle \gamma = g^{a_{1}}rg^{a_{2}}r\cdots rg^{a_{n}}} 형태를 갖습니다. 일부 정수 a 1, a 2, ⋯ 및 {\displaystyle a_{1}, a_{2},\cdots,$a_{n}}$ 이는 곡선에 선형 함수로 작용합니다${\displaystyle .}$ $γ ⋅$ T${\displaystyle w}$ $=$ a$$+ ${\displaystyle b}$ x + c Tw {\displaystyle \$gamma$ \cdot T_{$w$} $=$ a+bx+c일부 $상수$a, b$,$ c에 대하여 T_{w}}. 작용은 선형적이기 때문에 벡터 공간을 기준으로 다음과 같이 벡터 공간으로 설명할 수 있습니다.

${\displaystyle 1\mapstoe_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle x\mapstoe_{2}={\begin{bmatrix}0\1\0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle T_{w}\mapstoe_{3}={\begin{bmatrix}0\\0\1\end{bmatrix}}}$

이 표현에서 g와 r의 작용은 다음에 의해 주어집니다.

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0&w\end{bmatrix}}}$

그리고.

${\displaystyle r={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

즉, 일반적인 요소$$γ {\displaystyle$$\gamma}의 작용은 단위 간격 [0,1]의 블랑망 곡선을 일부 정수 m, n, p에 대한 하위${\displaystyle 간격}$ [${\displaystyle m{}^{}}$/${\displaystyle {2p}^{}}$,${\displaystyle {}^{}}$n /$2p$] ${\displaystyle [m/2^{p},$ n/2^{p}]에 매핑합니다. 매핑은 [${\displaystyle {}_{}}$γ ⋅${\displaystyle }$T w ] ( ${\displaystyle x}$ ) = ${\displaystyle a}$+ ${\displaystyle b}$x + c T w ( x ) {\displaystyle [\ gamma \cdot T_{w}] ($x$) = a+bx+c에 의해 정확히 제공됩니다.위 행렬을 곱하면 a, b, c 값을 직접 구할 수 있는 $T_{w}(x)}.$ 즉.

${\displaystyle \gamma ={\begin{bmatrix}1&{\frac {m}{2^{p}}}&a\\0&{\frac {n-m}{2^{p}}}&b\\0&0&c\end{bmatrix}}}$

$p$ = ${\displaystyle a_{}}$ 1$$+ a 2 + ⋯ + n {\displaystyle p = a_{1} + a_{2} +\cdots + a_{n}}가 즉시 사용됩니다.

g와 r에 의해 생성된 모노이드는 때때로 다이아딕 모노이드(dyadic monoid)라고 불리는데, 이 모노이드는 모듈식 그룹의 하위 모노이드입니다. 모듈형 그룹을 논의할 때, g와 r에 대한 더 일반적인 표기법은 T와 S이지만, 그 표기법은 여기서 사용되는 기호와 충돌합니다.

위의 3차원 표현은 그것이 가질 수 있는 많은 표현들 중 하나일 뿐입니다. 그것은 블랑숑 곡선이 행동의 가능한 한 실현임을 보여줍니다. 즉, 3차원이 아니라 모든 차원에 대한 표현이 있습니다. 이들 중 일부는 드 람 곡선을 제공합니다.

Blancange 곡선 통합

${\displaystyle 0}$부터${\displaystyle 1}$까지의$블랑$⁡$($ {\$displaystyle \operatorname$ {blanc}(x)}의 적분이 1/2임을 감안할 때, 항등 블랑 ⁡(x) = 블랑 ⁡(2 x) / 2 + s(x) {\displaystyle \operatorname {blanc}(x) =\operatorname {blanc}(2x)/2+s(x)}의 적분은 다음 관계식에 의해 계산될 수 있습니다. 계산은 필요한 정확도의 로그 순서로 계산 시간과 함께 재귀적입니다. 정의

${\displaystyle I(x)=\int_{0}^{x}\operatorname {blanc}(y)\,dy}$

그것을 가지고 있습니다.

${\displaystyle I(x)={\begin{cases}I(2x)/4+x^{2}/2&{\text{if }}0\leq x\leq 1/2\\1/2-I(1-x)&{\text{if }}1/2\leq x\leq 1\\n/2+I(x-n)&{\text{if }}n\leq x\leq (n+1)\\\end{cases}}}$

정적분은 다음과 같이 주어집니다.

${\displaystyle \int_{a}^{b}\operatorname {blanc}(y)\,dy=I(b)-I(a)}$

정의하면 보다 일반적인 식을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}s(y)dy={\begin{cases}x^{2}/2,&0\leq x\leq {\frac {1}{2}}\\-x^{2}/2+x-1/4,&{\frac {1}{2}}\leq x\leq 1\\n/4+S(x-n),&(n\leq x\leq n+1)\end{cases}}}$

시리즈 표현과 결합하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle I_{w}(x)=\int _{0}^{x}T_{w}(y)dy=\sum _{n=0}^{\infty }(w/2)^{n}S(2^{n}x)}$

주의:

${\displaystyle I_{w}(1)={\frac {1}{4(1-w)}}}$

이 적분은 또한 자기 유사성 섹션에 설명된 다이애딕 모노이드의 작용 하에 단위 구간에서 자기 유사합니다. 여기서 표현은 4차원이며 기저가$${${\displaystyle e_{}}$1, ${\displaystyle 2_{}}$, ${\displaystyle e_{}}$ 3${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$4} = {$1,$ x,$x$2, I w(x )} {\displaystyle \{e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}\}=\{1, x, x^{2}입니다.$I_{w}(x$ 단위 간격에 대한 g의 작용은 통근 다이어그램입니다.

${\displaystyle [g\cdot I_{w}](x)=I_{w}\left(g\cdot x\right)=I_{w}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {x^{2}}{8}}+{\frac {w}{2}}I_{w}(x)}$

이를 통해 4차원 표현의 생성기를 즉시 읽을 수 있습니다.

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&0&0\\0&0&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{8}}\\0&0&0&{\frac {w}{2}}\end{bmatrix}}}$

그리고.

${\displaystyle r={\begin{bmatrix}1&1&1&{\frac {1}{4(1-w)}}\\0&-1&-2&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}}$

반복적인 적분은 5,6,...차원 표현으로 변환됩니다.

단순 단지와의 관계

허락하다

${\displaystyle N={\binom {n_{t}}{t}}+{\binom {n_{t-1}}{t-1}}+\ldots +{\binom {n_{j}}{j}},\quad n_{t}>n_{t-1}>\ldots >n_{j}\geq j\geq 1.}$

크루스칼-카토나 함수 정의

${\displaystyle \kappa_{t}(N)={n_{t} \선택 t+1}+{n_{t-1} \선택 t}+\dots +{n_{j} \선택 j+1}}$

크루스칼-카토나 정리는 이것이 N개의 심플렉스 집합의 면인 (t - 1)개의 심플렉스의 최소 개수라고 말합니다.

t와 N이 무한대에 접근함에 따라${\displaystyle }$κ${\displaystyle }$t(${\displaystyle N})$ - N ${\displaystyle \kappa _{$t}(N)-N}(적절하게 정규화됨)이 블랑 변화 곡선에 접근합니다.

참고 항목

• 캔터 함수(악마의 계단이라고도 함)
• 민코프스키 물음표 함수
• 위어스트라스 함수
• 다이아딕 변환

참고문헌

• Weisstein, Eric W. "Blancmange Function". MathWorld.
• Takagi, Teiji (1901), "A Simple Example of the Continuous Function without Derivative", Proc. Phys.-Math. Soc. Jpn., 1: 176–177, doi:10.11429/subutsuhokoku1901.1.F176
• 브누아 만델브로, "주름이 없고 강이 있는 프랙탈 풍경", 프랙탈 이미지의 과학, ed. Heinz-Otto Peitgen, Dietmar Saupe; Springer-Verlag (1988) pp 243–260.
• Linas Vepstas, 기간-2배 지도의 대칭성, (2004)
• 도널드 크누스, 컴퓨터 프로그래밍의 기술, 4a권. 조합 알고리즘 1부. ISBN 0-201-03804-8. 372~375페이지를 참조하십시오.

더보기

• Allaart, Pieter C.; Kawamura, Kiko (11 October 2011), The Takagi function: a survey, arXiv:1110.1691, Bibcode:2011arXiv1110.1691A
• Lagarias, Jeffrey C. (17 December 2011), The Takagi Function and Its Properties, arXiv:1112.4205, Bibcode:2011arXiv1112.4205L

외부 링크

• 타카기 익스플로러
• (타카기 함수의 일부 속성)