디아딕트 변환

디아디드 변환(diadi map, 비트 시프트 맵, 2x mod 1 맵, 베르누이 맵, 더블링 맵 또는 톱토스 맵이라고도^[1][2] 함)은 맵핑(즉, 재발 관계)이다.

${\displaystyle T:[0,1)\to [0,1)^{\infully }}}$

${\displaystyle x\mapsto(x_{0},x_{1},x_{2},\ldots )}$

(여기서${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1{}^{}}$) ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$ ${\$은(는) 규칙에 의해 생성된${\displaystyle }$[${\displaystyle 0,}$ 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle [0,1$의 시퀀스 집합이다$$.

${\displaystyle x_{0}=x}$

${\displaystyle \text{모든}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$에 ${\displaystyle \text{대해},}$ ${\displaystyle {x\mathrm{n}}_{}}$ + ${\displaystyle 1{}_{}}$=${\displaystyle }$( 2${\displaystyle {}_{}}$x ${\displaystyle n_{}}$ ) ${\displaystyle mod\mathrm{}}$ 1$${\$displaystyle{\\n\geq 0,\$ x_${n+1}=(2x_{n}){\bmod$^[3]$1}}.$

동등하게, 디아디드 변환은 조각의 선형 함수의 반복 함수 맵으로도 정의될 수 있다.

${\displaystyle T(x)={\begin{case}2x&0\leq x<{\frac{1}{1}{1}\frac-1&{1}{1}{2}}\leq x<1.\end{case}}}$

비트 시프트 맵이라는 명칭은 반복의 값을 이진법 표기법으로 작성하면 2진법 포인트를 1비트 오른쪽으로 이동시켜 다음 반복을 얻고, 새로운 2진법 포인트의 왼쪽에 비트가 "원"이면 0으로 대체하기 때문에 발생한다.

디아디드 변환은 단순한 1차원 지도가 어떻게 혼란을 일으킬 수 있는지를 보여주는 예를 제공한다. 이 지도는 다른 몇몇 지도에도 쉽게 일반화된다. 중요한 것은 $베타{\displaystyle {}_{}}$ 변환으로, T ${\displaystyle \beta {}_{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \beta }$ x ${\displaystyle mod\mathrm{}}$ 1 ${\$ x${\bmod{1}}}$로 정의된다$.$ 이 지도는 많은 작가들에 의해 광범위하게 연구되어 왔다. 1957년 알프레드 레니에 의해 도입되었고, 그것에 대한 불변적인 조치는 1959년 알렉산더 겔폰드에 의해, 1960년 빌 패리에 의해 다시 독립적으로 주어졌다.^[4][5][6]

베르누이 과정과의 관계

이 지도는 베르누이 과정에서의 동형성으로 얻을 수 있다. $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {N\mathbb{}}^{}}$ ${\$은(는) $문자{\displaystyle }$ H {\$displaystyle H}$ 및 $T$ ${\displaystyty T}$의 모든 반무한 문자열 집합$$$.$ 이러한 문자열은 머리나 꼬리 위로 올라가는 동전의 플립으로 이해할 수 있다. 동등하게 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {N\mathbb{}}^{}}$ ${\$0,$1\}^{\$mathb${$N}}}}}}}}}}} 이진 비트의 모든 (반)무한 문자열의 공간$$. 무한대라는 단어는 "semi-"와 함께 적격인데, 이는 2중 무한대(이중엔드) 문자열로$$ 구성된 다른${\displaystyle }$공간 {${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle {1\mathbb{}}^{}}$} Z$${\$displaystyle$\{$0,1\}^{\mathb{Z}}}}}}}}}}$을(를) 정의할 수도 있기 때문이다. 이는 베이커의 지도로 이어진다. 자격 "세미-"는 아래에 있다.

이 공간은 다음과 같이 자연적인 교대작전을 가지고 있다.

${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(b_{1},b_{2},\dots )}$

여기서$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$) ${\displaystyle(b_{0},b_{1},\message$)은 이진수의 무한 문자열이다$$. 이러한 문자열이 있으면 쓰십시오.

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\inflt }{\frac {b_{n}}{2^{n+1}.}$

$결과{\displaystyle }$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$은 단위 $간격{\displaystyle \mathrm{}}$ 0 ${\displaystyle \le }$ x ${\displaystyle \le }$ $.[\displaystyle 0\leq x\leq$ 1$.} 시프트$ T ${\displaystytle T}$은 단위 간격에서 동형성을 유도하며$$, $T{\displaystyle }$ ${\displaystyty T$라고도 한다. Since ${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(b_{1},b_{2},\dots ),}$ one can easily see that ${\displaystyle T(x)=2x{\bmod {1}}.}$ For the doubly-infinite sequence of bits ${\displaystyle \Omega =2^{\mathbb {Z} },}$ 유도동형주의는 베이커의 지도다.

디아디드 시퀀스는 그 다음 순서에 불과하다.

${\displaystyle(x,T(x),T^{2}(x),T^{3}(x),\dots )}$

즉, $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle x_{n}=$$T^{n}(x).$$}$

캔터 세트

총액에 유의하십시오.

${\displaystyle y=\sum _{n=0}^{\inflt }{\frac {b_{n}}{3^{n+1}:{n+1}:{n1}:{n2}}:$

통념상 칸토어 기능을 부여한다. 이 때문에 ${\displaystyle {세트\mathbb{}}^{}}{\displaystyle }${${\displaystyle H}$, ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {}^{}}$ N ${\$을(를) 캔터 세트라고 부르기도$$ 한다.

정보 손실률 및 초기 조건에 대한 민감한 의존도

혼란스러운 역학의 한 가지 특징은 시뮬레이션이 일어나면서 정보가 손실되는 것이다. 초기 반복의 첫 번째 s 비트에 대한 정보로 시작하면 m 시뮬레이션 반복(m < s) 후에 s - m 비트만 남는다. 따라서 우리는 반복당 1비트의 기하급수적인 속도로 정보를 잃어버린다. 반복을 반복한 후, 우리의 시뮬레이션은 실제 반복 값과 상관없이 고정된 지점 0에 도달했고, 따라서 우리는 정보의 완전한 손실을 입었다. 이는 초기 조건에 대한 민감한 의존도를 보여준다. 즉, 잘린 초기 조건에서의 매핑은 실제 초기 조건에서의 매핑에서 기하급수적으로 벗어났다. 그리고 우리의 시뮬레이션이 고정된 지점에 도달했기 때문에, 거의 모든 초기 조건에서 그것은 질적으로 정확한 방식으로 혼란스러운 방식으로 역학을 설명하지 않을 것이다.

정보 손실의 개념과 동등한 것이 정보 이득의 개념이다. 실제로 일부 실제 프로세스는 시간 경과에 따라 일련의 값(x_n)을 생성할 수 있지만, 우리는 이러한 값을 잘린 형태로만 관측할 수 있을 것이다. 예를 들어 x₀ = 0.1001101이지만 잘린 값 0.1001만 관측한다고 가정합시다. x에₁ 대한 우리의 예측은 0.001이다. 실제 공정이 참 x₁ 값 0.001101을 생성할 때까지 기다리면, 우리는 우리의 예측 값 0.001보다 더 정확한 잘린 값 0.0011을 관측할 수 있을 것이다. 그래서 우리는 정보 이득을 한 푼 얻었다.

텐트 지도 및 로지스틱 지도와의 관계

디아디드 변환은 위상학적으로 단위 높이 텐트 맵에 대한 반 컨쥬게이트다. 유닛 높이 텐트 맵은 다음에 의해 제공된다는 점을 상기하십시오.

${\displaystyle x_{n+1}=f_{1}(x_{n})={\prease}x_{n}&\mathrm {for} ~~x_{n}\leq 1/2\1-x_{n}&\mathrmatrm {for}~x_{n}\geq 1/2\end{pend}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그 결합은 분명히 다음에 의해 주어진다.

$[\displaystyle S(x)=\sin \pi x}$

하도록

${\displaystyle f_{1}=S^{-1}\circle T\circle S}$

즉, ${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 1{}_{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$( ${\displaystyle T}$( ( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle f_{1}(x)=$$S^{-1}(T(S)(x)).$$}$ {이것은$$ 반복하건대, 다음과 같이 안정적이다.

${\displaystyle f_{1}^{n}=f_{1}}\cdots \cdots \circ f_{1}=S^{1}\cdots \circus T\circus S^{-1}\circdots T\circircircus S=S^{-1}\circircope{n}\circircircirlor S=S^{n}\clock}\clor S^{n}\cards}\class}\$

그것은 또한 로지스틱 지도의 혼란스러운 r = 4 사례와 결합된다. 로지스틱 맵의 r = ${\displaystyle 4_{}}$ 케이스는 z ${\displaystyle n_{}}$+ 1${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{n}{}_{}}$( 1${\displaystyle }$- z ${\displaystyle n_{}}$) ${\displaystyle z_{n+1}=4z_{n}(1-z_{n$ 이것은 변수 x by의 비트 시프트 맵과 관련이 있다.

${\displaystyle z_{n}=\sin ^{2}(2\pi x_{n}).}$

다이라디칼 변환(여기서 명명된 각도 더블링 맵)과 2차 다항식 사이에도 반정합성이 있다. 여기서 지도는 교대로 측정한 각도를 두 배로 한다. 즉, 지도는 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle \theta \mapsto 2\theta {\bmod {2}\pi .}$

주기성 및 비주기성

역학을 이진 표기법으로 볼 때 역학의 단순한 특성 때문에 초기 조건에 따라 역학을 분류하기가 쉽다.

초기 조건이 비합리적이라면(단위 간격의 거의 모든 지점이 그렇듯이), 역학은 비주기적(non-periodic)이다. 이는 비반복적인 이진 확장을 가진 숫자로 비합리적인 숫자를 정의한 것에서 직접 나타난다. 이것은 혼란스러운 사건이다.

만약 x0는 합리적 x0의 이미지와 x0의 전방 궤도 결국 시기로 x0의 바이너리 팽창의 기간에 동등한 주기적은[0안에 뚜렷한 값을 한정, 1컵을 포함하고 있다.가 비트들은 한정된 이진 확장으로 초기 조건은 이성적인 번호, 특히, 그때 k를 반복한 후 예제t.에 도달고정점 0. 초기 조건이 k-비트 과도현상(k 0 0)을 가진 합리적인 숫자에 이어 무한히 반복되는 q-비트 시퀀스(q > 1)를 가진 경우, k-반복 후 반복이 q의 사이클에 도달한다. 따라서 모든 길이의 사이클이 가능하다.

예를 들어, 11/24의 전방 궤도는 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {11}{24}}\mapsto {\frac {11}{12}\mapsto {\frac {6}}\mapsto {\\frac {2}{3}}\mapstoes {\frac {1}{3}}}}}\mapstoes}{frac\cd}}}}}}}}}}}}{frac\mapstototsotsots}}}}}}}}}}}}}}},dotsoatsots$

2주기의 주기에 도달했다. [0, 1]의 어떤 하위간격 내에서는 아무리 작아도 결국 궤도가 주기적인 점의 무한수가 있고, 따라서 궤도가 결코 주기적이지 않은 점의 무한수가 있다. 이처럼 초기의 조건에 대한 민감한 의존은 혼란스러운 지도의 특징이다.

비트 변속을 통한 주기성

The periodic and non-periodic orbits can be more easily understood not by working with the map ${\displaystyle T(x)=2x{\bmod {1}}}$ directly, but rather with the bit shift map ${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(b_{1},b_{2},\dots )}$ defin칸토어 공간 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {N\mathbb{}}^{}}$ ${\$,1\}^{\mathb${N$

즉, 동음이의식

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\inflt }{\frac {b_{n}}{2^{n+1}:{n+1}:{n1}:{n2}}:$

칸토어 세트가 부동산에 매핑될 수 있다는 진술이다. 그것은 추론이다: 모든 이교적 합리성은 칸토어 집합에서 한 가지가 아니라 두 개의 뚜렷한 표현을 가지고 있다. 예를 들어,

${\displaystyle 0.10000\based =0.011111\based }$

이건 그냥 유명한 0.999의 바이너리 문자열 버전이야... = 1 문제. 일반적으로 사용되는 두 가지 표현: 주어진 유한 길이 $초기{\displaystyle }$ 시퀀스 $b{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ b ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$b ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$…에 대해, ${\displaystyle {\mathrm{b}}_{}}$ -${\displaystyle {}_{}}$1 ${\$ 길이$$ k ${\displaystyk k$ 가 있다.

${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{1},b_{2},b_{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,{0},b_{2},b_{2},b_{k-1},0,1,1,1,\caps }$

${\displaystyle {\mathrm{초기}}_{}}$ 시퀀스 $b{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$b ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$b${\displaystyle }$-${\displaystyle 1_{}}$ ${\${2$},\$dots,$b_{k-1}$는 궤도의 비주기적 부분에 해당하며$$, 그 후에 반복이 모든 0(동등하게, 모든 원)으로 안착된다.

비트 문자열로 표현된 지도의 주기적인 궤도를 이성들에게 볼 수 있다. That is, after an initial "chaotic" sequence of ${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{k-1}}$, a periodic orbit settles down into a repeating string ${\displaystyle b_{k},b_{k+1},b_{k+2},\dots ,b_{k+m-1}}$ of length ${\di$$splaystyle m}$. 그런 반복적인 시퀀스가 합리적인 숫자에 해당한다고 보기는 어렵지 않다. 글쓰기

${\displaystyle y=\sum _{j=0}^{m-1}b_{k+j}2^{-j-1}}$

한 사람이 분명히 가지고 있다.

${\displaystyle \sum \j=0}^{}b_{k+j}2^{-j-1}=y\sum_{j=0}^{{j=0}^{}}}{\fract{1-2}}:}$

초기 반복되지 않는 순서에 따라, 한 사람은 분명히 합리적인 숫자를 가지고 있다. 사실, 모든 합리적인 숫자는 이러한 방식으로 표현될 수 있다: 초기 "랜덤" 순서, 그리고 순환 반복 순서. 즉, 지도의 주기적인 궤도는 이성애자들과 일대일 일치한다.

이 현상은 많은 혼란스러운 시스템에서 비슷한 일이 일어나기 때문에 주목할 가치가 있다. 예를 들어, 콤팩트 매니폴드의 지오디컬은 이러한 방식으로 동작하는 주기적인 궤도를 가질 수 있다.

그러나 이성적인 것은 현실에서 측정치 0의 집합임을 명심하라. 거의 모든 궤도는 주기적이지 않다! 주기적 궤도는 불합리한 숫자에 해당한다. 이 속성은 보다 일반적인 환경에서도 유효하다. 공개적인 질문은 주기적인 궤도의 행동이 시스템 전체의 행동을 어느 정도 구속하는가에 관한 것이다. 아놀드 확산과 같은 현상은 일반적인 해답이 "많지 않다"는 것을 암시한다.

밀도 제형

지도의 작용으로 개별 점의 궤도를 보는 대신에, 지도가 단위 간격의 밀도에 어떻게 영향을 미치는지 탐구하는 것도 마찬가지로 가치가 있다. 즉, 장치 간격에 약간의 먼지를 뿌린다고 상상하십시오. 어떤 곳은 다른 곳보다 더 밀도가 높다. 한 번 반복하면 이 밀도는 어떻게 되는가?

Write ${\displaystyle \rho :[0,1]\to \mathbb {R} }$ as this density, so that ${\displaystyle x\mapsto \rho (x)}$. To obtain the action of ${\displaystyle T}$ on this density, one needs to find all points ${\displaystyle y=T^{-1}(x)}$ and write^[7]

${\displaystyle \rho (x)\mapsto \sum _{y=T^{-1(x)}{\fract {\rho (y)}{T^{\prime }(y)}}}}}}}}}}$

The denominator in the above is the Jacobian determinant of the transformation, here it is just the derivative of ${\displaystyle T}$ and so ${\displaystyle T^{\prime }(y)=2}$. Also, there are obviously only two points in the preimage of ${\displaystyle T^{-1}(x)}$, these are ${$$\displaystyle y=x/2}$ 및$$ ${\displaystyle y}$=${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$/ 2.${\displaystyle$ y$=(x+1)/2.$$}}$ 모두 종합해$$ 보면, 한 사람이 된다.

${\displaystyle \rho(x)\mapsto {1}{1}{1}:{1}\rho \\rho \!\frac {1}{x}{x}}\frac {1}{1}{1}{1}}\frac {x+1}{2}}}{2}}}}}}$

관례에 따라 이러한 지도는 $L{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 의해 표시되므로$$ 이 경우에는 기록하십시오.

${\displaystyle \left[{\mathcal{L}_{T}\rho \right]={\frac {1}{1}2}}\rho \!\{\frac{x}{2}}\right)+{\frac {1}{1}{1}{x+1}{x}{x+1}{2}{{2}}}}{{{{n2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{2}}}}}}}}}}}}}}}{}}}$

The map ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$ is a linear operator, as one easily sees that ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}(f+g)={\mathcal {L}}_{T}(f)+{\mathcal {L}}_{T}(g)}$ and ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}(a$$f)=a{\mathcal{L}_{T}(f)}$은(는${\displaystyle )}$ 모든 ${\displaystyle \mathrm{함수}}$ f$,$ g {\$displaystyle$ f$,g$$}$ 및 $모든{\displaystyle }$ 상수$$a {\$displaystyle a}$에 대해$$$.$

선형 연산자로 간주되는 가장 분명하고 긴급한 질문은 주파수란 무엇인가?이다. 하나의 고유치는 명백하다: 만약 ${\displaystyle \rho }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 1 $모든{\displaystyle }$ x$$${\$$displaystyle$\$rho (x)=1}$에 대해$$ ${\displaystyle {}_{}}$ = L ${\displaystyle T_{}}$ =${\displaystyle }$=$$ {\$displaystyle {\L}_{$T}\$rho$=\$rho }$을(으)가 있으므로 변환 시 균일한 밀도는 불변한다. 이것은 사실 연산자 $L{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$ ${\$의 최대 고유값으로 프로베니우스-페론 고유값이다. 일률적인 밀도는 사실 디아디드 변환의 불변적 측도일 뿐이다.

$L{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$ ${\$의 스펙트럼을 보다 상세하게$$ 탐구하려면 먼저 작업할 수 있는 적절한 기능 공간(단위 간격)에 자신을 제한해야 한다. 이 공간은 측정 가능한 르베그 함수의 공간일 수도 있고, 정사각형 통합 함수의 공간일 수도 있고, 어쩌면 다항식일 수도 있다. 스펙트럼을 얻을 수 있지만 이러한 공간들 중 어느 곳에서도 작업하는 것은 놀랄 만큼 어렵다.^[7]

보렐 공간

A vast amount of simplification results if one instead works with the Cantor space ${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$, and functions ${\displaystyle \rho :\Omega \to \mathbb {R} .}$ Some caution is advised, as the map ${\displaystyle T(x)=2x{\bmod {1}}}$ is 실제 숫자의 단위 간격에 정의되며, 실제 숫자의 자연 위상을 가정한다. By contrast, the map ${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(b_{1},b_{2},\dots )}$ is defined on the Cantor space ${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$, which by convention is given a very different topology, the product topology. 토폴로지의 충돌 가능성이 있으므로 주의해야 한다. 그러나, 위에서 제시된 바와 같이, 칸토어로부터 실제에 설정된 동형성이 있는데, 다행히 오픈 세트로 맵핑하여 연속성의 개념을 보존한다.

칸토어 세트 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$= { ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1{}^{}}$} ${\displaystyle {N\mathbb{}}^{}}${\$displaystyle \Oomega =\{0,1\}^{\mathb{N$을(를) 사용하려면 이에 대한 토폴로지를 제공해야 하며, 관례상 이것이 제품 토폴로지를 제공해야 한다. 세트 콤플렉스에 인접하여 보렐 공간, 즉 시그마 대수까지 확장할 수 있다. 위상은 실린더 세트의 위상이다. 실린더 세트는 일반적인 형태를 가지고 있다.

${\displaystyle (*,*,*,*,\cHB,*,b_{k},b_{k+1},*,\cHB,*,b_{m},*,\cHB )}$

여기서 $\ast {\displaystyle }$ ${\displaystyle *}$은(는) ${\displaystyle {임의}_{}}$ 비트 값이며$$(필수적으로 동일한 것은 아님), $b{\displaystyle {}_{}}$ k ,${\displaystyle {}_{}{b}_{}}$, …${\displaystyle b_{k},b_{m},\m$}}은$($는) 무한 비트 문자열에 산재해 있는 특정 비트 전송의 제한된 수입니다$$. 이것들은 토폴로지의 공개 집합이다. 이 공간에 대한 표준적인 조치는 페어 코인토스에 대한 베르누이 조치다. 임의의 위치의 문자열에 비트가 하나만 지정되어 있으면, 측정치는 1/2이다. 2비트가 지정되어 있는 경우, 측정치는 1/4 등이 된다. 더 많은 정보를 얻을 수 있다: 실제 숫자 < 1 ${\displaystyle 0<p<1$}을(를$)$ 지정하면 측정값을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \mu _{p}(*,\filename,*,b_{k},*,\filename )=p^{n}(1-p)^{m}}}$

시퀀스에 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$개의$$ $머리$와 m ${\displaystyle m}$개의$$ 꼬리가 있는 경우. 지도에 의해 보존되기 때문에 $p{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle p=1/2$}을$($를) 사용한 측도가 선호된다$$.

${\displaystyle (b_{0},b_{1},b_{1},b_{2},\mapsto x=\sum _{n=0}^{n}}}{{2^{n+1}.}$

So, for example, ${\displaystyle (0,*,\cdots )}$ maps to the interval ${\displaystyle [0,1/2]}$ and ${\displaystyle (1,*,\dots )}$ maps to the interval ${\displaystyle [1/2,1]}$ and both of these intervals have a measure of 1/2. 마찬가지로$,{\displaystyle }$ (${\displaystyle \ast ,}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \ast ,}$…${\displaystyle }$) ${\displaystyle (*,0,*,\dots )}$을(를) 간격$[{\displaystyle 0,}$ $1$${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 4\mathrm{}][1}$ / ${\displaystyle 2\mathrm{}],}$ ${\displaystyle 3}$/ $][\displaystyle [0,1/4]\cup [1/4]$에 매핑하지만 여전히$$ 측정치는 1/2이다. 즉, 위에 내장되어 있는 것이 그 대책을 보존한다.

대안은 글을 쓰는 것이다.

${\displaystyle (b_{0},b_{1},b_{1},b_{2},\mapsto x=\sum _{n=0}^{n=0}}\ft[b_}p^{n+1}+(1-b_{n})(1-p)^{n+1}{n+1}\rig}$

측정 ${\displaystyle {\mu }_{}}$ p${\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle \mu _{p}.$$}$ 즉$$, 단위 간격의 측정이 다시 르베그 측정이 되도록 지도화한다.

프로베니우스-페론 연산자

Denote the collection of all open sets on the Cantor set by ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ and consider the set ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ of all arbitrary functions ${\displaystyle f:{\mathcal {B}}\to \mathbb {R} .}$ The shift ${\displaystyle T}$ induces a pushforward

${\displaystyle f\circule T^{-1}$

$({\displaystyle f}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$)${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle T{}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \left(f\circle T^{-1}\right)\!(x)=f(T^{-1})(x)$로 정의된다.$}$ This is again some function ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to \mathbb {R} .}$ In this way, the map ${\displaystyle T}$ induces another map ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$ on the space of all functions ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to \mathbb {R} .}$ That is, given some ${\displaystyle }$${\displaystyle f}$: ${\displaystyle B}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$정의한다.

${\displaystyle {\mathcal{L}_{T}f=f\circle T^{-1}$

이 선형 연산자를 전송 연산자 또는 Ruelle-Frobenius-Perron 연산자라고 한다. 가장 큰 고유값은 프로베니우스-페론 고유값이며, 이 경우 1이다. 관련 고유 벡터는 불변 측정값이다. 이 경우 베르누이 측정값이다. 다시 L ${\displaystyle T_{}}$ (${\displaystyle \rho }$ ) =${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}_{T}(\rho )=\rho }$일 때 $\rho {\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= 1${\displaysty$$\rho (x)=1$.$}$

스펙트럼

$L{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$ ${\$의 스펙트럼을 얻으려면 공간 $F{\displaystyle \mathcal{}}$.$${\$displaystyle {\mathcal {F}}$에 적합한 기본 함수 집합을 제공해야 한다$.$ 그러한 $선택{\displaystyle \mathcal{}}$ 중 하나는$$ F ${\$을(으)의 집합으로$$ 제한하는 것이다. 이 경우 연산자는 이산 스펙트럼을 가지며, 고유특성은 (악의적으로) 베르누이 다항식이다!(^[8]이러한 명명 우연은 아마도 베르누이에게는 알 수 없었던 것으로 추측된다.)

실제로 쉽게 확인할 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal{L}_{T}B_{n}=2^{-n}B_{n}}}}$

여기서 ${\displaystyle {Bn}_{}}$ ${\$는 베르누이 다항식이다. 이것은 베르누이 다항식들이 정체성에 복종하기 때문에 뒤따른다.

${\displaystyle {\frac {1}{2}}B_{n}\!\left({\frac {y}{2}}\오른쪽)+{\frac {1}{1}{2}}B_{n}\!\left({\frac {y+1}{2}}\오른쪽)=2^{-n}B_{n}(y)}$

$B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= 1${\displaystyle B_{0}(x)=$$1$.$}$

또 다른 기초는 하르 기초에 의해 제공되며, 공간을 아우르는 함수는 하르 웨이블렛이다. 이 경우 복잡한 평면의 단위 디스크로 구성된 연속 스펙트럼을 찾는다. 장치 디스크에 $z$${\displaystyle }$$\$ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ {\$displaystyle$ z$\in \mathb {C}이($가) 부여되어 < 1 {\$displaystyle$ z $<1$ 함수

${\displaystyle \do_{z,k}(x)=\sum _{n=0}^{\n^{n}\expi(2k+1)2^{n}x}$

순종하다

${\displaystyle {\mathcal{L}_{T}\psi _{z,k}=z\psi _{z,k}}$

$k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$. ${\displaystyle k\in \mathb {Z}.}$ 이는 모든$$ 정수를${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{2k}}$+ 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle {2n}^{}}$ .${\displaystyle (2k+1)2^{n}$ 형식으로 작성할 수 있다는 점에서 완전한 기준이다.$$ 베르누이 다항식은 $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle k=0}$ 및$$ $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$,${\displaystyle }$1 ${\displaystyle \frac{4}{}}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle$ z$={\frac {1}{1$}2$}},{\frac${1$}{4},\dots }$을 설정하여 복구한다.

완전한 근거는 다른 방법으로도 주어질 수 있다; 그것들은 허위츠 제타 함수의 관점에서 쓰여질 수도 있다. 타카기 기능에 의해 또 하나의 완전한 근거가 제공된다. 이것은 프랙탈이고, 차별화 될 수 있는 기능이다. 고유 기능은 명시적으로 형식이다.

${\displaystyle {\mbox{blanc}_{w,k}(x)=\sum _{n=0}^{\infit _w^{n}s((2k+1)2^{n}x)}}}$

여기서 $s{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle s(x)}$은 삼각파다. 한 명은, 다시,

${\displaystyle {\mathcal{L}_{T}{\mbox{blanc}}_{w,k}=w\;{\mbox{blanc}}}}.}$

이 모든 다른 베이스들은 1-안타의 선형 결합으로 표현될 수 있다. 이런 의미에서 그들은 동등하다.

프랙탈 고유특성은 모듈 그룹의 프랙탈 그룹화 하의 명시적 대칭을 보여준다; 이는 타카기 함수(블랑칸지 곡선)에 관한 글에서 더 자세히 전개된다. 놀랄 일은 아니다. 캔터 세트는 정확히 같은 대칭 집합을 가지고 있다(계속 분율과 동일). 그리고 이것은 타원 방정식과^{[disambiguation needed]} 모듈형식의 이론으로 우아하게 이어진다.

참고 항목

• 베르누이 과정
• 베르누이 계획
• Gilbert-Shannon-Reds 모델, 단위 간격의 n개의 균일한 랜덤 포인트 집합에 더블링 맵을 적용하여 주어진 순열에 대한 랜덤 분포

메모들

참조