위링거의 표현과 투영 정리

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수학에서, 위링거의 표현과 투영 정리는 1932년 빌헬름 위링거가 근사 이론의 일부 문제와 관련하여 증명한 정리이다.이 정리는 ${\displaystyle {홀모픽\mathrm{}}_{}}$부분 $공간$ H2$(\$displaystyle \$left)$에 대한 표현식을 제공합니다.$\right.H_{$2}} 단순$$ 무가중 홀모픽 ${\displaystyle Hilbert{}^{}}$ ${\displaystyle {공간\mathrm{}}^{}}$L2의 \right.$H_{$2}} \$displaystyle \left.$$\right.L^{2}}$의 함수는 유닛 디스크 : < $}(\displaystyle \left).$$\right.\{z:$ 복합 평면의 z $<1\},$ ${\displaystyle {L2}^{}}$로부터의$$ 투영 형태(\$displaystyle \left).$$\right.L^{2}}$에서 $(\$$\right.H_{2$

위링거의 논문은 다른 증거와 함께 조셉 L. 월시의 유명한 논문 (150페이지)에도 제시된 다음과 같은 정리를 포함하고 있다.${\displaystyle F(z)}$ {\$displaystyle\$$left$일 경우.$오른쪽. 왼쪽.$$F(z)\right.$}은(는) $L2$(\$style\$left$)$입니다$.$$right.L^{2}:$ < \ $displaystyle$ \$left$。$\right.$ z <1 즉

$\displaystyle \iint _{ z < 1) F(z) ^{2} , dS <+\infty , }$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 d S$$\ $displaystyle \$$left$.$\right.d$$S}$는 면적 요소이며, 다음으로 고유 ${\displaystyle 함수}$ f${\displaystyle (z}$ $)\displaystyle \$$left$입니다.${\displaystyle {H2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {L2\mathrm{}}^{}}$ \ displaystyle H_{$2}\subset L^{2$의 \$right.f(z)}$는 다음과 같습니다$.$

$\displaystyle \iint _{ z < 1) F(z)-f(z) ^{2},dS}$

가장 적게, 에 의해 주어진다.

${\displaystyle f(z)=frac {1}{\pi }}}\iint_{\zeta <1}F(\zeta){(1-{\overline {zeta }}z}^2}},\frac z <1.}$

마지막 공식은 L $(\$로부터의 직교 투영 형식을 제공합니다.$\right.L^{2}}$에서 $(\$$\right.H_{2$ 게다가${\displaystyle }$F ( ${\displaystyle )}$ $)$의 치환$(\$displaystyle \$left).$$\$${\displaystyle \mathrm{right}}$$.F$$(\zeta)$ ${\displaystyle f(}$ $))\displaystyle \left.$\$right.f(\zeta)}$는 $모든{\displaystyle }$ f${\displaystyle (z){}_{}}$ $(\$ f$(z)\in$ H_${2$에 대한 Wirringer의 표현입니다.이것은 Cauchy 커널의 제곱을 갖는 잘 알려진 Cauchy 적분 공식과 유사합니다.이후 1950년대 이후 코시 커널의 정도는 재생 커널이라고 불리며 A $\$$left$ ${\displaystyle 표기}$라고 불립니다.\$right.A_{0}^{$2$$$}}:$ ${\displaystyle {클래스\mathrm{}}_{}}$H2(\$displaystyle\$$left)$에서 공통화되었습니다$.$$\right.H_{2$

1948년 Mkhitar Djrbashian은^[3] 위링거의 표현과 투영을 더 넓고 무게감 있는 힐베르트 ${\displaystyle {공간}_{}^{}}$ A ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2$$\ $displaystyle \$$left$로 확장했다.${\displaystyle \mathrm{함수}}$ f$($$$z )의$\right$.A_${\alpha$ }^{2$}\$$displaystyle \left.$$right.f(z)}$ < \ $displaystyle \$$left$ .\$right.$z <$1$ 조건을 만족시킵니다$.$

$\displaystyle \f\{\alpha }^2}=\left\{\frac {1}{\pi }}\iint_{z} f(z)^{2}^{-alpha-1}, D\right\}^{1/2}<\intext {0}, \intext}(일부 \alpha})$

전체 함수의 힐베르트 공간에도 적용됩니다.이러한 결과의 확장은 일부 ${\displaystyle 가중치{}_{}^{}}$ A ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$2 \ $displaystyle \$$left$로 확장됩니다.$right.A_{\obega$}^{$2}}$ z$$ < \ $displaystyle \$$left$ 에서의 함수 공간.$\right. z$ <$}$ 및 전체 함수의 유사한 공간, 각각z< 1 \ $displaystyle \$의 모든 함수와 일치합니다.\^[4]$right.$z <$1}$ 및 전체 함수 집합을 볼 수 있습니다$.$

「 」를 참조해 주세요.

• Jerbashian, A. M.; V. S. Zakaryan (2009). "The Contemporary Development in M. M. Djrbashian Factorization Theory and Related Problems of Analysis". Izv. NAN of Armenia, Matematika (English translation: Journal of Contemporary Mathematical Analysis). 44 (6).

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