부속식

수학에서, 특히 대수 기하학과 복잡한 다지관의 이론에서, 결합식은 그 다양성 안에 있는 품종과 과급면의 표준적 번들과 관련된다.투영 공간 등 품행이 좋은 공간에 내재된 품종에 대한 사실 추론이나 유도에 의한 이론 입증을 위해 자주 사용된다.

매끄러운 품종을 위한 부속품

평활 하위 변수에 대한 공식

X는 부드러운 대수적 다양성 또는 매끄러운 복잡한 다지관이 되고 Y는 매끄러운 X의 하위 변종이 된다.$포함{\displaystyle \mathcal{}}$ 지도 Y → X by i 및 X에서 Y의 이상적인 껍질${\$를 나타낸다$.$ i에 대한 정확한 순서는 다음과 같다.

${\displaystyle 0\to {\mathcal {I}/{\mathcal {I}^{2}\to i^{*}\O메가_{X}\to \Oomega_{Y}\to 0,}$

여기서 Ω은 동축 번들을 의미한다.이 정확한 순서의 결정요인은 자연 이형성이다.

${\displaystyle \omega_{Y}=i^{*}\omega_{X}\otimes \operatorname {det}({\mathcal{I}/{\mathcal{I}^{2}^{\vee}}}})$

여기서 $\vee {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ve }$은(는) 선 번들의 이중(dual)을 의미한다$$.

매끄러운 디비저의 특별한 경우

D가 X의 매끄러운 구분선이라고 가정해 보자.정상적인 번들은 X의 선다발 $O{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle D}$) ${\displaystyle {\mathcal{O}(D)}$까지 확장되며, 이상적인 D의 피복은 이중 $O{\displaystyle \mathcal{}}$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle D}$) ${\d$ 표시 스타일 {\$mathcal {O}(-D)}$에 해당한다$.$요람다발 $I{\displaystyle \mathcal{}}$/ ${\displaystyle I{\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle 2^{\mathrm{}}}$ ${\$은 $i{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathcal{}}$(${\displaystyle }$- $){\displaystyle$ i$^{*}{\mathcal {O}(-D)}$이며$,$ 위의 공식과 결합하면 다음과 같은 효과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle \omega _{D}=i^{*}(\omega _{X}\otimes {\mathcal{O})(D)).}$

표준계급에 있어서는 다음과 같이 말하고 있다.

${\displaystyle K_{D}=(K_{X}+D) _{D}$

이 두 공식 모두 부속식이라고 한다.

예

학위 d 과급기

매끄러운 $정도{\displaystyle }$ d$${\$displaystyle d}$ $초대면$ i : ${\displaystyle X}$↪ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ n$${\$displaystyle i:X\hookrightarrow \mathb {P} _{S}^{n}}}}}$을(를) 사용하면 접합식을 사용하여 표준 및 반-카논리적 번들을 계산할 수 있다.라고 읽는다.

${\displaystyle \omega_{X}\cong i^{*}\omega_{\mathb {P}^{n}}\otimes {\mathcal{O}_{X}(d)}$

이는 O ${\displaystyle X_{}}$- ${\displaystyle n\mathrm{}}$- 1${\displaystyle }$+ ${\displaystyle d}$)에 대한$$이형성 {\$displaystyle {\mathcal {O}_{X}(-n{-}1{+}d$

교차로 완성

For a smooth complete intersection ${\displaystyle i:X\hookrightarrow \mathbb {P} _{S}^{n}}$ of degrees ${\displaystyle (d_{1},d_{2})}$, the conormal bundle ${\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}$ is isomorphic to ${\displaystyle \mathcal{O}(-d_1)\oplus \mathcal{O}(-d_{}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d_{1})\oplus {\mathcal {O}}(-d_{2})}$, so the determinant bundle is ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d_{1}{-}d_{2})}$ and its dual is ${\displaystyle {\mathcal {O}}(d_{1}{+}d_{2})}$, showing

${\displaystyle \omega _{X}\,\cong \,{\mathcal {O}}_{X}(-n{-}1)\otimes {\mathcal {O}}_{X}(d_{1}{+}d_{2})\,\cong \,{\mathcal {O}}_{X}(-n{-}1{+}d_{1}{+}d_{2}).}$

이것은 모든 완전한 교차로에 대해 동일한 방식으로 일반화된다.

4중 표면의 곡선

${\displaystyle {\mathbb{P}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 1 ${\$^1}{1}:{1$}}$ 비성격 대칭 행렬에서 나오는 2차 다항식의 소멸 위치에 의해 $주어진{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ 4중 표면으로$$ P$$ 3 {\$displaystyle$^[1]We can then restrict our attention to curves on ${\displaystyle Y=\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$. We can compute the cotangent bundle of ${\displaystyle Y}$ using the direct sum of the cotangent bundles on each ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$, so it is ${\displaystyle \mathcal{O}(-2,0)\oplus }$${\displaystyle \mathcal{O}}$( ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle {\mathcal {O}(-2,0)\notus {\mathcal {O}}(2,0$mathcal {O}(2$)}$그 후, 정석 피복은 $O{\displaystyle \mathcal{}}$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$ ,${\displaystyle }$-${\displaystyle 2}$ $){\displaystyle${\$mathcal{O}(-2,-2)}$에 의해 주어지는데$,$ 이는 벡터 번들의 직접 합계의 웨지 분해법을 사용하여 찾을 수 있다.${\displaystyle \mathrm{그런}}$ 다음, 부속식을 사용하여 ${\displaystyle \in }$ ∈${\displaystyle }$( ( ${\displaystyle O}$( ,${\displaystyle b\mathcal{}}$)${\displaystyle f$\in $\Gamma({\mathcal {O}(a,b)})$ $섹션$의 소멸 위치에 의해 정의된 곡선을 다음과 같이 계산할 수 있다$.$

${\displaystyle \omega_{C}\,\cong \,{\mathcal{O}(-2,-2)\회수 {\mathcal{O}_{C}(a,b)\cong \, {\mathcal{O}_{-}}}(a{-}2).}$

푸앵카레 잔여물

제한지도 X ${\displaystyle \Omega \mathcal{}}$ X${\displaystyle {}_{}}$o${\displaystyle }$O (${\displaystyle D}$) → ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ D$${\$displaystyle \omega _{X}\otimes${\$mathcal{O}(D)\to \omega _{D}}}}$는 푸앵카레 잔류물이라고 불린다.X가 복잡한 다지관이라고 가정하자.그 다음, 구간에서 푸앵카레 잔여물은 다음과 같이 표현할 수 있다.함수 f의 소멸에 의해 D가 주어지는 오픈 세트 U를 고정한다.$O{\displaystyle \mathcal{}}$(${\displaystyle D}$) ${\displaystyle {\mathcal{O}(D)}$의 U에 대한 모든 섹션은 s/f로 쓸 수 있으며$$, 여기서 s는 U에 대한 홀로모르픽 함수다. η은 Ω의_X U에 대한 섹션이 되게 한다.푸앵카레 잔해가 지도야

${\displaystyle \eta \otimes {\frac {s}{f}}\mapsto s{\fract \eta}{\bigg }{f=0}}}$

즉, 벡터장 ∂/∂f를 볼륨 형태 η에 적용한 다음, 홀로모르픽 함수 s에 곱하여 형성된다.U가 로컬 좌표 z₁, ..., z와_n 같은 일부 i에 대해 ∂f/∂z_i ≠ 0을 인정하는 경우, 이 또한 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {g(z)\,dz_{1}\wedge \dotsb \wedge dz_{n}}{f(z)}}\mapsto (-1)^{i-1}{\frac {g(z)\,dz_{1}\wedge \dotsb \wedge {\widehat {dz_{i}}}\wedge \dotsb \wedge dz_{n}}{\partial f/\partial z_{i}}}{\bigg }_{f=0}.}$

푸앵카레 잔여물을 보는 또 다른 방법은 먼저 결합식을 이소모르피즘으로 재해석한다.

${\displaystyle \omega_{D}\otimes i^{*}{\mathcal{O}(-D)=i^{*}\omega _{X}.}$

${\displaystyle {}^{}\mathcal{}}$ 같은 오픈 세트 U에서 $i{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ O${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle D}$) ${\displaystyle i^{*}{\\mathcal{O}(-D)}$의 섹션은 df/f 형식의 홀모픽 함수 s의 산물이다$$.푸앵카레 잔여물은 Ω의_D 한 ${\displaystyle \mathrm{부분}}$과 $i{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathcal{}}$(${\displaystyle }$- D$){\displaystyle$ i$^{*}{\mathcal {O}(-D)}$의 한 부분의 쐐기 곱을 취하는 맵이다$.$

부속의 반전

접합식은 합체정확한 순서가 짧은 정확한 순서가 아닐 때 거짓이다.그러나 X의 특이점과 D의 특이점을 연관시키는 것은 이 실패를 이용하는 것이 가능하다.이런 유형의 이론은 결합의 역행이라고 불린다.그들은 현대의 혼혈 기하학에서 중요한 도구다.

평면곡선의 표준점수

Let ${\displaystyle C\subset \mathbf {P} ^{2}}$ be a smooth plane curve cut out by a degree ${\displaystyle d}$ homogeneous polynomial ${\displaystyle F(X,Y,Z)}$. We claim that the canonical divisor is ${\displaystyle K=(d-3)[C\cap H]}$ where ${\displaystyle H}$하이퍼플레인 디비저 입니다.

첨부 차트 Z${\displaystyle \mathrm{z}}$ $0{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ Z$\neq 0}$의 첫 번째 작업$.$방정식은 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{F}}$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle \mathrm{y}}$, 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle f(x,y)=F(x,y,1)=0}$이 되고 여기서$$ $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle X}$/ Y ${\displaystyle x=$${\displaystyle X}$$/Y}$ $및{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{y<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; x=X/Y\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/95f34ef9fee27bee6075b928a0d65c3501df2daf"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:9.344ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="130">}}$= Y${\displaystyle }$/ Z ${\displaysty y=Y/Z}$의 구분을 명시적으로 계산한다$.$

${\displaystyle \omega :={\frac {dx}{\flac f/\property y}={\frac {-dy}{\frac f/\propert x}}}.}$

At any point ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ either ${\displaystyle \partial f/\partial y\neq 0}$ so ${\displaystyle x-x_{0}}$ is a local parameter or ${\displaystyle \partial f/\partial x\neq 0}$ so ${\displaystyle y-y_{0}}$ is a local para두$$ 경우 모두 지점에서 Ω ${\displaystyle \omega }$의 소멸 순서는 0이다.따라서 divisor $($) {\$displaystyle {\text{$div$}(\omega$ )}에 대한 모든$$ 기여는 무한대의 선에 $있으며{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \mathrm{Z}}$= 0 {\$displaystyle$ Z$=0}$.

$이제{\displaystyle }$ Z${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\$ 행을 보십시오$.$${\displaystyle \mathrm{좌표}}{\displaystyle }$$u{\displaystyle }$=${\displaystyle }$${\displaystyle 1}$/ y ${\$$displaystyle$$$$u=1/y}$ $및$ v${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$/ ${\displaystyle y}$ / ${\$$displaystyle$ $v=x/y}$을(를) 사용하여$$ $차트{\displaystyle }$ Y ${\displaystyle \ne }$ 0 ${\displaystyle Y\neq$ 0$}$을$(를)$ 살펴보기만 하면 $된다고$ 가정합시다$.$곡선의 방정식이 된다.

${\displaystyle g(u,v)=F(v,1,u)=F(x/y,1,1/y)=y^{-d}F(x,y,1)=y^{-d}f(x,y).}$

그러므로

${\displaystyle \f/\flash x=y^{d}{\frac {\frac}{\fract v}{\fract v}{\frac v}{\flash x}}=y^-1}{\fract g}{\frac {\frac}{\fraz v}}}}}}}}}}}$

그렇게

${\displaystyle \di}{\frac {-dy}{\frac f/\properties x}={1}{u^{2}}:{\frac {d-1}\property v}{d-3}{\fract v}{\frac g/propers v}}}}}}}}}$

with order of vanishing ${\displaystyle \nu _{p}(\omega )=(d-3)\nu _{p}(u)}$. Hence ${\displaystyle {\text{div}}(\omega )=(d-3)[C\cap \{Z=0\}]}$ which agrees with the adjunction formula.

원곡선을 그릴 응용 프로그램

평면 곡선의 속-도 공식은 접합 공식에서 추론할 수 있다.^[2]C ⊂ P는² 도 d와 속 g의 평탄한 평면 곡선이 되게 하라.H를 P의² 하이퍼플레인 등급, 즉 선의 등급이 되게 하라.P의² 표준 등급은 -3H이다.따라서 부속식에서는 (d - 3)H부터 C까지의 제한은 C의 정격계급과 같다고 한다.이 제한은 C로 제한되는 교차로 제품(d - 3)H c dH와 동일하므로 C의 정격 등급은 d(d-3)이다.Riemann-Roch 정리에 의해 g - 1 = (d-3)d - g + 1은 공식을 내포한다.

${\displaystyle g={\tfrac {1}{1}:{2}}(d{-}1)(d{-}2).}$

그 2차 곡면 표면 P1×P1bidegree(d1,d2)(각 투사의 P1에 섬유와 의미 d1,d2은 교차로도)에 만약 C가 부드러운 곡선, 이후 P1×P1의 정식 수업(−2,−2)bidegree다 Similarly,[3], 첨가 공식 bidegrees의 제수의 C의 정식 클래스는 교차로 제품을 보여 주a(d1,d2)알몬드(d1−2,d2−2).The intersection form on P¹×P¹ is ${\displaystyle ((d_{1},d_{2}),(e_{1},e_{2}))\mapsto d_{1}e_{2}+d_{2}e_{1}}$ by definition of the bidegree and by bilinearity, so applying Riemann–Roch gives ${\displaystyle 2g-2=d_1(d_2-2)+d_2(d_1-2}$${\displaystyle )}$ ${\displaystyle 2g-2=d_{1}(d_{2}{-}2)+d_{2}(d_{1}{-}2)$또는$$

${\dplaystyle g=(d_{1}{-1}1)(d_{2}{-1}1)\,=\,=\,d_{1}d_{1}d_{1}-d_{2}+1+1.}$

P에서³ 두 표면 D와 E의 완전한 교차점인 곡선 C의 속 또한 접합식을 사용하여 계산할 수 있다.d와 e가 각각 D와 E의 정도라고 가정하자.D에 첨가 공식을 적용하면 그 표준 구획이 (d - 4)H , 즉 (d - 4)H와 D의 교차로 제품임을 알 수 있다.C가 완전한 교차점이기 때문에 가능한 E로 다시 이것을 행하면 표준점수 C가 제품(d + e - 4) H ⋅ dH ⋅ eH, 즉 De d(d + e - 4)가 있음을 알 수 있다.리만-로치 정리에 의해, 이것은 C의 속성이라는 것을 암시한다.

${\displaystyle g=de(d+e-4)/2+1.}$

More generally, if C is the complete intersection of n − 1 hypersurfaces D₁, ..., D_{n − 1} of degrees d₁, ..., d_{n − 1} in Pⁿ, then an inductive computation shows that the canonical class of C is ${\displaystyle (d_{1}+\cdots +d_{n-1}-n-1)d_{1}\cdots d_{n-1}H^{n-1}}$.리만-로치 정리는 이 곡선의 속성이라는 것을 암시한다.

${\displaystyle g=1+{\tfrac {1}{1}:{1}2}}(d_{1}+\cdots +d_{n-1}-n-1)d_{1}\cdots d_{n-1}.}$

참고 항목

• 로그 형식
• 푸앵카레 잔류물

참조

• 교차로 이론 2판, 윌리엄 풀턴, 스프링거, ISBN 0-387-98549-2, 예 3.2.12.
• 대수 기하학의 원리 그리피스와 해리스, 와일리 고전 도서관 ISBN 0-471-05059-8 페이지 146–147.
• 대수 기하학, 로빈 하트숀, 스프링어 GTM 52, ISBN 0-387-90244-9, 발의안 II.8.20.