거의 마티외 연산자

수학 물리학에서 거의 마티외 연산자는 양자 홀 효과 연구에서 발생한다.그것은 에 의해 주어진다.

${\displaystyle [H_{\n\omega }^{\lambda ,\alpha }u](n)=u(n+1)+u(n-1)+2\lambda \cos(2\pi(\omega +n\alpha )n),\,}$

힐버트 공간 on $2{\displaystyle {}^{}}$ (${\displaystyle {}^{}Z\mathbb{}}$ )${\displaystyle \ell ^{2}(\mathb$ {$Z}$ $)\}.$ 여기 , T, > ${\displaystyle \alpha ,\omegain \mathb {T},\lambda >0}$은 매개 변수들이다.순수한 수학에서, 그것의 중요성은 에고딕 슈뢰딩거 연산자의 가장 잘 이해되는 예들 중 하나라는 사실에서 비롯된다.예를 들어, "21세기 동안" 슈뢰딩거 운영자에 대한 배리 사이먼의 15개 문제 중 세 가지 문제(현재 모두 해결됨)는 거의 마티외 운영자를 특징으로 했다.^[1]

$\lambda {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \lambda =1}$의 경우 거의 마티외 연산자를 하퍼 방정식이라고 부르기도 한다$.$

스펙트럼 타입

$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$이(가) 합리적인 $숫자$라면, ${\displaystyle H_{}^{}}$ ${\displaystyle {,}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}^{}}${\$displaystyle H_{\omega}^{\lambda$,\$alpha }}}}}}$은 주기 연산자이며$$ 플로케 이론에 따르면 스펙트럼은 순전히 절대적으로 연속적이다.

이제 $\alpha {\displaystyle }${\$displaystyle \alpha }$이(가) 비합리적인 경우로 하자.Since the transformation ${\displaystyle \omega \mapsto \omega +\alpha }$ is minimal, it follows that the spectrum of ${\displaystyle H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }}$ does not depend on ${\displaystyle \omega }$. On the other hand, by ergodicity, the supports of absolutely continuous, singular continuo우리들, 그리고 스펙트럼의 순수 포인트 부분은 거의 확실히 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}$에 독립적이다$.$ 라는 것이 지금 알려져 있다.

• $>{\displaystyle 0<\lambda <1}$, ${\displaystyle H_{}^{}}$ Ω${\displaystyle {}_{}^{}}$ , ${\displaystyle {\alpha }_{}^{}}${\$displaystyle H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }}}}}}$의 경우 확실히 순수하게 연속 스펙트럼이$$ 있다.^[2](이것은 사이먼의 문제 중 하나였다.)
• $\lambda {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \lambda =1$ $H{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\Omega }_{}^{}}$ ${\displaystyle {,}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}^{}}$ ${\$의 경우 비합리적인 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystylepha \lapa }$에 대해 순수하게 연속 스펙트럼이 있다$$$.$^[3]
• > ${\displaystyle \lambda >1$ H ${\displaystyle {\Omega }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ,${\displaystyle {\alpha }_{}^{}}$ ${\$의 경우 거의 확실히 순수 포인트 스펙트럼을 가지며$$ 앤더슨 현지화를 나타낸다.^[4](대체가 거의 확실하게 될 수 없는 것으로 알려져 있다.^[5][6]

$스펙트럼{\displaystyle }$ 측정이 singular${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \lambda \geq 1}$이(가) 제공된 Lyapunov 지수 $){\displaystyle \gamma(E)}$에 대한 하한에서 (라스트 및 Simon의 작업을 통해)을$$ 따를 때 단수 있다는 것.

${\displaystyle \gamma(E)\geq \max\{0,\log(\lambda )\}\,}$

이 하한선은 일찍이 거의 엄격한 오브리와 안드레의 논쟁 끝에 에이브론, 사이먼, 마이클 허먼에 의해 독립적으로 증명되었다.실제로 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$이 스펙트럼에 속할$$ 때 불평등은 장 부르가인과 스베틀라나 지토미르스카야에 의해 증명된 평등(오브리-안드레 공식)이 된다.^[8]

스펙트럼 구조

거의 마티외 운영자의 또 다른 두드러진 특징은 그것의 스펙트럼이 모든 불합리한 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$ 및$$ > 0 ${\displaystyle \lambda >0}$에 대해 설정된 칸토어라는 점이다이것은 아빌라와 지토미르스카야가 몇 번의 초기 결과(일반적으로^[10] 거의 확실하게^[11] 매개변수에 관한 것 포함)를 거쳐 당시 유명한 "10마티니 문제"(^[9]역시 사이몬의 문제 중 하나)를 해결함으로써 보여졌다.

더욱이 거의 마티외 사업자의 스펙트럼에 대한 르베그 측도는 다음과 같은 것으로 알려져 있다.

${\displaystyle \operatorname {Leb}(\sigma(H_{\\omega }^{\lambda ,\alpha })=4-4\lambda \,}$

> ${\displaystyle \lambda >0$$}$에 대해.${\displaystyle 1}$ =$$1 {\$displaystyle \lambda =$1}의$$ 경우 스펙트럼의 측정치가 0이라는 것을 의미한다(이것은 더글러스 호프스태터에 의해 처음 제안되었고 나중에 사이먼의 문제 중 하나가 되었다).^[12]$\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \lambda \neq$ 1$\}$의 경우 이 공식은 오브리와 안드레에 의해 수치로 발견되어 지토미르스카야와 크라소프스키에 의해 증명되었다.이전 Last는 대부분의 매개변수 값에 대해 이 공식을 입증했다.

$\lambda {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \lambda =1}$의 스펙트럼 연구는 호프스태터의 나비로 이어지며, 여기서 스펙트럼은 집합으로 표시된다.

참조