바버 역설

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이발사의 역설은 러셀의 역설에서 파생된 퍼즐이다. 버트란드 러셀이 역설의 삽화로 사용했지만, 그는 그것을 자신에게 제안한 이름을 밝히지 않은 사람 탓으로 돌린다.^[1] 퍼즐은 명백하게 그럴듯한 시나리오가 논리적으로 불가능하다는 것을 보여준다. 구체적으로는 이발사가 둘 다 면도하고 면도하지 않을 정도로 규정되어 있는 이발사를 묘사하고 있는데, 이는 이발사가 존재하지 않음을 암시한다.^[2][3]

역설

이발사는 "그 모든 것을 면도하는 자, 오직 면도하지 않는 자"이다. 문제는 이발사가 직접 면도하느냐는 것이다.^[1]

이 질문에 대답하면 모순이 생긴다. 이발사는 수염을 깎지 않는 자만 깎아서 수염을 깎을 수 없다. 따라서, 그가 몸을 단련하면, 그는 이발사가 되는 것을 그만두게 된다. 반대로 이발사가 직접 면도를 하지 않으면 이발사에게 면도를 당하게 될 사람들의 무리 속에 들어맞기 때문에 이발사로서 면도를 해야 한다.

원래 형태로는 이런 이발사가 존재할 수 없기 때문에 이 역설은 해결책이 없다. 그 질문은 이발사의 존재를 가정한 장전된 질문으로, 이는 거짓이다. 다른 비파독성 변이들도 있지만 그것들은 다르다.^[3]

History

This paradox is often incorrectly attributed to Bertrand Russell (e.g., by Martin Gardner in Aha!). It was suggested to Gardner as an alternative form of Russell's paradox,^[1] which Russell had devised to show that set theory as it was used by Georg Cantor and Gottlob Frege contained contradictions. However, Russell denied that the Barber's paradox was an instance of his own:

That contradiction [Russell's paradox] is extremely interesting. You can modify its form; some forms of modification are valid and some are not. I once had a form suggested to me which was not valid, namely the question whether the barber shaves himself or not. You can define the barber as "one who shaves all those, and those only, who do not shave themselves". The question is, does the barber shave himself? In this form the contradiction is not very difficult to solve. But in our previous form I think it is clear that you can only get around it by observing that the whole question whether a class is or is not a member of itself is nonsense, i.e. that no class either is or is not a member of itself, and that it is not even true to say that, because the whole form of words is just noise without meaning.

— Bertrand Russell, The Philosophy of Logical Atomism^[1]

This point is elaborated further under Applied versions of Russell's paradox.

In first-order logic

${\displaystyle (\exists x)({\text{person}}(x)\wedge (\forall y)({\text{person}}(y)\implies ({\text{shaves}}(x,y)\iff \neg {\text{shaves}}(y,y))))}$

This sentence says that a barber x exists. Its truth value is false, as the existential clause is unsatisfiable (a contradiction) because of the universal quantifier ${\displaystyle (\forall )}$. The universal quantifier y will include every single element in the domain, including our infamous barber x. So when the value x is assigned to y, the sentence in the universal quantifier can be rewritten to ${\displaystyle {\text{shaves}}(x,x)\iff \neg {\text{shaves}}(x,x)}$, which is an instance of the contradiction ${\displaystyle a\iff \neg a}$. Since the sentence is false for that particular value, the entire universal clause is false. Since the existential clause is a conjunction with one operand that is false, the entire sentence is false. Another way to show this is to negate the entire sentence and arrive at a tautology. Nobody is a barber, so there is no solution to the paradox.^[2][3]

${\displaystyle (\displaystyle x)({\text{person}(x)\bot )}$

${\displaystyle(\displaystyle)(\bot )}$

$\displaystyle \bot }$

참고 항목

• 칸토르의 정리
• 괴델의 불완전성 정리
• 중지 문제
• 역설의 목록
• 더블 바인드

참조

외부 링크

• 이발사의 역설의 제안
• 조이스, 헬렌 "수학적 미스터리: "이발사의 역설". 게다가 2002년 5월.
• Edsger Dijkstra가 그 문제를 떠맡았다.
• 모니스트, 제29권, 제3권, 1919년 7월 3일, 논리원자론의 철학, 354페이지
• 파이톤에서 러셀의 (바버) 패러독스 설명