레이븐 역설

헴펠의 역설, 헴펠의 까마귀라고도 알려져 있는 까마귀의 역설, 또는 드물게 실내 조류학의 역설이라고도 알려져 있는 까마귀의 역설은 진술에 대한 증거를 구성하는 것이 무엇인가 하는 질문에서 비롯되는 역설이다.^[1] 까맣지도 까마귀도 아닌 물체를 관찰하는 것은 직관적으로 이러한 관찰이 관련이 없음에도 불구하고 공식적으로 모든 까마귀가 까만 개체일 가능성을 증가시킬 수 있다.

이 문제는 1940년대에 논리학자 칼 구스타프 헴펠이 귀납논리와 직관 사이의 모순을 설명하기 위해 제안한 것이다.^[2]

역설

헴펠은 그 역설들을 가설의 관점에서 다음과 같이 설명한다.^[3][4]

(1) 까마귀는 모두 검다. 암시의 형태로, 이것은 다음과 같이 표현될 수 있다: 만약 어떤 것이 까마귀라면, 그것은 검은색이다.

이 진술은 상쇄를 통해 다음과 같다.

(2) 검은 것이 아니면 까마귀가 아니다.

(2)가 참이고, (1)이 또한 참이며, 마찬가지로 (2)가 거짓인 모든 상황(즉, 검지 않은 것이 아직 까마귀였던 세상이 상상이 되는 경우), (1)도 거짓이다.

모든 까마귀와 같은 일반적인 진술이 검정색인 경우, 일반계급의 특정 관측 가능한 예를 참조하는 동일한 진술의 형식이 일반적으로 그 일반 진술에 대한 증거를 구성하는 것으로 간주될 것이다. 예를 들어,

(3) 내 애완 까마귀는 검은색이다.

모든 까마귀가 검다는 가설을 뒷받침하는 증거다.

역설은 이 같은 과정이 문장 (2)에 적용될 때 발생한다. 녹색 사과를 보면 다음과 같은 것을 볼 수 있다.

(4) 이 초록색 사과는 검지 않고, 까마귀도 아니다.

같은 추리에 의해 이 진술은 (2) 어떤 것이 검지 않으면 까마귀가 아니라는 증거다. 그러나 (위와 같이) 이 진술은 논리적으로 (1) 모든 까마귀는 검은 색이기 때문에, 녹색 사과의 광경은 모든 까마귀가 검은 색이라는 개념을 뒷받침하는 증거라는 것을 따른다. 이 결론은 역설적으로 보인다. 왜냐하면 그것은 사과를 보고 까마귀에 대한 정보를 얻었다는 것을 의미하기 때문이다.

제안된 결의안

니코드의 기준은 까마귀의 관찰만이 모든 까마귀가 검은지 여부에 대한 관점에 영향을 주어야 한다고 말한다. 검은 까마귀의 더 많은 예를 관찰하는 것은 경관을 지지해야 하고, 흰까마귀나 색까마귀의 관찰은 그것과 모순되어야 하며, 비까마귀의 관찰은 어떠한 영향도 끼치지 않아야 한다.^[5]

Hempel의 동등성 조건은 명제 X가 다른 명제 Y를 지지하는 증거를 제공할 때, 그 다음 X는 논리적으로 Y와 동등한 명제를 지지하는 증거를 제공한다고 말한다.^[6]

현실적으로 까마귀의 집합은 유한하다. 검은색이 아닌 것들의 집합은 무한하거나 인간의 열거 범위를 벗어난다. '모든 까마귀는 검다'는 문구를 확인하기 위해서는 모든 까마귀들을 관찰할 필요가 있을 것이다. 이것은 어렵지만 가능하다. '비흑인은 모두 비흑인'이라는 문구를 확인하기 위해서는 비흑인 모든 것을 검사할 필요가 있을 것이다. 이건 불가능해 검은 까마귀를 관찰하는 것은 한정된 양의 확인 증거로 간주될 수 있지만, 검은까마귀가 아닌 것을 관찰하는 것은 극히 적은 양의 증거가 될 것이다.

역설은 니코드의 기준과 헴펠의 등가 조건이 상호 일관성이 없다는 것을 보여준다. 역설에 대한 결의는 다음 중 하나 이상을 거부해야 한다.^[7]

1. 영향을 미치지 않는 부정적인 예(!PC),
2. 동등 조건(EC), 또는,
3. 긍정적 인스턴스(NC)에 의한 검증.

만족스러운 결심은 또한 왜 순진하게 역설적으로 보이는지 설명해야 한다. 역설적인 결론을 받아들이는 솔루션은 우리가 직관적으로 거짓임을 알지만 (PC)와 혼동하기 쉬운 명제를 제시함으로써 이것을 할 수 있는 반면, 거부(EC)나 (NC)는 우리가 직감적으로 알고 있지만 (EC)나 (NC)와 혼동하기 쉬운 명제를 제시해야 한다.

관련성이 있는 것으로 비 레이블(non-raven)을 받아들이는 것

역설의 이러한 결론은 직관에 반하는 것처럼 보이지만, 일부 접근법은 (색깔이 있는) 비폭력의 관찰이 사실 (일반적인) 까마귀에 대한 가설을 뒷받침하는 유효한 증거를 구성할 수 있다는 것을 수용한다.

헴펠의 결심

헴펠 자신도 역설적인 결론을 받아들였는데, 그 결과가 역설적으로 보이는 이유는 우리가 사전 정보를 가지고 있기 때문인데, 그 정보 없이는 흑인이 아닌 비흑인의 관찰이 모든 까마귀가 흑인이라는 증거를 제공할 수 없을 것이다.

그는 "모든 나트륨 염은 노란색을 태운다"는 일반화의 예를 들어 설명하며, 노란색을 띠지 않는 무색의 불꽃에 순수한 얼음 조각을 누군가가 잡았을 때 나타나는 관찰을 고려해 보라고 우리에게 부탁한다.^{[3]: 19–20}

이 결과는 "노랗게 타지 않는 것은 소금 나트륨이 아니다"라는 주장을 확인할 수 있고, 결과적으로 균등성 조건에 의해 원래의 제형을 확인할 수 있을 것이다. 왜 이것이 우리에게 역설적인 인상을 주는가? 이전 상황과 화학적 체질이 아직 우리에게 알려지지 않은 물체를 불꽃으로 잡고 노란색으로 변하지 않는 실험의 경우를 비교해 보면 그 이유는 명확해지고, 이후의 분석에서 나트륨 염분이 전혀 함유되지 않는 것으로 밝혀진다. 이 결과는 가설에 근거하여 예상되었던 것이라는 점에 우리는 분명히 동의해야 한다. 따라서 여기서 입수한 자료는 그 가설을 입증하는 증거에 해당한다. 역설적으로 보이는 확증 사례에서, 우리는 종종 실제로 주어진 증거의 관계를 판단하지 않는 경우가 많다. E는 가설 H에 대한 가설 H에 대한 비교를 암묵적으로 도입한다. 그것은 우리가 임의로 가지고 있는 추가적인 정보와 함께 E로 구성된다. 우리의 삽화에서.이 정보에는 (1) 실험에 사용된 물질이 얼음이라는 지식과 (2) 얼음에는 나트륨 소금이 들어 있지 않다는 지식이 포함된다. 만약 우리가 이 추가 정보를 주어진 것으로 가정한다면, 물론, 실험의 결과는 고려 중인 가설에 힘을 더할 수 없다. 그러나 만약 우리가 추가적인 지식들에 대한 암묵적인 언급을 피하려고 조심한다면... 역설이 사라지다

표준 베이지안 용액

가장 인기 있는 결의안 중 하나는 녹색 사과의 관찰이 모든 까마귀가 검다는 증거를 제공한다는 결론을 수용하는 것이지만, 까마귀의 수와 비흑색 개체 수의 차이가 크기 때문에 제공되는 확인의 양이 매우 적다고 주장하는 것이다. 이 결의안에 따르면, 결론은 역설적으로 보인다. 왜냐하면 우리는 청색 사과의 관찰에 의해 제공된 증거의 양을 직관적으로 0으로 추정하기 때문이다. 사실 0은 아니지만 극히 작은 경우.

I. J. Good가 1960년에^[8] 이 주장을 제시한 것은 아마도 가장 잘 알려진 것일 것이며, 비록 1958년에^[10] 제시되어 왔으며 1940년경에는 초기 형태의 주장이 나타났지만 그 이후부터 변주된 주장이 인기를 끌었다.^[9][11]

굿의 주장은 물체의 집합에 있는 모든 까마귀가 검은 것이라는 가설에 찬성하여 검은 까마귀나 흰 구두의 관찰에 의해 제공되는 증거의 무게를 계산하는 것을 포함한다. 증거의 무게는 베이즈 인자의 로그인데, 이 경우 단순히 관측을 할 때 가설의 확률이 변하는 요인이다. 논거는 다음과 같다.

... 언제라도 볼 수 있는 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $N$$}$개체가$$ 있으며, $그{\displaystyle }$ 중 r ${\displaystyle$ r$}$$개체$는 까마귀이고 b ${\displaystyle b}$개체는 검은색이며$$, $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$개체는$$ 각각 ${\displaystyle \frac{\mathrm{1N}}{}}$ ${\displaystystyle$ {\$tfrac {1}{{N}$개}개의 가능성을 가지고 있다고 가정해$$ 보자. $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle H_$${i}$$$가설이 아닌 검은색$$ 까마귀가 $있다고{\displaystyle }$ 가정하고$$, 가설 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$H ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$.${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\$$H_{r}}$는 처음에 장착할 수 있다$$. 그러다가 우연히 검은 까마귀가 보이면 H ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$을 선호하는 베이즈 인자는$$

${\displaystyle {\tfrac{r}{N}{\Big /}{\text{평균}}\left({\tfrac {r-1}{N},{\tfrac {r-2}{N}, ..., ...\{\tfrac {1}{N}\오른쪽)\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\tfrac {2r}{r-1}}$

즉, 존재하는 까마귀의 수가 큰 것으로 알려진 경우 약 2마리. 하지만 우리가 흰 신발을 보는 요인은 단지

${\displaystyle {\tfrac {N-b}{{N}{\Big /}{\text-1}{평균}}\{\tfrac {N-b-1}{N}}, {\tfrac {N-2}}, ...,\max(0, {\tfrac {N-r}{N-r}}}}}}}}}}}}오른쪽)\)\}\}$

${\displaystyle \ =\\frac {N-b}{\max \left(N-b-{\tfrac {r}{2}}-{1}{1}, {\tfrac {1}{1}{1}{1}(N-b-1)\right)}}}$

$N{\displaystyle }$- ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle N-b}$이(가) $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ r$}$과(와) 비교하여 클 $경우$ r${\displaystyle }$/${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{2N}}$- ${\displaystyle \mathrm{2b}}$ )${\displaystyle r/(2N-2b)}$만 합치를 초과함$.$ 따라서 흰 구두를 보고 제공되는 증거의 무게는 양성이지만 까마귀의 수가 비흑색 물체의 수에 비해 적은 것으로 알려지면 작다.^[12]

이 결의안과 그 변형의 많은 지지자들은 베이시안 확률을 옹호해 왔으며, 치하라가^[13] 관찰하는 바와 같이, "베이시안 해법"과 같은 것은 없지만, 지금은 일반적으로 베이시안 해법이라고 불린다. 베이지안 사람들이 베이지안 기법을 이용해 내세운 '해결'은 여러 가지가 있다고 말했다. 베이지안 기법을 사용한 주목할 만한 접근 방식(일부 허용!PC와 그 대신 NC를 거부하는 것)에는 이어만,^{[14] [15]}엘스, ^[16]깁슨, 호시아손 ^[11]린덴바움, 하우슨과 ^[17]우르바흐,^[18] 맥키, 힌티크카 등이 있는데,^[19] 그는 자신의 접근방식이 "동일한 역설의 이른바 '베이지안 솔루션'보다 더 베이시안적인 것"이라고 주장한다. 카르납의 귀납적 추론 이론을 활용한 베이시안적 접근법으로는 험부르크,^[20] 마허,^[7] 피텔슨 & 호손 등이 있다.^[9] 브라나스는^[21] 혼란을 피하기 위해 표준 베이시안 솔루션이라는 용어를 도입했다.

카르나프 접근법

마허는^[7] 역설적인 결론을 받아들이고 이를 다음과 같이 반박한다.

(어떤 색이든) 비라벤은 모든 까마귀가 검은 색이라는 것을 확인시켜 준다.

(i) 이 물체가 까마귀가 아니라는 정보는 이 물체가 일반화의 백범일 가능성을 제거한다.

(ii) 관찰되지 않은 물체가 까마귀일 확률을 감소시켜 일반화에 대한 백배 확률을 감소시킨다.

(ii)에 도달하기 위해 그는 카르납의 귀납 확률 이론에 호소하는데, 이는 (베이지안 관점에서) 유도를 자연스럽게 구현하는 사전 확률을 할당하는 방식이다. 카르납의 이론에 따르면 $증거{\displaystyle }$ E ${\$displaystyle E$}$이(가) 관측된 후 물체, 즉 ${\displaystyle a}$이$($가) 술어, $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F$을(를) 가질 수 있는 $후확률{\displaystyle }$P ($F){\$$displaystystystyle E$$}$는 다음과 같다.

${\displaystyle P(Fa E)\\\\\\frac {n_{F}+\lambda P(Fa)}{n+\lambda }}}}$

여기서 $P{\displaystyle (F}$ a${\displaystyle }$) ${\$$displaystyle$ $P(Fa)}$은(는) ${\$$displaystyle a}$이(가) $F{\displaystyle }$ {\$displaystyle F}$라는 술어를 가질$$ 수 있는 초기 확률이며$,$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$은(사용 가능한 증거 $E{\displaystyle }$ ${\$$displaystystyty E}$에 $$따라) $n_{F})$가 O}이다.$f$는 F ${\displaystyle F}$ 와$$$\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$라는 술어가 있는 것으로 밝혀진 객체는 일반화에 대한 저항을 측정하는 상수다$$.

If ${\displaystyle \lambda }$ is close to zero, ${\displaystyle P(Fa E)}$ will be very close to one after a single observation of an object that turned out to have the predicate ${\displaystyle F}$, while if ${\displaystyle \lambda }$ is much larger than ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle P(FaE)}$${\displaystyle P(Fa E)}$은(는) $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$라는 술어가 있는 관찰된 개체의 비율에$$ $관계없이{\displaystyle }$ P${\displaystyle (F}$ ${\displaystyle a}$ ) ${\displaystyle$ P$(Fa)}$에 매우 근접하게 된다$$$.$

이 카르나피안 접근법을 사용하여, 마허는 우리가 직관적으로(그리고 정확하게) 알고 있는 명제를 식별하지만, 역설적인 결론과 쉽게 혼동한다. 문제의 명제는 비라비를 관찰하는 것이 우리에게 까마귀의 색깔에 대해 말해준다는 것이다. 이것은 직관적으로 거짓이고 카르납의 유도 이론에 따르면 역시 거짓이지만, (그 같은 이론에 따라) 비라벤을 관찰하면 전체 까마귀 수에 대한 우리의 추정을 줄일 수 있고, 따라서 모든 까마귀가 검다는 규칙으로 가능한 백작의 추정 수를 줄일 수 있다.

따라서 베이시안-카르나피아의 관점에서 보면 비라비안의 관찰은 까마귀의 색깔에 대해 아무것도 알려주지 않고, 까마귀의 유행을 말해주고, 까마귀가 아닐지도 모르는 까마귀의 수에 대한 우리의 추정을 줄임으로써 "모든 까마귀는 까맣다"를 지지한다.

배경지식의 역할

일반적으로 역설과 특히 베이지안 접근법에 대한 많은 논의는 배경지식의 관련성에 초점을 맞추었다. 놀랍게도, 마허는^[7] 많은 종류의 가능한 배경 지식의 구성에서, 흑인이 아닌 비흑인의 관찰은 검은 까마귀의 관찰과 정확히 같은 양의 확인을 제공한다는 것을 보여준다. 그가 고려하는 배경지식의 구성은 표본 명제에 의해 제공되는 것, 즉 원자 명제의 결합인 명제로서, 각 명제는 동일한 개인이 관여하는 두 개의 원자 명제가 없는 단일 개인에게 하나의 술어를 귀속시키는 것이다. 따라서 "A는 검은 까마귀, B는 흰 구두"라는 형식의 명제는 '검은 까마귀'와 '흰 구두'를 술어로 삼음으로써 표본 명제로 간주할 수 있다.

마허의 증거는 베이지안 논설의 결과와 모순되는 것으로 보이는데, 그것은 비흑색 비라벤의 관찰이 검은 까마귀의 관찰보다 훨씬 적은 증거를 제공한다는 것이었다. 그 이유는 굿 등이 사용하는 배경지식은 샘플 명제의 형태로 표현할 수 없기 때문이며, 특히 표준 베이지안 접근법의 변형에서는 까마귀의 총 수, 비흑색 물체 및/또는 총 물체 수가 정량적으로 알려져 있다고 종종 가정한다.es. 마허는 "우리가 까마귀보다 더 많은 검은 것이 있다고 생각하는 이유는 지금까지 관찰한 것들의 사실이기 때문이다. 이런 종류의 증거는 표본 명제로 대표될 수 있다. 그러나 ... 배경 증거로서 어떤 견본적인 명제를 볼 때, 검정 까마귀가 한 것처럼 검정 까마귀가 아닌 사람이 A를 강하게 확인한다는 것은... 따라서 나의 분석은 [즉, 표준 베이시안] 역설에 대한 이러한 반응은 정확할 수 없다는 것을 시사한다."

피텔슨 & 호손은^[9] 흑갈매기 관찰보다 흑갈매기 관찰이 증거를 적게 제공하는 조건을 조사했다. 그들은 $만약{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$이(가) 무작위로 선택된 물체라면$$, ${\displaystyle B}$ a ${\displaystyle Ba}$이(가) 물체가 검정색이라는 명제, $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle Ra}$이(가) 그 물체가 까마귀라는 명제라면, 그 조건은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {P({\overline {Ba}} {\overline {H}})}{P(Ra {\overline {H}})}}\ -\ P({\overline {Ba}} Ra{\overline {H}})\ \geq \ P(Ba Ra{\overline {H}}){\frac {P({\overline {Ba}} H)}{P(Ra H)}}}$

흑갈매기 관찰보다 흑갈매기 관찰이 적은 증거를 제공하기에 충분하다. 여기서, 명제 위에 있는 선은 그 명제의 논리적 부정을 나타낸다.

이 조건은 제공된 증거의 차이가 얼마나 큰지는 알려주지 않지만, 동일한 논문에서 나중에 계산하면 검은 까마귀가 제공한 증거의 무게가 약 -${\displaystyle \log }$ p${\displaystyle }$P${\displaystyle }$(${\displaystyle B}$ a ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a\stackrel{}{}}$ H$"){\displaystyle$-\$log$P ($Ba$ Ra${\overline {H$에 의해 검은색까마귀가 아닌 사람이 제공한 증거의 무게를 초과한다는 것을 알 수 있다. 이는 모든 까마귀가 검은 것은 아니라는 가설을 감안할 때, 알 수 없는 색깔의 까마귀가 검은색으로 발견되었을 때 제공되는 추가 정보의 양(비트로, 로그의 베이스가 2인 경우)과 같다.

Fitelson & Hawthorne은^[9] 다음과 같이 설명한다.

정상적인 상황에서 $p{\displaystyle }$= ${\displaystyle P(B}$ a R ${\displaystyle a}$ $"){\displaystyle p=P(Ba Ra{\overline{H}})$는 0.9 또는 0.95 정도일 수$$ 있으므로, $1{\displaystyle \mathrm{}/p}$ ${\displaysty$ 1/$p}$는 1.11 또는 1.05 정도일$$ 수 있다. 따라서, 까만 까마귀의 한 예는 까만 까마귀가 아닌 다른 까만 까마귀보다 훨씬 더 많은 지지를 주지 않는 것으로 보일 수도 있다. $그러나{\displaystyle }$ 그럴듯한 조건에서 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 인스턴스$$(즉, n-black non-black ravenses와 비교한 n-black ravens)의 순서에 따라${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$/ p${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle n^{}}$ ${\$의 순서에 따라 우도비 비율이 발생한다는 것을 보여줄 수 있다$.$

저자들은 그들의 분석이 비록 그들이 증명하려고 시도하지는 않지만 극히 적은 양의 증거를 제공한다는 가정과 완전히 일치한다고 지적한다; 그들은 단지 검은 까마귀가 제공하는 증거의 양과 검은까마귀가 아닌 다른 증거의 양 사이의 차이를 계산한다.정맥이 공급하다

긍정적인 사례로부터의 유도 문제 해결

패러독스를 해결하기 위한 몇몇 접근방식은 귀납적 단계에 초점을 맞춘다. 그들은 특정한 예(예: 하나의 까만 까마귀)에 대한 관찰이 일반 가설(예: 까마귀는 항상 까만 까만 까마귀)에 대한 신뢰를 반드시 높이는 종류의 증거인지에 대해 논쟁한다.

붉은 청어

선은^[22] 검은 까마귀의 관찰이 모든 까마귀가 검은 까마귀일 확률을 감소시키는 것에 관한 배경지식의 예를 보여준다.

우리가 두 세계 중 하나 또는 다른 세계에 있다는 것을 알고 있다고 가정해 보자면, H라는 가설은, 우리 세계의 모든 까마귀는 흑인이라는 것이다. 우리는 한 세계에는 백 마리의 검은 까마귀가 있고, 검은 까마귀가 없고, 다른 세계에는 백만의 까마귀와 백만의 새들이 있다는 것을 미리 알고 있다. 새는 우리 세계의 모든 새들로부터 임의로 장비적으로 선택된다. 알고 보니 까만 까마귀였다. 이것은 확실한 증거다... 모든 까마귀가 검은 것은 아닌 제2세계에 있다는 것을.

굿은 흰 구두가 '빨간 청어'라고 결론짓는다:때로는 검은 까마귀라도 모든 까마귀가 검다는 가설에 반하는 증거가 될 수 있기 때문에 흰 구두의 관찰이 그것을 뒷받침할 수 있다는 사실은 놀랍지도 않고 주목할 가치도 없다. 굿에 따르면 니코드의 기준은 거짓이며, 따라서 역설적인 결론은 뒤따르지 않는다.

헴펠은 역설의 해결책으로 이것을 거절하고, 'c는 까마귀고 검은 것'이라는 명제는 '다른 정보에 대한 언급 없이 그 자체로' 고려되어야 한다고 주장하면서, '...그것은 내 글의 제5.2(b)절에서 강조된 것이라고 지적하고… 휘의 그것과 같은 경우에 있어서 역설의 바로 그 출현을 강조했다.신발은 부분적으로 이 격언을 지키지 않아서 생긴다."^[23]

이때 발생하는 의문은 역설은 (Hempel이 시사하는 것처럼) 전혀 배경 정보가 없는 상황에서 이해되어야 하는 것인가, 아니면 까마귀와 검은 물체에 대해 우리가 실제로 보유하고 있는 배경 정보의 맥락에서, 또는 가능한 모든 배경 정보의 구성에 관해서 이해되어야 하는 것인가 하는 것이다.

Good는 일부 배경지식의 구성에서 Nicod의 기준이 거짓이라는 것을 보여주었다("인덕적 지원"을 "확률을 증가"하는 것과 동일시할 용의가 있다면 - 아래를 참조). 굿의 예와는 매우 다른 우리의 실제 지식의 구성과 관련하여, 니코드의 기준은 여전히 사실일 수 있고 그래서 우리는 여전히 역설적인 결론에 도달할 수 있었다. 반면 헴펠은 우리의 배경지식 자체가 청어라고 주장하며 완벽한 무지의 상태에 대해 유도를 고려해야 한다고 주장한다.

굿즈 베이비

마허는 자신이 제안한 결의안에서 "모든 까마귀는 검은 것"이라는 명제는 까마귀가 없을 가능성이 매우 높을 때 가능성이 매우 높다는 사실을 암묵적으로 이용했다. 굿은 니코드의 기준이 배경정보가 없는 상태에서 유지되도록 이해되어야 한다는 헴펠의 주장에 대해 이전에 이 사실을 이용했었다.^[24]

... 무한히 지능이 높은 신생아가 신경회로가 내장되어 있어 형식논리, 영어구문, 주관적 확률을 다룰 수 있다고 상상한다. 그는 이제 까마귀를 자세히 정의한 후 까마귀가 있을 가능성은 극히 낮으며 따라서 $모든{\displaystyle }$ 까마귀가 검정색, 즉 H ${\displaystyle H}$가 사실일$$ 가능성이 매우 높다고 주장할 수도 있다. 반면에, 그는 계속해서 '까마귀가 있다면, 다양한 색깔의 까마귀일 가능성이 있다. 그러므로 만약 검은 까마귀가 존재한다는 것을 알게 된다면 $나$는 H ${\displaystyle H}$이(가) 처음보다 덜 그럴 가능성이$$ 있다고 생각할 것이다.'

굿에 따르면 이것은 완전한 무지의 상태에 도달하기 위해 합리적으로 기대할 수 있는 만큼 가까이 있으며, 니코드의 상태는 여전히 거짓인 것으로 보인다. 마허는 카납의 유도 이론을 이용하여 한 마리의 까마귀가 있다면 많을 것 같다는 생각을 공식화함으로써 굿의 주장을 더욱 정밀하게 했다.^[25]

마허의 주장은 정확히 두 개의 물체가 있는 우주를 고려하는데, 그 각각은 까마귀일 가능성이 매우 낮고(1천 번의 확률 중 하나), 흑인이 될 가능성이 상당히 낮다(10번의 확률 중 하나). 그는 카르납의 유도를 위한 공식을 이용하여, 모든 까마귀가 검은 까마귀일 확률은 0.9985에서 0.8995로 두 물체 중 하나가 검은 까마귀라는 사실이 밝혀졌을 때 감소한다는 것을 발견한다.

마허는 역설적인 결론은 사실일 뿐만 아니라, (우주 속의 물체의 수가 두 개이고 까마귀가 검은 것들보다 가능성이 적다는 사실을 제외하고) 배경지식이 없는 상황에서 니코드의 기준은 거짓이라고 결론짓는다.

고유 술어

Quine은^[26] 역설의 해결책은 그가 자연종이라고 불렀던 특정 술어가 유도와 관련하여 뚜렷한 지위를 가지고 있다는 인식에 있다고 주장했다. 이것은 넬슨 굿맨의 술어 그루를 예로 들어 설명할 수 있다. 물체는 2022년 이전에는 파란색을, 그 후에는 초록색을 띤다. 분명히 2022년 이전에는 파란색이었던 물체는 이후에도 파란색으로 남아 있을 것으로 예상하지만, 2022년 이후에는 초록색이 될 것이기 때문에 2022년 이후에는 파란색이 될 것으로 예상하지 않는다. Quine의 설명은 "파란색"은 자연적인 종류라는 것이다; 우리가 유도에 사용할 수 있는 특권적인 술어인 반면, "회색"은 자연적인 종류가 아니며 유도를 그것과 함께 사용하는 것은 오류로 이어진다.

이는 역설에 대한 해결책을 제시한다 – 니코드의 기준은 "파란색"과 "검은색"과 같은 자연적인 종류에 대해서는 사실이지만 "회색"이나 "비라벤"과 같이 인위적으로 조작된 술어에 대해서는 거짓이다. 이 결의안에 따르면, 역설은 실제로 자연적인 종류에만 적용되는 니코드의 기준을 모든 술어에 적용하는 것으로 암묵적으로 해석하기 때문에 발생한다.

다른 술어보다 특정 술어를 선호하는 또 다른 접근법은 힌티카에 의해 취해졌다.^[19] 힌티크카는 까마귀와 검은 사물의 상대적 주파수에 대한 지식을 활용하지 않는 역설에 대한 베이시안적 접근을 찾으려는 동기가 생겼다. 그는 상대적 주파수에 관한 주장은 A형이 아닌 유형의 대상에 대한 학습을 목적으로 A형 대상의 관찰로 구성된 증거의 인식된 부적절성을 항상 설명할 수는 없다고 주장한다.

그의 주장은 "라벤"과 "검은색"이 아닌 다른 술어를 사용하여 역설의 말을 바꾸어 보면 알 수 있다. 예를 들어 '모든 남자는 키가 크다'는 것은 '모든 키가 작은 사람은 여자다'라는 것과 맞먹기 때문에 무작위로 뽑힌 사람이 키가 작은 여자라는 것을 관찰하는 것은 모든 남자가 키가 크다는 증거를 제시해야 한다. 키가 작은 사람보다 남자가 극적으로 적다는 것을 나타낼 만한 배경지식이 부족함에도 불구하고, 우리는 여전히 그 결론을 거부하는 경향이 있다. 힌티크카의 예는 다음과 같다: "…'어떤 물질적 실체도 무한히 분리되지 않는다'와 같은 일반화는 담론의 우주에서 물질적 실체와 비물질적 실체의 상대적 빈도에 대해 생각하는 것과는 별개로, 비물질적 실체에 관한 질문에도 전혀 영향을 받지 않는 것 같다."^[19]

그의 해결책은 술어 집합에 주문을 도입하는 것이다. 논리체계에 이 순서가 갖추어지면, 비흑색에 대해서는 순서 특권이 침해되기 때문에, 「모든 까마귀는 흑색이다」와 같은 일반화의 범위를 제한할 수 있다. 그의 표현에 따르면:

그는 "모든 까마귀는 까마귀가 검다"는 일반화의 범위가 까마귀에 국한될 수 있다고 가정할 때, 이는 우리가 사실 상황에 대해 신뢰할 수 있는 외부 정보를 가지고 있다는 것을 의미한다. 역설은 우리의 자발적인 상황관을 색칠하는 이 정보가 귀납적 상황의 일반적인 치료법에 통합되어 있지 않다는 사실에서 발생한다."^[19]

Hempel의 동등성 조건 거부

역설의 해결을 위한 일부 접근법은 헴펠의 동등성 조건을 거부한다. 즉, 그들은 모든 검은 물체가 검은 까마귀와 같이 논리적으로 동등한 진술을 반드시 뒷받침하기 위해 그 진술을 뒷받침하는 증거를 고려하지 않을 수 있다.

선택확정

셰플러와 굿맨은^[27] 과학적인 가설은 결코 실제로 확증되지 않고, 단지 거짓일 뿐이라는 칼 포퍼의 관점을 통합한 역설에 접근했다.

검은 까마귀의 관찰이 '모든 까마귀는 검은 것'이라는 것을 증명하는 것이 아니라 '까마귀는 검은 것이 없다'는 반대 가설을 왜곡하는 데서 접근법이 시작된다. 반면, 흑인이 아닌 비흑인은 "모든 까마귀는 검은색"과 "노 까마귀는 검은색"과 일치한다. 저자들의 설명에 따르면:

… 까마귀가 모두 까만 것이라는 진술은 까만 까마귀의 증거에 의해서만 만족하는 것이 아니라 그러한 증거에 의해 선호되고 있는데, 까만 까마귀는 모든 까마귀가 까만 것이 아니라는 상반된 진술, 즉, 까만 까마귀는 그 부인에 만족한다는 것이다. 다시 말해서 검은 까마귀는 모든 까마귀가 검은 것이 아니라 검은 것이라는 가설을 만족시킨다. 따라서 모든 까마귀가 검은 것이라는 것을 선택적으로 확인한다.

검은 까마귀가 "모든 까마귀는 검은 것"을 선택적으로 확인하지만 "모든 까마귀는 검은 것"은 그렇지 않기 때문에 선택적 확인은 동등성 조건을 위반한다.

확률론적 또는 비확률론적 유도

셰플러와 굿맨의 선택적 확인 개념은 "증거를 제공하라..."확률 증가..."와 일치하지 않는 것은 논리적으로 동등한 명제는 항상 동일한 확률을 가져야 하기 때문에 동등성 조건을 거부하는 모든 결의안의 일반적인 특징임에 틀림없다.

검은 까마귀의 관찰이 "모든 까마귀는 검은 것"이라는 명제의 확률을 증가시키려면 "모든 까마귀는 검은 것"이라는 명제의 확률을 정확히 똑같이 변화시키지 않고는 불가능하다. 관측치가 전자를 귀납적으로 지지하지만 후자를 지지하지 않는 경우, "귀납적 지지"는 명제의 확률 변화 이외의 것을 참조해야 한다. 가능한 허점은 "모든 것"을 "거의 모든 것"으로 해석하는 것이다 – "거의 모든 까마귀는 검은색이다"는 것은 "거의 모든 검은 것은 비-흑색이다"와 같지 않으며, 이러한 명제는 매우 다른 확률을 가질 수 있다.^[28]

이것은 확률 이론과 귀납적 추론의 관계에 대한 광범위한 문제를 제기한다. 칼 포퍼는 확률론만으로는 유도를 설명할 수 없다고 주장했다. 그의 주장은 가설 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$을$($를)$$증거 E {\$displaystyle E$에 의해 연역적으로 수반되는 부분과 또 다른 부분으로 나누는 것을 포함한다. 이것은 두 가지 방법으로 할 수 있다.

먼저 분할을 고려하십시오.^[29]

$\displaystyle H=A\ and\ B\ \ \ \ \ \ E=B\ and\ C}$

$여기$서 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ 및 $C$ ${\displaystyle C}$은(는) 확률적으로 독립적이다$$. $A$= $\ and\ B$= $P(A)P(B)$ 등$$. 그러한 H와 E의 분할이 가능하기 위해 필요한 은 P( )> ( H) ${\displaystyle P(H)$ $>P(H)},$즉 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$이($)$ E {\$displaystystyle E}$에 의해 확률적으로 지원된다는$$ 것이다$.$

Popper의 관찰에 따르면 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$의 $지원$을 받는$$ H ${\displaystyle H}$의 B ${\displaystyle B$ 부분이 $실제로$ E ${\displaystyle E}$에서 연역적으로 따라오는 반면$,$ $E$ ${\displaystyle E}$에서 따라오지 않는 $}$의 부분은 지원을 받지$$ 못한다.t $전체{\displaystyle }$ E$${\$displaystyle E}$ – $즉{\displaystyle }$,$$ ${\displaystyle P}$(${\displaystyle A}$) = ${\displaystyle P}$( A${\displaystyle }$)$${\$displaystyle$ P$(A)=P$(A$)\}.$

둘째, 분할:^[30]

${\displaystyle H=(H\ 또는\ E)\ 및\(H\ 또는 {\overline {E})}$

separates ${\displaystyle H}$ into ${\displaystyle (H\ or\ E)}$, which as Popper says, "is the logically strongest part of ${\displaystyle H}$ (or of the content of ${\displaystyle H}$) that follows [deductively] from ${\displaystyle E}$", and ${\displaystyle (H\ or\ {$$\overline{E$ "$E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$을(를) 초과하는 $H$ ${\displaystyle H}$가 모두 포함되어 있다"고 그는 말한다.$$ 그는 계속 다음과 같이 말한다.

$이{\displaystyle }$ 경우 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E$${\displaystyle \}}$이$($가) H ${\displaystyle H}$을(를) 얻기 위해 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$이(가) 단독으로 필요한$$ 인자$(H o$ $\{\overline {E})$에 대한 지원을 제공하는가$?$ 답은 다음과 같다$.$ 그것은 그렇지 않아. Indeed, ${\displaystyle E}$ countersupports ${\displaystyle (H\ or\ {\overline {E}})}$ unless either ${\displaystyle P(H E)=1}$ or ${\displaystyle P(E)=1}$ (which are possibilities of no interest). ...

이 결과는 확률의 미적분학에 대한 귀납적 해석에 완전히 파괴적이다. 모든 확률론적 지지는 순전히 연역적이다: 증거에 의해 연역적으로 수반되지 않는 가설의 그 부분은 항상 증거에 의해 강하게 반대된다. 확률론적 지지와 같은 것이 있고, 귀납적 지지와 같은 것도 있을 수 있다(우리가 그렇게 생각하지 않지만). 그러나 확률의 미적분학은 확률론적 지지가 귀납적 지지가 될 수 없다는 것을 보여준다.

정통적 접근법

가설검사의 정통적인 네이만-페르손 이론은 가설에 어떤 확률을 부여할 것인가 보다는 가설을 받아들일 것인가 기각할 것인가를 결정하는 방법을 고려한다. 이러한 관점에서 보면, 「모든 까마귀는 검다」라는 가설을 점차적으로 받아들이는 것이 아니라, 관찰이 점점 많아지면 그 확률이 1로 증가하기 때문에, 이미 수집된 데이터를 평가한 결과, 하나의 작용으로 받아들여진다. Neyman과 Pearson은 다음과 같이 말했다.

각각의 개별적인 가설이 사실인지 거짓인지를 알기를 바라지 않고, 우리는 그것들에 관한 우리의 행동을 통제하기 위한 규칙을 찾을 수 있다. 따라서 우리는 오랜 경험에서 우리가 너무 자주 틀리지 않도록 보장한다.^[31]

이 접근법에 따르면, 수용 여부를 결정할 때 가설 또는 경쟁 가설이 주어지는 확률을 반드시 고려해야 하지만, 가설의 확률에 어떤 값도 할당할 필요는 없다. 가설을 수용하거나 거부하는 것은 오류의 위험을 수반한다.

이는 가설에 사전 확률을 할당하도록 요구하는 베이시안 접근법과 대비되며, 이는 가설에 대한 최종 확률을 얻기 위해 관측된 데이터에 비추어 수정된다. 베이지안 틀에서는 가설들이 받아들여지거나 거부되지 않기 때문에 오류의 위험이 없다. 대신 그들은 확률을 할당받는다.

정설적 관점에서 역설의 분석이 수행되었으며, 다른 통찰 중에서도 동등성 조건에 대한 거부로 이어진다.

모든 P가 Q라는 가설을 받아들일 수 없고, 또한 반대론자, 즉 모든 비Q가 비P라는 가설을 거부할 수 없다는 것은 명백해 보인다. 그러나 Neyman-Pearson 시험 이론에서 "모든 P는 Q"의 시험이 반드시 "모든 비 Q는 P"의 시험이거나 그 반대라는 것을 쉽게 알 수 있다. 반면에"모든 non-Q들이non-P"의 시험은 모든 non-Q들의 형태 r{r\displaystyle}의 일부 통계적 대안에 참고가 필요한"모든 P가 Q"의 시험은 모든 P가 Q, 0<>r<1{\displaystyle 0<, r< 1}의 형태 r{r\displaystyle}의 대체 통계적 가설에 참고가 필요하다.non-P,< < ${\displaystyle 0<r<1$ 그러나 가능한 대안의 이 두 세트는 다르다... $따라서{\displaystyle }$ H ${\displaystyle H}$은(는) 이의 상대성에 대한 테스트를 거치지 않고$$ 테스트할 수 있었다.^[32]

물질적 함의 거부

다음과 같은 명제는 모두 '모든 물체는 까마귀가 아니거나 까마귀가 아니다', '모든 까마귀는 까맣게 된다', '모든 검은 물체는 비까마귀가 아니다'라는 서로 암시한다. 그러므로 그들은 정의상 논리적으로 동등하다. 그러나 세 가지 명제는 서로 다른 영역을 가지고 있다. 첫 번째 명제는 "모든 대상"에 대해 말하고, 두 번째 명제는 "모든 까마귀"에 대해 말한다.

첫 번째 명제는 양자화 영역("모든 개체")이 제한되지 않은 유일한 명제여서, 1차 논리로 표현할 수 있는 유일한 명제다. 논리적으로 다음과 같다.

$\displaystyle \ forall \ x,Rx\ \rightarrow \ Bx}$

그리고 또한.

${\displaystyle \ forall \ x,{\overline {Bx}\ \rightarrow \{\overline {Rx}}$

여기서${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \rightarrow}$은 재료 조건부를 나타내며, 이에 따라$$ "${\displaystyle }$ ${\$$displaystyle A}$ $그렇다면$ B {\$displaystyle$ $B}$ 또는$$ A${\$ {$A}"$을(를) 의미하는 것으로 이해할 수 있다.$$

몇몇 저자들은 물질적 $함의$가 "$만약{\displaystyle }$ A {\$displaystyle A$$},$B {\$displaystyle$ B}"의 의미를 완전히 포착하지 못한다고 주장해왔다(물질적 함의 역설 참조). "$모든{\displaystyle }$ 물체에 대해 x ${\displaystyle$ x$\},$ x ${\displaystyle$ x$}$는 까마귀가 없을 때 참이다. 까마귀가 없을 때 '모든 까마귀는 검다'는 말이 사실인 것처럼 여겨지기 때문이다. 더욱이 굿과 마허가 이 사실에 의존한 니코드의 기준(위 § 굿의 아기 참조)을 비판하기 위해 사용했던 주장들 – "모든 까마귀는 검은색"은 까마귀가 없을 가능성이 매우 높을 때 개연성이 매우 높다.

까마귀가 없는 데서 모든 까마귀가 검다고 말하는 것은 빈말이다. 그것은 아무것도 언급하지 않는다. "모든 까마귀는 백색"은 이 진술이 진실이나 관련성이 있다고 생각될 경우 동등하게 관련성이 있고 진실하다.

패러독스에 대한 일부 접근방식은 "$A{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $A}$이(가) $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ B$\}"$와 "All $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) $B{\displaystyle }$ ${\displaystytle B$}"$$를 해석하는 다른 방법을 찾으려고 노력해왔다.

그러한 접근법 중 하나는 "$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ 다음에$$ "$B{\displaystyle }${\$displaystyle B$이(가) $진실{\displaystyle }$ 값 I ${\\displaystyle$I$\}$을(를) 가지고 있다면, $A{\displaystyle }${\$displaystystyle$ A$}$이(가$$) 거짓일 때 "불확정" 또는 "부적절"을 의미하는 많은 가치의 논리를 도입하는 것이다.^[33] In such a system, contraposition is not automatically allowed: "If ${\displaystyle A}$ then ${\displaystyle B}$" is not equivalent to "If ${\displaystyle {\overline {B}}}$ then ${\displaystyle {\overline {A}}}$". Consequently, "All ravens are black" is not equivalent to "All non-black things are non-ravens".

이 시스템에서, 대칭이 발생할 때 조건부 관련 형식은 지시자("버터를 32°C로 가열하면 녹는다")에서 반작용자("만약 그 버터를 32°C로 가열했다면 녹았을 것")로 바뀐다. 이 주장에 따르면, 이것은 황소가 까마귀에 대해 우리에게 알려줄 수 있다는 결론을 내리는데 필요한 동등하다고 주장되는 것을 제거한다.

적절한 문법적 용법에서, 모순되는 주장이 전적으로 지시문에 명시되어서는 안 된다. 따라서 다음과 같다.

이 성냥이 긁히면 불이 붙는다는 사실에서 불이 붙지 않으면 긁히지 않았다는 것을 따르게 된다.

어색하다. 우리는 다음과 같이 말해야 한다.

이 성냥을 긁으면 불이 붙는다는 사실로부터, 불을 붙이지 않았더라면 긁히지 않았을 것이라는 사실을 따르게 된다……

이런 콘트라베이스 법칙의 해석이 헴펠의 확인 역설에 어떤 영향을 미치는지 궁금할 것이다. "$만약{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$이(가) 까마귀라면 ${\displaystyle a}$은(는) 까마귀가 아닐$$ 경우 ${\displaystyle a}$은 까마귀가 아닐 것$$"에 해당한다. 따라서 후자를 확인하는 것은 동등성 조건에 의해서도 전자를 확인해야 한다. 사실이지만, 노란 소들은 여전히 "모든 까마귀는 검다"의 확인을 이해할 수 없다. 과학에서 확인은 예측에 의해 이루어지며, 예측은 지표적인 분위기에서 적절하게 명시되기 때문이다. 무엇이 반사실임을 확인시켜 주는지 묻는 것은 분별없는 짓이다.^[33]

가설 수용의 다른 결과

몇몇 논평가들은 "모든 까마귀는 검다"와 "모든 검은 것이 비흑이다"라는 명제는 가설을 시험하기 위한 다른 절차를 제안한다는 것을 관찰했다. 예: 양호한 쓰기:^[8]

그 두 진술은 논리적으로 동등하다. 그러나 그들은 실험자에게 다른 심리적 영향을 미친다. 만약 그가 모든 까마귀가 검은지 시험해 보라고 한다면 그는 까마귀를 찾고 나서 까마귀가 검은지 여부를 결정할 것이다. 그러나 만약 그가 모든 검은색이 아닌 것들이 모두 황갈색이 아닌지를 시험해 보라고 요구받으면, 그는 검은색이 아닌 물체를 찾고 나서 그것이 까마귀인지 아닌지를 결정할 수도 있다.

더 최근에는 '모든 까마귀는 검은색'과 '모든 비흑색은 비흑색'이 받아들여지면 다른 효과를 낼 수 있다는 제안이 나왔다.^[34] 이 주장은 까마귀와 검은 물체의 총 숫자나 만년설은 알 수 없지만 추정된 상황을 고려한다. "모든 까마귀는 검은 것"이라는 가설을 받아들일 때, 그 논거에 따르면, 검은 물체의 추정 수는 증가하는 반면, 까마귀의 추정 수는 변하지 않는다.

까마귀와 검은 물체에 대한 정보가 동일하고 까마귀와 검은 물체의 개수를 추정하는 두 사람의 상황을 고려해 볼 수 있다. 구체성을 위해서, 전체적으로 100개의 물체가 있다고 가정하고, 관련자들이 이용할 수 있는 정보에 따르면, 각각의 물체는 까마귀가 될 가능성이 있는 것처럼 비까마귀가 될 가능성이 있고, 흑인이 아닌 것처럼 검게 될 가능성이 있다.

${\displaystyle P(Ra)={\frac {1}{1}:{2}}\ \ \ \ \ \ P(Ba)={\frac {1}{2}}:}$

그리고 제안 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$, R ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle Ra,\Rb}$은(는) 다른 $개체$인 ${\displaystyle a$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$ 등에$$ 대해 독립적이다$$. 그러면 추정 까마귀 수는 50마리, 추정 까마귀 수는 50마리, 추정 까마귀 수는 25마리, 추정된 비까마귀 수는 25마리(가설에 대한 개략적 개략적 개략적 개략적 개략적 개략적 개략적 개략적 개략적 개략적 개략적 개략적 개략적 개략적 개략적 개략적 개략적 개수는 25마리)

한 사람은 "모든 까마귀는 검다"는 가설의 통계적 시험(예: 나이만-페르손 시험이나 누적된 증거의 무게를 임계값에 비교하는 것)을, 다른 사람은 "모든 비흑색 물체는 비흑색"이라는 가설을 검정한다. 간단히 말해서, 시험에 사용된 증거가 여기서 다룬 100개의 물체의 수집과는 아무런 관계가 없다고 가정하자. 만약 첫 번째 사람이 "모든 갈가마귀는 검은색"이라는 가설을 받아들인다면, 그 주장에 따르면, 이전에 색이 의심스러웠던 50여 개의 물체(갈가마귀)는 이제 검은 것으로 생각되는 반면, 나머지 물체(갈가마귀가 아닌 것)는 전혀 다르지 않다. 따라서 그는 검은 까마귀의 수를 50마리로, 검은까마귀의 수를 25마리로, 그리고 검은까마귀가 아닌 다른 까마귀의 수를 25마리로 추정해야 한다. 이러한 변화를 명시함으로써, 이 주장은 "모든 까마귀는 검다"의 영역을 까마귀에게 명시적으로 제한한다.

한편, 두 번째 사람이 "모든 비흑색 물체는 비흑색"이라는 가설을 받아들인다면, 각각이 까마귀인지 확실치 않았던 대략 50개의 비흑색 물체는 비흑색 물체라고 생각될 것이다. 동시에 약 50개의 남은 물체(검은 물체)에 대해서도 다른 것은 생각할 것이 없을 것이다. 따라서 그는 검은 까마귀의 수를 25마리로, 검은까마귀가 25마리로, 검은까마귀가 아닌 사람의 수를 50마리로 추정해야 한다. 이 주장에 따르면, 두 사람이 서로 다른 가설을 받아들인 후 추정에 대해 의견이 다르기 때문에, "모든 까마귀는 검다"를 받아들이는 것은 "모든 까마귀는 검다"를 받아들이는 것과 같지 않다; 전자를 받아들이는 것은 더 많은 검은 것을 추정하는 반면 후자를 받아들이는 것은 더 많은 추정을 수반한다. 비파괴적인 것 이에 따라 전자는 흑인으로 판명되는 증거 까마귀로, 후자는 흑인이 아닌 것으로 판명되는 비흑인이 필요하다는 주장이 나왔다.^[34]

실존적 전제

다수의 저자들은 "$All{\displaystyle }$ A ${\displaystyle$ $A$$}$은(는) $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ B$\}"$ 형식의 제안이 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$인 개체가 있다고 전제한다고 주장해 왔다$.$^[35] 이러한 분석이 까마귀의 역설에 적용되었다.^[36]

…$H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}$$: "모든 까마귀는 검다"와 ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}$$: "모든 검은 것은 비라벤이다"는 존재론적 전제가 다르기 때문에 엄격히 동등하지는 않다... 더욱이 H ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및 ${\displaystyle H_{}}$ 2 ${\$ 동일한 규칙성, 즉 비흑색 까마귀의 무유연성을 설명하지만$$, 그것들은 서로 다른 논리적 형태를 가지고 있다. 두 가설은 서로 다른 감각을 가지고 있으며 그들이 기술하는 규칙성을 시험하기 위한 다른 절차를 포함한다.

수정된 논리는 전제 연산자 '*'를 이용한 실존적 전제를 고려할 수 있다. 예를 들어,

${\displaystyle \ forall \ x,\ *Rx\오른쪽 화살표 Bx}$

"모든 까마귀는 검은색"을 나타내면서, 이 예에서 존재한다고 가정된 까마귀가 아니라 까마귀임을 나타낼 수 있다.

… 각 가설의 논리적 형태는 권장되는 유형의 뒷받침 증거와 관련하여 이를 구별한다. 각 가설의 가능한 진정한 대체 사례는 다른 유형의 객체와 관련된다. 두 가설이 서로 다른 종류의 시험 절차를 포함하고 있다는 사실은 다른 술어에 연산자 '*'를 접두사로 붙임으로써 공식 언어로 표현된다. 따라서 전제 연산자는 관련 연산자 역할도 한다. "모든 까마귀는 검은색"에 통합된 시험 절차와 관련된 물체는 까마귀만 포함하기 때문에$$ ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$ 1에서 '${\displaystyle }$ ${\$$displaystyle H_{$1}{$1}'$라는 술어 앞에 붙는다. '${\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$는 H ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}},$$becau'에서 'x'로 접두어진다$.$"모든 비흑점은 비흑점"에 포함된 시험 절차와 관련된 물체는 오직 비흑점만을 포함한다. ... 프레게아 용어 사용: 그들의 전제가 유지될 때마다, 두 가설은 같은 참조자(진리-값)를 가지고 있지만, 다른 감각을 가지고 있다; 즉, 그들은 진리-값을 결정하는 두 가지 다른 방법을 표현한다.^[36]

참고 항목

• 연관오류
• 베이지안 인식론
• 흑조 이론
• 역설의 목록

메모들

추가 읽기

• Chang, Hasok; Fisher, Grant (2011). "What the ravens really teach us: the intrinsic contextuality of evidence". In Dawid, Philip; Twining, William L.; Vasilaki, Mimi (eds.). Evidence, Inference and Enquiry. Proceedings of the British Academy. 171. Oxford; New York: Oxford University Press. doi:10.5871/bacad/9780197264843.003.0013. ISBN 9780197264843. OCLC 709682874.
• Franceschi, 폴(2011-02-04)."그 종말론 주장과 헴펠의 문제".paulfranceschi.com.2020-04-27 Retrieved.종이 처음에 프랑스에서 Franceschi, 폴(1999년 3월):으로 영어 번역."논평 l'Urne 드 카터 박물 레슬리 se déverse dans celle 드 헴펠".캐나다 저널 철학. 29(1):139–156. doi:10.1080/00455091.1999.10717508. JSTOR 40232048.
• Hempel, Carl G. (December 1943). "A purely syntactical definition of confirmation" (PDF). Journal of Symbolic Logic. 8 (4): 122–143. doi:10.2307/2271053. JSTOR 2271053.
• Hempel, Carl G. (1966). "Studies in the logic of confirmation". In Foster, Marguerite H.; Martin, Michael (eds.). Probability, Confirmation, and Simplicity: Readings in the Philosophy of Inductive Logic. New York: Odyssey Press. pp. 145–183. OCLC 284885.
• Whiteley, C. H. (April 1945). "Hempel's paradoxes of confirmation". Mind. 54 (214): 156–158. doi:10.1093/mind/liv.214.156. JSTOR 2250951.